適用于新教材強(qiáng)基版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布必刷小題19計(jì)數(shù)原理與概率新人教A版

必刷小題19計(jì)數(shù)原理與概率一、單項(xiàng)選擇題1．某市場(chǎng)一攤位的賣菜員發(fā)現(xiàn)顧客來(lái)此攤位買菜后選擇只用現(xiàn)金支付的概率為0.2，選擇既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付的概率為0.1，且買菜后無(wú)賒賬行為，則選擇只用非現(xiàn)金支付的概率為()A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8答案C解析設(shè)事件A為“只用現(xiàn)金支付”，事件B為“只用非現(xiàn)金支付”，事件C為“既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付”，事件D為“買菜后支付”，則P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因?yàn)镻(A)＝0.2，P(C)＝0.1，所以P(B)＝0.7.2．從1,2,4,6這四個(gè)數(shù)字中隨機(jī)地抽取兩個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，則組成的兩位數(shù)是4的倍數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)答案A解析組成的所有兩位數(shù)有12,14,16,21,24,26,41,42,46,61,62,64，共12個(gè)，其中是4的倍數(shù)的兩位數(shù)有12,16,24,64，共4個(gè)，所以所求概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).3．飛沫傳播是呼吸系統(tǒng)疾病傳播的主要途徑，已知患者通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為eq\f(2,3)，假設(shè)甲、乙兩患者是否通過(guò)飛沫傳播被感染相互獨(dú)立，則甲、乙兩患者至少有一人是通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(11,12)C.eq\f(3,4)D.eq\f(8,9)答案D解析∵患者通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為eq\f(2,3)，∴患者不是通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為eq\f(1,3)，∴甲、乙兩患者都不是通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，故甲、乙兩患者至少有一人是通過(guò)飛沫傳播被感染的概率為1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).4．(2022·新余模擬)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,x)))n的展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A．90B．135C．－90D．－135答案B解析在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,x)))n的展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則2n＝64，解得n＝6，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,x)))6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(3x2)6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝(－1)k36－kCeq\o\al(k,6)x12－3k，令12－3k＝0，解得k＝4，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為(－1)436－4Ceq\o\al(4,6)＝135.5．從1,2,3,4,5中不放回地抽取2個(gè)數(shù)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3,4)答案D解析設(shè)事件Ai為“第i次抽到偶數(shù)”，i＝1,2，則P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))＝eq\f(2,5)，P(A1eq\x\to(A)2)＝eq\f(2,5)×eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)的概率為P(eq\x\to(A)2|A1)＝eq\f(PA1\x\to(A)2,PA1)＝eq\f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq\f(3,4).6．(2023·大慶模擬)重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”．它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度．其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖(同一類格子形狀相同)：“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱可以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物(足夠量)，其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物(不考慮位置)，則不同的放法種數(shù)為()A．108B．36C．9D．6答案C解析根據(jù)題意，6種不同食物中，有1種適合放入中間格，則中間格有1種放法，十字格有四個(gè)位置，有3種適合放入十字格，所以有一種放兩個(gè)位置，共有3種放法，四角格有4個(gè)位置，有2種適合放入四角格，可分為一種放三個(gè)位置，一種放一個(gè)位置，有兩種放法，或每種均放兩個(gè)位置，有一種放法，則四角格有3種放法，則有1×3×3＝9(種)不同放法．7．小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字．如圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個(gè)數(shù)字．比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃氡砀裰?沒(méi)有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”)，那么最多可以表示無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．8B．12C．16D．20答案D解析由題意，可以用2根火柴棒表示數(shù)字1；3根火柴棒表示數(shù)字7；4根火柴棒表示數(shù)字4；5根火柴棒表示數(shù)字2,3,5；6根火柴棒表示數(shù)字6,9；7根火柴棒表示數(shù)字8.數(shù)字不重復(fù)，因此8根火柴棒只能分成兩組：2和6,3和5，組成兩個(gè)數(shù)字，還有一個(gè)數(shù)字只能為0，這樣組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝20.8．西安是世界四大古都之一，歷史上先后有十多個(gè)王朝在西安建都．圖為唐長(zhǎng)安城(西安古稱)示意圖，城中南北向共有9條街道，東西向有12條街道，被稱為“九衢十二條”，整齊的街道把唐長(zhǎng)安城劃分成了108坊，各坊有坊墻包圍．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．從延平門進(jìn)城到安化門出城，最近的不同路線共有15條B．甲、乙兩人從安化門、明德門、啟夏門這三個(gè)城門中隨機(jī)選一城門進(jìn)城，若兩人的選擇互不影響，則兩人從同一城門進(jìn)城的概率為eq\f(1,3)C．用四種不同的顏色給長(zhǎng)樂(lè)、永福、大寧、興寧四坊染色(街道忽略)，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，共有60種不同的染色方法D．若將街道看成直線，則圖中矩形ABCD區(qū)域中共有不同矩形150個(gè)答案C解析A項(xiàng)，如圖1所示，從延平門到安化門，最近的路線是從圖1中點(diǎn)M到點(diǎn)N，只能橫向往右走縱向往下走，所以共有Ceq\o\al(2,6)＝15(條)，故A正確；B項(xiàng)，甲、乙兩人從安化門、明德門、啟夏門這三個(gè)城門中隨機(jī)選一城門進(jìn)城，因?yàn)閮扇说倪x擇互不影響，所以兩人進(jìn)城共有9種不同的情況，兩人從相同城門進(jìn)城有3種情況，所以兩人從同一城門進(jìn)城的概率為eq\f(1,3)，故B正確；C項(xiàng)，如圖2所示，用四種不同的顏色給長(zhǎng)樂(lè)、永福、大寧、興寧四坊染色，若四個(gè)位置顏色各不相同，則有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)染色方法，若1與4顏色相同，則有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)染色方法，若2與3顏色相同，則有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)染色方法，若1與4顏色相同且2與3顏色相同，則有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)染色方法，綜上，共有84種染色方法，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，若將街道看成直線，則在矩形ABCD區(qū)域網(wǎng)格的5條橫線中任取兩條，6條豎線中任取兩條，即可圍出一個(gè)矩形，所以共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,6)＝150(個(gè))不同的矩形，故D正確．二、多項(xiàng)選擇題9．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)，設(shè)事件M＝“第一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件N＝“第二枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則()A．M與N互斥B．P(M)＝eq\f(1,2)C．M與N相互獨(dú)立D．P(M∪N)＝eq\f(1,4)答案BC解析對(duì)于A，事件M與N是可能同時(shí)發(fā)生的，故M與N不互斥，故A不正確；對(duì)于B，P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，故B正確；對(duì)于C，事件M發(fā)生與否對(duì)事件N發(fā)生的概率沒(méi)有影響，M與N相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，事件M發(fā)生的概率為P(M)＝eq\f(1,2)，事件N發(fā)生的概率為P(N)＝eq\f(1,2)，P(M∪N)＝1－P(eq\x\to(M))P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故D不正確．10．已知(x－3)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a8(x－2)8，則下列結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)0＝1B．a(chǎn)6＝－28C.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a8,28)＝－eq\f(255,256)D．a(chǎn)0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128答案ACD解析對(duì)于A，取x＝2，得a0＝1，A正確；對(duì)于B，(x－3)8＝[－1＋(x－2)]8展開(kāi)式中第7項(xiàng)為Ceq\o\al(6,8)(－1)2(x－2)6＝28(x－2)6，即a6＝28，B不正確；對(duì)于C，取x＝eq\f(5,2)，得a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a8,28)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－3))8＝eq\f(1,256)，則eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a8,28)＝eq\f(1,256)－a0＝－eq\f(255,256)，C正確；對(duì)于D，取x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，取x＝1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝(－2)8＝256，兩式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，D正確．11．假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有3個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，則下列說(shuō)法正確的是()A．事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)女孩”和事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)男孩”是互斥事件B．事件“該家庭3個(gè)小孩都是男孩”和事件“該家庭3個(gè)小孩都是女孩”是對(duì)立事件C．該家庭3個(gè)小孩中只有1個(gè)男孩的概率為eq\f(3,8)D．當(dāng)已知該家庭3個(gè)小孩中有男孩的條件下，3個(gè)小孩中至少有2個(gè)男孩的概率為eq\f(4,7)答案CD解析對(duì)于A，事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)女孩”和事件“該家庭3個(gè)小孩中至少有1個(gè)男孩”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件“該家庭3個(gè)小孩都是男孩”和事件“該家庭3個(gè)小孩都是女孩”不能同時(shí)發(fā)生，能同時(shí)不發(fā)生，是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有3個(gè)小孩的家庭包含的樣本點(diǎn)有8個(gè)，分別為(男男男)，(男男女)，(男女男)，(女男男)，(男女女)，(女男女)，(女女男)，(女女女)，該家庭3個(gè)小孩中只有1個(gè)男孩包含的樣本點(diǎn)有3個(gè)，故該家庭3個(gè)小孩中只有1個(gè)男孩的概率為P＝eq\f(3,8)，故C正確；對(duì)于D，已知該家庭3個(gè)小孩中有男孩的條件下，樣本點(diǎn)有7個(gè)，分別為(男男男)，(男男女)，(男女男)，(女男男)，(男女女)，(女男女)，(女女男)，3個(gè)小孩中至少有2個(gè)男孩包含的樣本點(diǎn)有4個(gè)，故3個(gè)小孩中至少有2個(gè)男孩的概率為eq\f(4,7)，故D正確．12．(2023·合肥質(zhì)檢)有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件．第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1,2,3臺(tái)車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%，則下列選項(xiàng)正確的有()A．任取一個(gè)零件是第1臺(tái)生產(chǎn)出來(lái)的次品概率為0.06B．任取一個(gè)零件是次品的概率為0.0525C．任取一個(gè)零件是次品，則它是第2臺(tái)車床加工的概率為eq\f(2,7)D．任取一個(gè)零件是次品，則它是第3臺(tái)車床加工的概率為eq\f(2,7)答案BC解析記Ai為事件“零件為第i(i＝1,2,3)臺(tái)車床加工”，記B為事件“任取一個(gè)零件為次品”，則P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，對(duì)于A，即P(A1B)＝P(A1)·P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525，B正確；對(duì)于C，P(A2|B)＝eq\f(PA2·PB|A2,PB)＝eq\f(0.3×0.05,0.0525)＝eq\f(2,7)，C正確；對(duì)于D，P(A3|B)＝eq\f(PA3·PB|A3,PB)＝eq\f(0.45×0.05,0.0525)＝eq\f(3,7)，D錯(cuò)誤．三、填空題13．盒子中裝有編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是________．答案eq\f(9,10)解析從編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)球中任取兩個(gè)球的所有樣本點(diǎn)為(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10個(gè)，其中兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共9個(gè)，故所求概率為P＝eq\f(9,10).14．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)－\f(2,\r(x))))6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)_______．答案－eq\f(3,8)解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)))6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,6)·(－1)k·22k－6x3－k，令3－k＝2，得k＝1，所以x2的系數(shù)為Ceq\o\al(1,6)×(－1)×2－4＝－eq\f(3,8).15．(2023·長(zhǎng)春模擬)將A，B，C，D，E這5名學(xué)生從左至右排成一排，則滿足“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名學(xué)生”的不同排列方法有________種．答案20解析根據(jù)題意，分2種情況討論：①當(dāng)A，C之間為B時(shí)，排列方法為Aeq\o\al(2,2)Ae