《三維設(shè)計(jì)》高三數(shù)學(xué) 第3章 第7節(jié) 課時(shí)限時(shí)檢測(cè) 新人教A版

第3章第7節(jié)(時(shí)間60分鐘，滿(mǎn)分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分)1．在△ABC中，a、b分別是角A、B所對(duì)的邊，條件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：a<b?A<B?cosA>cosB.答案：C2．△ABC中，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(\r(2),2)，則符合條件的三角形有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)解析：∵asinB＝eq\f(\r(10),2)，∴asinB<b＝eq\r(3)<a＝eq\r(5)，∴符合條件的三角形有2個(gè)．答案：B3．已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16eq\r(2)，則三角形的面積為()A．2eq\r(2)B．8eq\r(2)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝8，∴sinC＝eq\f(c,8)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,16)abc＝eq\f(1,16)×16eq\r(2)＝eq\r(2).答案：C4．如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為()A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)解析：設(shè)等腰三角形的底邊為a，頂角為θ，則腰長(zhǎng)為2a由余弦定理得cosθ＝eq\f(4a2＋4a2－a2,8a2)＝eq\f(7,8).答案：D5．(·惠州模擬)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：∵eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，結(jié)合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c.若∠C＝120°，c＝eq\r(2)a，則()A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定解析：法一由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2即(eq\f(b,a))2＋eq\f(b,a)－1＝0，eq\f(b,a)＝eq\f(－1＋\r(5),2)<1，故b<a.法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abb2＋ab－a2＝0，b＝eq\f(a2,a＋b)，由a<a＋b得b<a.答案：A二、填空題(共3小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分)7．在△ABC中，若a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝__________.解析：∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\r(1－\f(1,3)2)＝eq\f(2\r(2),3)，又S△ABC＝4eq\r(3)，即eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，則cosA＝________.解析：由正弦定理得(eq\r(3)sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，化簡(jiǎn)得eq\r(3)sinBcosA＝sin(A＋C)．∵0<sinB≤1，∴cosA＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)9．(·新課標(biāo)全國(guó)卷)在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD＝eq\f(1,2)CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面積為3－eq\r(3)，則∠BAC＝________.解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因?yàn)锳D＝2，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin60°＝3－eq\r(3)，所以DC＝2(eq\r(3)－1)，又因?yàn)锽D＝eq\f(1,2)DC，所以BD＝eq\r(3)－1，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BC于E點(diǎn)，則S△ADC＝eq\f(1,2)DC·AE＝3－eq\r(3)，所以AE＝eq\r(3)，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝eq\r(3)，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝2eq\r(3)－3，所以tan∠ACE＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3)，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60°三、解答題(共3小題，滿(mǎn)分35分)10．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小，并判斷△ABC的形狀．解：法一：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去)．∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b.∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－\f(a＋c,2)2,2ac)＝eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c∴△ABC是等邊三角形．法二：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0.即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝eq\f(3,2)(舍去)．∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,3).∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).∴sinA＋sin(eq\f(2π,3)－A)＝eq\r(3)，∴sinA＋sineq\f(2π,3)cosA－coseq\f(2π,3)sinA＝eq\r(3).化簡(jiǎn)得eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)，∴sin(A＋eq\f(π,6))＝1.∵0<A<π，∴A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴A＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,3).∴△ABC是等邊三角形．11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4.(1)求cosB和a；(2)若△ABC的面積S＝10，求cos4C解：(1)由bsinA＝4，得asinB＝4，又atanB＝eq\f(20,3)，∴cosB＝eq\f(3,5).又由atanB＝eq\f(20,3)知tanB>0，則sinB＝eq\f(4,5)，tanB＝eq\f(4,3)，故a＝5.(2)由S＝eq\f(1,2)acsinB，得c＝5，∴A＝C.由cos4C＝2cos22C－1＝2cos2(A＋C)－1＝2cos2＝2×(eq\f(3,5))2－1＝－eq\f(7,25).12．已知△ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC＋eq\f(1,2)c＝b.(1)求角A的大??；(2)若a＝1，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．解：(1)由acosC＋eq\f(1,2)c＝b和正弦定理得，sinAcosC＋eq\f(1,2)sinC＝sinB，又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴eq\f(1,2)sinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝eq\f(1,2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2,\r(3))sinB，c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2,\r(3))sinC，則l＝a＋b＋c＝1＋eq\f(2,\r(3))(sinB＋sinC)＝1＋eq\f(2,\r(3))[sinB＋sin(