高中數(shù)學 人教A版 選修一 空間向量基本定理 教學設計

安徽省2022年優(yōu)質(zhì)課

評比之團體賽

普通高中教科書人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何

1.2空間向量基本定理

（第一課時）

教

學

設

計

授課人：安徽省無為中學魯賢龍

錄

第一部分：單元教學設計

一、單元內(nèi)容及其解析................................................1

二、單元目標及其解析...............................................2

三、單元教學問題診斷分析...........................................2

四、單元教學支持條件分析...........................................3

第二部分：課時教學設計

一、教學內(nèi)容........................................................3

二、教學目標........................................................3

三、教學重點與難點..................................................4

四、教學過程設計....................................................4

（一）創(chuàng)設情境，提出問題...........................................4

（二）觀察實驗，得出猜想...........................................4

（三）類比推理，得出結論...........................................6

（四）例題教學，鞏固理解...........................................7

（五）當堂檢測，檢驗效果...........................................8

（六）小結提升，形成結構...........................................8

（七）布置作業(yè)，應用遷移...........................................9

五、板書設計........................................................9

六、目標檢測設計...................................................10

七、教學設計說明...................................................10

1.2空間向量基本定理（1課時，單元教學設計）

安徽省無為中學魯賢龍

單元學習基本信息

學科數(shù)學實施年級高二

使用教材版本人民教育出版社A版2019年選擇性必修第一冊

單元主題名稱空間向量基本定理

單元課時2課時

一、單元內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容

空間向量的正交分解和空間向量基本定理及其應用，知識結構圖如下:

本單元建議用2課時：第1課時，空間向量基本定理；第2課時，空間向量基本定理的應

用.

2.內(nèi)容解析

本單元的主要內(nèi)容是空間向量基本定理.空間向量基本定理是立體幾何問題代數(shù)化的

基礎.我們通過選定一組三維基底，將空間內(nèi)的任意向量表示為這組基底的一個線性組合.

因為這種表示具有唯一確定性，所以這里實際上建立了空間向量與三維有序?qū)崝?shù)組的一一對

應.如果在空間直角坐標系中取一組單位正交基底{i,j,k},使i,j,左的大小、方

向分別與空間直角坐標系的x軸、y軸、z軸的長度單位、方向一致，那么就可以用空間直

角坐標系中的坐標表示空間向量.利用空間向量的坐標表示，就可以徹底實現(xiàn)通過代數(shù)運算

解決幾何問題的目標.所以，本單元是后續(xù)空間向量及其運算的坐標表示的基礎.

因為空間向量基本定理和平面向量基本定理在形式和內(nèi)容上的高度一致性，所以可以通

過類比平面向量基本定理研究空間向量基本定理,將定理從二維推廣到三維.空間向量基本

定理是空間向量與立體幾何之間的橋梁.這個定理表明，任意空間向量都可以用三個不共面

的基向量表示，空間結構變得簡單明了.這樣就可以將空間內(nèi)所有向量的運算問題轉(zhuǎn)化為基

底的運算問題.

本單元內(nèi)容蘊含著豐富的數(shù)學思想，如轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合思想等，體現(xiàn)了數(shù)學地思

考問題的方法有以簡馭繁和類比等，這有助于引導學生認識運算的價值，發(fā)展直觀想象、數(shù)

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學運算、邏輯推理等素養(yǎng).

基于以上分析，確定本單元的教學重點：空間向量基本定理及其應用.

二、單元目標及其解析

1.目標

（1）掌握空間向量的正交分解.

（2）了解空間向量基本定理及其意義.

（3）能運用空間向量基本定理解決一些立體幾何問題.

2.目標解析

達成上述目標的標志是：

（1）能類比平面向量基本定理的研究過程，探究并證明空間向量基本定理；能用三個

不共面的向量表示空間中任意一個向量，或?qū)⒁粋€空間向量分解為三個不共面向量；能解釋

定理中的關鍵詞“任一向量”“有且只有”.

（2）能類比平面向量的正交分解研究空間向量的正交分解，會舉出正交分解的實例，

能分析空間向量正交分解與空間向量基本定理的內(nèi)在聯(lián)系，會用單位正交基底表示所給向

量.

（3）能根據(jù)問題背景恰當選擇基底表示相關向量，能運用空間向量基本定理解決一些

立體幾何問題.

（4）能在探究空間向量基本定理和利用空間向量基本定理解決一些立體幾何問題的過

程中，感悟聯(lián)系的觀點和類比的方法，體會類比、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想.

三、單元教學問題診斷分析

本單元的認識基礎有如下幾個方面：

首先，平面向量基本定理的學習為探究空間向量基本定理奠定了基礎.平面中的兩個不

共線向量就是二維向量空間的一個基底，空間中的三個不共面向量就是三維向量空間的一個

基底.從共線向量定理到平面向量基本定理再到空間向量基本定理,它們所體現(xiàn)的數(shù)學思想、

研究和認識問題的方法是一脈相承的.

其次，在平面向量單元的學習中，學生已經(jīng)學會用向量法解決幾何問題的基本思路，這

為我們利用空間向量解決一些立體幾何問題打下了基礎，提供了可借鑒的研究方法和思路，

可以引導學生進一步體會用向量語言、向量方法表述和解決立體幾何問題的簡捷性.

本單元的學習中，學生可能存在如下一些問題：

（1）平面向量基本定理揭示的是平面上的向量之間的關系，單位正交基底下對應的是

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直角坐標系中點的坐標問題，學生相對比較熟悉.隨著維數(shù)的增加，問題更加復雜，特別是

向量的分解從平行四邊形上升到平行六面體，對空間想象力的要求高，會給學生造成一定的

困難.為此，教學中除了要引導學生利用兩次平面向量正交分解得到空間向量的正交分解外,

還要注意提醒學生發(fā)現(xiàn)向量分解從平面向空間的推廣過程中，維數(shù)的改變引起分解結果形式

的變化.

(2)學生對空間向量基本定理中的“任意性”和“唯一性”的理解仍是一大難點，教

學中既要利用信息技術動態(tài)演示，使學生形成直觀感受，又要設計恰當問題讓學生體會“反

證法”這一特殊的證明方法，引導學生根據(jù)具體條件進行邏輯表達和轉(zhuǎn)換，為后續(xù)“唯一性”

的證明做好鋪墊，同時也要引導學生回顧平面向量基本定理中“唯一性”的證明過程，從而

較為自然地給出嚴格證明.

(3)由于學生空間想象能力的不同，對立體圖形基本元素及其基本關系的把握上也有

所差異，而在利用空間向量基本定理解決立體幾何問題時，恰當?shù)幕走x擇非常重要，這依

賴于學生有較好的空間想象能力,這對學生而言存在著一定的困難,也是本單元的一個難點，

教學時要注意引導學生從幾何圖形的組成元素及其基本關系上加強分析.

本單元的教學難點為：空間向量基本定理“唯一性”的證明，基底的恰當選擇.

四、單元教學支持條件分析

在利用基底對空間向量進行分解時，借助動態(tài)幾何軟件呈現(xiàn)不同“回路”的分解過程，

幫助學生觀察“變化中的不變性”，從而培養(yǎng)學生對空間圖形基本元素及結構的整體把握能

力.

五、課時教學設計

第1課時空間向量基本定理

(-)教學內(nèi)容

空間向量的正交分解；空間向量基本定理及其證明.

(-)教學目標

(1)能類比平面向量基本定理的研究過程，探究并證明空間向量基本定理，能用三個

不共面的向量表示空間中任意一個向量，或?qū)⒁粋€空間向量分解為三個不共面的向量；能解

釋定理中的關鍵詞“任一向量"''有且只有”.

(2)能類比平面向量的正交分解研究空間向量的正交分解，會舉出正交分解的實例，

能分析空間向量正交分解與空間向量基本定理的內(nèi)在聯(lián)系，會用單位正交基底表示所給向

量.

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(=)教學重點與難點

重點：空間向量基本定理，定理的猜想和證明過程.

難點：空間向量基本定理“唯一性”的證明.

(四)教學過程設計

1.創(chuàng)設情境，提出問題

引導語：同學們好！在前兩節(jié)課的學習中，我們類比平面向量，給出空間向量的概念及

其運算法則、運算律.本節(jié)課，我們將在前兩節(jié)課學習的基礎之上，類比平面向量基本定理

研究空間向量基本定理.

問題1：平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

師生活動：學生回憶平面向量基本定理的大致內(nèi)容，教師展示定理內(nèi)容.

平面向量基本定理：如果4，02是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面

內(nèi)的任一向量。，有且只有一對實數(shù)4，4,使a=44+462.

若e2不共線，我們把｛勺，e?卜叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

師生活動：教師演示Geogebra軟件動畫，學生觀察、回憶、交流、思考，類比平面向量

基本定理的研究過程進行.

由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)長方形的對角線所對應的向量，可以用從同一個頂點

出發(fā)的兩條鄰邊所對應的向量表示.類似地，空間中長方體的體對角線所對應的向量能否用

從同一個頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量來表示呢？

【設計意圖】通過Geogebra的演示，讓學生引起認知沖突，激發(fā)學生的求知欲，同時

也能培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，感受引入空間向量基本定理的必要性.引導學生

學會用數(shù)學的眼觀觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界，充分體現(xiàn)數(shù)

學教學的育人功能.

2.觀察實驗，得出猜想

上面我們猜想：用三個兩兩垂直的向量可以表示空間中的任意一個向量.

問題2：設i,j,4是空間中三個兩兩垂直的向量，對于任意一個空間向量P，如何

用它們表示？---------------2―P------------

師生活動：學生作圖觀察、獨立思考后，交流得出：%_

通過進行兩次平面向量的正交分解得到，教師利用信息”

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技術手段演示并幫助小結.

證明：根據(jù)向量的自由性，如圖所示，設表示向量i,j,k,p的有向線段有公共起

點0.對于任意一個空間向量p=OP,設。。為。尸在i,j所確定的平面上的投影向量，

則OP=OQ+QP.又向量。尸，左共線，因此存在唯一的實數(shù)z,使得QP=zA,從而

OP=0Q+zk.

而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(x,y),

使得OQ=xi+yj.從而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.

因此，如果i,j,左是空間中三個兩兩垂直的向量，那么對任意一個空間向量p,存

在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xi+W+zA.

我們稱立，yj,z4分別為向量p在i,j,A上的分向量.

教師補充：我們把上述空間向量的分解形式稱為正交分解，可以看出空間向量的正交分

解與平面向的正交分解類似，區(qū)別僅在于基底多了一個向量，從而分解結果中也多了一“項”.

追問1：這種表示方式“唯一”嗎？如何嚴格論證？

師生活動：學生通過回顧、思考、發(fā)言交流得出：類比平面向量基本定理中“唯一性”

的證明，我們可以依據(jù)向量共面定理，同樣采用反證法來證明“唯一性”.

證明：假設除(x，y，z)外，還存在有序?qū)崝?shù)組(x,y；z),使得p=xi+yj+z'A,

貝?。萦萯+yj+zk=xi+yj+zk.

不妨設X'HX,貝Ij(x-x)i=(y-y')j+(z-z')A.

兩邊同除以x—x,得i=2二'/+3二2A.

X-xX-x

由平面向量基本定理可知，i,j,左共面，這與己知矛盾.所以有序?qū)崝?shù)組(x,y,Z)

是唯一的.

追問2：對于任意一個空間向量p在上述i,j,左方向上的分解，還有其他的作圖方

式嗎？

師生活動：教師讓學生思考、動手實驗、觀察、感受.通過作圖發(fā)現(xiàn)：p在i，j,左方

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向上的分解圖形為確定的長方體模型，線段0P為長方體的體對角線.

追問3：如果此時幾何體由長方體變成平行六面體，你又能得出什么猜想？

問題3：如果給定三個不共面的向量a,b,c不是兩兩垂直的，任意一個空間向量還

能用它們的線性運算表示嗎？

師生活動：學生思考、分組交流，教師引導整理.可以看到，此時證明與問題2的區(qū)別

在于把兩兩垂直的三個基向量換成了一般的三個不共面向量.學生經(jīng)過思考得出，可以模仿

問題2的證明.

從而QP=CM+OB+OC=xOA+yOB+zOC,所以p=xa+）力+zc.

類似于上面空間向量的正交分解中對唯一性的證明，可以證明這個表達式是唯一的.

（教師利用信息技術手段演示平行六面體模型）

追問1：當向量p與其中一個向量共線時，結論成立嗎？

追問2：當向量p與其中兩個向量共面時，結論還成立嗎？

追問3：當向量p=0時，此時會出現(xiàn)什么結果？

師生活動：學生思考得出，任意向量p都可以這樣表示，只不過此時某些系數(shù)為0.

【設計意圖】引導學生自主探究，得出猜想，如果把三個不共面的向量作為空間的一

個基底，那么所有空間向量都可以用三個基向量表示出來.進一步地，所有空間向量間的運

算都可以轉(zhuǎn)化為基向量間的運算，這為解決問題帶來了方便.“唯一性”的證明是本節(jié)課的

難點，通過回憶平面向量基本定理“唯一性”證明作鋪墊，突破這一難點也就水到渠成了.

3.類比推理，得出結論

問題4：類比平面向量基本定理的表述，你能寫出空間向量基本定理嗎？

師生活動：學生逐一對于平面向量基本定理的內(nèi)容，用自己的語言描述空間向量基本定

理，教師補充，規(guī)范書寫.

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平面向量基本定理：如果4，02是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面

內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)4，4，使a=4eI+%e2.

若4，e?不共線，我們把｛q,e?｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

空間向量基本定理：如果三個向量a，b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存

在唯一有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=M+y)+zc.(教師板書)

我們把｛a,b,c｝叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.

問題5：基底的選擇有什么要求？

追問1：基底與基向量有什么聯(lián)系與區(qū)別？

追問2：0能作為基向量嗎？

師生活動：學生思考后得出，由定理可知，不共面的三個向量都可以表示空間中的任一

向量，而這三個向量就是一個基底，所以基底是不唯一的.特別地，如果空間的一個基底中

的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底，常用｛i,j,k]

表示.由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量p,均可分解成三個向量加，yj,

zk,使p=xi+歷+zA.

【設計意圖】平面向量基本定理是空間向量基本定理的“先行組織者“，通過回憶和類

比，有助于學生在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題的基礎上采用恰當?shù)臄?shù)學語言、符號對問題作進一步的抽象，

將問題數(shù)學地表征出來.

4.例題教學，鞏固理解

例1如圖，M是四面體。45c的棱的中點，點N在線段上，點P在線段

13

AN上，且MN=-ON,AP=-AN,用向量。4,OB,0C表示。P.

24

師生活動：我們從圖形中觀察到OA,OB,0C是三個不共面的向量，/1\\

它們構成空間的一個基底｛。4,。8,。。｝,0P可以用基底>y：Aiy>

[OA,OB,。。｝唯一表示出來.學生先確定向量0P所在的一個“回路”

圖形，再由空間向量的線性運算得到其中的一個解法如下：

解：OP=QA+AP=Q4+』A7V

4

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13-31311

^-OA+-ON--OA^-OA+-(-OB+-OC)

4444433

-OA+-OB+-OC.

444

【設計意圖】例1是用三個不共面的向量表示一個具體的空間向量的例子，目的是加

深學生對空間向量基本定理的理解.教學時要注意引導學生結合已知和所求、觀察圖形結構,

通過空間向量基本定理、向量線性運算等，將所要表示的向量用題目所給三個不共面向量以

線性組合的方式表示出來.

5.當堂檢測，檢驗效果

1.已知O,A,B,C為空間的四個點，且向量。4,08,0。不構成空間的一個基

底，那么點0,A,B,。是否共面?

【設計意圖】檢測學生對空間向量基本定理中基底的理解程度，考察邏輯推理能力.

2.如圖，已知平行六面體0ABeO'ARC',點G是側(cè)面BBCC的中心，且

0A—a,0C=b,OO-c.%

（1）｛a,b,c｝是否構成空間的一個基底？&

⑵如果｛a,b,c｝構成空間的一個基底，那么用它表示下列向￡------

量：OB,BA,CA,0G.

【設計意圖】檢測學生根據(jù)空間向量基本定理，用空間基底表示任意空間向量的達成

情況.

6.小結提升，形成結構

問題6：回顧空間向量基本定理的探究過程，回答下列問題：

（1）請結合空間向量基本定理和平面向量基本定理的聯(lián)系和區(qū)別填寫下表.

（2）空間向量基本定理的主要作用是什么？

（3）探索、證明空間向量基本定理，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？用到了哪些數(shù)學思想和

方法？

師生活動：由學生獨立思考后進行小組討論，然后各小組派代表進行全班交流，教師適

時點撥總結.

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定理及維度二維三維

平面向量基本定理空間向量基本定理

分類

表述形式

a—+4^2p=xa+yb+zc

基向量個數(shù)23

基向量要求q,Q不共線a,b,c不共面

對于實數(shù)（對、組）（4,4）（X，y，z）

【設計意圖】（1）利用表格形式類比平面向量基本定理與空間向量基本定理，有助于學

生比較和理解二者的聯(lián)系與區(qū)別.

（2）由空間向量基本定理可知，如果把三個共面的向量作為空間的一個基底，那么所

有空間向量都可以用三個基向量表示出來.進一步地，所有空間向量間地運算都可以轉(zhuǎn)化為

基向量間地運算，這為解決問題帶來了方便.

（3）對于空間向量基本定理的證明，我們先從“作正投影”開始，先在特殊情景（空

間直角坐標系）下給予證明，然后再推廣到“一般情形”（任意基底），最后再回歸到單位正

交基底，是一種“特殊T一般T特殊”的思維過程.在這一過程中運用了數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化與

化歸、類比等數(shù)學思想方法.

7.布置作業(yè)，應用遷移

必做題：教科書習題1.2第3、4題.

選做題：查閱相關資料，了解有關空間向量基本定理的數(shù)學史，并在全班交流匯報.

【設計意圖】第1題可以鞏固空間向量基本定理及其正交分解，第2題可以激發(fā)學生

學習的興趣，提高動手操作能力.

8.板書設計

1.2空間向量基本定理（第一課時）

1.空間向量基本定理多媒體演示區(qū)3.研究路徑

定理唯一性的證明

2.基底、基向量4.

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（五）目標檢測設計

1.（多選題）若向量｛a，b,c｝構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）

A.a+b.a-b.a+2bB.a-b,a+c,b+c

C.a-b,c,a+b+cD.a-2b,b+c,a+c-b

2.已知｛a,b,c｝是空間一個基底，p=a+byq=a-b，一定可以與向量p,q構成空

間另一個基底的是（）?

A.aB.bC.cD.lp_2q/Il'K

3.如圖，在四面體。鉆C中，點M在棱?！鄙?，且滿足OM=2M4,

點N,G分別是線段BC,MN的中點，則用向量。4,0B,。。表

13

示向量0G應為（）

1—1一1一1