2024年上海市彭浦第三中學(xué)中考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

上海市彭浦第三中學(xué)九年級(jí)假期中考強(qiáng)化訓(xùn)練卷5測(cè)試說明：本卷難度較大，考試時(shí)間：120分鐘一.選擇題（共24分）1.一個(gè)角（大于小于）一定有（）A.余角 B.正切 C.對(duì)頂角 D.余切【答案】CD【解析】【分析】本題主要考查了余角，對(duì)頂角，正切和余切．熟練掌握余角，對(duì)頂角，正切和余切的定義，是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)余角，對(duì)頂角，正切和余切的定義逐一判斷，即得．Ａ．余角．∵兩個(gè)角的和等于，這兩個(gè)角稱為互為余角，∴大于等于小于的角沒有余角，∴大于小于的角不一定有余角；B．正切．根據(jù)正切定義知，角的正切值不存在，或角的正切值為0，∴大于小于的角不一定有正切值；C．對(duì)頂角．∵大于小于的角都有對(duì)頂角，∴大于小于的角一定有對(duì)頂角；D．余切．根據(jù)余切定義知，角的余切值為0，或角的余切值不存在，∴大于小于角一定有余切值．故選：CD．2.如果一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限，且與軸負(fù)半軸相交，那么（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】由題意得，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，k＞0，b＜0，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)y=kx+b的圖象有四種情況：①當(dāng)k＞0，b＞0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；②當(dāng)k＞0，b＜0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大；③當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，y的值隨x的值增大而減?。虎墚?dāng)k＜0，b＜0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小．3.若，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．解：A．若，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．若，，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．若，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．若，，故選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．4.下列說法正確的數(shù)量為（）（1）三角形的外心到三角形三頂點(diǎn)距離相等（2）一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形（3）垂直平分弦的直徑垂直平分弦所對(duì)的弧A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】此題考查了三角形外心、梯形定義、垂徑定理及其推論，根據(jù)三角形外心、梯形的定義、垂徑定理及其推論進(jìn)行判斷即可.解：（1）三角形的外心到三角形三頂點(diǎn)距離相等，說法正確，（2）一組對(duì)邊平行的四邊形，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形，原說法錯(cuò)誤，（3）垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧，原說法錯(cuò)誤，說法正確的數(shù)量1個(gè)，故選：B5.已知野豪豬內(nèi)卷會(huì)成員年齡的平均數(shù)為a，方差為b，則x年后，成員年齡的平均數(shù)和方差的中位數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了方差、中位數(shù)、平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)和方差的變化規(guī)律得到x年后，成員年齡的平均數(shù)和方差分別為和b，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求出答案.解：野豪豬內(nèi)卷會(huì)成員年齡的平均數(shù)為a，方差為b，則x年后，成員年齡的平均數(shù)和方差分別為和b，則成員年齡的平均數(shù)和方差的中位數(shù)為，故選：A6.已知四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AC與BD相交于點(diǎn)O，那么下列條件中能判定四邊形ABCD是等腰梯形的是（）A.AC=BD=BC B.AB=AD=CD C.OB=OC，AB=CD D.OB=OC，OA=OD【答案】D【解析】解：如圖，A、AC=BD=BC，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯(cuò)誤；B、AB=AD=CD，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯(cuò)誤；C、OB=OC，AB=CD，不能證明四邊形ABCD是等腰梯形，錯(cuò)誤；D、∵OB=OC，OA=OD，∴∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠ODA，在△AOB和△DOC中，OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴∠ABO=∠DCO，AB=CD，同理：∠OAB=∠ODC，∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴，∴四邊形ABCD是梯形，∵AB=CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形．故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰梯形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等.二.填空題（共48分）7.解方程：的解為________．【答案】【解析】【分析】此題考查了無理方程，兩邊平方后化為一元二次方程，解方程即可得到答案．解：∴則即∵∴∴故答案為：8.若是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，，則之間距離的最小值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，兩點(diǎn)間距離公式，根的判別式，完全平方公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用根和系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而得到，再利用根的判別式可得，得到，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系及根的判別式是解題的關(guān)鍵．解：∵是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∴∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，∴的最小值為，即之間距離的最小值為，故答案為：．9.一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出一次函數(shù)與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，再利用三角形面積公式即可得到答案．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得∴一次函數(shù)與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，根據(jù)三角形的面積公式得到與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為故答案為：．10.設(shè)等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為n，則面積與周長(zhǎng)之比為_______________．【答案】或【解析】【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形及分母有理化．分兩種情況：n為直角邊和斜邊，分別求出面積與周長(zhǎng)再化簡(jiǎn)即可．解：①當(dāng)n直角邊時(shí)，斜邊為，此時(shí)面積為：，周長(zhǎng)為：，面積與周長(zhǎng)之比為：；②當(dāng)n為斜邊時(shí)，直角邊為，此時(shí)面積為：，周長(zhǎng)為：，面積與周長(zhǎng)之比為：；綜上所述，等腰直角三角形的邊長(zhǎng)為n時(shí)，面積與周長(zhǎng)之比為或．故答案為：或．11.解方程：的解為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查解可化為一元二次方程的分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．解：原方程去分母得：，整理得：，解得：，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是增根，當(dāng)時(shí)，，故原方程的解為，故答案為：．12.如果，，則_________．【答案】8或##或8【解析】【分析】此題考查了代數(shù)式的求值，先根據(jù)，得到或，再代入代數(shù)式求值即可．∵，，∴或，∴或，故答案為：8或13.在中，，的垂直平分線交延長(zhǎng)線于E，則長(zhǎng)為_______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，連接，設(shè)為x，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，然后由勾股定理可列出方程，求解即可．解：連接，設(shè)為x，則在中，，∴，解得：，∴，故答案為：．14.將拋物線沿y軸向上平移，使得平移后的拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，若，則平移后拋物線的解析式為________．【答案】##【解析】【分析】此題考查了拋物線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)值求特殊角度，設(shè)平移后的拋物線解析式為，由推出，得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，將其代入即可求出拋物線的解析式．設(shè)平移后的拋物線解析式為，∵，∴，∵拋物線沿y軸向上平移，使得平移后的拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，設(shè)拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為B，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，將代入，得，解得（舍）或，∴拋物線的解析式為，故答案為．15.一組數(shù)據(jù)共4個(gè)數(shù)，眾數(shù)為6，中位數(shù)為5，平均數(shù)為4，方差為_________．【答案】6【解析】【分析】此題考查了方差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，先根據(jù)題意得到該組的四個(gè)數(shù)據(jù)為，再根據(jù)方差的定義進(jìn)行解答即可．解：∵眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，且平均數(shù)是4，則這組數(shù)總和為，∴這組數(shù)據(jù)中有兩個(gè)6，∵中位數(shù)為5，∴從小大排列后第三個(gè)數(shù)據(jù)為，∴最小的數(shù)據(jù)為，即這組數(shù)據(jù)為，∴方差為故答案為：616.已知，若拋物線與線段沒有交點(diǎn)，則m取值范圍為________．【答案】或【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，由可得拋物線隨m值的變化，拋物線頂點(diǎn)在直線上移動(dòng)，分拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)A左側(cè)，在點(diǎn)A右側(cè)，兩種情況討論即可．解：由可得拋物線的對(duì)稱軸直線為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象開口向上，如圖，隨m值的變化，拋物線頂點(diǎn)在直線上移動(dòng)，當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，，把代入得，解得或(舍去)，時(shí)，拋物線與線段沒有交點(diǎn)，當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，，設(shè)線段所在直線的解析式為，將代入，得：，解得：，線段所在直線的解析式為，聯(lián)立，得：，拋物線與線段沒有交點(diǎn)，，，綜上，當(dāng)或，拋物線與線段沒有交點(diǎn)，故答案為：或．17.已知有一組不少于5個(gè)連續(xù)正整數(shù)組成的數(shù)據(jù)，從中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)字，是素?cái)?shù)的概率為，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________．【答案】或【解析】【分析】本題考查了素?cái)?shù)，概率，標(biāo)準(zhǔn)差等知識(shí)．熟練掌握素?cái)?shù)，概率，標(biāo)準(zhǔn)差是解題的關(guān)鍵．由題意知，數(shù)據(jù)中素?cái)?shù)、合數(shù)各一半，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且為6或8，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為6時(shí)，設(shè)連續(xù)正整數(shù)為，可得平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差為，計(jì)算求解；同理可求當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為8時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差，然后作答即可．解：∵從中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)字，是素?cái)?shù)的概率為，∴數(shù)據(jù)中素?cái)?shù)、合數(shù)各一半，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，且為6或8，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為6時(shí)，設(shè)連續(xù)正整數(shù)為，平均數(shù)為，∴標(biāo)準(zhǔn)差為，同理，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為8時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為，綜上所述，標(biāo)準(zhǔn)差為或，故答案為：或．18.若一個(gè)等腰三角形可以被一條直線分成兩個(gè)等腰三角形，那么我們稱這個(gè)三角形為“完美三角形”，則完美三角形的頂角度數(shù)為_________．【答案】或或【解析】【分析】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．分兩種情況畫出圖形，①當(dāng)，時(shí)，設(shè)，得．．由，則，即可得到；②當(dāng)，，時(shí)，設(shè)．得．則，則，得．③當(dāng)，，時(shí)．得到．由得到，則，即可得到解：分三種情況討論：①如圖（1），當(dāng)，時(shí)，設(shè)．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，解得．②如圖（2），當(dāng)，，時(shí)，設(shè)．∵，∴．∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，解得．③如圖（3），當(dāng)，，時(shí)．∵，∴．∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴∴則完美三角形的頂角度數(shù)為或或．故答案為：或或三.解答題（共78分）19.求：方程所有解的和與方程所有解的和的比值【答案】【解析】【分析】本題考查了利用二次根式解方程，換元法，解一元二次方程，二次根式有意義的條件，分別求出兩個(gè)方程的解，再求出比值即可求解，掌握二次根式的性質(zhì)及二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．解：由方程得，，∴，整理得，，解得，，∵，∴，∴不合題意，舍去，∴，∴方程的解為；令，則，∴，∴原方程變形為，整理得，，解得，，∵，∴，∴，整理得，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，均為原方程的解，∴，∴兩個(gè)方程所有解的和的比．20.已知，求的值．【答案】【解析】【分析】在中，，取的中點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)等積法求出，根據(jù)，求出，得出，求出，，根據(jù)，得出即可．解：如圖，在中，，取的中點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，∵，∴設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∵D點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．21.如圖，是圓O直徑，弦，垂足為D，圓O周長(zhǎng)為，（1），求內(nèi)切圓的面積；（2），求證：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】此題考查了垂徑定理、內(nèi)切圓、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）連接，證明，則是等邊三角形，得到，點(diǎn)O是內(nèi)心，求出，即可得到內(nèi)切圓的面積；（2）連接，根據(jù)（1）中的結(jié)論求出，即可證明．【小問1】解：連接，∵圓O直徑，圓O周長(zhǎng)為，∴，，∴，∵∴，∵是圓O直徑，弦，∴，垂直平分，∴，∴是等邊三角形，∴，點(diǎn)O是的內(nèi)心，∴，∴∴內(nèi)切圓的面積為；【小問2】如圖，連接，∵是等邊三角形，，∴，，∴，∵點(diǎn)O是的內(nèi)心，∴，∴∴．22.如圖所示直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在第一象限，，它的橫坐標(biāo)為1，拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及其與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)（2）求證：平分（3）求的值【答案】（1），（2）證明過程見（3）【解析】【分析】（1）作軸于點(diǎn)D，求出，，證明，得出，進(jìn)而可求出，把代入，即可求出拋物線的解析式，令，，可得另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）用勾股定理求出的長(zhǎng)，用三角函數(shù)求出即可證明結(jié)論；（3）求出兩個(gè)三角形的面積即可得結(jié)論．【小問1】解：作軸于點(diǎn)D，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，，把代入，得，解得，，令，，，另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小問2】證明：在，，，，在，，，，，平分；【小問3】解：.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題型，綜合運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23.已知正數(shù)a，b，c，d滿足，菱形的邊長(zhǎng)為a，b，c，k的中位數(shù)，如圖，點(diǎn)M從菱形的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿邊方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，如果設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑為x，的面積為y，y與x的函數(shù)圖像如圖所示的折線．（1）菱形的周長(zhǎng)為______，________；（2）求：的值；（3）如果點(diǎn)N是圖中線段上一點(diǎn)，，那么點(diǎn)N的坐標(biāo)為________；（4）當(dāng)點(diǎn)M在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為_______，定義域?yàn)開______．【答案】（1），（2）（3）（4），【解析】【分析】（1）由圖可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可求出菱形的邊長(zhǎng)為5，三角形的面積為10，作于E，求出即可求得；（2）由菱形的邊長(zhǎng)為a，b，c，k的中位數(shù)，菱形的邊長(zhǎng)為5，求得，化簡(jiǎn)代入即可求值；（3）在上取點(diǎn)N，作軸于F，得，由，得，由題意可知，，，求出，，，可得；（4）設(shè)直線為，將，代入，解出可得解析式，由圖像可得定義域．【小問1】解：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，可得菱形的邊長(zhǎng)為5，周長(zhǎng)為，作于E，，即，，；故答案為：，；【小問2】解：菱形的邊長(zhǎng)為a，b，c，k的中位數(shù)，菱形的邊長(zhǎng)為5，，，，，，，；【小問3】解：如圖，在上取點(diǎn)N，作軸于F，，由題意可知，，，，，，，，；【小問4】解：，，設(shè)直線為，得，解得，，定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?，．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)、動(dòng)點(diǎn)、三角函數(shù)等綜合題，主要考查待定系數(shù)法和中位數(shù)、三角函數(shù)問題，涉及到菱形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求三角函數(shù)值等知識(shí)，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出適合的數(shù)學(xué)模型．24.如圖，在中，，，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過C作，截取，連接．（1）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，不變的角為_______，度數(shù)為________；（2）①設(shè)，為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域，并求出S的最大值；②求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)；③設(shè)點(diǎn)D到線段距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其與x軸夾角的正切值．【答案】（1），（2）①，，S的最大值為8；②；③，【解析】【分析】（1）證明，則，，由，可知在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，不變，由，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，變化，可知變化，則變化；（2）①由題意知，，如圖1，作于，則，當(dāng)時(shí)，，由勾股定理得，，則，即；當(dāng)時(shí)，同理求解即可；進(jìn)而可得，，然后求最值即可；②由（1）知，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，不變?yōu)?，則在過點(diǎn)且垂直于的直線上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為；③如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過作的延長(zhǎng)線于，則，由①②可知，，，則，，，則，即，可求直線與軸的交點(diǎn)分別為、，進(jìn)而可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式與x軸夾角的正切值為，計(jì)算求解即可．【小問1】解：由題意知，，∴，即，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，即在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，不變，∵，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，變化，∴變化，∴變化，故答案為：，；【小問2】①解：∵，，∴，如圖1，作于，圖1∴，當(dāng)時(shí)，，由勾股定理得，，∴，即；當(dāng)時(shí)，，由勾股定理得，，同理可得，，綜上所述，，，∵，∴當(dāng)或時(shí)，取最大值為8；②解：由（1）知，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，不變?yōu)?，∴在過點(diǎn)且垂直于的直線上運(yùn)動(dòng)，∵，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為；③解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過作的延長(zhǎng)線于，則，圖2由①②可知，，，∴，∴，，∴，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴直線與軸的交點(diǎn)分別為、，∴y關(guān)于x的函數(shù)