高中數(shù)學(xué)選修21講義第二章23雙曲線

第1課時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在平面直角坐標(biāo)系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．問題1：若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA－MB|＝4，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x，y滿足什么關(guān)系？提示：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.問題2：若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MC－MD|＝4，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則x，y滿足什么關(guān)系？提示：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(±c,0)(0，±c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b21．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓不同，左邊是含x，y項(xiàng)的平方差，右邊是1.2．在雙曲線中，a>0且b>0，但a與b的大小關(guān)系不確定．3．在雙曲線中a、b、c滿足c2＝a2＋b2，與橢圓不同．[例1]已知雙曲線過點(diǎn)P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．[思路點(diǎn)撥]解答本題可分情況設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再構(gòu)造關(guān)于a、b、c的方程組求解，從而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，將兩點(diǎn)代入，簡化運(yùn)算過程．[精解詳析]法一：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))兩點(diǎn)在雙曲線上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(2)2,a2)－\f(－\r(3)2,b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2,a2)－\f(\r(2)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝1，,\f(1,b2)＝\f(1,3)，))即a2＝1，b2＝3，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))兩點(diǎn)在雙曲線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(3)2,a2)－\f(－\r(2)2,b2)＝1，,\f(\r(2)2,a2)－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2,b2)＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝－\f(1,3)，,\f(1,b2)＝－1，))(不符合題意，舍去)．綜上：所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.法二：設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，因?yàn)殡p曲線過兩點(diǎn)P(－eq\r(2)，－eq\r(3))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)，\r(2)))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\r(2)2＋n－\r(3)2＝1，,m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2＋n\r(2)2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－\f(1,3)，))所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.[一點(diǎn)通]用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有共同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(eq\r(15)，4)，求雙曲線的方程；(2)c＝eq\r(6)，經(jīng)過點(diǎn)(－5,2)，焦點(diǎn)在x軸上．解：(1)橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，故可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1.由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝9，,\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))故雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.(2)∵焦點(diǎn)在x軸上，c＝eq\r(6)，∴設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6)．∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(－5,2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求雙曲線方程是eq\f(x2,5)－y2＝1.2．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a＝4，c＝5，焦點(diǎn)在y軸上；(2)焦點(diǎn)為(0，－6)，(0,6)，經(jīng)過點(diǎn)A(－5,6)．解：(1)由題設(shè)知，a＝4，c＝5，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝52－42＝9.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)由已知得c＝6，且焦點(diǎn)在y軸上．因?yàn)辄c(diǎn)A(－5,6)在雙曲線上，所以點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對值是常數(shù)2a，即2a＝|eq\r(－5－02＋6＋62)－eq\r(－5－02＋6－62)|＝|13－5|＝8，則a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.[例2]若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]由雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，得關(guān)于m的不等式組，進(jìn)而解不等式組求m的范圍．[精解詳析]由方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m2－2m－3)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m<0，,m2－2m－3>0.))解得m>5.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(5，＋∞)．[一點(diǎn)通]給出方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)，當(dāng)mn<0時(shí)，方程表示雙曲線，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0))時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0))時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．3．k＞9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示雙曲線的____________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示雙曲線的充要條件是(9－k)·(k－4)＜0，即k＞9或k＜4.因?yàn)閗＞9是k＞9或k＜4的充分不必要條件．即k＞9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示雙曲線的充分不必要條件．答案：充分不必要4．若方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,|m|－3)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________；若該方程表示雙曲線，則m的取值范圍是________．解析：①若表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m>0,|m|－3<0))?－3<m<2.②若該方程表示雙曲線，則(2－m)(|m|－3)<0.解得－3<m<2或m>3.答案：(－3,2)(－3,2)∪(3，＋∞)[例3]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且PF1·PF2＝32，試求△F1PF2的面積．[思路點(diǎn)撥]本題是有關(guān)雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題，解答本題的關(guān)鍵是求得∠F1PF2的大小．由余弦定理，根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的定義即可求得結(jié)果．[精解詳析]雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，可知a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.由雙曲線的定義，得|PF2－PF1|＝2a＝6，將此式兩邊平方，得PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2＝36，∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)＝eq\f(100－100,2PF1·PF2)＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2＝eq\f(1,2)×32＝16.[一點(diǎn)通]在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時(shí)，首先要考慮定義|PF1－PF2|＝2a，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立關(guān)于PF1、PF2、F1F2的方程，解方程組可求得PF1、PF2或PF1·PF2，再解決相關(guān)問題．5．已知雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,25)＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且PF與圓x2＋y2＝16相切于點(diǎn)N，M為線段PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則MN－MO＝________.解析：如圖，設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′，因?yàn)镸，O分別是FP，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以MO＝eq\f(1,2)PF′，又FN＝eq\r(OF2－ON2)＝5，由雙曲線的定義知PF－PF′＝8，故MN－MO＝－eq\f(1,2)PF′＋MF－FN＝eq\f(1,2)(PF－PF′)－FN＝eq\f(1,2)×8－5＝－1.答案：－16．如圖所示，已知定圓F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圓F2：x2＋y2－10x＋9＝0，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．解：圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓F2：(x－5)2＋y2＝42，∴F1(－5,0)，半徑r1＝1；F2(5,0)，半徑r2＝4.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，∴MF2－MF1＝3＜F1F2＝10.∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線左支，且a＝eq\f(3,2)，c＝5.∴b2＝25－eq\f(9,4)＝eq\f(91,4).∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為eq\f(4x2,9)－eq\f(4y2,91)＝1(x≤－eq\f(3,2))．1．用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是一支還是兩支．2．用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先判斷焦點(diǎn)所在的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，由條件列出a，b，c的方程組．課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（九）1．雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,24)＝1上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為________．解析：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，不妨設(shè)PF1＝11，根據(jù)雙曲線的定義知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴當(dāng)PF2＝1時(shí)，1＋11<14(舍去)，∴PF2＝21.答案：212．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，I是△PF1F2的內(nèi)心，且S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2，則λ＝________.解析：設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2?eq\f(1,2)×PF2×r＝eq\f(1,2)×PF1×r－eq\f(1,2)λ×F1F2×r?PF1－PF2＝λF1F2，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知2a＝λ·2c，∴λ＝eq\f(a,c)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)3．若方程eq\f(x2,k－3)＋eq\f(y2,k＋3)＝1(k∈R)表示雙曲線，則k的范圍是________．解析：依題意可知：(k－3)(k＋3)<0，求得－3<k<3.答案：－3<k<34．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1與雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：由雙曲線eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1可知a>0，且焦點(diǎn)在x軸上，根據(jù)題意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故實(shí)數(shù)a＝1.答案：15．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq\r(10)，0)，F(xiàn)2＝(eq\r(10)，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足·＝0，||·||＝2，則該雙曲線的方程是________．解析：∵·＝0，∴⊥.∴||2＋||2＝40.∴(||－||)2＝||2－2||·||＋||2＝40－2×2＝36.∴|||－|||＝6＝2a，a＝3.又c＝eq\r(10)，∴b2＝c2－a2＝1，∴雙曲線方程為eq\f(x2,9)－y2＝1.答案：eq\f(x2,9)－y2＝16．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的長軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(5，eq\f(9,4))；(2)過點(diǎn)P1(3，－4eq\r(2))，P2(eq\f(9,4)，5)．解：(1)因?yàn)闄E圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的長軸端點(diǎn)為A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)．由雙曲線的定義知，|PF1－PF2|＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))eq\r(5＋52＋\f(9,4)－02)－eq\r(5－52＋\f(9,4)－02)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))eq\r(\f(41,4)2)－eq\r(\f(9,4)2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))＝8，即2a＝8，則a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)，分別將點(diǎn)P1(3，－4eq\r(2))，P2(eq\f(9,4)，5)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9A＋32B＝1，,\f(81,16)A＋25B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,9)，,B＝\f(1,16)，))故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.7．設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2＝120°.求△F1PF2的面積．解：由已知得a＝2，b＝1；c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，由余弦定理得：F1Feq\o\al(2,2)＝PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1·PF2cos120°即(2eq\r(5))2＝(PF1－PF2)2＋3PF1·PF2∵|PF1－PF2|＝4.∴PF1·PF2＝eq\f(4,3).∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)PF1·PF2·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).8.如圖，在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，且三內(nèi)角A，B，C滿足2sinA＋sinC＝2sinB，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．解：以AB邊所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)．則A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)．設(shè)邊BC、AC、AB的長分別為a、b、c，由正弦定理得sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝eq\f(c,2).從而有|CA|－|CB|＝eq\f(1,2)|AB|＝2eq\r(2)<|AB|.由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))．∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝6.∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2))．第2課時(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)歌曲《悲傷雙曲線》的歌詞如下：如果我是雙曲線，你就是那漸近線，如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標(biāo)軸，雖然我們有緣，能夠坐在同一平面，然而我們又無緣，漫漫長路無交點(diǎn)．問題1：雙曲線的對稱軸、對稱中心是什么？提示：坐標(biāo)軸；原點(diǎn)．問題2：過雙曲線的某個(gè)焦點(diǎn)且平行于漸近線的直線與雙曲線有交點(diǎn)嗎？提示：有一個(gè)交點(diǎn)．雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)(±c,0)(0，±c)焦距2c范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R頂點(diǎn)(±a,0)(0，±a)對稱性關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對稱軸長實(shí)軸長＝2a，虛軸長＝2b離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x觀察所給兩個(gè)雙曲線方程．(1)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1；(2)x2－y2＝9.問題1：兩個(gè)雙曲線方程有何共同特點(diǎn)？提示：所給的兩個(gè)雙曲線方程的實(shí)軸長和虛軸長相等．問題2：兩個(gè)雙曲線的離心率是多少？提示：eq\r(2).問題3：兩雙曲線的漸近線方程是什么？提示：漸近線方程y＝±x.實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．1．離心率e反映了雙曲線開口的大小，e越大，雙曲線的開口就越大．2．雙曲線有兩條漸近線，漸近線與雙曲線沒有交點(diǎn)．漸近線方程用a，b表示時(shí)，受焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的影響．[例1]求雙曲線9y2－4x2＝－36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．[思路點(diǎn)撥]先化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出基本量a，b，c即可得解，但要注意焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上．[精解詳析]由9y2－4x2＝－36得eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，∴a2＝9，b2＝4.c2＝a2＋b2＝13.∴c＝eq\r(13).∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)，(3,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－eq\r(13)，0)，(eq\r(13)，0)，實(shí)軸長為2a＝6，虛軸長為2b＝4，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x.[一點(diǎn)通]求解雙曲線的幾何性質(zhì)問題時(shí)，首先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分清焦點(diǎn)所在的軸，寫出a與b的值，進(jìn)而求出c，即可求得雙曲線的性質(zhì)．1．(湖北高考改編)已知0<θ<eq\f(π,4)，則雙曲線C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1與C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1，下列說法正確的個(gè)數(shù)為________．①實(shí)軸長相等；②虛軸長相等；③離心率相等；④焦距相等．解析：雙曲線C1和C2的實(shí)軸長分別是2sinθ和2cosθ，虛軸長分別為2cosθ和2sinθ，則焦距都等于2，相等，離心率不相等，只有④正確．答案：12．(福建高考改編)雙曲線x2－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于________．解析：雙曲線x2－y2＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)，漸近線為y＝±x，∴頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(|1－0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)3．求雙曲線16x2－9y2＝－144的實(shí)半軸長、虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程．解：把方程化為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，∴a＝4，b＝3，c＝5.∴實(shí)半軸長a＝4，虛半軸長b＝3，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0，－5)，(0,5)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x.[例2]求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長為12，離心率為eq\f(5,4)；(2)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x；(3)求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，－2)的雙曲線方程．[思路點(diǎn)撥]分析雙曲線的幾何性質(zhì)，求出a，b，c的值，再確定(討論)焦點(diǎn)位置，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．[精解詳析](1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝eq\f(9,2).∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,9)－eq\f(4y2,81)＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝2.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.(3)設(shè)與雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝k，將點(diǎn)(2，－2)代入，得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.[一點(diǎn)通]由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法，其步驟為：(1)判斷：利用條件判斷焦點(diǎn)的位置；(2)設(shè)：設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)列：利用已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程；(4)求：解參數(shù)方程，進(jìn)而得標(biāo)準(zhǔn)方程．4．(廣東高考改編)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率為eq\f(3,2)，則C的方程是________．解析：由題意可知c＝3，a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝15．已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，且焦距與虛軸長之比為5∶4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________．解析：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，則焦點(diǎn)在x軸上，且a＝3，焦距與虛軸長之比為5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝16．求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)M(3,4)且虛軸長是實(shí)軸長的2倍的雙曲線方程．解：①若焦點(diǎn)在x軸上，則雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1.∵M(jìn)(3,4)在雙曲線上，∴eq\f(9,a2)－eq\f(16,b2)＝1.又∵b＝2a，∴9×4－16＝4a2，解得a2＝5，b2＝20，∴雙曲線方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.②若焦點(diǎn)在y軸上，則雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1.∵M(jìn)(3,4)在雙曲線上，∴eq\f(16,a2)－eq\f(9,b2)＝1，又∵b＝2a，∴16×4－9＝4a2，解得a2＝eq\f(55,4)，b2＝55，∴雙曲線方程為eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.綜上可知，雙曲線方程為eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1或eq\f(4y2,55)－eq\f(x2,55)＝1.[例3](1)設(shè)△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，則以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為________．(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線離心率的范圍是________．[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)圖形并由雙曲線的定義確定a與c的關(guān)系，求出離心率，對于問題(2)可以通過圖形借助直線與雙曲線的關(guān)系，因?yàn)檫^點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則必有eq\f(b,a)≥tan60°.[精解詳析](1)由題意2c＝AB＝BC，∴AC＝2×2c×sin60°＝2eq\r(3)c，由雙曲線的定義，有2a＝AC－BC＝2eq\r(3)c－2c?a＝(eq\r(3)－1)c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(3)－1)＝eq\f(1＋\r(3),2).(2)因?yàn)殡p曲線漸近線的斜率為k＝eq\f(b,a)，直線的斜率為k＝tan60°＝eq\r(3)，故有eq\f(b,a)≥eq\r(3)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))≥eq\r(1＋3)＝2，所以所求離心率的取值范圍是e≥2.[答案](1)eq\f(1＋\r(3),2)(2)e≥2[一點(diǎn)通]1．求雙曲線離心率的常見方法：(1)依據(jù)條件求出a，c，利用e＝eq\f(c,a)；(2)利用e＝eq\r(1＋\f(b,a)2)；(3)依據(jù)條件，建立關(guān)于a，b，c的齊次關(guān)系式，消去b，轉(zhuǎn)化為離心率e的方程求解．2．求離心率的范圍，常結(jié)合已知條件構(gòu)建關(guān)于a、b、c的不等關(guān)系．7．(湖南高考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)．若在C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．解析：如圖，由已知可得，PF1＝2ccos30°＝eq\r(3)c，PF2＝2csin30°＝c，由雙曲線的定義，可得eq\r(3)c－c＝2a，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.答案：eq\r(3)＋18．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，若P為其上一點(diǎn)，且PF1＝2PF2，則雙曲線離心率的取值范圍為________．解析：如圖，設(shè)PF2＝m，∠F1PF2＝θ(0<θ≤π)，當(dāng)P在右頂點(diǎn)處θ＝π，e＝eq\f(2c,2a)＝eq\r(\f(m2＋2m2－4m2cosθ,m2))＝eq\r(5－4cosθ).∵－1≤cosθ<1，又∵e>1，∴e∈(1,3]．答案：(1,3]1．雙曲線離心率及其范圍的求法．(1)雙曲線離心率的求解，一般可采用定義法、直接法等方法．(2)雙曲線離心率范圍的求解，涉及解析幾何中“范圍”問題的解法．在解析幾何中，求“范圍”問題，一般可從以下幾個(gè)方面考慮：與已知范圍聯(lián)系，通過求值域或解不等式來完成；通過判別式Δ>0；利用點(diǎn)在曲線內(nèi)部形成的不等式關(guān)系；利用解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如a，eq\r(a)，|a|等非負(fù)性．2．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)焦點(diǎn)不明確時(shí)，方程可能有兩種形式，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，從而直接求得；若已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，還可以將方程設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)避免焦點(diǎn)的討論．課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（十）1．(陜西高考)雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(5,4).則m＝________.解析：∵a＝4，b＝eq\r(m)，∴c2＝16＋m，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(16＋m),4)＝eq\f(5,4)，∴m＝9.答案：92．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為________．解析：根據(jù)題意，由于雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，兩條漸近線的夾角為60°，則可知eq\f(b,a)＝eq\r(3)或eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，那么可知雙曲線的離心率為e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以結(jié)果為2或eq\f(2\r(3),3).答案：2或eq\f(2\r(3),3)3．焦點(diǎn)為(0,6)，且與雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1有相同的漸近線的雙曲線方程是________．解析：由eq\f(x2,2)－y2＝1，得雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(\r(2),2)x.設(shè)雙曲線方程為：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ<0)，∴eq\f(x2,2λ)－eq\f(y2,λ)＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故雙曲線方程為eq\f(y2,12)－eq\f(x2,24)＝1.答案：eq\f(y2,12)－eq\f(x2,24)＝14．(新課標(biāo)全國卷Ⅰ改編)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為________．解析：∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，∴y＝±eq\f(1,2)x.答案：y＝±eq\f(1,2)x5．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|＝3|PF2|，則該雙曲線離心率e的取值范圍是________．解析：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝3|PF