《電路理論基礎(chǔ)》學(xué)習(xí)指導(dǎo)(李曉濱)-第9章

第9章正弦電流電路的分析9.1內(nèi)容提要9.2重點(diǎn)、難點(diǎn)9.3典型例題9.4習(xí)題解答9.1內(nèi)容提要1.阻抗與導(dǎo)納1)不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)N0的阻抗Z正弦電流電路中，圖9-1所示不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)N0的阻抗定義為或Z=|Z|∠φZ(yǔ)=R+jX式中，|Z|是阻抗Z的模；φZ(yǔ)是阻抗Z的輻角，稱為阻抗角；R是阻抗Z的實(shí)部，稱為網(wǎng)絡(luò)N0的等效電阻；X是阻抗Z的虛部，稱為網(wǎng)絡(luò)N0的等效電抗。Z、|Z|、R、X的單位均為歐姆。圖9-12)不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)N0的導(dǎo)納Y

正弦電流電路中，圖9-1所示不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)N0的導(dǎo)納定義為或Y=|Y|∠φY=G+jB

式中，|Y|是導(dǎo)納Y的模;φY稱為導(dǎo)納角;G稱為網(wǎng)絡(luò)N0的等效電導(dǎo)；B稱為網(wǎng)絡(luò)N0的等效電納。Y、|Y|、G、B的單位均為西門子。3)阻抗Z與導(dǎo)納Y的關(guān)系對(duì)同一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，有4)二端網(wǎng)絡(luò)N0的端口特性即對(duì)二端網(wǎng)絡(luò)N0，假設(shè)其阻抗角φZ(yǔ)>0，那么端口電壓超前于端電流，稱網(wǎng)絡(luò)N0呈感性；假設(shè)φZ(yǔ)<0，那么端電流超前于端口電壓，稱網(wǎng)絡(luò)N0呈容性；假設(shè)φZ(yǔ)=0，那么端口電流與電壓同相，稱網(wǎng)絡(luò)N0呈電阻性。5)R、L、C元件的阻抗和導(dǎo)納電阻元件：

電感元件：

電容元件：

2.正弦電流電路的相量分析法1)相量模型正弦電流電路中，將各電流和電壓用相量表示，電阻、電感、電容元件的參數(shù)用阻抗表示，所得到的電路圖稱為正弦電流電路的相量模型。2)相量分析法的一般步驟用相量法分析正弦電流電路的一般步驟為：由電路的時(shí)域模型畫出相量模型；求解相量模型，得到所求電流和電壓的相量；根據(jù)正弦量與其相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到所求的正弦電流和電壓。電阻電路的各種分析方法均可用于求解相量模型，例如串并聯(lián)電路的分析方法、等效變換的方法、節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法、戴維南定理、疊加定理等等。3)串聯(lián)電路分析圖9-2所示電路為n個(gè)阻抗的串聯(lián)，端口等效阻抗為Z=Z1+Z2+…+Zn，分壓公式為。圖9-2圖9-3(a)所示是RLC串聯(lián)電路的相量模型。端口等效阻抗為。各元件電壓相量為，。令，稱為電抗電壓相量。端口電壓為。以端電流相量為參考相量，各電壓和電流的相量圖如圖9-3(b)、(c)所示。其中，圖9-3(b)為端口性質(zhì)為感性的情況，圖9-3(c)為端口性質(zhì)為容性的情況。在這兩個(gè)相量圖中，、、構(gòu)成直角三角形，稱為電壓三角形。電壓有效值的關(guān)系為。圖9-34)并聯(lián)電路分析圖9-4所示為n個(gè)導(dǎo)納相并聯(lián)，端口等效導(dǎo)納為Y=Y1+Y2+…+Yn，分流公式為。假設(shè)是兩個(gè)阻抗并聯(lián)，那么有

圖9-4圖9-5(a)所示是RLC并聯(lián)電路的相量模型，端口等效導(dǎo)納為。各元件電流相量為，。令，稱為電抗電流相量。端電流為。以端口電壓相量為參考相量，各電流和電壓的相量圖如圖9-5(b)、(c)所示。其中，圖9-5(b)為端口性質(zhì)為容性的情況，圖9-5(c)為端口性質(zhì)為感性的情況。在這兩個(gè)相量圖中，、、構(gòu)成直角三角形，稱為電流三角形。電流有效值的關(guān)系為。圖9-5

3.正弦電流電路的功率圖9-6所示為正弦電流電路中任一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)N，設(shè)其端口電壓和電流分別為 ， 。圖9-61)瞬時(shí)功率圖9-6所示網(wǎng)絡(luò)N吸收的瞬時(shí)功率為

式中，φ=θu-θi是端口電壓與端電流的相位差。假設(shè)N是不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)，那么φ是其阻抗角。2)平均功率平均功率又稱為有功功率，簡(jiǎn)稱功率，記為P，單位為瓦(W)。圖9-6所示網(wǎng)絡(luò)N吸收的平均功率為P=UIcosφ。電阻元件吸收的平均功率為P=UI=RI2=U2/R。式中，U、I分別為電阻的電壓、電流有效值。電感元件和電容元件的平均功率為零。3)視在功率視在功率記為S，單位為伏安(VA)或千伏安(kVA)。圖9-6所示網(wǎng)絡(luò)N的視在功率為S=UI。4)功率因數(shù)不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率與視在功率之比稱為該二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)，記為λ，即。其中，φ是該二端電路的阻抗角，又稱為功率因數(shù)角。對(duì)感性負(fù)載，可采用并電容的方法提高負(fù)載總的功率因數(shù)。5)無功功率無功功率記為Q，單位為無功伏安，簡(jiǎn)稱乏(var)。圖9-6所示網(wǎng)絡(luò)N的無功功率為Q=UIsinφ。電阻元件吸收的無功功率為Q=UIsin0=0，電感元件吸收的無功功率為，電容元件吸收的無功功率為。6)功率三角形圖9-6所示網(wǎng)絡(luò)N的視在功率S=UI，平均功率P=UIcosφ，無功功率Q=UIsinφ，構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，稱為功率三角形。7)復(fù)功率圖9-6所示網(wǎng)絡(luò)N吸收的復(fù)功率定義為。其中，是端口電壓相量;是端電流相量的共軛復(fù)數(shù)。

由特勒根定理可證明復(fù)功率是守恒的。復(fù)功率守恒包含有功功率守恒和無功功率守恒兩局部。8)最大功率傳輸條件當(dāng)負(fù)載阻抗與含源二端網(wǎng)絡(luò)等效阻抗共軛時(shí)，負(fù)載可獲得最大功率。這一條件稱為負(fù)載與含源二端網(wǎng)絡(luò)之間的阻抗共軛匹配，或稱為最大功率匹配。

*4.三相電路1)三相電源對(duì)稱三相電源是3個(gè)頻率相同、振幅相同、相位依次相差120°的正弦電壓源，分別稱為A相、B相、C相電源。時(shí)間函數(shù)表達(dá)式為2)星形連接的三相電源圖9-7所示為星形連接的三相電源，各線電壓和相電壓的關(guān)系為°，°，°。即線電壓的有效值Ul是相電壓有效值Up的倍。圖9-73)三角形連接的三相電源圖9-8所示為三角形連接的三相電源，在這種結(jié)構(gòu)中，線電壓等于相電壓。4)三相電路的結(jié)構(gòu)三相負(fù)載與三相電源連接，構(gòu)成三相電路。根據(jù)電源及負(fù)載采取的連接方式，可分為Y-Y、Y-△、△-Y及△-△四種連接方式的三相電路。三相供電制分為三相三線制和三相四線制。Y-Y連接的電路中，假設(shè)電源中性點(diǎn)與負(fù)載中性點(diǎn)之間接有中線，那么為三相四線制；其余沒有中線的情況，為三相三線制。圖9-85)對(duì)稱Y-Y三相電路圖9-9所示為對(duì)稱Y-Y三相電路。該電路中，可求得，三個(gè)相電流是對(duì)稱三相電流，中線電流 ，(中線可省去)。計(jì)算時(shí)，可畫出一相計(jì)算電路進(jìn)行計(jì)算。圖9-96)對(duì)稱三角形三相負(fù)載圖9-10所示為對(duì)稱三角形三相負(fù)載，假設(shè)將其接到對(duì)稱三相電源，并忽略端線阻抗，那么負(fù)載的相電壓等于電源的線電壓，可求得三個(gè)相電流為對(duì)稱三相電流。線電流與相電流的關(guān)系為°，°，°。線電流的有效值Il是相電流有效值Ip的倍。圖9-107)對(duì)稱三相負(fù)載的平均功率

式中，Up、Ip分別為負(fù)載的相電壓和相電流有效值;Ul、Il分別為負(fù)載的線電壓和線電流有效值;φ為每相負(fù)載的阻抗角。9.2重點(diǎn)、難點(diǎn)1.阻抗與導(dǎo)納阻抗與導(dǎo)納是正弦電流電路中的重要概念。要理解阻抗的含義：阻抗的模等于不含獨(dú)立源二端電路的端口電壓與電流有效值之比，阻抗角等于該電壓與電流的相位差。阻抗或?qū)Ъ{全面地反映了正弦電流電路中不含獨(dú)立源二端電路的端口特性。

要熟記R、L、C的阻抗和導(dǎo)納，理解正弦電流電路中R、L、C的特性。熟練掌握二端電路阻抗的求解方法：對(duì)于RLC元件的串并聯(lián)二端電路，用串并聯(lián)公式求端口阻抗或?qū)Ъ{；對(duì)于一般的不含獨(dú)立源的二端電路，求出其端口VAR，再根據(jù)定義求得阻抗或?qū)Ъ{。應(yīng)掌握根據(jù)阻抗或?qū)Ъ{判斷二端電路是容性負(fù)載或感性負(fù)載的方法，能根據(jù)阻抗或?qū)Ъ{畫出二端電路的串聯(lián)或并聯(lián)等效相量模型。2.相量分析法相量分析法是求解正弦電流電路的根本方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握電路的相量模型概念及相量模型的求解方法，掌握相量分析法的步驟及參考正弦量(參考相量)的概念。相量方程的求解涉及到復(fù)數(shù)的運(yùn)算，計(jì)算復(fù)雜。正弦電流電路中各變量之間不僅有有效值的關(guān)系，還有相位的關(guān)系，關(guān)系復(fù)雜。這些復(fù)雜性是本章的難點(diǎn)，可以適當(dāng)借助于相量圖以幫助思考和計(jì)算。正弦量的瞬時(shí)表達(dá)式與其相量之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，但不能直接畫等號(hào)，這是易錯(cuò)之處。

3.RLC元件的串聯(lián)電路和并聯(lián)電路

RLC元件串聯(lián)電路的電壓三角形及并聯(lián)電路的電流三角形是本章重點(diǎn)之一。應(yīng)熟練掌握RLC串聯(lián)電路的電壓相量圖及電壓三角形、RLC并聯(lián)電路的電流相量圖及電流三角形，并利用這些關(guān)系解RLC元件的串并聯(lián)電路。4.正弦電流電路的功率正弦電流電路的功率較復(fù)雜，這局部?jī)?nèi)容的重點(diǎn)是平均功率及功率因數(shù)的概念和計(jì)算。要注意平均功率的計(jì)算公式為P=UIcosφ，即二端電路的平均功率不僅與端電流和電壓的有效值有關(guān)，還與電壓和電流的相位差有關(guān)。對(duì)于僅含RLC元件的二端電路，總的平均功率等于各電阻平均功率之和。因此計(jì)算僅含RLC元件的二端電路的平均功率時(shí)，除了可用以上公式之外，也可用電阻功率求和的方法。對(duì)某些電路，后一種方法比前一種方法更簡(jiǎn)便。正弦電流電路的最大功率傳輸條件在電子工程領(lǐng)域有較重要的應(yīng)用。9.3典型例題【例9-1】圖9-11所示電路為正弦穩(wěn)態(tài)電路中不含獨(dú)立源的二端電路。, 。(1)求該二端電路的阻抗和導(dǎo)納，并確定其是感性還是容性；(2)求串聯(lián)、并聯(lián)等效電路。圖9-11解(1)由于阻抗角為-75°，為負(fù)數(shù)，因此該二端電路是容性的。(2)由于Z=16.67∠-75°=(4.31-j16.10)Ω，因此串聯(lián)等效電路由電阻和電容構(gòu)成，其中又由于Y=0.06∠75°=(0.0155+j0.0580)S，因此并聯(lián)等效電路由電導(dǎo)和電容構(gòu)成，其中串、并聯(lián)等效電路分別如圖9-12(a)、(b)所示。圖9-12【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題不含獨(dú)立源二端電路的端口電壓和電流，根據(jù)定義可求得該電路的阻抗和導(dǎo)納。由于阻抗角為負(fù)，可判斷該電路端口呈容性。由阻抗可得串聯(lián)等效電路，由導(dǎo)納可得并聯(lián)等效電路。串聯(lián)和并聯(lián)等效電路中都包含電阻和電容?！纠?-2】電路如圖9-13所示，當(dāng)正弦電源角頻率ω為多大時(shí)，該二端電路呈現(xiàn)純電阻性？圖9-13解當(dāng)該二端電路的阻抗或?qū)Ъ{為實(shí)數(shù)時(shí)，呈現(xiàn)純電阻性。由于從端口看，電容與另一支路并聯(lián)，因此采用導(dǎo)納進(jìn)行計(jì)算比較簡(jiǎn)便。R、L串聯(lián)支路的導(dǎo)納為端口輸入導(dǎo)納為令Y的虛部為零，得解得

當(dāng)時(shí)，上式ω有正實(shí)數(shù)解，為

【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題說明電路的阻抗及導(dǎo)納與頻率有關(guān)。此題解題思路是求出電路的端口阻抗或?qū)Ъ{，令阻抗或?qū)Ъ{的虛部為零(阻抗角或?qū)Ъ{角為零)，從而解得使電路端口呈電阻性的頻率條件。解題時(shí)先分析了一下，從端口來看，電路是并聯(lián)結(jié)構(gòu)，故采用導(dǎo)納計(jì)算較簡(jiǎn)便?！纠?-3】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖9-14所示，圖中各交流電壓表的讀數(shù):V的讀數(shù)為25V，V1的讀數(shù)為15V，V3的讀數(shù)為100V，求電壓表V2的讀數(shù)。圖9-14解電路的相量模型如圖9-15(a)所示。由題可知，電阻電壓有效值U1=15V，電源電壓有效值U=25V。設(shè)電抗元件總電壓有效值為UX，那么由于串聯(lián)電路中電感電壓和電容電壓反相，因此有UX=|U2-U3|由串聯(lián)電路電壓三角形關(guān)系可得即(U2-U3)=±20解得U2的兩個(gè)解分別為U2a=20+U3=20+100=120VU2b=-20+U3=-20+100=80V兩個(gè)解所對(duì)應(yīng)的相量圖分別如圖9-15(b)、(c)所示。圖9-15【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題是RLC串聯(lián)電路，用電壓三角形的關(guān)系解題較簡(jiǎn)便。首先利用電壓三角形得出電抗電壓的有效值，而電路的總電抗可能是感性的，也可能是容性的，即所求電感電壓可能比電容電壓大，也可能比它小，因此此題有兩個(gè)解。注意在串聯(lián)電路中，電感電壓與電容電壓反相?！纠?-4】正弦電流電路如圖9-16所示。圖中各交流電流表的讀數(shù):A1的讀數(shù)為1A，A2的讀數(shù)為4A，A3的讀數(shù)為5A。(1)求電流表A的讀數(shù)。(2)假設(shè)正弦電壓源us的幅值不變，其角頻率降為原頻率的1/2，再求A的讀數(shù)。圖9-16解該電路的相量模型如圖9-17(a)所示。圖9-17(1)由并聯(lián)電路的電流三角形，可得因此電流表A的讀數(shù)為1.414A。相量圖如圖9-17(b)所示。(2)設(shè)電源原角頻率為ω1，變化后的角頻率為ω2，那么有

此時(shí)，I1與以前相同，而I2和I3分別為I2應(yīng)為原值的2倍，即8A；I3應(yīng)為原值的一半，即2.5A。此時(shí)因而此時(shí)電流表A的讀數(shù)為5.59A。相量圖如圖9-17(c)所示?！窘忸}指南與點(diǎn)評(píng)】本例題是RLC并聯(lián)電路，用電流三角形的關(guān)系解題較簡(jiǎn)便。當(dāng)電源頻率變小時(shí)，電感的阻抗變小，電流增大；電容的阻抗變大，電流變小。此時(shí)該RLC并聯(lián)電路由原來的容性變?yōu)楦行?。【?-5】圖9-18所示電路，有關(guān)電壓和電流有效值為U=100V，IL=10A，IC=15A，滯后45°，求R、和ωL的值。圖9-18解此題所求為各元件參數(shù)，假設(shè)設(shè)法求出各元件電壓和電流的有效值，那么元件參數(shù)可求得?？山柚嗔繄D幫助思考。令作為參考相量，即，作出各電流相量，如圖9-19(a)所示。由KCL方程得即IR=5A，且超前于90°。圖9-19考慮到與同相位，且超前45°，可作出電壓相量圖，如圖9-19(b)所示。由該圖可得

可求得各元件參數(shù)為【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題是電路的某些電流或電壓，求元件參數(shù)。由于正弦電流電路各電流、電壓變量間存在有效值的關(guān)系和相位的關(guān)系，而所給條件一局部是有效值、一局部是相位，因此各種關(guān)系顯得較復(fù)雜，使解這類題的難度較大。解這類題可畫出相量圖幫助思考，畫相量圖時(shí)要充分利用條件及RLC元件的伏安特性，并注意各變量間的相位關(guān)系。【例9-6】圖9-20所示正弦電流電路中，，，，R=5kΩ,L=5H,C=2μF用疊加法求i1和i2。圖9-20解該電路的相量模型如圖9-21(a)所示，其中圖9-21用疊加法求解。當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖9-21(b)所示，求得當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖9-21(c)所示，求得當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖9-21(d)所示。在該電路中，R、L、C并聯(lián)，電壓源用短路線代替，R、L、C中均無電流，故有由疊加定理，得【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題用疊加法解正弦電流電路的相量模型。由于待求量是兩個(gè)電壓源的電流，因此將某電壓源置零時(shí)，取代該電壓源支路的短路線應(yīng)清楚地畫出來，以便求出該支路的電流?！纠?-7】對(duì)照上題的圖9-20所示正弦電流電路，采用網(wǎng)孔法求i1和i2。解該電路的相量模型如圖9-22所示。網(wǎng)孔方程為圖9-22代入上題數(shù)據(jù)，得解得于是【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題采用網(wǎng)孔法解正弦電流電路的相量模型。列網(wǎng)孔方程的方法與第3章介紹的網(wǎng)孔法相同?！纠?-8】電路如圖9-23所示，用節(jié)點(diǎn)法求和。圖9-23解節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖9-23所示，將③號(hào)節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)。5Ω電阻與受控源的串聯(lián)可轉(zhuǎn)化為受控電流源和電阻的并聯(lián)(圖略)。節(jié)點(diǎn)方程為控制電流為將代入節(jié)點(diǎn)方程，整理后得解得【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題用節(jié)點(diǎn)法解正弦電流電路的相量模型。列方程前先對(duì)電路作了簡(jiǎn)化，將電阻與受控電壓源的串聯(lián)轉(zhuǎn)化為受控電流源和電阻的并聯(lián)。求出各節(jié)點(diǎn)電壓后，再回到原電路求各支路電流。【例9-9】二端電路如圖9-24所示，求其戴維南等效相量模型。圖9-24解可先將最左邊兩條并聯(lián)支路作為一個(gè)二端電路化簡(jiǎn)，該二端電路如圖9-25(a)所示。由該圖得由上式解得圖9-25(a)的端口伏安關(guān)系為于是原電路圖可化簡(jiǎn)為圖9-25(b)電路。圖9-25令圖9-25(b)中電源為零，得戴維南等效阻抗為Zeq=(1-j1)+j2=(1+j1)Ω令圖9-25(b)中端口電流為零，得其開路電壓為那么原電路的戴維南等效相量模型如圖9-25(c)所示?！窘忸}指南與點(diǎn)評(píng)】本例題最左邊的兩條并聯(lián)支路可看做該電路內(nèi)部的一個(gè)二端電路，它含有受控源，但結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，采用端口伏安關(guān)系法較易得到它的等效電路。將這一內(nèi)部二端電路化簡(jiǎn)后，原二端電路就變得簡(jiǎn)單，其戴維南等效相量模型就容易求得。【例9-10】正弦電流電路如圖9-26所示，:us=4cos(1000t+45°)V，R1=R2=1Ω，L1=L2=1mH，C=1mF。(1)求負(fù)載1吸收的平均功率和無功功率；(2)求a、b右邊二端電路吸收的平均功率、無功功率、視在功率及該二端電路的功率因數(shù)；(3)求負(fù)載2吸收的平均功率和無功功率。圖9-26解該電路的相量模型如圖9-27所示。圖9-27(1)負(fù)載1的平均功率及無功功率為P1=I2R1=12×1=1WQ1=I2ωL=12×1=1var(2)ab右邊二端電路總的平均功率、無功功率及視在功率為該二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)為(3)由平均功率及無功功率守恒，因此得負(fù)載2的平均功率和無功功率為P2=P-P1=2-1=1WQ2=Q-Q1=2-1=1var【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題的負(fù)載1僅由電阻和電感構(gòu)成，該負(fù)載的平均功率即電阻的平均功率，無功功率即電感的無功功率。根據(jù)ab端的電流和電壓，可算出右邊二端電路的各種功率和功率因數(shù)，再由平均功率及無功功率守恒，可進(jìn)一步求得負(fù)載2的平均功率及無功功率?！纠?-11】電路如圖9-28所示，其中Z1和Z2分別為負(fù)載1和負(fù)載2的阻抗，ZL=RL+jXL，為傳輸線阻抗。：負(fù)載1吸收的平均功率為8kW，其功率因數(shù)為0.8(超前)；負(fù)載2吸收的視在功率為20kVA，其功率因數(shù)為0.6(滯后)；RL=0.05Ω，XL=0.5Ω，=250∠0°V。(1)求兩個(gè)負(fù)載并聯(lián)后的功率因數(shù)；(2)求兩個(gè)負(fù)載并聯(lián)后的視在功率、電流有效值I及傳輸線上的平均功率損耗；(3)假設(shè)電源頻率f=50Hz，將一電容與Z1及Z2并聯(lián)，假設(shè)Z1及Z2的功率和功率因數(shù)仍為題目所給的條件，希望Z1、Z2及電容并聯(lián)后的功率因數(shù)提高到1，求該電容值，在這種情況下重新計(jì)算第(2)問。圖9-28解(1)cosφ1=0.8(超前)，故Z1的阻抗角為φ1=-arccos0.8=-36.87°P1=S1cosφ1=8000W，故又cosφ2=0.6(滯后)，S2=20kVA，得φ2=arccos0.6=53.13°P2=S2cosφ2=20000cos53.13°=12000WQ2=S2sinφ2=20000×sin53.13°=16000var

Z1與Z2并聯(lián)后總的復(fù)功率為并聯(lián)后總的功率因數(shù)為cosφ=cos26.57°=0.89(滯后)(2)由可得兩個(gè)負(fù)載并聯(lián)后的視在功率由于S=UI，因此傳輸線上損耗的功率為(3)并電容后功率因數(shù)為1，即Z1、Z2及電容的無功功率之和為零QC+Q1+Q2=0QC=－(Q1+Q2)=－10000var由于QC=-UIC=-U2ωC，因此即應(yīng)并聯(lián)509.3μF的電容。并聯(lián)后總的復(fù)功率擅此時(shí)電流為線路上損耗的平均功率為

【解題指南與點(diǎn)評(píng)】本例題先求出兩個(gè)負(fù)載各自的平均功率和無功功率，求和得兩個(gè)負(fù)載并聯(lián)后的總平均功率和無功功率，從而得到負(fù)載的總復(fù)功率、功率因數(shù)及電流有效值。計(jì)算提高功率因數(shù)所需的并聯(lián)電容值時(shí)，從計(jì)算該電容的無功功率入手?！?例9-12】對(duì)稱三相電源如圖9-29所示。電源線電壓有效值UL=380V，負(fù)載阻抗Z1=-j12Ω，Z2=3+j4Ω，求兩個(gè)電流表的讀數(shù)及三相負(fù)載吸收的平均功率。圖9-29解三個(gè)Z1構(gòu)成對(duì)稱三角形連接的負(fù)載，電流表A1為該負(fù)載的線電流。流過每相Z1的相電流有效值Ip1為

該三項(xiàng)負(fù)載的線電流為即電流表A1的讀數(shù)為54.85A。三個(gè)Z2構(gòu)成對(duì)稱星形連接的三相負(fù)載，由于該負(fù)載的三個(gè)相電流是對(duì)稱三相電流，因此中線電流為零，即A2表的讀數(shù)為0。三相負(fù)載的平均功率為各相負(fù)載平均功率之和。由于Z1為純電抗元件，因此其平均功率為零。電源相電壓有效值為Z2相電流為三相Z2吸收的總的平均功率為9.4習(xí)題解答9-1正弦電流電路如圖9-30所示，N0內(nèi)部不含獨(dú)立源，假設(shè)端電流i和端口電壓u分別為以下幾種情況，求各種情況時(shí)N0的阻抗和導(dǎo)納。(1)u=150cos(8000πt+20°)V，i=3sin(8000πt+38°)A;(2)u=20cos(1000πt+60°)V，i=10cos(1000πt+15°)mA;(3)。°圖9-30解(1)(2)

(3)9-2一個(gè)電感線圈的繞線電阻為700Ω，電感量為64mH。它與一個(gè)3.3kΩ的電阻串聯(lián)后接到一個(gè)頻率為5kHz，電壓有效值為10V的正弦交流電壓源兩端。計(jì)算電路中的電流及電感線圈兩端電壓的有效值。解電路如圖9-31所示。圖9-31電流有效值為

電感線圈兩端電壓的有效值為9-3一個(gè)電感與一個(gè)2.7kΩ的電阻串聯(lián)后接到一個(gè)正弦交流電壓源(U=100mV，f=250kHz)上，測(cè)得電阻的電壓有效值為40.5mV，計(jì)算電感的大小。解電路如圖9-32所示。根據(jù)RLC串聯(lián)電路電壓三角形的關(guān)系，有圖9-32電流有效值為9-4正弦電流電路如圖9-33所示，R=120Ω，C=3.3μF，。求i及電阻電壓、電容電壓的有效值。圖9-33解電路的相量模型如圖9-34所示。圖9-349-5正弦電流電路如圖9-35所示，L=20mH，C=2μF，R=200Ω，正弦電源電壓的有效值為15V，頻率為600Hz。假設(shè)以電源電壓為參考正弦量，求電路中電流相量及各元件電壓的有效值。圖9-35解電路的相量模型如圖9-36所示。圖9-36各元件電壓有效值為UR=I×200=14.4VUL=I×75.4=5.43VUC=I×132.63=9.55V9-6正弦電流電路如圖9-37所示，R=100Ω，L=20mH，C=10μF，正弦電源電壓有效值為35V，頻率500Hz。假設(shè)以電源電壓為參考正弦量，求電流i的相量及各元件的電流有效值。圖9-37解電路的相量模型如圖9-38所示。圖9-38各支路電流的有效值為

9-7正弦電流電路如圖9-39所示，Z1=70.7∠45°Ω,Z2=92.4∠330°Ω，Z3=67∠60°Ω，=100∠0°V，求并畫出電源電壓和電流的相量圖。圖9-39解相量圖如圖9-40所示。圖9-409-8正弦電流電路如圖9-41所示，Z1=1606∠51°Ω,Z2=977∠-33°Ω，Z3=953∠-19°Ω，=33∠0°V，計(jì)算電路總的阻抗及。圖9-41解總阻抗Z為9-9正弦電流電路如圖9-42所示，圖中第一只電壓表讀數(shù)為30V，第二只電壓表讀數(shù)為60V。求電路的端電壓有效值，并作出相量圖。圖9-42解電路的相量模型如圖9-43所示。以作為參考相量，電壓相量圖也示于圖9-43中。由電壓三角形可求得電路的端電壓有效值為圖9-439-10正弦電流電路如圖9-44所示，圖中各電壓表讀數(shù)分別為：第一個(gè)15V，第二個(gè)80V，第三個(gè)100V。求電路的端電壓有效值，并作出相量圖。圖9-44解電路的相量模型如圖9-45所示。以作為參考相量，電壓相量圖也示于圖9-45中。由電壓三角形可求得電路的端電壓有效值為圖9-459-11正弦電流電路如圖9-46所示，求總電流表的讀數(shù)。各并聯(lián)支路中電流表的讀數(shù)分別為：第一個(gè)5A，第二個(gè)20A，第三個(gè)25A。圖9-46解由RLC并聯(lián)電路的電流三角形可求得總電流的有效值(即總電流表的讀數(shù))為9-12正弦電流電路如圖9-47所示，°)V，R=110Ω，C1=20μF，C2=80μF，L=1H。求電路中各電流表的讀數(shù)和電路的入端阻抗。圖9-47解

電感和兩個(gè)電容串聯(lián)支路的總阻抗為

等效入端阻抗

Z=R+R∥j0=R=110Ω由于電感和兩個(gè)電容串聯(lián)支路的總阻抗為零，相當(dāng)于短路，該支路電壓為零，因此第二個(gè)電流表的讀數(shù)為I2=0第一個(gè)電流表的讀數(shù)為9-13圖9-48電路中，U=8V，Z3=1-j0.5Ω，Z1=1+j1Ω，Z2=3-j1Ω。求電流、及電路入端阻抗和導(dǎo)納。圖9-48解令為參考相量，即=8∠0°V。等效入端阻抗為等效入端導(dǎo)納為端電流為利用并聯(lián)電路的分流公式，得9-14正弦電流電路如圖9-49所示，us=64cos(8000t)V,求uo(t)。圖9-49解9-15正弦電流電路如圖9-50所示，調(diào)整電容使電流ig與正弦電壓us同相。問：(1)當(dāng)us=250cos(1000t)V時(shí)，電容值為多少微法？(2)當(dāng)C取(1)中所得值時(shí)，求ig的表達(dá)式。圖9-50解電容和電阻并聯(lián)后的等效阻抗為

電源右邊電路的總阻抗為

要ig與us同相，需Z的阻抗角為零，即Z的虛部為零。令I(lǐng)m(Z)=0，得將ω=1000rad/s，L=5H，R=12.5kΩ代入上式，求得電容C的兩個(gè)根為C1=0.16μF，C2=0.04μF假設(shè)取C=C1=0.16μF，那么并假設(shè)取C=C2=0.04μF，那么9-16正弦電流電路如圖9-51所示，其中，io=0.1sin(ωt+81.87°)A，us=50cos(ωt-45°)V，求ω的值。圖9-51解

電源右邊電路的等效阻抗為又有比較可得解以上方程并舍去負(fù)根，得ω=5000rad/s。9-17正弦電流電路如圖9-52所示，其中Z1=(1kΩ+j2.7kΩ)，Z2=(790Ω-j1.6kΩ)，電源提供的總電流的有效值為15mA，用分流原理計(jì)算兩支路的電流有效值。圖9-52解設(shè)總電流i為參考正弦量，那么=15∠0°mA。由分流原理得電流有效值為I1=12.71mA，I2=20.57mA9-18計(jì)算圖9-53電路中Z3和Z4并聯(lián)的等效阻抗。圖9-53解ω=2πf=2π×1000=2000πrad/sZ3和Z4并聯(lián)的等效阻抗為9-19在上題所示電路中，求L2和C2上的電壓有效值。解該電路的相量模型如圖9-54所示，圖中標(biāo)出了各電壓和電流的參考方向。圖9-54令為參考相量，即=45∠0°V，上題已求出ω及Z=Z3∥Z4。由分流公式，得L2和C2上的電壓有效值分別為9-20求圖9-55所示電路總的等效阻抗。圖9-55解總的等效阻抗為9-21求圖9-56電路從a、b兩端看進(jìn)去的等效導(dǎo)納。用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)兩種形式表示。圖9-56解端口等效阻抗為端口等效導(dǎo)納為9-22求圖9-57電路從a、b兩端看進(jìn)去的等效阻抗，用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)兩種形式表示。圖9-57解端口等效阻抗為9-23圖9-58所示正弦電流電路中，us=75cos(5000t)V，用分壓的概念求uo(t)。圖9-58解用相量法解題，由條件，有

利用串聯(lián)電路的分壓公式，得uo的相量為uo的瞬時(shí)表達(dá)式為uo=50cos(5000t-106.26°)V

9-24圖9-59電路中，

=60∠0°V，=5∠－90°A,求

和Z。圖9-59解在電路中標(biāo)出各電壓和電流的參考方向，如圖9-60所示。圖9-60由條件解得

可見，電流為9.49∠71.57°A,阻抗Z為7.91∠－18.43°Ω。9-25圖9-61電路中，Is=10A，ω=5000rad/s，R1=R2=10Ω，C=10μF，μ=0.5。求各支路電流，并作出相量圖。圖9-61解在電路中標(biāo)出各電流參考方向，如圖9-62(a)所示。圖9-62令為參考相量,那么根據(jù)節(jié)點(diǎn)KCL及右邊網(wǎng)孔的KVL列出方程，并將上式代入，得代入數(shù)據(jù)，整理得解得兩個(gè)支路的電流為各電流的關(guān)系為，電流相量圖示于圖9-62(b)中。9-26用網(wǎng)孔法求圖9-63電路中的電流。圖9-63解標(biāo)出各網(wǎng)孔電流參考方向，如圖9-64所示。列出網(wǎng)孔電流方程為圖9-64整理得求得即9-27圖9-65所示正弦電流電路中，us1=10cos(5000t+53.13°)V，us2=8cos(5000t-90°)V，用節(jié)點(diǎn)法求uo(t)。圖9-65解將電壓源與阻抗的串聯(lián)支路轉(zhuǎn)換為電流源與阻抗的并聯(lián)(圖略)，可列出節(jié)點(diǎn)方程為代入數(shù)據(jù)，整理得

解得

uo的瞬時(shí)表達(dá)式為uo=12cos(5000t)V9-28圖9-66所示正弦電流電路中，is=5cos(8×105t)A，求uo(t)。圖9-66解電路的相量模型如圖9-67所示。圖9-67采用節(jié)點(diǎn)法解相量模型，節(jié)點(diǎn)電壓方程為整理得解得

uo的瞬時(shí)表達(dá)式為uo=42.9cos(8×105t-59°)mV9-29圖9-68為正弦電流電路中的一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，us=247.49cos(1000t+45°)V，求該二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效相量模型。圖9-68解該二端電路的相量模型如圖9-69(a)所示。兩條并聯(lián)支路的阻抗為由分壓公式求得開路電壓為令內(nèi)部電壓源為零，求得端口等效阻抗為該二端電路的戴維南等效相量模型如圖9-69(b)所示。其中:

圖9-699-30求圖9-70所示二端網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效相量模型。圖9-70解將該二端網(wǎng)絡(luò)的端口短接，如圖9-71(a)所示，求短路電流。由分流公式得將該二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電源置零，如圖9-71(b)所示，求等效阻抗。原電路的諾頓等效相量模型如圖9-71(c)所示。其中:

圖9-719-31求圖9-72所示二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效相量模型。圖9-72解設(shè)端電壓和電流參考方向如圖9-73(a)所示，采用節(jié)點(diǎn)法求端口VAR。設(shè)電流，節(jié)點(diǎn)方程為整理得解得

由以上VAR可得戴維南等效相量模型如圖9-73(b)所示。其中：圖9-739-32一個(gè)RL串聯(lián)電路，端口電壓有效值為50V，端電流有效值為100mA，電壓與電流的相位差為25°，計(jì)算電路的視在功率、平均功率和無功功率。解視在功率：S=UI=50×0.1=5VA平均功率：P=UIcosφ=50×0.1×cos25°=4.53W無功功率：Q=UIsinφ=50×0.1×sin25°=2.11var9-33一個(gè)平均功率為2kW的發(fā)熱元件，由220V的正弦交流電源供電，求：(1)元件的電阻值；(2)元件上流過的電流有效值；(3)該元件消耗瞬時(shí)功率的峰值。解這是一個(gè)電阻元件。由得電阻為由P=UI得電流有效值為瞬時(shí)功率p=ui，由于u與i同相，因此最大瞬時(shí)功率為9-34一個(gè)電壓有效值為50V，頻率為400Hz的正弦交流電壓源給一個(gè)由25μF電容和4.7Ω電阻串聯(lián)組成的負(fù)載供電，求負(fù)載的視在功率、平均功率和無功功率。解電路如圖9-74所示。電源電壓有效值Us=50V，角頻率負(fù)載阻抗為圖9-74端電流有效值為從而，視在功率為S=UI=50×3.01=150.5VA平均功率為P=I2R=3.012×4.7=42.58W無功功率為9-35一個(gè)電壓有效值為24V，頻率為400Hz的正弦交流電壓源，接有一個(gè)功率因數(shù)為0.65(滯后)的負(fù)載，該負(fù)載吸收的平均功率為4kW，求連接導(dǎo)線上的電流有效值?，F(xiàn)采用并電容的方法提高功率因數(shù)，假設(shè)要將功率因數(shù)調(diào)整為0.85(滯后)，求所需的電容值，并求此時(shí)電源導(dǎo)線上的電流有效值。解電路及電流和電壓的相量圖如圖9-75所示。圖9-75未并電容前，由P=UIcosφ得負(fù)載電流有效值為負(fù)載阻抗角為φ=arccos0.65=49.46°并電容后，端電流有效值為總的阻抗角為φ′=arccos0.85=31.79°由圖9-75所示相量圖可知

由求得所需并聯(lián)電容值為

綜上可知，未并電容前，電源導(dǎo)線上的電流有效值為256.41A，并上1517.94μF的電容后，導(dǎo)線上的電流有效值為196.08A。9-36正弦電流電路如圖9-76所示，is=30cos(100t)mA，求電路中負(fù)載的平均功率、無功功率和視在功率。圖9-76解電路的相量模型如圖9-77所示。圖9-77負(fù)載的平均功率為負(fù)載的無功功率為負(fù)載的視在功率為

9-37正弦電流電路如圖9-78所示，其中三個(gè)負(fù)載的阻抗分別為Z1=(240+j70)Ω、Z2=(160-j120)Ω、Z3=(30－j40)Ω。求：(1)各負(fù)載的功率因數(shù)；(2)從電壓源看進(jìn)去的復(fù)合負(fù)載的功率因數(shù)。圖9-78解負(fù)載1的阻抗角為功率因數(shù)為cosφ1=0.96(滯后)負(fù)載2的阻抗角為

功率因數(shù)為cosφ2=0.8(超前)負(fù)載3的阻抗角為功率因數(shù)為cosφ3=0.6