高考一輪復習理數課時達標檢測（五十九）離散型隨機變量的概率分布均值與方差

課時達標檢測(五十九）離散型隨機變量的概率分布、均值與方差一、全員必做題1．(2018·江蘇揚州中學質檢)拋擲甲、乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1,2,3,4的正四面體，其底面落于桌面，記底面上的數字分別為x，y.記eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))表示eq\f(x,y)的整數部分，如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1，設ξ為隨機變量，ξ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,y))).(1)求P(ξ＝1)；(2)求ξ的分布列，并求其數學期望E(ξ)．解：(1)依題意知，實數對(x，y)共有16個，其中使ξ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝1的實數對(x，y)有以下6個：(1,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，(4,4)，所以P(ξ＝1)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).(2)隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4.其中使ξ＝0的實數對(x，y)有以下6個：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，所以P(ξ＝0)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)；由(1)得P(ξ＝1)＝eq\f(3,8)；使ξ＝2的實數對(x，y)有以下2個：(2,1)，(4,2)，所以P(ξ＝2)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)；使ξ＝3的實數對(x，y)有1個：(3,1)，所以P(ξ＝3)＝eq\f(1,16)；使ξ＝4的實數對(x，y)有1個：(4,1)，所以P(ξ＝4)＝eq\f(1,16)，所以ξ的分布列為ξ01234Peq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)eq\f(1,16)eq\f(1,16)E(ξ)＝0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(1,8)＋3×eq\f(1,16)＋4×eq\f(1,16)＝eq\f(17,16).2．(2017·天津高考)從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24).所以隨機變量X的分布列為：X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)eq\f(1,24)隨機變量X的數學期望E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12).(2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數，則所求事件的概率為P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(11,24)＋eq\f(11,24)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,48).所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為eq\f(11,48).3．(2018·蘇州期初)一個口袋中裝有大小相同的3個白球和1個紅球，從中有放回地摸球，每次摸出一個，若有3次摸到紅球即停止．(1)求恰好摸4次停止的概率；(2)記4次之內(含4次)摸到紅球的次數為X，求隨機變量X的分布列．解：(1)設事件“恰好摸4次停止”的概率為P，則P＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,256).(2)由題意，得X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,256)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(27,128)，P(X＝3)＝1－eq\f(81,256)－eq\f(27,64)－eq\f(27,128)＝eq\f(13,256)，∴X的分布列為X0123Peq\f(81,256)eq\f(27,64)eq\f(27,128)eq\f(13,256)二、重點選做題1．(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數學期望達到最大值？解：(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數據知P(X＝200)＝eq\f(2＋16,90)＝0.2，P(X＝300)＝eq\f(36,90)＝0.4，P(X＝500)＝eq\f(25＋7＋4,90)＝0.4.因此X的分布列為：X200300500P0.20.40.4(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.當200≤n＜300時，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300時，Y的數學期望達到最大值，最大值為520元．2．某商場中的20件不同的商品中有eq\f(3,4)是進口商品，其余的是國產商品．在進口商品中有eq\f(1,3)是高端商品，在國產商品中有eq\f(3,5)是高端商品．(1)從該批商品中隨機抽取3件，求恰有1件進口高端商品且國產高端商品少于2件的概率；(2)若銷售1件國產高端商品獲利80元，1件國產非高端商品獲利50元，當銷售該批國產商品3件時，獲利為ξ元，求ξ的分布列及均值E(ξ)．解：(1)設事件B為“從該批商品中隨機抽取3件，恰有1件進口高端商品且國產高端商品少于2件”，事件A1為“抽取的3件商品中，有1件進口高端商品，0件國產高端商品”，事件A2為“抽取的3件商品中，有1件進口高端商品，1件國產高端商品”．因為這20件商品中，進口高端商品有20×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝5(件)，國產高端商品有20×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝3(件)．所以P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,12),C\o\al(3,20))＋eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3)C\o\al(1,12),C\o\al(3,20))＝eq\f(17,38)，即從該批商品中隨機抽取3件，恰有1件進口高端商品且國產高端商品少于2件的概率是eq\f(17,38).(2)由于本批商品中僅有5件國產商品，其中3件是高端商品，故銷售該批國產商品3件時，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值為180,210,240.P(ξ＝180)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝210)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝240)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).所以ξ的分布列為ξ180210240Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)故E(ξ)＝180×eq\f(3,10)＋210×eq\f(3,5)＋240×eq\f(1,10)＝204.三、沖刺滿分題1．袋中裝有黑色球和白色球共7個，從中任取2個球都是白色球的概率為eq\f(1,7).現有甲、乙兩人從袋中輪流摸出1個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后終止．每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的，用X表示摸球終止時所需摸球的次數．(1)求隨機變量X的分布列和均值E(X)；(2)求甲摸到白色球的概率．解：設袋中白色球共有x個，x∈N*且x≥2，則依題意知eq\f(C\o\al(2,x),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，所以eq\f(\f(xx－1,2×1),\f(7×6,2×1))＝eq\f(1,7)，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個球，3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝eq\f(A\o\al(1,3),A\o\al(1,7))＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(1,4)A\o\al(1,3),A\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(2,4)A\o\al(1,3),A\o\al(3,7))＝eq\f(6,35)，P(X＝4)＝eq\f(A\o\al(3,4)A\o\al(1,3),A\o\al(4,7))＝eq\f(3,35)，P(X＝5)＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(1,3),A\o\al(5,7))＝eq\f(1,35).隨機變量X的分布列為X12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)所以E(X)＝1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(2,7)＋3×eq\f(6,35)＋4×eq\f(3,35)＋5×eq\f(1,35)＝2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”．依題意知，P(A1)＝eq\f(A\o\al(1,3),A\o\al(1,7))＝eq\f(3,7)，P(A2)＝eq\f(A\o\al(2,4)A\o\al(1,3),A\o\al(3,7))＝eq\f(6,35)，P(A3)＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(1,3),A\o\al(5,7))＝eq\f(1,35)，所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,7)＋eq\f(6,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(22,35).2．(2017·江蘇高考)已知一個口袋中有m個白球，n個黑球(m，n∈N*，n≥2)，這些球除顏色外完全相同．現將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，…，m＋n的抽屜內，其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k＝1,2,3，…，m＋n).123…m＋n(1)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p；(2)隨機變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數，E(X)是X的數學期望，證明：E(X)＜eq\f(n,m＋nn－1).解：(1)編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p為：p＝eq\f(C\o\al(n－1,m＋n－1),C\o\al(n,m＋n))＝eq\f(n,m＋n).(2)證明：隨機變量X的概率分布為：Xeq\f(1,n)eq\f(1,n＋1)eq\f(1,n＋2)…eq\f(1,k)…eq\f(1,m＋n)Peq\f(C\o\al(n－1,n－1),C\o\al(n,m＋n))eq\f(C\o\al(n－1,n),C\o\al(n,m＋n))eq\f(C\o\al(n－1,n＋1),C\o\al(n,m＋n))…eq\f(C\o\al(n－1,k－1),C\o\al(n,m＋n))…eq\f(C\o\al(n－1,n＋m－1),C\o\al(n,m＋n))隨機變量X