2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)正態(tài)分布

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)正態(tài)分布01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】了解正態(tài)分布在實(shí)際生活中的意義；掌握正態(tài)密度曲線

的特征；會(huì)求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率；能用正態(tài)分布在區(qū)間上

的概率解決簡單的實(shí)際問題.【考情概述】正態(tài)分布是一種重要的概率分布，屬于高考中的新增考

點(diǎn)，也是新的熱點(diǎn)，難度不大，常與其他知識(shí)交匯考查，體現(xiàn)實(shí)際應(yīng)用

價(jià)值.

知識(shí)梳理1.正態(tài)曲線

上方x

＝μ

③

曲線在

處達(dá)到峰值

?.④

當(dāng)｜

x

｜無限增大時(shí)，曲線無限接近

?.⑤

曲線與

x

軸之間的面積為

?.⑥

當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著

的變化而沿

x

軸平移.⑦

當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ

，曲線越“瘦高”，表

示總體的分布越集中；σ

，曲線越“矮胖”，表示總體的分布

越分散.x

＝μ

x

軸1

μ

越小越大

X

～

N

（μ，σ2）均值標(biāo)準(zhǔn)差μ－σ

μ＋σ

μ－2σ

μ＋2σ

μ－3σ

μ＋3σ

回歸課本1.判斷：（1）

（RA選三P85思考改編）因?yàn)檎龖B(tài)曲線的形狀都是相似的，所以

它的形狀與參數(shù)μ和σ無關(guān).

（

?

）（2）

（RA選三P84定義改編）由于正態(tài)密度曲線與

x

軸不相交，且向

兩邊無限延伸，所以曲線與

x

軸之間的面積大于1.

（

?

）（3）

（RA選三P86性質(zhì)改編）若

X

～

N

（μ，σ2），則

P

（μ－σ＜

X

≤μ＋σ）＞

P

（μ－σ＜

X

＜μ＋σ）.

（

?

）（4）

（RA選三P86性質(zhì)改編）已知

X

～

N

（μ，σ2），若

P

（

X

＜

a

）

＝

P

（

X

＞

b

），則

a

＋

b

＝2μ.

（

√

）???√2.（RA選三教參P128本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試題第4題）設(shè)隨機(jī)變量

X

～

N

（2，σ2），

P

（0≤

X

＜4）＝0.3，則

P

（

X

＜0）的值為（

C

）A.0.65B.0.70C.0.35D.0.253.（RA選三P87習(xí)題7.5第2題改編）若隨機(jī)變量

X

～

N

（0，22），

Y

～

N

（0，32），記

a

＝

P

（｜

X

｜≤1），

b

＝

P

（｜

Y

｜≤1），則

a

，

b

的大小關(guān)系是（

C

）A.

a

＜

b

B.

a

＝

b

C.

a

＞

b

D.無法比較CC4.（多選）（RA選三P85性質(zhì)改編）下列說法正確的是（

ABD

）C.若

X

～

N

（μ，σ2），則

P

（

X

≤

a

）隨

a

的增大先增大后減小D.若

X

～

N

（μ，σ2），

a

＞0，則

P

（μ＜

X

≤μ＋

a

）隨著σ的增大而減

小ABD5.（RA選三教參P129本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試題第8題）某學(xué)校高三年級(jí)數(shù)學(xué)

學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)考試成績

X

～

N

（80，25），如果規(guī)定成績大于或等于85

分為A等，那么在參加考試的學(xué)生中隨機(jī)選擇一名，他的成績?yōu)锳等的

概率是

?.0.15865

A.10，8B.10，2C.8，10D.2，10B

（2）

某項(xiàng)調(diào)查結(jié)果的正態(tài)曲線如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得

P

（｜

X

－47｜≤27）的值約為（參考數(shù)據(jù)：

P

（｜

X

－μ｜≤σ）≈0.6827，

P

（｜

X

－μ｜≤2σ）≈0.9545，

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973）

（

A

）AA.0.9973B.0.9638C.0.8819D.0.9936解：由題圖可知，σ＝9，μ＝47，所以

P

（｜

X

－47｜≤27）＝

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973.

A.

X

～

N

（

b

，

a

）B.

X

～

N

（2

a

，

a

2）C.

f

（

a

）＝

g

（2

a

）D.

f

（2

a

）＋

g

（2

a

）＝

f

（

a

）＋

g

（

a

）BCD[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

A

A.

P

（

Y

≥μ2）≥

P

（

Y

≥μ1）B.

P

（

X

≤σ2）≤

P

（

X

≤σ1）C.函數(shù)

F

（

t

）＝

P

（

X

＞

t

）在R上單調(diào)遞增D.

P

（μ1－2σ1＜

X

＜μ1＋2σ1）＝

P

（μ2－2σ2＜

Y

＜μ2＋2σ2）D解：由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，得

X

，

Y

的正態(tài)密度曲線分別關(guān)于直線

x

＝μ1，

x

＝μ2對(duì)稱.由題圖，得μ1＜μ2，所以

P

（

Y

≥μ2）＜

P

（

Y

≥μ1）.故A錯(cuò)誤.由題圖，得

X

的正態(tài)密度曲線較

Y

的正態(tài)密度曲線“瘦

高”，所以0＜σ1＜σ2.所以

P

（

X

≤σ2）＞

P

（

X

≤σ1）.故B錯(cuò)誤.由題

圖，得函數(shù)

F

（

t

）＝

P

（

X

＞

t

）在R上單調(diào)遞減.故C錯(cuò)誤.根據(jù)3σ原則

可知，

P

（μ1－2σ1＜

X

＜μ1＋2σ1）＝

P

（μ2－2σ2＜

Y

＜μ2＋2σ2）.故D

正確.（3）

（多選）設(shè)隨機(jī)變量

X

～

N

（0，1），

f

（

x

）＝

P

（

X

≤

x

），

其中

x

＞0，則下列結(jié)論正確的是（

ACD

）A.

f

（－

x

）＝1－

f

（

x

）B.

f

（2

x

）＝2

f

（

x

）C.

f

（

x

）在（0，＋∞）上是增函數(shù)D.

P

（｜

X

｜≤

x

）＝2

f

（

x

）－1ACD解：因?yàn)殡S機(jī)變量

X

服從正態(tài)分布

N

（0，1），所以正態(tài)曲線關(guān)于直線

x

＝0對(duì)稱.因?yàn)?/p>

f

（

x

）＝

P

（

X

≤

x

），所以

f

（－

x

）＝

P

（

X

≤－

x

）＝

P

（

X

≥

x

）＝1－

f

（

x

）.故A正確.因?yàn)楫?dāng)

x

＝1時(shí)，

f

（1）＝

P

（

X

≤1）＞0.5，所以2

f

（1）＞1.又因?yàn)?/p>

f

（2）＜1，所以

f

（2）≠2

f

（1），即

f

（2

x

）＝2

f

（

x

）不成立.故B錯(cuò)誤.結(jié)合正態(tài)曲線的性質(zhì)，

易得

f

（

x

）在（0，＋∞）上是增函數(shù).故C正確.

P

（｜

X

｜≤

x

）＝

P

（－

x

≤

X

≤

x

）＝1－2

f

（－

x

）＝1－2[1－

f

（

x

）]＝2

f

（

x

）－1.故

D正確.

ACD[變式演練]A.

Y

的數(shù)據(jù)較

X

的更集中C.

P

（

X

≤

c

）＜

P

（

Y

≤

c

）D.

P

（

X

＞

c

）＋

P

（

Y

≤

c

）＞1

（2）

假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，求

P

（54≤

Z

≤85.5）；

②

若

X

～

N

（μ，σ2），則

P

（｜

X

－μ｜≤σ）≈0.6827，

P

（｜

X

－

μ｜≤2σ）≈0.9545，

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973.解：（3）

因?yàn)棣蹋?σ＝43.5，μ＋3σ

＝106.5，所以30?[μ－3σ，μ＋3σ].又

因?yàn)?/p>

P

（μ－3σ≤

Z

≤μ＋3σ）

≈0.9973，所以該事件發(fā)生是小概率

的.所以這條生產(chǎn)線工作不正常.總結(jié)提煉

1.解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）

對(duì)稱軸為直線

x

＝μ；（2）

標(biāo)準(zhǔn)差σ；（3）

分布區(qū)間.2.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率：由μ，σ，將分布區(qū)間的特征進(jìn)

行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ內(nèi)的特殊區(qū)間，從而求出所求概率.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]2.（2023·揚(yáng)州?？迹╇S著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)

銷售的新渠道.在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購物群的

銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量/盒[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）[500，600]購物群數(shù)量/個(gè)12

m

2032

m

（1）

求實(shí)數(shù)

m

的值，并用組中值估計(jì)這100個(gè)購物群銷售鳳梨總量的平

均數(shù).

（2）

假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量

X

（單位：盒）服從正態(tài)分布

N

（μ，σ2）（σ＞0），其中μ為（1）中的平均數(shù)，σ2＝12100.若該鳳梨基

地參與銷售的購物群約有1000個(gè)，銷售鳳梨的數(shù)量不小于266盒且不大

于596盒的群為“一級(jí)群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級(jí)

群”，銷售數(shù)量大于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該鳳梨基地對(duì)每個(gè)

“優(yōu)質(zhì)群”獎(jiǎng)勵(lì)1000元，每個(gè)“一級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)200元，“二級(jí)群”不獎(jiǎng)

勵(lì)，則該鳳梨基地大約需要準(zhǔn)備多少資金（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整

數(shù)）？參考數(shù)據(jù)：若

X

～

N

（μ，σ2），則

P

（｜

X

－μ｜≤σ）≈0.6827；

P

（｜

X

－μ｜≤2σ）≈0.9545；

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973）.

對(duì)接高考1.（2022·新高考Ⅱ卷）