2024成都中考數(shù)學第一輪專題復習之微專題 輔助圓 教學課件

微專題輔助圓一階

方法突破方法解讀如圖，在平面內(nèi)，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則動點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓或圓弧．推廣：在折疊或旋轉(zhuǎn)問題中，有時會利用“定點定長作圓”模型確定動點的運動軌跡．方法一定點定長作圓例1如圖，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＞2，若CE＝2，且點E在矩形ABCD的內(nèi)部，則∠ABE的度數(shù)可能是(

)A.30°

B.40°

C.60°

D.90°例1題圖C

解題關(guān)鍵點求∠ABE可能的度數(shù)，即求∠EBC的最大值和最小值，利用定點定長作圓求解．如圖，在△ABC中，AB的長為定值，點C為動點，且∠C＝90°，則點C的軌跡是以AB為直徑的圓(不含A，B兩點).注：作出輔助圓是關(guān)鍵，計算時結(jié)合求點圓、線圓最值等方法進行相關(guān)計算．方法解讀方法二直徑所對的圓周角是直角(8年2考：2020.25，2018.28)例2

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cosB＝

，D為AB邊的中點，將△DBC沿CD翻折，點B落到點E處，連接AE，則AE的長為________．例2題圖71．如圖①，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°.如圖②，在四邊形ABDC中，∠ADC＝∠ABC＝90°.結(jié)論：(1)點A，B，C，D在同一個圓上；(2)AC為四邊形外接圓的直徑．2．如圖③，AB為△ABC和△ABD的公共邊，且點C，D在AB的同側(cè)，∠C＝∠D.結(jié)論：點A，B，C，D在同一個圓上．方法三四點共圓方法解讀例3題圖例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠CPB＝∠A，過點C作CP的垂線與PB延長線交于點Q，則CQ的最大值為________．例4題圖例4

如圖，在等邊△ABC中，AC＝6，D為AB上一動點，DE⊥BC，DF⊥AC，則EF的最小值為________．如圖，在△ABC中，AB的長為定值(定弦)，頂點C為動點，且∠ACB的度數(shù)為定值(定角)，我們把這樣的模型稱為定弦定角模型．要確定頂點C的運動軌跡，需分兩種情況：(1)如圖①，當∠ACB＜90°時，點C的運動軌跡為優(yōu)弧

(不與點A，B重合).(2)如圖②，當∠ACB＞90°時，點C的運動軌跡為劣弧

(不與點A，B重合).方法四定弦對定角(非90°)方法解讀例5題圖例5如圖，點P是正方形ABCD邊CD上方的一點，且∠APB＝45°.若CD＝4，sin∠PBC＝

，則點P與點C之間的距離為________．已知平面內(nèi)一定點D和⊙O，E是⊙O上一動點，設(shè)點O與點D之間距離為d，⊙O半徑為r.位置關(guān)系點D在⊙O內(nèi)點D在⊙O上點D在⊙O外圖示DE的最大值d＋r2rd＋r此時點E的位置連接DO并延長交⊙O于點E方法五點圓最值方法解讀位置關(guān)系點D在⊙O內(nèi)點D在⊙O上點D在⊙O外圖示DE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交⊙O于點E點E與點D重合連接OD交⊙O于點E【應(yīng)用依據(jù)】直徑是圓中最長的弦．例6題圖例6

(2023臺州)如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為(

)A.

B.2

C.4＋

D.4－

D例7題圖例7如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且AP⊥BP，連接CP，則線段CP長的最小值為________．2已知⊙O及直線l，⊙O的半徑為r，Q為⊙O上一動點，圓心O與直線l之間的距離為d.位置關(guān)系直線與⊙O相離直線與⊙O相切直線與⊙O相交圖示點Q到直線l距離的最大值d＋r2rd＋r方法六線圓最值方法解讀位置關(guān)系直線與⊙O相離直線與⊙O相切直線與⊙O相交圖示此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，其反向延長線與⊙O的交點，即為點Q點Q到直線l距離的最小值d－r00此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，與⊙O的交點即為點Q直線l與⊙O的交點即為點Q推廣：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動點到定邊的最大(小)距離，進而利用面積公式求解．例8題圖例8如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以點A為圓心，2為半徑作⊙A，求⊙A上動點P到BC的距離最小值．解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H，交⊙A于點P，H此時點P到BC的距離最?。逜B＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝

BC＝3，∴AH＝

＝

＝4.∟P∵PA＝2，∴PH＝AH－AP＝2，∴⊙A上動點P到BC的距離最小值為2.例8題圖H∟P例9題圖例9如圖，AB是⊙O的弦，C是優(yōu)弧

上一點，連接AC，BC，若⊙O的半徑為4，∠ACB＝60°，求△ABC面積的最大值．解：如圖，連接OA，OB過點O作OD⊥AB，垂足為D，延長DO交⊙O于點E，連接AE，BE，則AE＝BE.設(shè)點C到邊AB的距離為h，則S△ABC＝

AB·h，當點C與點E重合時，h取得最大值，即h＝DE，此時△ABC的面積也取得最大值，即S△ABC＝S△ABE.DE∟∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝

OA＝2，AD＝

＝

，∴AB＝2AD＝

，DE＝OE＋OD＝4＋2＝6，此時S△ABE＝

AB·DE＝

×

×6＝.例9題圖DE∟輔助圓問題①二階

綜合訓練第1題圖1.如圖，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，∠A＝60°，BC＝6.則DE的長為________.3

解題關(guān)鍵點通過觀察∠BEC與∠BDC為直角，且共用斜邊BC，則以B，E，D，C四點構(gòu)造圓是關(guān)鍵.第2題圖2.如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙D的半徑為2，圓心D的坐標為(3，4)，C為⊙D上一點，點A，B在x軸上，且關(guān)于原點O對稱，連接AC，BC，若∠ACB＝90°，則AB的最大值為________．14第3題圖3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點E在邊CD上，連接AE，將△ADE沿AE翻折，得到△AFE，點D的對應(yīng)點為F.連接BF，CF，當CF取得最小值時，△CFB的面積為________．第4題圖4.如圖，已知△ABC為等邊三角形，AB＝6，將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜120°)，得到線段AD，連接CD，E為CD上一點，且DE＝2CE.連接BE，則BE的最小值為________．【解析】如解圖，過E作EH∥AD，交AC于H，第4題解圖∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝6.∵將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜120°)，得到線段AD，∴AD＝AC，∴∠D＝∠ACD.第4題解圖∵DE＝2CE，∴＝

＝

，∠CEH＝∠D＝∠ACD.∵AC＝6，∴CH＝EH＝2，取AH的中點P，連接EP，則∠CEP＝90°，∴點E在以H為圓心，CP為直徑的部分圓上運動，∵EH為定值2，∴當B，E，H三點共線時，BE的長最小，過點B作BQ⊥AC于Q，則BQ＝

＝3，第4題解圖∴BH＝

＝

＝2，∴BE＝2－2.

－2【答案】輔助圓問題②第5題圖5.如圖，在?ABCD中，E是邊BC的中點，連接AE，若BC＝4，∠BAE＝30°，則對角線BD的取值范圍為________________________．第5題解圖【解析】∵E是BC的中點，BC＝4，∴BE＝

BC＝2，如解圖，在BC的延長線上取一點F，使CF＝BE＝2，連接DF.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠ABE＝∠DCF，AB＝DC，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠CDF＝∠BAE＝30°，第5題解圖以CF為邊在CF上方作等邊△OCF，∴∠COF＝60°，OC＝CF＝2，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O，則點D在⊙O上，過點O作射線BO交⊙O于點M，N，則BD的最小值等于BN，最大值等于BM，過點O作OH⊥C