萊蕪一中德州一中高三數(shù)學(xué)4月聯(lián)考試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

北鎮(zhèn)中學(xué)、萊蕪一中、德州一中屆高三4月份聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分,共4頁(yè).滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)、縣區(qū)和科類(lèi)填寫(xiě)在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答案不能答在試卷上.3.第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫(xiě)在試題卷上;如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.填空題請(qǐng)直接填寫(xiě)答案,解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.參考公式：如果事件A，B互斥，那么Ｐ（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A，B獨(dú)立，那么Ｐ（AB）=P(A)·P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.定義集合，若集合集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為()A．B．3 C．4D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【解析】,所以集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè).【考點(diǎn)】新定義問(wèn)題、集合的運(yùn)算、子集.2.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為()A．1B．iC．-1D．-i【答案】A【解析】，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)1.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念.3．某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿(mǎn)分100分)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，則x＋y的值為()A．168B．169C．8D【答案】D【解析】由題意得，甲班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為83，則＝83－80＝3，乙班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是86，則?，故x＋y＝9.【考點(diǎn)】莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)4.命題；命題是”關(guān)于的不等式的解集是實(shí)數(shù)集的充分必要條件，則下面結(jié)論正確的是（）A.是假命題B.是真命題C.是假命題D.是假命題【答案】C【解析】對(duì)于命題，因此命題是真命題；對(duì)于命題，”關(guān)于的不等式的解集是實(shí)數(shù)集的充分必要條件是或，即，所以是”關(guān)于的不等式的解集是實(shí)數(shù)集的充分不必要條件，因此命題是假命題；是假命題；是真命題.【考點(diǎn)】充要條件，簡(jiǎn)易邏輯．5.已知變量滿(mǎn)足約束條件若目標(biāo)函數(shù)(其中)僅在點(diǎn)(1，1)處取得最大值，則的取值范圍為()A．B．C．D．【答案】B【解析】由約束條件表示的可行域如圖所示，作直線(xiàn)l：ax＋y＝0，過(guò)點(diǎn)(1，1)作l的平行線(xiàn)l′，則直線(xiàn)l′介于直線(xiàn)x＋2y－3＝0與直線(xiàn)y＝1之間，因此，－eq\f(1,2)＜－a＜0，即0＜a＜eq\f(1,2).【考點(diǎn)】線(xiàn)性規(guī)劃.6．設(shè)為正數(shù)，，則()A．B．C．D．【答案】B【解析】由得.又即，所以.由不等式成立的條件，得，所以【考點(diǎn)】基本不等式.7.如圖是函數(shù)在區(qū)間上的圖象，為了得到的圖象，只要將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)()A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變【答案】D【解析】由圖象可知A＝1，T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.∵圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))在函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間上，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴∴φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.∴＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋2kπ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).故將函數(shù)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得y＝sinx的圖象．法二：也可通過(guò)平移法求出φ的值.【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及圖象變換.8.某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門(mén)，其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能分給同一個(gè)部門(mén)；另三名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門(mén)，則不同的分配方案種數(shù)是（）A.18 B.24 C.36 D.72 【答案】C【解析】由于均分8人，所以甲、乙兩個(gè)部門(mén)各4人。完成這件事情分兩類(lèi)：第一類(lèi)，甲部門(mén)有兩名電腦編程人員，有種不同的分配方案；第二類(lèi)，甲部門(mén)有一名電腦編程人員，有種不同的分配方案。故共有36種不同的分配方案.選C【考點(diǎn)】排列組合.9.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，,為的中點(diǎn)，若為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則的最大值為()A．3B．C．6D．9【答案】D【解析】由平面向量的數(shù)量積的幾何意義知，等于與在方向上的投影之積,所以【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積.10．已知且，函數(shù)設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則()．A． B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)則為奇函數(shù)，所以所以.【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性第Ⅱ卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為.【答案】【解析】【考點(diǎn)】程序框圖，等差數(shù)列求和.12.已知在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,.平面，則是平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.法二：幾何法.【考點(diǎn)】直線(xiàn)與平面所成的角.13．若，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)__________【答案】【解析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，表示數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到和的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，故最小值為，所以對(duì)滿(mǎn)足故關(guān)于的不等式的解集為.【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式14．橢圓的右焦點(diǎn)為，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為_(kāi)___________.【答案】【解析】不妨設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，記橢圓的左焦點(diǎn)為，依題意得四邊形為矩形，是正三角形，，，橢圓的離心率為.【考點(diǎn)】橢圓，雙曲線(xiàn)的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).15．對(duì)于函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.給定函數(shù)，請(qǐng)你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算=.【答案】【解析】,,,得.,所以的“拐點(diǎn)”即對(duì)稱(chēng)中心為，所以.設(shè)，則，兩式相加得.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù),函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，倒序相加求和.三、解答題：本大題共6小題，共75分.16.（本小題滿(mǎn)分12分）在中，角所對(duì)的邊分別為，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面積為，求及的值.【解析】（Ⅰ）-------------------------------------------2分即---------------------------------4分又，-------------------------------------------5分（Ⅱ）----------------------6分由正弦定理，得----------------------8分且----------------------9分，由正弦定理得：解得----------------------12分【考點(diǎn)】正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式.17.（本小題滿(mǎn)分12分）年上半年，股票投資人袁先生同時(shí)投資了甲、乙兩只股票，其中甲股票賺錢(qián)的概率為，賠錢(qián)的概率是；乙股票賺錢(qián)的概率為，賠錢(qián)的概率為.對(duì)于甲股票，若賺錢(qián)則會(huì)賺取5萬(wàn)元，若賠錢(qián)則損失4萬(wàn)元；對(duì)于乙股票，若賺錢(qián)則會(huì)賺取6萬(wàn)元，若賠錢(qián)則損失5萬(wàn)元.（Ⅰ）求袁先生年上半年同時(shí)投資甲、乙兩只股票賺錢(qián)的概率；（Ⅱ）試求袁先生年上半年同時(shí)投資甲、乙兩只股票的總收益的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（Ⅰ）袁先生年上半年同時(shí)投資甲、乙兩只股票賺錢(qián)的概率為-----------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）用萬(wàn)元表示袁先生年上半年同時(shí)投資甲、乙兩只股票的總收益，則的所有可能取值為-----------------------------------------------------------------------------------5分---------------------------------------------------6分---------------------------------------------------7分---------------------------------------------------8分--------------------------------------------------9分所以，的分布列為-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分的數(shù)學(xué)期望為-------------------------------------------------12分【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列及期望.18.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，BC＝2AB＝2，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（Ⅰ）若，在折疊后的線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，且，使得∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由；（Ⅱ）求三棱錐A－CDF的體積的最大值，并求此時(shí)二面角E－AC－F的余弦值．【解析】（Ⅰ）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面∩平?所以平面，又平面,所以-----------------------------------------1分在折起過(guò)程中，,同時(shí)∩，所以平面-----------------------------------------2分方法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.若時(shí)，則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，,,.可得平面的法向量．--------------------------------------3分因?yàn)?，所以所?--------------------------------------4分故.則,解得.所以線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，且，使得∥平面ABEF.--------------------------------------5分方法二：線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使得∥平面ABEF，則此時(shí).理由如下：當(dāng)時(shí)，，可知.過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn),則有--------------------------------------3分又，可得,故.又,∥∥,所以四邊形為平行四邊形.所以∥,--------------------------------------4分又平面ABEF，平面ABEF所以∥平面ABEF-------------------------------------5分（Ⅱ）設(shè)，所以，,所以，--------------------------------------6分所以當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為.--------------------------------------7分可得,,，.所以,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即.--------------------------------------------------8分取，則,-------------------------------------------------------9分設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則，即--------------------------------------10分同理可得--------------------------------------11分所以所以二面角E﹣AC﹣F的余弦值為.--------------------------------------12分【考點(diǎn)】線(xiàn)面平行與垂直的判定與性質(zhì)，幾何體的體積，二面角.19．(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列的前和為，且；數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且滿(mǎn)足，.（Ⅰ）分別求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（Ⅰ）時(shí)， ------------------------------------------1分時(shí)，，又因?yàn)?，所?---------------------------------------2分設(shè)等比數(shù)列的公比為，---------------------------------------3分由已知，即，----------------4分解得，或（舍去，因?yàn)椋┧裕?---------------5分（Ⅱ），---------------------------6分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，-----------------------------7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，--------------------------------------8分eq\o\ac(○,1)則eq\o\ac(○,2)----------------9分eq\o\ac(○,1)-eq\o\ac(○,2)得----------------10分所以----------------11分所以，----------------12分 【考點(diǎn)】等差數(shù)列及等比數(shù)列，并項(xiàng)法求和，錯(cuò)位相減法求和.20.（本小題滿(mǎn)分13分）拋物線(xiàn)C的方程為，過(guò)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿(mǎn)足.（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB上一點(diǎn)M，滿(mǎn)足，證明線(xiàn)段PM的中點(diǎn)在y軸上；（Ⅲ）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.【解析】（Ⅰ）由拋物線(xiàn)的方程（）得，,----------------1分焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為．----------------3分（Ⅱ）證明：設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為．點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將②式代入①式得，于是，故③----------------4分又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將⑤式代入④式得．于是，故．----------------5分由已知得，，則．⑥----------------6分設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則．----------------7分將③式和⑥式代入上式得，即．