2024成都中考數(shù)學(xué)二輪微專題專項訓(xùn)練 (含答案)

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪微專題專項訓(xùn)練微專題利用垂線段最短解決最值問題模型一點到直線的所有線段中，垂線段最短模型分析如圖，已知直線l外一定點A和直線l上一動點B，求A、B之間距離的最小值．通常過點A作直線l的垂線AB，利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短．模型應(yīng)用1.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ADC＝60°，AB＝6，若點P為AD上的動點，連接OP，則OP的最小值為________．第1題圖2.如圖，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，點P是對角線AC上一動點，連接DP，以DP、CP為鄰邊作?DPCQ，連接PQ，則線段PQ的最小值為________．第2題圖模型二“胡不歸”問題(2014.28)模型分析問題：點A為直線l上一定點，點B為直線l外一定點，點P為直線l上一動點，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最?。椒ǎ?．找：找?guī)в邢禂?shù)k的線段AP；2．構(gòu)：在點B異側(cè)，構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形；①以定點A為頂點作∠NAP，使sin∠NAP＝k；②過動點P作垂線，構(gòu)造Rt△APE；3．轉(zhuǎn)化：化折為直，將kAP轉(zhuǎn)化為PE；4．求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BF的長．模型應(yīng)用3.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動點，則2AD＋DC的最小值為________．第3題圖4.如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10,對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM＝3，點P為線段BD上的一個動點，則MP＋eq\f(1,2)PB的最小值是________．第4題圖模型遷移5.如圖，拋物線y＝ax2＋ax＋c經(jīng)過點A(1，0)，B(0，－eq\r(3))，C，其對稱軸與x軸交于點D.若P為y軸上一點，連接PD，求eq\f(\r(2),2)PB＋eq\r(2)PD的最小值．第5題圖微專題利用三角形三邊關(guān)系解決最值問題模型分析背景展示如圖，已知點A、點B是平面內(nèi)固定的兩點，AB＝m，點C是同一平面內(nèi)一動點且BC＝n.1．連接AC、BC.在△ABC中，根據(jù)三邊關(guān)系，有AB－BC<AC<AB＋BC，即m－n<AC<m＋n；2．當(dāng)A，B，C三點共線時，(1)點C在線段AB上，AC有最小值為AB－BC，即m－n；(2)點C在線段AB的延長線上，AC有最大值為AB＋BC，即m＋n；(3)點C在線段BA的延長線上，AC有最小值BC－AB，即n－m.模型應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，點D，E分別在邊AC，BC上運動，已知DE＝6，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為()A.10－eq\r(41)B.eq\r(41)－3C.2eq\r(41)－6D.3第1題圖2.如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，以BC為對角線作正方形BDCE，連接AD，則AD的最大值為()A.5B.9C.9eq\r(2)D.eq\f(9\r(2),2)第2題圖3.如圖，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上．當(dāng)點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為________．第3題圖4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是邊AD上的一個動點，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，連接DF，則線段DF的最小值為________．第4題圖模型遷移5.如圖，拋物線y＝ax2－5ax＋4經(jīng)過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y軸上，且AC＝BC.第5題圖(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)在拋物線對稱軸上是否存在點M，使點M到點A和點B的距離之差最大？若存在，求所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．微專題利用兩點之間線段最短解決最值問題模型一“一線兩點”型(一個動點＋兩個定點)類型一線段和最小值問題模型分析問題：兩定點A、B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點P，使PA＋PB的值最?。忸}思路：根據(jù)兩點之間線段最短，PA＋PB的最小值即為線段AB的長．連接AB交直線l于點P，點P即為所求．模型演變問題：兩定點A、B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使PA＋PB的值最?。忸}思路：將兩定點同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題，同“模型分析”即可解決．作點B關(guān)于l的對稱點B′，連接AB′，與直線l交于點P.注：也可以作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，與直線l交于點P′.模型應(yīng)用1.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，AC＝6eq\r(3)，BD＝6，點P是AC上一動點，點E是AB的中點，則PD＋PE的最小值為________．第1題圖2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點P是矩形內(nèi)一動點，滿足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，則PA＋PB的最小值為________．第2題圖模型遷移3.如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象相交于A(3，5)、B(a，－3)兩點，與x軸交于點C.第3題圖(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點P為y軸上的動點，當(dāng)PB＋PC取最小值時，求△BPC的面積．4.如圖，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C.點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值．第4題圖類型二線段差最大值問題模型分析問題：兩定點A、B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點P，使得|PA－PB|的值最大．解題思路：根據(jù)兩邊之差小于第三邊，|PA－PB|最大值即AB的長，連接AB并延長，與直線l交于點P，點P即為所求．模型演變問題：兩定點A、B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點P，使得|PA－PB|的值最大．解題思路：將兩定點異側(cè)轉(zhuǎn)化為同側(cè)問題，同“模型分析”即可解決．作點B關(guān)于l的對稱點B′，連接AB′并延長與直線l交于點P.模型應(yīng)用5.如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分線，點P是EF上的動點，則|PA－PB|的最大值為________．第5題圖6.如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，AD是中線，點E是AD的中點，點P是AC上一動點，則BP－EP的最大值為________．第6題圖7.如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM＝6，P為對角線BD上一動點，則PM－PN的最大值為________．第7題圖模型遷移8.已知拋物線y＝x2－2x－8與x軸交于點A、B(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，P是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)|PB－PC|有最大值時，求點P的坐標(biāo)．模型二“一點兩線”型(兩個動點＋一個定點)類型一兩條線段的和最小值問題模型分析問題：點P是∠AOB的邊OB上一定點，在OA上找一點M，在OB上找一點N，使得PM＋MN的值最?。忸}思路：要使PM＋MN的值最小，設(shè)法將PM、MN轉(zhuǎn)化到同一條直線上，利用垂線段最短即可解決．作點P關(guān)于OA的對稱點P′，過點P′作OB的垂線，分別與OA，OB交于點M、N.模型應(yīng)用9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD，AC上的動點，則PC＋PQ的最小值為________．第9題圖10.如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，點M，N分別為BD，CD上的動點，則CM＋MN的最小值為________．第10題圖類型二周長最小值問題模型分析問題：點P是∠AOB的內(nèi)部一定點，在OA上找一點M，在OB上找一點N，使得△PMN的周長最小．解題思路：要使△PMN的周長最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根據(jù)兩點之間線段最短，將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可解決．分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P′、P″，連接P′P″交OA、OB于點M、N.模型應(yīng)用11.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為AB上一定點，點E，F(xiàn)分別為邊AC，BC上的動點，當(dāng)△DEF的周長最小時，則∠FDE＝________．第11題圖12.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，點D在BC上，且AD＝4，點E，F(xiàn)分別為邊AC，AB上的動點，則△DEF周長的最小值為________．第12題圖模型三“一定長＋兩定點”型類型一異側(cè)線段和最小值問題(“造橋”問題)模型分析問題：已知l1∥l2，l1，l2之間距離為d，在l1，l2上分別找M，N兩點，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最?。忸}思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN為定值，即要求AM＋NB的最小值，通過平移構(gòu)造平行四邊形，將AM、NB轉(zhuǎn)化到同一條直線上．將點A向下平移d個單位到點A′，連接A′B交直線l2于點N，過點N作MN⊥l1于點M.模型應(yīng)用13.如圖，已知直線a∥b，a，b之間的距離為4，點P到直線a的距離為4，點Q到直線b的距離為2，PQ＝2eq\r(41).在直線a上有一動點A，直線b上有一動點B，滿足AB⊥b，且PA＋AB＋BQ最小，則PA＋BQ＝________．第13題圖類型二同側(cè)線段和最小值問題(平移型問題)模型應(yīng)用14.如圖，菱形ABCD的邊長為3，∠BAD＝60°，點E，F(xiàn)在對角線AC上(點E在點F的左側(cè))，且EF＝1，則DE＋BF的最小值為________．第14題圖15.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，點E、F是AD邊上的動點，且EF＝2，則四邊形BEFC周長的最小值為________．第15題圖模型遷移16.如圖，已知點A(3，1)，B(1，0)，PQ是直線y＝x上的一條動線段，且PQ＝eq\r(2)(點Q在點P的下方)，當(dāng)AP＋PQ＋QB取得最小值時，求點Q的坐標(biāo)．參考答案微專題利用垂線段最短解決最值問題1.eq\f(3\r(3),2)【解析】根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)OP與AD垂直時，OP取得最小值．∵四邊形ABCD是菱形，AB＝6，∴AD＝AB＝6，AC⊥OD.∵∠ADC＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝3，DO＝3eq\r(3)，當(dāng)OP⊥AD時，∵S△ADO＝eq\f(1,2)AO·DO＝eq\f(1,2)AD·OP，∴OP＝eq\f(AO·DO,AD)＝eq\f(3\r(3),2)，∴OP的最小值為eq\f(3\r(3),2).2.2eq\r(3)【解析】∵四邊形DPCQ為平行四邊形，∴DQ∥AC，∴當(dāng)PQ⊥DQ時，線段PQ的值最小，最小值即為DQ與AC之間的距離，即點D到AC的距離，如解圖，過點D作DE⊥AC于點E，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝AC·cos30°＝4eq\r(3)，∴DE＝CD·sin30°＝2eq\r(3)，即點D到AC的距離為2eq\r(3)，∴線段PQ的最小值為2eq\r(3).第2題解圖3.6【解析】如解圖，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接AA′，A′D，過點D作DE⊥AC于點E，在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝eq\r(3)，AA′＝2eq\r(3)，∠C＝30°，∴在Rt△CDE中，DE＝eq\f(1,2)CD，即2DE＝CD，∵點A與點A′關(guān)于BC對稱，∴AD＝A′D，∴AD＋DE＝A′D＋DE，∴當(dāng)A′，D，E三點共線時，AD＋DE有最小值，最小值為A′E的長，此時，在Rt△AA′E中，A′E＝AA′·sin60°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3，∴AD＋DE的最小值為3，即2AD＋DC＝2(AD＋DE)的最小值為6.第3題解圖4.eq\f(7\r(3),2)【解析】如解圖，過點P作PQ⊥BC于點Q，過點M作MN⊥BC于點N.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵菱形對角線互相垂直，∴∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴PQ＝eq\f(1,2)PB，∴MP＋eq\f(1,2)PB＝MP＋PQ.由兩點之間線段最短可知，當(dāng)M、P、Q三點共線，即點Q與點N重合時，MP＋PQ取得最小值，最小值為MN的長．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∵∠ACB＝60°，∴MN＝eq\f(\r(3),2)CM＝eq\f(7\r(3),2)，∴MP＋eq\f(1,2)PB的最小值為eq\f(7\r(3),2).第4題解圖5.解：如解圖，連接AB，過點D作DH⊥AB于點H，交y軸于點P′.∵eq\f(\r(2),2)PB＋eq\r(2)PD＝eq\r(2)(eq\f(1,2)PB＋PD)，∴當(dāng)eq\f(1,2)PB＋PD取得最小值時，eq\r(2)(eq\f(1,2)PB＋PD)有最小值．∵A(1，0)，B(0，－eq\r(3))，∴OA＝1，OB＝eq\r(3)，∴AB＝2，∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，P′H＝eq\f(1,2)P′B，∴eq\f(1,2)P′B＋P′D＝P′H＋P′D，∴當(dāng)點P運動到點P′時，即H、P、D三點共線，且DH⊥AB時，eq\f(1,2)PB＋PD有最小值，最小值為DH的長．∵拋物線的對稱軸為直線x＝－eq\f(a,2a)＝－eq\f(1,2)，∴OD＝eq\f(1,2).∵在Rt△ADH中，∠ADH＝90°－∠OAB＝30°，AD＝OA＋OD＝eq\f(3,2)，∴DH＝AD·cos30°＝eq\f(3\r(3),4)，∴eq\f(1,2)PB＋PD的最小值為eq\f(3\r(3),4)，∴eq\f(\r(2),2)PB＋eq\r(2)PD的最小值為eq\r(2)×eq\f(3\r(3),4)＝eq\f(3\r(6),4).第5題解圖微專題利用三角形三邊關(guān)系解決最值問題1.B【解析】如解圖，連接CM，CN，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2eq\r(41)，∵DE＝6，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(41)，CM＝eq\f(1,2)DE＝3，當(dāng)C、M、N三點在同一直線上時，MN取得最小值，∴MN的最小值為eq\r(41)－3.第1題解圖2.D【解析】如解圖，將△BDA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝eq\f(\r(2),2)AM，∴當(dāng)AM的值最大時，AD的值最大，∵AM≤AC＋CM，∴AM≤9，∴AM的最大值為9，∴AD的最大值為eq\f(9\r(2),2).第2題解圖3.eq\r(2)＋1【解析】如解圖，取AD的中點P，連接OP，CP，∵∠AOD＝90°，P是AD的中點，AD＝BC＝2，∴OP＝DP＝eq\f(1,2)AD＝1，∵CD＝AB＝1，∴CP＝eq\r(CD2＋DP2)＝eq\r(2).∵OC≤CP＋OP＝eq\r(2)＋1，∴點C到原點O的最大距離為eq\r(2)＋1.第3題解圖4.2eq\r(13)－4【解析】如解圖，連接BD，∵BF＋DF≥BD，∴DF≥BD－BF，∴當(dāng)B、F、D三點共線時，DF取得最小值，且最小值為BD－BF的長，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，∴BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，由折疊的性質(zhì)知BF＝AB＝4，∴線段DF長度的最小值為BD－BF＝2eq\r(13)－4.第4題解圖5.解：(1)令x＝0，則y＝4，∴點C的坐標(biāo)為(0，4)，∵拋物線y＝ax2－5ax＋4，∴對稱軸為直線x＝－eq\f(－5a,2a)＝eq\f(5,2)，又∵BC∥x軸，點B，C關(guān)于對稱軸對稱，∴點B的坐標(biāo)為(5，4)，又∵AC＝BC，∴AC＝BC＝5，∴OA＝3，∵點A在x軸上，∴點A的坐標(biāo)為A(－3，0)，∵拋物線y＝ax2－5ax＋4經(jīng)過點A，∴9a＋15a＋4＝0，解得a＝－eq\f(1,6)，∴拋物線的解析式是y＝－eq\f(1,6)x2＋eq\f(5,6)x＋4；(2)存在．如解圖，設(shè)直線AC交拋物線對稱軸于點M，連接MB.∵對稱軸x＝eq\f(5,2)是線段BC的垂直平分線，∴MB＝MC，∴MA－MB＝MA－MC＝AC，在拋物線對稱軸上任取另外一點M′，則M′A－M′B＝M′A－M′C＜AC(三角形兩邊之差小于第三邊)，∴線段AC為差值最大值，根據(jù)A，C兩點坐標(biāo)得出，直線AC的解析式為y＝eq\f(4,3)x＋4.當(dāng)x＝eq\f(5,2)時，y＝eq\f(22,3)，則點M的坐標(biāo)為(eq\f(5,2)，eq\f(22,3))．第5題解圖微專題利用兩點之間線段最短解決最值問題1.3eq\r(3)【解析】如解圖，連接DE，則PD＋PE≥DE，設(shè)DE交AC于點M，當(dāng)點P與點M重合時PD＋PE取得最小值，且最小值為DE.∵在菱形ABCD中，AC＝6eq\r(3)，BD＝6，∴AO＝3eq\r(3)，OD＝3，AC⊥BD，∴AD＝eq\r(OA2＋OD2)＝6，∴AD＝BD＝AB，∴∠BAD＝60°，∵點E為AB的中點，∴DE⊥AB，∴DE＝AD·sin60°＝3eq\r(3).第1題解圖2.eq\r(41)【解析】如解圖，設(shè)△PAB底邊AB上的高為h，∵S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,3)AB·AD，∴h＝2，即h為定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于點F，故點P在直線EF上運動，作點A關(guān)于直線EF的對稱點A′，連接A′B，交直線EF于點P，此時PA＋PB最小，即為A′B的長．由對稱得AA′＝2AE＝4，∴A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，即PA＋PB的最小值為eq\r(41).第2題解圖3.解：(1)把點A(3，5)代入y＝eq\f(m,x)可得m＝3×5＝15，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝eq\f(15,x)，把點B(a，－3)代入y＝eq\f(15,x)，可得a＝－5，∴B(－5，－3)．把點A(3，5)，B(－5，－3)代入y＝kx＋b，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝5,－5k＋b＝－3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1,b＝2))，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x＋2；(2)∵一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x＋2，令y＝0，則x＝－2，∴C(－2，0)，如解圖，作點C關(guān)于y軸的對稱點C′，則C′(2，0)，即CC′＝4，連接BC′交y軸于點P，此時PC＋PB有最小值，最小值為BC′，設(shè)直線BC′的表達(dá)式為y＝k′x＋b′，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5k′＋b′＝－3,2k′＋b′＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k′＝\f(3,7),b′＝－\f(6,7)))，則BC′的表達(dá)式為y＝eq\f(3,7)x－eq\f(6,7)，∴P(0，－eq\f(6,7))，即OP＝eq\f(6,7)，此時S△BPC＝S△BCC′－S△PCC′＝eq\f(1,2)×4×3－eq\f(1,2)×4×eq\f(6,7)＝eq\f(30,7).第3題解圖4.解：當(dāng)y＝0時，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴點A坐標(biāo)為(－3，0)，點B坐標(biāo)為(1，0)．當(dāng)x＝0時，y＝3，∴點C坐標(biāo)為(0，3)．∵△PBC的周長為PB＋PC＋BC，BC為定值，∴當(dāng)PB＋PC最小時，△PBC的周長最?。唿cA，點B關(guān)于拋物線的對稱軸l對稱，∴連接AC，交l于點P，點P即為所求的點．∵AP＝BP，∴PB＋PC＋BC＝AC＋BC.∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC＝3eq\r(2)，BC＝eq\r(10)，∴△PBC周長的最小值為3eq\r(2)＋eq\r(10).5.3【解析】如解圖，延長BA交EF于P′，當(dāng)點P位于P′處時|PA－PB|的值最大，∴|PA－PB|的最大值為AB＝3.第5題解圖6.eq\r(7)【解析】如解圖，連接BE并延長交AC于點P′，此時BP－EP取得最大值為BE，在等邊△ABC中，AD是中線，∴BD＝DC＝2，∴AD＝BD·tan60°＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，∵E為AD的中點，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(3).∴在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝eq\r(22＋（\r(3)）2)＝eq\r(7)，∴BP－EP的最大值為eq\r(7).第6題解圖7.2【解析】如解圖，以BD為對稱軸作點N的對稱點N′，連接MN′并延長交BD于點P，連接NP，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知PN＝PN′，∴PM－PN＝PM－PN′≤MN′，當(dāng)P，M，N′三點共線時，PM－PN取得最大值，最大值為MN′的長，∵正方形的邊長為8，∴AC＝eq\r(2)AB＝8eq\r(2)，∵O為AC中點，∴AO＝OC＝4eq\r(2)，∵N為OA中點，∴ON＝2eq\r(2)，∴ON′＝CN′＝2eq\r(2)，∴AN′＝6eq\r(2)，∵BM＝6，∴CM＝AB－BM＝8－6＝2，∴eq\f(CM,BM)＝eq\f(CN′,AN′)＝eq\f(1,3)，∵∠MCN′＝∠BCA，∴△CMN′∽△CBA，∴∠CMN′＝∠CBA＝90°，∵∠N′CM＝45°，∴△N′CM為等腰直角三角形，∴MN′＝CM＝2，即PM－PN的最大值為2.第7題解圖8.解：如解圖，連接PA，則PA＝PB，當(dāng)x＝0時，y＝x2－2x－8＝－8，則C(0，－8)，當(dāng)y＝0時，x2－2x－8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，則A(－2，0)，B(4，0)，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴|PB－PC|＝|PA－PC|≤AC(當(dāng)點A、C、P共線時取等號)，延長AC交直線x＝1于點P′，設(shè)直線AC的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，把A(－2，0)，C(0，－8)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2m＋n＝0,n＝－8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4,n＝－8))，∴直線AC的解析式為y＝－4x－8，當(dāng)x＝1時，y＝－4－8＝－12，即P′(1，－12)，∴當(dāng)|PB－PC|有最大值時，點P的坐標(biāo)為(1，－12)．第8題解圖9.eq\f(24,5)【解析】如解圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根據(jù)垂線段最短可知，此時PC＋PQ有最小值，即為CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CM＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CM＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(6×8,10)＝eq\f(24,5).第9題解圖10.3eq\r(3)【解析】如解圖，過點A作CD的垂線，垂足為N，與DB的交點記為M，∵四邊形ABCD為菱形，∴點A與點C關(guān)于對角線BD對稱，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN＝AN，根據(jù)垂線段最短可知，此時CM＋MN有最小值，最小值為AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝3eq\r(3)，∴CM＋MN的最小值為3eq\r(3).第10題解圖11.90°【解析】如解圖，作D關(guān)于AC的對稱點D′，關(guān)于BC的對稱點D″，連接D′D″交AC于點E，交BC于點F，此時，△DEF的周長最小，最小為D′D″，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11題解圖12.4【解析】如解圖，作點D關(guān)于直線AC的對稱點D′，點D關(guān)于直線AB的對稱點D″，連接D′D″交AC于點E，交AB于點F，此時△DEF的周長最小，最小值為D′D″的長，連接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等邊三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周長的最小值為4.第12題解圖13.10【解析】如解圖，過點P作PF⊥b交a于點E，交b于點F，在PF上截取PC＝4，連接QC交b于點B，過點B作BA⊥a于點A，此時PA＋AB＋BQ最短．過點Q作QD⊥PF于點D.在Rt△PQD中，∵