人教高中數(shù)學(xué)A必修1教師用書

據(jù)央視新聞報(bào)道，中國于2016年年中至2017年上半年間，組織實(shí)施載人航天工程空間實(shí)驗(yàn)室任務(wù)．中國發(fā)射了“神舟”十一號飛船，搭乘2名航天員，與天宮二號對接，在飛船進(jìn)入預(yù)定軌道的過程中包含了一些可以用函數(shù)描述的變化規(guī)律，如上升過程中飛船離地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，飛船外的溫度和氣壓隨飛船與地面的距離的變化而變化，等等．而高中的函數(shù)是用集合來刻畫的，集合語言是一種抽象的數(shù)學(xué)語言，學(xué)習(xí)集合語言最好的方法就是使用，非洲大草原上生存著幾千種動物，它們常常面臨著生與死的考驗(yàn)，為了生存，它們過著“群居”的生活，這種“物以類聚”就產(chǎn)生某種動物集合．讓我們一起走進(jìn)“集合”世界，探索集合的奧秘.1．1集合1.1.1集合的含義與表示Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))一位漁民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義．于是，他請教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？”集合是不加定義的概念，數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民．有一天，他來到漁民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚在網(wǎng)中跳動．?dāng)?shù)學(xué)家非常激動，高興地告訴漁民：“這就是集合！”問題1：數(shù)學(xué)家說的集合是指什么？問題2：網(wǎng)中的“大魚”能構(gòu)成集合嗎？Xeq\o(\s\up7(新知導(dǎo)學(xué)),\s\do5(inzhidaoxue))1．集合的概念(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的__總體__叫做集合(簡稱為集)．(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的__元素__是一樣的，即這兩個(gè)集合中的元素完全相同，就稱這兩個(gè)集合相等．[知識點(diǎn)撥]集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：(1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．2．元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合Aa__∈__Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa__不屬于__集合A[知識點(diǎn)撥]符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個(gè)符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．3．集合的表示法(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實(shí)數(shù)組成的集合．(2)字母表示法：用一個(gè)大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數(shù)集的表示：名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號__N____N*或N＋____Z____Q____R__(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．(4)描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的__一般符號__及__取值(或變化)范圍__，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的__共同特征__.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．Yeq\o(\s\up7(預(yù)習(xí)自測),\s\do5(uxizice))1．下列各組對象中不能組成集合的是(C)A．清華大學(xué)2019年入校的全體學(xué)生B．我國十三屆全國人大二次會議的全體參會成員C．中國著名的數(shù)學(xué)家D．不等式x－1>0的實(shí)數(shù)解[解析]“著名的數(shù)學(xué)家”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某人是否“著名”無法客觀地判斷，因此“中國著名的數(shù)學(xué)家”不能組成集合，故選C．2．已知a∈R，且a?Q，則a可以為(A)A．eq\r(2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．－eq\f(1,3)[解析]eq\r(2)∈R，且eq\r(2)?Q，故選A．3．設(shè)x∈N，且eq\f(1,x)∈N，則x的值可能是(B)A．0 B．1C．－1 D．0或1[解析]∵x∈N，∴x≠－1，排除C，又∵eq\f(1,x)∈N，∴x≠0，排除A、D，故選B．4．下列說法中①集合N與集合N*是同一個(gè)集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的個(gè)數(shù)是__2__.[解析]由數(shù)集的性質(zhì)可知①③錯(cuò)誤，②④正確．5．已知集合A中含有三個(gè)元素0,1，x，若x2∈A，求實(shí)數(shù)x的值．[解析]當(dāng)x2＝0時(shí)，得x＝0，此時(shí)集合A中有兩個(gè)相同的元素，舍去．當(dāng)x2＝1時(shí)，得x＝±1.若x＝1，此時(shí)集合A中有兩個(gè)相同的元素，舍去．若x＝－1，此時(shí)集合A中有三個(gè)元素0,1，－1，符合題意．當(dāng)x2＝x時(shí)，得x＝0或x＝1，易知都不符合題意．綜上可知，符合題意的x的值為－1.Heq\o(\s\up7(互動探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命題方向1?集合的基本概念典例1下列各組對象：①某個(gè)班級中年齡較小的男同學(xué)；②聯(lián)合國安理會常任理事國；③2018年在韓國舉行的第23屆冬奧會的所有參賽運(yùn)動員；④eq\r(2)的所有近似值．其中能夠組成集合的是__②③__.[思路分析]結(jié)合集合中元素的特性分析各組對象是否滿足確定性和互異性，進(jìn)而判斷能否組成集合．[解析]①中的“年齡較小”、④中的“近似值”，這些標(biāo)準(zhǔn)均不明確，即元素不確定，所以①④不能組成集合．②③中的對象都是確定的、互異的，所以②③可以組成集合．填②③.『規(guī)律方法』1.判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的．如果是“確定無疑”的，就可以構(gòu)成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構(gòu)成集合．2．判斷集合中的元素個(gè)數(shù)時(shí)，要注意相同的對象歸入同一集合時(shí)只能算作一個(gè)，即集合中的元素滿足互異性．〔跟蹤練習(xí)1〕下列每組對象能否構(gòu)成一個(gè)集合：(1)我國的小城市；(2)某校2019年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；(3)不超過20的非負(fù)數(shù)；(4)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解．[解析](1)“我國的小城市”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個(gè)城市是否“小”無法客觀地判斷，因此，“我國的小城市”不能構(gòu)成一個(gè)集合．(2)“高個(gè)子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個(gè)同學(xué)是否是“高個(gè)子”無法客觀地判斷，不能構(gòu)成集合．(3)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地判斷是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x＞20或x＜0”兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過20的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解為－3,3，能構(gòu)成集合．命題方向2?元素和集合的關(guān)系典例2已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三個(gè)元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值．[思路分析]－3是集合的元素說明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分類討論求解．[解析]由題意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.當(dāng)x－2＝－3時(shí)，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三個(gè)元素分別為－3，－3,12，不滿足集合中元素的互異性；當(dāng)2x2＋5x＝－3時(shí)，x＝－eq\f(3,2)或x＝－1(舍去)，當(dāng)x＝－eq\f(3,2)時(shí)，集合的三個(gè)元素分別為－eq\f(7,2)，－3,12，滿足集合中元素的互異性，故x＝－eq\f(3,2).『規(guī)律方法』解決此類問題的通法是：根據(jù)元素的確定性建立分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，求得參數(shù)的值，然后將參數(shù)值代入檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性．〔跟蹤練習(xí)2〕已知集合A中僅含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實(shí)數(shù)a的值為__0或－1__.[解析]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合A中含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為0或－1.命題方向3?用列舉法表示集合典例3用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)組成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根組成的集合；(3)一次函數(shù)y＝x－1與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)的圖象的交點(diǎn)組成的集合．[思路分析](1)(2)可直接求出相應(yīng)元素，然后用列舉法表示；(3)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y＝－\f(2,3)x＋\f(4,3)))→求方程組的解→寫出交點(diǎn)坐標(biāo)→用集合表示．[解析](1)36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12，所求集合為{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合為{2,4}．(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1,2x＋3y＝4))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,5),y＝\f(2,5))).所求集合為{(eq\f(7,5)，eq\f(2,5))}．『規(guī)律方法』1.用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點(diǎn)集．2．列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集還是無限集，是選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǖ年P(guān)鍵．〔跟蹤練習(xí)3〕用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合．[解析](1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思．所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解組成的集合為{0,1}．(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．命題方向4?用描述法表示集合典例4用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的實(shí)數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)使y＝eq\f(\r(2－x),x)有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合；(4)200以內(nèi)的正奇數(shù)組成的集合；(5)方程x2－5x－6＝0的解組成的集合．[思路分析]用描述法表示集合時(shí)，關(guān)鍵要弄清元素的屬性是什么，再給出其滿足的性質(zhì)，注意不要漏掉類似“x∈N”等條件．[解析](1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足x<0，且y>0，故集合可表示為{(x，y)|x<0，y>0}．(3)要使該式有意義，需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0,x≠0))，解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0.}『規(guī)律方法』用描述法表示集合應(yīng)注意的問題1．寫清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點(diǎn)還是其他對象；2．準(zhǔn)確說明集合中元素所滿足的特征；3．所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說明的符號；4．用于描述的語句力求簡明、準(zhǔn)確，多層描述時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等表示描述語句之間的關(guān)系．〔跟蹤練習(xí)4〕用描述法表示下列集合：(1)大于4的全體奇數(shù)組成的集合；(2)二次函數(shù)y＝3x2－1圖象上的所有點(diǎn)組成的集合；(3)所有的三角形組成的集合．[解析](1)奇數(shù)可表示為2k＋1，k∈Z，又因?yàn)榇笥?，故k≥2，故可用描述法表示為{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．(2)點(diǎn)可用實(shí)數(shù)對表示，故可表示為{(x，y)|y＝3x2－1}．(3){x|x是三角形}．Yeq\o(\s\up7(易混易錯(cuò)警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))忽略集合中元素的互異性典例5設(shè)集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求實(shí)數(shù)x、y的值．[錯(cuò)解]由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1,xy＝y(tǒng)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y(tǒng),xy＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).[錯(cuò)因分析]當(dāng)x＝1，y∈R時(shí)，A＝B＝{1,1，y}，不滿足集合元素的互異性，當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，A＝B＝{1,1,1}也不滿足元素的互異性，當(dāng)x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，滿足題意．[正解]由錯(cuò)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))與eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))時(shí)不滿足集合中元素的互異性，所以x＝－1，y＝0.[點(diǎn)評]在實(shí)際解答過程中，很多同學(xué)只是把答案算出來后就結(jié)束了，根本不考慮求解出來的答案是不是合乎題目要求，有沒有出現(xiàn)遺漏或增根．在實(shí)際解答中要根據(jù)元素的特征，結(jié)合題目要求和隱含條件，加以重視．Xeq\o(\s\up7(學(xué)科核心素養(yǎng)),\s\do5(uekehexinsuyang))解決集合的新定義問題的基本方法集合命題中與運(yùn)算法則相關(guān)的問題已經(jīng)成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)．這類試題的特點(diǎn)：通過給出新的數(shù)學(xué)概念或新的運(yùn)算方法，在新的情況下完成某種推理證明或指定要求是集合命題的一個(gè)新方向．常見的有定義新概念、新公式、新運(yùn)算和新法則等類型．典例6當(dāng)x∈A時(shí)，若x－1?A且x＋1?A，則稱x為A的一個(gè)“孤立元素”，所有孤立元素組成的集合稱為“孤星集”，則集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為__{5}__.[思路分析]準(zhǔn)確理解題中給出的新定義，并將其翻譯成自然語言是解答此類題的關(guān)鍵．[解析]由“孤立元素”的定義知，對任意x∈A，要成為A的孤立元素，必須是集合A中既沒有x－1，也沒有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2則是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，從而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為{5}，故填{5}．『規(guī)律方法』解決這類問題的基本方法：仔細(xì)審題，準(zhǔn)確把握新信息，想方設(shè)法將新定義的問題化歸為已經(jīng)解決的熟悉問題，從而使問題得到解決．也就是“以舊帶新”法．Keq\o(\s\up7(課堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．下列語句能確定一個(gè)集合的是(D)A．充分小的負(fù)數(shù)全體 B．愛好飛機(jī)的一些人C．某班本學(xué)期視力較差的同學(xué) D．某校某班某一天的所有課程[解析]由集合的含義，根據(jù)集合元素的確定性，易排除A、B、C，故選D．2．已知集合S＝{a，b，c}中的三個(gè)元素是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是(D)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形[解析]由集合中元素的互異性知a，b，c互不相等，故選D．3．設(shè)集合A只含有一個(gè)元素a，則下列各式正確的是(C)A．0∈A B．a(chǎn)?AC．a(chǎn)∈A D．a(chǎn)＝A[解析]由于集合A中只含有一個(gè)元素a，由元素與集合的關(guān)系可知，a∈A，故選C．4．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝1} B．{1}C．{(1,1)} D．{(x，y)|(1,1)}[解析]由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))，可得3y＝3，解得y＝1，x＝1.故方程組的解集為{(1,1)}，故選C．5．用列舉法表示下列集合．(1)A＝{x∈Z|eq\f(6,3－x)∈Z}；(2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0}；(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．[解析](1)要使x，eq\f(6,3－x)是整數(shù)，則|3－x|必是6的約數(shù)，當(dāng)x＝－3,0,1,2,4,5,6,9時(shí)，|3－x|是6的約數(shù)，∴A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}．(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0<y≤9.當(dāng)x＝0，±1，±2時(shí)，y＝9,8,5符合題意，∴B＝{5,8,9}．(3)點(diǎn)(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝2)).∴C＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．(2019·山東金鄉(xiāng)縣高一期中測試)下列各組對象可以組成集合的是(B)A．?dāng)?shù)學(xué)必修1課本中所有的難題B．小于8的所有素?cái)?shù)C．直角坐標(biāo)平面內(nèi)第四象限的一些點(diǎn)D．所有小的正數(shù)[解析]由集合的含義，根據(jù)集合中元素的確定性，排除A、C、D，故選B．2．用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為(B)A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析]∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1，故選B．3．用列舉法可將集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為(D)A．{1,2}B．{(1,2)}C．{(1,1)，(2,2)}D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析]x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故選D．4．集合A中含有3個(gè)元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值為(D)A．2 B．4C．6 D．2或4[解析]∵a∈A，A＝{2,4,6}，∴當(dāng)a＝2時(shí)，6－a＝4∈A，當(dāng)a＝4時(shí)，6－a＝2∈A，當(dāng)a＝6時(shí)，6－a＝0?A，∴a＝2或4，故選D．5．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))的解集是(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)) B．{x，y|x＝3且y＝－7}C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}[解析]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)).用描述法表示為{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列舉法表示為{(3，－7)}，故選D．6．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝eq\r(2)＋eq\r(3)，則a與集合A的關(guān)系是(A)A．a(chǎn)∈A B．a(chǎn)?AC．a(chǎn)＝A D．{a}∈A[解析]由于eq\r(2)＋eq\r(3)＜10，所以a∈A，故選A．二、填空題7．用符號∈與?填空：(1)0__?__N*；eq\r(3)__?__Z；0__∈__N；(－1)0__∈__N*；eq\r(3)＋2__?__Q；eq\f(4,3)__∈__Q.(2)3__∈__{2,3}；3__?__{(2,3)}；(2,3)__∈__{(2,3)}；(3,2)__?__{(2,3)}．(3)若a2＝3，則a__∈__R，若a2＝－1，則a__?__R.[解析](1)只要熟記常用數(shù)集的記號所對應(yīng)的含義就很容易辨別．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整數(shù)3不是點(diǎn)集{(2,3)}的元素；同樣(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因?yàn)樽鴺?biāo)順序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的數(shù)是±eq\r(3)，當(dāng)然是實(shí)數(shù)，而平方等于－1的實(shí)數(shù)是不存在的．8．設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值構(gòu)成的集合中的元素有__－2,0,2__.[解析]a>0，b>0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝2，a>0，b<0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(－b,b)＝1－1＝0，a<0，b>0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(b,b)＝－1＋1＝0，a<0，b<0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2，∴eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值構(gòu)成的集合中的元素有－2,0,2.三、解答題9．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}；(2){eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)}；(3)被5除余1的正整數(shù)集合；(4)平面直角坐標(biāo)系中第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)的集合；(5)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))的解組成的集合．[解析](1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．(2){x|x＝eq\f(n,n＋2)，n∈N*，n≤5}．(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．(4){(x，y)|xy<0}．(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))))))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0)))))).B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是(C)A．{x|x＝2019} B．{y|(y－2019)2＝0}C．{x＝2019} D．{2019}[解析]選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2019，都是數(shù)集．而選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．2．如果a、b、c、d為集合A的四個(gè)元素，那么以a、b、c、d為邊長構(gòu)成的四邊形可能是(D)A．矩形 B．平行四邊形C．菱形 D．梯形[解析]由于集合中的元素具有“互異性”，故a、b、c、d四個(gè)元素互不相同，即組成四邊形的四條邊互不相等．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個(gè)元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m的值為(B)A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[解析]因?yàn)?∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要滿足互異性，對m的所有取值進(jìn)行一一檢驗(yàn)可得m＝3，故選B．4．已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是(D)A．0?M B．2∈MC．－4?M D．4∈M[解析]當(dāng)x>0時(shí)，eq\f(x,|x|)＝1，當(dāng)x<0時(shí)，eq\f(x,|x|)＝－1，故當(dāng)x，y，z全為正時(shí)，原式＝4；當(dāng)x，y，z兩正一負(fù)時(shí)，xyz<0，原式＝0；當(dāng)x，y，z兩負(fù)一正時(shí)，xyz>0，原式＝0；當(dāng)x，y，z全為負(fù)時(shí)，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故選D．二、填空題5．用列舉法寫出集合{eq\f(3,3－x)∈Z|x∈Z}＝__{－3，－1,1,3}__.[解析]∵eq\f(3,3－x)∈Z，x∈Z，∴3－x為3的因數(shù)．∴3－x＝±1，或3－x＝±3.∴eq\f(3,3－x)＝±3，或eq\f(3,3－x)＝±1.∴－3，－1,1,3滿足題意．6．設(shè)A，B為兩個(gè)實(shí)數(shù)集，定義集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，則集合A＋B中元素的個(gè)數(shù)為__4__.[解析]當(dāng)x1＝1時(shí)，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；當(dāng)x1＝2時(shí)，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；當(dāng)x1＝3時(shí)，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4個(gè)元素．三、解答題7．由三個(gè)數(shù)a，eq\f(b,a)，1組成的集合與由a2，a＋b,0組成的集合是同一個(gè)集合，求a2019＋b2019的值．[解析]由a，eq\f(b,a)，1組成一個(gè)集合，可知a≠0且a≠1.由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1,a＝a＋b,\f(b,a)＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a,a＋b＝1,\f(b,a)＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝0))(舍去)．∴a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A中只有一個(gè)元素，求集合A；(2)若A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍．[解析](1)因?yàn)榧螦是方程ax2－3x＋2＝0的解集，則當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{eq\f(2,3)}，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2－3x＋2＝0應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8)，此時(shí)A＝{eq\f(4,3)}，符合題意．綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{eq\f(2,3)}，當(dāng)a＝eq\f(9,8)時(shí)，A＝{eq\f(4,3)}．(2)由(1)可知，當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{eq\f(2,3)}符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2－3x＋2＝0有實(shí)數(shù)根，則Δ＝9－8a≥0，解得a≤eq\f(9,8)且a≠0.綜上所述，若集合A中至少有一個(gè)元素，則a≤eq\f(9,8).9．若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱該數(shù)集為“可倒數(shù)集”．(1)判斷集合A＝{－1,1,2}是否為可倒數(shù)集；(2)試寫出一個(gè)含3個(gè)元素的可倒數(shù)集．[解析](1)由于2的倒數(shù)為eq\f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒數(shù)集．(2)若a∈A，則必有eq\f(1,a)∈A，現(xiàn)已知集合A中含有3個(gè)元素，故必有一個(gè)元素有a＝eq\f(1,a)，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，eq\f(1,2)}或{－1,2，eq\f(1,2)}或{1,3，eq\f(1,3)}等．1.1.2集合間的基本關(guān)系Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))根據(jù)集合的定義，我們知道集合有無數(shù)多個(gè)，可以用集合來區(qū)分事物．如{四足動物}，{兩足動物}，{綠色植物}，{菌類植物}，{植物}，{動物}，{汽車}．但有些集合之間有密切的關(guān)系．如{四足動物}與{動物}，前一個(gè)集合的元素都是后一個(gè)集合的元素，且后一個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)比前一個(gè)集合元素的個(gè)數(shù)多很多，這兩個(gè)集合之間的關(guān)系如何用簡短的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)呢？學(xué)完本節(jié)內(nèi)容就明白了！Xeq\o(\s\up7(新知導(dǎo)學(xué)),\s\do5(inzhidaoxue))1．Venn圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示(1)優(yōu)點(diǎn)：形象直觀．(2)表示：通常用__封閉曲線__的__內(nèi)部__表示集合．2．子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念[知識點(diǎn)撥](1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)榧螦可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)對于集合A，B，C，若AB，BC，則AC；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A?B，且A≠B，則AB．3．空集(1)定義：不含__任何__元素的集合叫做空集，記為__?__.(2)規(guī)定：__空集__是任何集合的子集．4．集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即A?A．(2)對于集合A，B，C，①若A?B，且B?C，則A?C；②若AB，BC，則AC．(3)若A?B，A≠B，則AB．Yeq\o(\s\up7(預(yù)習(xí)自測),\s\do5(uxizice))1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，則有(D)A．M＜N B．M∈NC．N?M D．MN[解析]∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故選D．2．下列四個(gè)集合中，是空集的為(B)A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}[解析]x>8，且x<5的數(shù)x不存在，∴選項(xiàng)B中的集合不含有任何元素，故選B．3．(2019·河南永城實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末測試)設(shè)集合A＝{x|x＝eq\f(n,2)，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋eq\f(1,2)，n∈Z}，則下列圖形能表示集合A與B的關(guān)系的是(B)[解析]解法一：對于集合A，其組成元素是eq\f(n,2)，分子部分表示所有的整數(shù)；對于集合B，其組成元素是eq\f(1,2)＋n＝eq\f(2n＋1,2)，分子部分表示所有的奇數(shù)．由真子集的概念知，BA．解法二：用列舉法表示集合如下：A＝{…，－eq\f(3,2)，－1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，…}，B＝{…，－eq\f(3,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，…}，所以BA．4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，則實(shí)數(shù)m＝__4__.[解析]因?yàn)锽?A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，比較A，B中的元素可知m＝4.5．(2019·吉林榆樹一中高一期末測試)已知集合A＝{x|x≤a＋5}，B＝{x|x<－1或x>6}，若A?B，求a的取值范圍．[解析]∵A?B，∴將集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由圖可知，a＋5<－1，∴a<－6.Heq\o(\s\up7(互動探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命題方向1?集合間關(guān)系的判定典例1指出下列各對集合之間的關(guān)系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路分析]先找到集合中元素的特征，再由特征判斷集合之間的關(guān)系．[解析](1)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系．(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB．(3)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如下圖所示，由圖可知AB．(4)解法一：兩個(gè)集合的元素都是正奇數(shù)，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.解法二：由列舉法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.『規(guī)律方法』判斷兩個(gè)集合A，B之間是否存在包含關(guān)系有以下幾個(gè)步驟：第一步：明確集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中元素之間的關(guān)系．(1)當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，有A?B．(2)當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，但集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí)，有AB．(3)當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素都屬于集合A時(shí)，有A＝B．(4)當(dāng)集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B，并且集合B中至少也有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí)，有AB，且BA，即集合A，B互不包含．〔跟蹤練習(xí)1〕判斷下列各組集合之間的關(guān)系：(1)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；(3)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}．[解析](1)因?yàn)槿魓是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以AB．(2)因?yàn)锳＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝?，所以BA．(3)由圖形的特點(diǎn)可畫出Venn圖如圖所示，從而CABD．命題方向2?確定集合的子集、真子集典例2設(shè)A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．[思路分析]eq\x(\a\al(用列舉法表,示集合A))→eq\x(\a\al(根據(jù)子集中所含元,素的個(gè)數(shù)寫出子集))→eq\x(\a\al(從子集中除去集合,A本身即得真子集))[解析]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，則方程的根為x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為：?.由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4}，{－1}，{4}．由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為：{－4，－1,4}．因此集合A的子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．『規(guī)律方法』(1)若集合A中有n(n∈N＋)個(gè)元素，則集合A有2n個(gè)子集，有(2n－1)個(gè)真子集，有(2n－1)個(gè)非空子集，有(2n－2)個(gè)非空真子集．(2)寫出一個(gè)集合的所有子集時(shí)，首先要注意兩個(gè)特殊的子集：?和自身．其次，依次按含有1個(gè)元素的子集，含有2個(gè)元素的子集，含有3個(gè)元素的子集……一一寫出，保證不重不漏．〔跟蹤練習(xí)2〕滿足{a，b}?A{a，b，c，d，e}的集合A的個(gè)數(shù)是(C)A．2 B．6C．7 D．8[解析]由題意知，集合A可以為{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．命題方向3?由集合間的關(guān)系求參數(shù)的值和范圍典例3(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，則實(shí)數(shù)m＝__1__；(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路分析](1)根據(jù)子集的定義建立等量關(guān)系，注意分類討論思想的運(yùn)用；(2)對集合B是否為空集進(jìn)行討論，列出有關(guān)不等式(組)，進(jìn)而求出a的取值范圍．[解析](1)因?yàn)锽?A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1.當(dāng)m＝1時(shí)，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，滿足B?A，故m＝1.(2)當(dāng)B＝?時(shí)，只需2a>a＋3，即a>3；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,2a>4))，解得a<－4或2<a≤3.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<－4或a>2.『規(guī)律方法』(1)弄清兩個(gè)集合之間的關(guān)系，誰是誰的子集；(2)看集合中是否含有參數(shù)，若含參數(shù)，應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；(3)將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)，求出相關(guān)參數(shù)的值或取值范圍．〔跟蹤練習(xí)3〕已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若B?A，則a的取值范圍是__a≤3__；(2)若A?B，則a的取值范圍是__a≥3__；(3)若AB，則a的取值范圍是__a>3__；(4)若A＝B，則a的值是__3__.[解析](1)若B?A應(yīng)滿足a≤3.(2)若A?B應(yīng)滿足a≥3.(3)AB應(yīng)滿足a>3.(4)若A＝B則a＝3.00Yeq\o(\s\up7(易混易錯(cuò)警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))典例4已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[錯(cuò)解]由題意并結(jié)合數(shù)軸(如下圖)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,m＋1≥－2,2m－1≤5))，解得2≤m≤3.[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解中忽略了B＝?時(shí)的情形．[正解]①當(dāng)B＝?時(shí)，??A，符合題意，此時(shí)m＋1>2m－1，解得m<2.②當(dāng)B≠?時(shí)，由題意結(jié)合數(shù)軸(如下圖)．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,m＋1≥－2,2m－1≤5))，解得2≤m≤3.綜合上可知m的取值范圍是m≤3.『規(guī)律方法』空集是一種特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，當(dāng)B?A時(shí)，B為空集的情況容易被忽略，因此，當(dāng)條件不明確時(shí)，要注意分情況討論，本題中若不考慮B為空集的情況，將會丟掉m<2這一部分解．Xeq\o(\s\up7(學(xué)科核心素養(yǎng)),\s\do5(uekehexinsuyang))分類討論思想的應(yīng)用分類討論，通俗地講，就是“化整為零，各個(gè)擊破”．分類討論要弄清楚是依據(jù)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行分類的，采用的標(biāo)準(zhǔn)是什么．分類討論的原則是：(1)不重不漏；(2)一次分類只能按所確定的同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行．典例5已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．[思路分析]根據(jù)集合相等的定義和集合元素的互異性求解．由于A＝B，元素a在兩個(gè)集合中都有，故其余兩個(gè)元素的情況需分類討論．[解析]①若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ac,a＋2b＝ac2))，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0，當(dāng)a＝0時(shí)，集合B中的三個(gè)元素相同，不滿足集合中元素的互異性，故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1.當(dāng)c＝1時(shí)，集合B中的三個(gè)元素也相同，∴c＝1舍去，即此時(shí)無解．②若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ac2,a＋2b＝ac))，消去b得2ac2－ac－a＝0，即a(2c2－c－1)＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.又∵c≠1，∴c＝－eq\f(1,2).當(dāng)c＝－eq\f(1,2)時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,4)a,a＋2b＝－\f(1,2)a))，∴b＝－eq\f(3,4)a，∴A＝{a，eq\f(1,4)a，－eq\f(1,2)a}，B＝{a，eq\f(1,4)a，－eq\f(1,2)a}，∴A＝B．綜上可知c＝－eq\f(1,2).『規(guī)律方法』1.兩個(gè)集合相等，則所含元素完全相同，與順序無關(guān)，但要注意檢驗(yàn)，排除與集合元素互異性或與已知相矛盾的情形．2．若兩個(gè)集合中元素均為無限多個(gè)，要看兩集合的代表元素是否一致，且看代表元素滿足條件是否一致，若均一致，則兩集合相等．Keq\o(\s\up7(課堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．則上列式子表示正確的有(C)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[解析]∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正確．2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，則(A)A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3[解析]由題意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－b,1×2＝c))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3,c＝2)).3．(2019·吉林榆樹一中高一期末測試)已知集合A?B，A?C，B＝{0,1,2,8}，C＝{1,3,8,9}，則集合A可以是(A)A．{1,8} B．{2,3}C．{0} D．{9}[解析]∵A?B，A?C，∴集合A中的元素既是集合B的元素又是集合C的元素，∴集合A可以是集合{1,8}，故選A．4．滿足{1}A{1,2,3}的集合A是__{1,2}或{1,3}__.[解析]∵{1}A，∴1∈A，又∵A{1,2,3}，∴2∈A時(shí)，3?A,3∈A時(shí)，2?A，∴A＝{1,2}或{1,3}．5．(2019·河南永城實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末測試)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的值．[解析]A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，∵B?A，∴當(dāng)B＝?時(shí)，a＝0，當(dāng)B≠?時(shí)，B＝{x|x＝eq\f(1,a)}，∴eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝1，∴a＝－1或a＝1.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值是a＝0，a＝－1或a＝1.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，則有(C)A．M?N B．M∈NC．N?M D．M＝N[解析]∵M(jìn)＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N?M.2．下列四個(gè)集合中是空集的是(B)A．{?} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|1<x<2} D．{x|x2＋2x＋1＝0}[解析]方程x2＋1＝0無實(shí)數(shù)解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}為空集，故選B．3．(2019·陜西黃陵中學(xué)高一期末測試)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集個(gè)數(shù)是(C)A．5 B．6C．7 D．8[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集個(gè)數(shù)為7，故選C．4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，則實(shí)數(shù)m等于(C)A．2 B．－1C．2或－1 D．4[解析]∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.5．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A有(D)A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．6個(gè)[解析]集合{1,2,3}的子集共有8個(gè)，其中至少含有一個(gè)奇數(shù)的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6個(gè)．6．設(shè)A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x>a}，若AB，則a的取值范圍是(B)A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}C．{a|a>3} D．{a|a<－1}[解析]由AB，畫出數(shù)軸如圖可求得a≤－1，注意端點(diǎn)能否取得－1是正確求解的關(guān)鍵．二、填空題7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__.[解析]集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．8．設(shè)x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|eq\f(y,x)＝1}，則A，B的關(guān)系是__BA__.[解析]∵B＝{(x，y)|eq\f(y,x)＝1}＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴BA．三、解答題9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集．[解析]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|x－5<0}，則P與Q的關(guān)系為(A)A．PQ B．QPC．P＝Q D．不確定[解析]∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，∴利用數(shù)軸判斷P、Q的關(guān)系．如圖所示，由數(shù)軸可知，PQ.2．已知集合A＝{x|1<x<2019}，B＝{x|x≤a}，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)A．a(chǎn)≥2019 B．a(chǎn)>2019C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)>1[解析]∵AB，故將集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由圖可知，a≥2019，故選A．3．集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))，則下列結(jié)論中正確的是(B)A．1∈A B．B?AC．(1,1)?B D．?∈A[解析]B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))＝{(1,1)}，又點(diǎn)(1,1)在直線y＝x上，故選B．4．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定義P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，則P*Q的子集個(gè)數(shù)為(D)A．7 B．12C．32 D．64[解析]集合P*Q的元素為(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6個(gè)，故P*Q的子集個(gè)數(shù)為26＝64.二、填空題5．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__m≥1__.[解析]∵M(jìn)＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.6．已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B?A，則m＝__0或2或－1__.[解析]由B?A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互異性知m≠1.所以m＝0或2或－1.三、解答題7．設(shè)集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．[解析]∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)當(dāng)a2－a＋1＝3時(shí)，解得a＝－1或a＝2.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．(2)當(dāng)a2－a＋1＝a時(shí)，解得a＝1，此時(shí)集合A中的元素1重復(fù)，故a＝1不符合題意．綜上所述，a＝－1或a＝2.8．設(shè)集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且B?A，求實(shí)數(shù)a、b的值．[解析]∵B中元素是關(guān)于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B?{－1,1}，∴關(guān)于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有兩個(gè)相等根的條件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}?A＝{－1,1}，且B≠?，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．當(dāng)B＝{－1}時(shí)，Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1.當(dāng)B＝{1}時(shí)，Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，解得a＝b＝1.當(dāng)B＝{－1,1}時(shí)，有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，解得a＝0，b＝－1.9．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析]∵B?A，∴當(dāng)B＝?時(shí)，a>2a－1，∴a<1，當(dāng)B≠?時(shí)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>3,a≤2a－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2,a≤2a－1))，解得a>3.綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<1或a>3.1.1.3集合的基本運(yùn)算第一課時(shí)并集和交集Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))已知一個(gè)班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判斷這個(gè)班有多少是獨(dú)生子女嗎？如果不能判斷，你能說出需哪些條件才能對這一問題做出判斷嗎？事實(shí)上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我們就知道，上面給出的條件不足以判斷這個(gè)班獨(dú)生子女的人數(shù)，為了解決這個(gè)問題，我們還必須知道“有兄弟且有姐妹的同學(xué)的人數(shù)”．應(yīng)用本小節(jié)集合運(yùn)算的知識，我們就能清晰地描述并解決上述問題了．Xeq\o(\s\up7(新知導(dǎo)學(xué)),\s\do5(inzhidaoxue))1．并集和交集的定義定義并集交集自然語言一般地，由所有屬于集合A__或__集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作__A∪B__一般地，由屬于集合A__且__屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作__A∩B__符號語言A∪B＝{x|__x∈A__，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且__x∈B__}圖形語言[知識點(diǎn)撥](1)簡單地說，集合A和集合B的全部(公共)元素組成的集合就是集合A與B的并(交)集；(2)當(dāng)集合A，B無公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，只能說它們的交集是空集；(3)在兩個(gè)集合的并集中，屬于集合A且屬于集合B的元素只顯示一次；(4)交集與并集的相同點(diǎn)是：由兩個(gè)集合確定一個(gè)新的集合，不同點(diǎn)是：生成新集合的法則不同．2．并集和交集的性質(zhì)并集交集簡單性質(zhì)A∪A＝__A__；A∪?＝__A__A∩A＝__A__；A∩?＝__?__常用結(jié)論A∪B＝B∪A；A?(A∪B)；B?(A∪B)；A∪B＝B?A?BA∩B＝B∩A；(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩B＝B?B?AYeq\o(\s\up7(預(yù)習(xí)自測),\s\do5(uxizice))1．(2019·全國卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(A)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故選A．2．(2019·江蘇宿遷市高一期末測試)設(shè)集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，則M∪N＝(D)A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．(2019·全國卷Ⅰ理，1)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝(C)A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}[解析]N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－4<x<2}∩{x|－2<x<3}＝{x|－2<x<2}，故選C．4．(2019·江蘇，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，則A∩B＝__{1,6}__.[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，則m＝__3__.[解析]因?yàn)锳∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.Heq\o(\s\up7(互動探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命題方向1?并集的概念及運(yùn)算典例1(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)設(shè)集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[思路分析]第(1)題由定義直接求解，第(2)題借助數(shù)軸求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)畫出數(shù)軸如圖所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．『規(guī)律方法』并集運(yùn)算應(yīng)注意的問題(1)對于描述法給出的集合，應(yīng)先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集，還是點(diǎn)集……，然后將集合化簡，再按定義求解．(2)求兩個(gè)集合的并集時(shí)要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復(fù)的元素只能算一個(gè)．(3)對于元素個(gè)數(shù)無限的集合進(jìn)行并集運(yùn)算時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點(diǎn)的值能否取到．〔跟蹤練習(xí)1〕(1)(2019·江西宜豐中學(xué)高一檢測)已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|－1≤x<3}，則A∪B＝(A)A．{x|－2<x<3} B．{x|1≤x<2}C．{x|－2<x≤1} D．{x|2<x<3}(2)(2019·山東濰坊市高一期末測試)滿足條件M∪{a}＝{a，b}的集合M的個(gè)數(shù)是(C)A．4 B．3C．2 D．1[解析](1)A∪B＝{x|－2<x<2}∪{x|－1≤x<3}＝{x|－2<x<3}．(2)∵M(jìn)∪{a}＝{a，b}，∴M＝或M＝{a，b}，故選C．命題方向2?交集的概念及其運(yùn)算典例2(1)設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}則M∩N＝(B)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1} D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合A∩B等于(D)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝__{(1,2)}__.[思路分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助數(shù)軸求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，A、B的交集即為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))的解集．[解析](1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故選B．(2)將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故選D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))))))＝{(1,2)}．『規(guī)律方法』求集合A∩B的方法與步驟(1)步驟①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B\”的形式；③把化簡后的集合A、B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素則所求交集為?)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，則應(yīng)先解方程，求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個(gè)方程組成的方程組的解集，解集是點(diǎn)集．②若A、B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示．〔跟蹤練習(xí)2〕(1)(2019·天津和平區(qū)高一期中測試)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，則A∩B等于(A)A．{1,3} B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)(2019·廣州荔灣區(qū)高一期末測試)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，則集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故選A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．命題方向3?集合交集、并集運(yùn)算的性質(zhì)及應(yīng)用典例3已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，則p＋q＋r＝__－14__.[思路分析]－2是不是方程x2－px－2＝0的根？怎樣確定集合B?[解析]∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，將x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，∴p＋q＋r＝－14.『規(guī)律方法』利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等這類問題，解答時(shí)常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B．(2)關(guān)注點(diǎn)：當(dāng)集合A?B時(shí)，若集合A不確定，運(yùn)算時(shí)要考慮A＝?的情況，否則易漏解．〔跟蹤練習(xí)3〕已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求M∩N，M∪N；(2)當(dāng)M∩N＝M時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．[解析]由已知得M＝{2}，(1)當(dāng)m＝2時(shí)，N＝{1,2}，所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)若M∩N＝M，則M?N，∴2∈N，所以4－6＋m＝0，m＝2.Yeq\o(\s\up7(易混易錯(cuò)警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))集合運(yùn)算時(shí)忽略空集致錯(cuò)典例4集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范圍．[錯(cuò)解]由題意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者2∈B，∴a＝2或a＝1.[錯(cuò)因分析]A∩B＝B?A?B．而B是二次方程的解集，它可能為空集，如果B不為空集，它可能是A的真子集，也可以等于A．[思路分析]A∩B＝B，B可能為空集，千萬不要忘記．[正解]由題意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，當(dāng)B＝?時(shí)，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；當(dāng)1∈B時(shí)，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此時(shí)B＝{1}，符合題意；當(dāng)2∈B時(shí)，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此時(shí)B＝{0,2}，不合題意；當(dāng)1∈B且2∈B時(shí)，此時(shí)a無解．綜上所述，a≥2.Xeq\o(\s\up7(學(xué)科核心素養(yǎng)),\s\do5(uekehexinsuyang))數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用對于和實(shí)數(shù)集有關(guān)的集合的交集、并集等運(yùn)算問題，常借助于數(shù)軸將集合語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，或借助Venn圖，通過數(shù)形結(jié)合可直觀、形象地看出其解集．典例5已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[思路分析]先將A∪B＝A等價(jià)轉(zhuǎn)化，再借助于數(shù)軸直觀表達(dá)A、B之間的關(guān)系，列出關(guān)于m的不等式組，解不等式組得到m的取值范圍．[解析]∵A∪B＝A，∴B?A．∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.當(dāng)B＝?時(shí)，有m＋1>1－m，解得m>0.當(dāng)B≠?時(shí)，用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示，∵B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m,0≤m＋1,1－m≤4))，解得－1≤m≤0.檢驗(yàn)知m＝－1，m＝0符合題意．綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.『規(guī)律方法』求解此類問題一定要看是否包括端點(diǎn)(臨界)值．集合問題大都比較抽象，解題時(shí)要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解．Keq\o(\s\up7(課堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．(2019·河南永城實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末測試)若集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，則A∪B＝(B)A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<3}C．{x|－1<x<2} D．{x|1<x<3}[解析]A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．2．設(shè)集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，則如圖中陰影部分表示的集合是(C)A．{2,4,6} B．{1,3,6}C．{1,2,3,4,6} D．{6}[解析]圖中陰影表示A∪B，又因?yàn)锳＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故選C．3．(2019·天津文，1)設(shè)集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，則(A∩C)∪B＝(D)A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}[解析]∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故選D．4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__a≤1__.[解析]利用數(shù)軸畫圖解題．要使A∪B＝R，則a≤1.5．設(shè)集合A＝{a2，－3,9}，B＝{4，－3,8}，若A∩B＝{4，－3}，求實(shí)數(shù)a的值．[解析]∵A∩B＝{4，－3}，∴4∈A．∴a2＝4，a＝±2.∴實(shí)數(shù)a的值為±2.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下面四個(gè)結(jié)論：①若a∈(A∪B)，則a∈A；②若a∈(A∩B)，則a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，則a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，則A∩B＝B．其中正確的個(gè)數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①不正確，②③④正確，故選C．2．(2019·大連市高一期末測試)設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則正確的是(D)A．A∩B＝{1,3,4} B．A∪B＝{2,3,4}C．{1}∈A D．1∈A[解析]A∩B＝{1,2}∩{2,3,4}＝{2}，A∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，排除A，B；∵1∈A，故選D．3．(2018·北京文，1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，則A∩B＝(A)A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{x|－2<x<2}∩{－2,0,1,2}＝{0,1}．4．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，則(A∩B)∪C＝(D)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[解析]A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故選D．5．(2019·全國卷Ⅱ理，1)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝(A)A．{x|x<1} B．{x|－2<x<1}C．{x|－3<x<－1} D．{x|x>3}[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故選A．6．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，則M∩N＝(D)A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝4))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))，∴M∩N＝{(3，－1)}，故選D．二、填空題7．設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0<x≤1}，則M∪N＝__{x|0≤x≤1}__.[解析]∵M(jìn)＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．8．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，滿足A∩B＝{2}，則實(shí)數(shù)a＝__2__.[解析]∵A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，A∩B＝{2}，∴a＝2.三、解答題9．設(shè)集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求實(shí)數(shù)a的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．∵a2＋1≠－3