五年級奧數(shù)教材舉一反三課程40講全

奧

數(shù)

舉

反

1.平均數(shù)（一）

專題簡析：

把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等，求

得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。

如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？

下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：

平均數(shù)=總數(shù)量：總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量X平均數(shù)

例1有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36

個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？

分析與解答：（1）1箱蘋果+1箱梨+1箱橘子=42X3=126（個）；

（2）1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36X3=108（個）

（3）1箱蘋果+1箱桃=37X2=74（個）

由（1）（2）兩個等式可知：

1箱蘋果比1箱桃多126—108=18（個），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1箱桃

有（74—18）-4-2=28（個），1箱蘋果有28+18=46（個）。

1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37X2=74（個）

1箱蘋果比1箱桃多多少個：42X3-36=18（個）

1箱蘋果有多少個：28+18=46（個）

練習(xí)一

1,一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁

二人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？

2,甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共

重126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？

3,甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、丙兩組

平均每組植樹17棵，乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？

例2—次數(shù)學(xué)測驗，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；

男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？

分析：女生每人比全班平均分高92-91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低

91.2-90.5=0.7（分）。全體女生高出全班平均分0.8X21=16.8（分），應(yīng)補給每

個男生0.7分，16.8里包含有24個0.7,即全班有24個男生。

練習(xí)二

1,兩組學(xué)生進行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下,

乙組平均每人跳160下。乙組有多少人？

2,有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是92.5千克，已知一塊地是5畝，平均每畝產(chǎn)量是

101.5千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？

3,把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平均每千

克8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？

例3某3個數(shù)的平均數(shù)是2,如果把其中一個數(shù)改為4,平均數(shù)就變成了3。被改的

數(shù)原來是多少？

分析：原來三個數(shù)的和是2義3=6,后來三個數(shù)的和是3義3=9,9比6多出了3,是因

為把那個數(shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是4-3二1。

練習(xí)三

1,已知九個數(shù)的平均數(shù)是72,去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)

是多少？

2,有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1,那么這五個數(shù)的平均數(shù)為8o

這個改動的數(shù)原來是多少？

3,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分

數(shù)時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考

試中得了多少分？

2.平均數(shù)（二）

例1小明前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是84分，這次要考100分，才能把平均成績

提高到86分。問這是他第幾次測驗？

分析與解答：100分比86分多14分，這14分必須填補到前幾次的平均分84分中去,

使其平均分成為86分。每次填補86—84=2（分），14里面有7個2,所以，前面已

經(jīng)測驗了7次，這是第8次測驗。

練習(xí)一

1,老師帶著幾個同學(xué)在做花，老師做了21朵，同學(xué)平均每人做了5朵。如果師生合

起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學(xué)在做花？

2,一位同學(xué)在期中測驗中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門功課的平均成績是94分，如果數(shù)

學(xué)算在內(nèi)，平均每門95分。已知他數(shù)學(xué)得了100分，問這位同學(xué)一共考了多少門功

課？

3,兩組同學(xué)進行跳繩比賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳140次，

如果乙組平均每人跳160次，那么，乙組有多少人？

例2兩地相距360千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰?0小時，已知這條河的水流速

度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？

分析與解答：用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然，

要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所用的時間。因為360?10=36（千米）

是順?biāo)俣龋瞧У撵o水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是36

-6=30（千米）。而逆水速度;靜水速度一水流速度，所以汽艇的逆水速度是30-

6=24（千米）。逆水行全程時所用時間是360:24=15（小時），往返的平均速度是

360X2：（10+15）=28.8（千米）。

練習(xí)二

1,甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達甲碼頭，已知

汽船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達乙碼頭？

2,甲船逆水航行300千米，需要15小時，返回原地需要10小時；乙船逆水航行同

樣的一段水路需要20小時，返回原地需要多少小時？

例3王強從A地到B地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12千米。剩下的

步行，每小時走4千米。王強行完全程的平均速度是每小時多少千米？

分析與解答：求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時間。由于題中

沒有告訴我們A地到B地間的路程，我們可以設(shè)全程為24千米（也可以設(shè)其他數(shù)），

這樣，就可以算出行全程所用的時間是12:12+12：4=4（小時），再用24：4就能

得到行全程的平均速度是每小時6千米。

練習(xí)三

1,小明去爬山，上山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小明往返

的平均速度。

2,運動員進行長跑訓(xùn)練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中每分鐘

跑100米。求他在整個長跑中的平均速度。

3,把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打20個字。

打這份書稿平均每分鐘打多少個字？

3.長方形、正方形的周長

同學(xué)們都知道，長方形的周長二（長+寬）X2,正方形的周長二邊長義4。長方形、

正方形的周長公式只能用來計算標(biāo)準(zhǔn)的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用所學(xué)知識巧

求表面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已學(xué)知識，

掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的圖形，以便計算它們的周長。

例1有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方

形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。

思路與導(dǎo)航根據(jù)題意，我們可以把每個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、

(a)(b)

練習(xí)一

1,下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。

2,下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。

50cm

3,有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形

的周長。

例2一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積為

192平方厘米?，F(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？

思路導(dǎo)航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三塊（如圖），其中AB的面積

是192—4義4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一個寬4厘米的長方形，而

此長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。176?4=44（厘米）,現(xiàn)在這塊

木板的周長是44X2=88（厘米）。

A

CB

練習(xí)二

1,有一個長方形，如果長減少4米，寬減少2米，面積就比原來減少44平方米,

且剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長。

2,有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米，如果按下圖疊放在一起,

這個圖形的周長是多少？

3,有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩下的部分

仍是長方形，且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？

例3已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？

甲

乙

ab

思路導(dǎo)航從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條線段圍成，其中三條橫著，

三條豎著。三條橫著的線段和是（a+b）X2,三條豎著的線段和是bX2o所以，整

個圖形的周長是（a+b）X2+bX2,即2a+4b。

練習(xí)三

1,有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的

正方形后準(zhǔn)備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。

2,一個長12厘米，寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖（1）所示長

方形，求所拼長方形的周長。

3,求下面圖形（圖2）的周長（單位：厘米）。

2

-------------------8

10

圖⑴圖（2）

例4下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。

思路導(dǎo)航我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左邊，其和正好是

4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。因此，陰影部分的

周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的。

練習(xí)

1,在（）里填上“〉”、"V”或“二”。

甲的周長（）乙的周長

2,下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。

22厘米

4.長方形、正方形的面積

專題簡析：

長方形的面積二長X寬，正方形的面積二邊長X邊長。掌握并能運用這兩個面積公

式，就能計算它們的面積。

但是，在平時的學(xué)習(xí)過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較

復(fù)雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關(guān)概念，利

用“割補”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”等方法，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求長方形、正

方形面積的問題，從而正確解答。

例1已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大40平

方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？

分析從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大出的40平方厘米，可

以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40平方厘米減去陰影部分的面積,

再除以2就能得到長方形A和B的面積，再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊

長。求到了小正方形的邊長，計算大、小正方形的面積就非常簡單了。

練習(xí)一

1,有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬2米的小路，

求小路的面積。

2,正方形的一組對邊增加30厘米，另一組對邊減少18厘米，結(jié)果得到一個與原正

方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？

3,把一個長方形的長增加5分米，寬增加8分米后，得到一個面積比原長方形多

181平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？

例2把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個正

方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？

一_A；

B；

2020

分析我們可以把小正方形移至大正方形里面進行分析。兩個正方形的面積差

40平方分米就是圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正方形的上面，

不難看出，A和B正好組成一個長方形，此長方形的面積是40平方分米，長20分米,

寬是404-20=2（分米），即大、小兩個正方形的邊長相差2分米。因此，大正方形

的邊長就是（20+2）-4-2=11（分米），面積是11義11=121（平方分米）

練習(xí)二

1,一塊正方形，一邊劃出15米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來減少

了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？

2,一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95平方厘米。

原來正方形的面積是多少平方厘米？

3,有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是80平方米。

求草坪的面積。

5一般應(yīng)用題（一）

專題簡析:

一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的已知條件

是間接的，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應(yīng)用題沒

有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時，可以借助線段圖、示意圖、

直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推

出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個條件（分析法）。在實

際解時，可以根據(jù)題中的已知條件，靈活運用這兩種方法。

例1五年級有六個班，每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊活動，剩下的同

學(xué)相當(dāng)于原來4個班的人數(shù)。原來每班多少人？

分析與解答：從每班選16人參加少先隊活動，6個班共選16X6=96（人）。剩下的

同學(xué)相當(dāng)于原來4個班的人數(shù)，那么，96人就相當(dāng)于原來（6-4）個班人人數(shù)，所

以，原來每班96：2=48（人）。

練習(xí)一

1,五個同學(xué)有同樣多的存款，若每人拿出16元捐給“希望工程”后，五位同學(xué)剩下

的錢正好等于原來3人的存款數(shù)。原來每人存款多少？

2,把一堆貨物平均分給6個小組運，當(dāng)每個小組都運了68箱時，正好運走了這堆貨

物的一半。這堆貨物一共有多少箱？

3,老師把一批樹苗平均分給四個小隊栽，當(dāng)每隊栽了6棵時，發(fā)現(xiàn)剩下的樹苗正好

是原來每隊分得的棵數(shù)。這批樹苗一共有多少棵？

例2某車間按計劃每天應(yīng)加工50個零件，實際每天加工56個零件。這樣，不僅提

前3天完成原計劃加工零件的任務(wù)，而且還多加工了120個零件。這個車間實際加工

了多少個零件？

分析如果按原計劃的天數(shù)加工，加工的零件就會比原計劃多56X3+120=288

（個）。為什么會多加工288個呢？是因為每天多加工了56—50=6（個）。因此，

原計劃加工的天數(shù)是288：6:48（天）,實際加工了50X48+120=1520（個）零件。

練習(xí)二

1,汽車從甲地開往乙地，原計劃每小時行40千米，實際每小時多行了10千米，這

樣比原計劃提前2小時到達了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？

2,小明騎車上學(xué)，原計劃每分鐘行200米，正好準(zhǔn)時到達學(xué)校，有一天因下雨，他

每分鐘只能行120米，結(jié)果遲到了5分鐘。他家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

3,加工一批零件，原計劃每天加工80個，正好按期完成任務(wù)。由于改進了生產(chǎn)技術(shù),

實際每天加工100個，這樣，不僅提前4天完成加工任務(wù)，而且還多加工了100個。

他們實際加工零件多少個？

6一般應(yīng)用題（二）

專題簡析：

較復(fù)雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但是，

再復(fù)雜的應(yīng)用題都可以通過“轉(zhuǎn)化”向基本的問題靠攏。因此，我們在解答一般應(yīng)用

題時要善于分析，把復(fù)雜的問題簡單化，從而正確解答。

例1工程隊要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長管子鋪需要25根，用短管子鋪需要35

根。已知這兩種管子的長相差2米，這段排水管道長多少米？

分析因為每根長管子比每根短管子長2米，25根長管子就比25根短管子長50米。

而這50米就相當(dāng)于（35—25）根短管子的長度。因此，每根短管子的長度就是50：

（35-25）=5（米），這段排水管道的長度應(yīng)是5X35=175（米）。

練習(xí)一

1,生產(chǎn)一批零件，甲單獨生產(chǎn)要用6小時，乙單獨生產(chǎn)要用8小時。如果甲每小時

比乙多生產(chǎn)10個零件，這批零件一共有多少個？

2,一班的小朋友在操場上做游戲，每組6人。玩了一會兒，他們覺得每組人數(shù)太少

便重新分組，正好每組9人，這樣比原來減少了2組。參加游戲的小朋友一共有多少

人？

3,甲、乙二人同時從A地到B地，甲經(jīng)過10小時到達了B地，比乙多用了4小時。

已知二人的速度差是每小時5千米，求甲、乙二人每小時各行多少千米？

例2甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果，分配時甲、乙都比丙多拿24千

克。結(jié)帳時，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋果多少元？

分析三人拿同樣多的錢買蘋果應(yīng)該分得同樣多的蘋果。24義2：3=16（千克），也

就是丙少拿16千克蘋果，所以得到24X2=48元。每千克蘋果是48：16=3（元）。

練習(xí)二

1,甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛筆若干支，分鉛筆時，甲拿了13支，乙拿了7

支，因此，甲又給了乙6角錢。每支鉛筆多少錢？

2,春游時小明和小軍拿出同樣多的錢買了6個面包，中午發(fā)現(xiàn)小紅沒有帶食品，結(jié)

果三人平均分了這些面包，而小紅分別給了小明和小軍各2.2元錢。每個面包多少元？

3,“六一”兒童節(jié)時同學(xué)們做紙花，小華買來了7張紅紙，小英買來了和紅紙同樣

價格的5張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學(xué)，結(jié)果另外兩

名同學(xué)共付給老師9元錢。老師把9元錢怎樣分給小華和小英？

例3甲城有177噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重

量是2噸，大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車和小卡

車來運輸時耗油最少？

分析大汽車一次運5噸，耗油10升，平均運1噸貨耗油104-5=2（升）；小汽車

一次運2噸，耗油5升，平均運1噸貨耗油52=2.5（升）。顯然，為耗油量最少

應(yīng)該盡可能用大卡車。177:5=35（輛）……2噸，余下的2噸正好用小卡車運。因

此，用35輛大汽車和1輛小汽車運耗油量最少。

練習(xí)三

1,五名選手在一次數(shù)學(xué)競賽中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。如

果最高分是90分，那么得分最少的選手至少得多少分？

2,用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，那么最多可以買1角的郵票多少張？

3,某班有60人，其中42人會游泳，46人會騎車，50人會溜冰，55人會打乒乓球。

可以肯定至少有多少人四項都會？

例4有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報紙，其中北

京日報34份，江海晚報30份，電視報22份。那么訂江海晚報和電視報的共有多少

家？

分析這棟樓共訂報紙34+30+22=86（份），因為每家都訂2份不同的報紙，所以一

共有86：2=43家。在這43家居民中，有34家訂了北京日報，剩下的9家居民一定

是訂了江海晚報和電視報。

練習(xí)四

1,五（1）班全體同學(xué)每人帶2個不同的水果去慰問解放軍叔叔，全班共帶了三種水

果，其中蘋果40個，梨32個，桔子26個。那么，帶梨和桔子的有多少個同學(xué)？

2,在一次慶祝“六一”兒童節(jié)活動中，一個方隊的同學(xué)每人手里都拿兩種顏色的氣

球，共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有56只，黃色的有60只，綠色的有46只。

那么，手拿紅、綠兩種氣球的有多少個同學(xué)？

3,學(xué)校開設(shè)了音樂、球類和美術(shù)三個興趣小組，第一小隊的同學(xué)們每人都參加了其

中的兩個小組，其中9人參加球類小組，6人參加美術(shù)小組，7人參加音樂小組的活

動。參加美術(shù)和音樂小組活動的有多少個同學(xué)？

例5一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機向外抽水，此時已進水800桶。

一臺抽水機每分鐘抽水18桶，另一臺每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完。每分鐘

進水多少桶？

分析50分鐘內(nèi)，兩臺抽水機一共能抽水（18+14）X50=1600（桶）。1600桶水中,

有800桶是開始抽之前就漏進的，另800桶是50分鐘又漏進的，因此，每分鐘漏進

水800：50=16（桶）o

練習(xí)五

1,一個水池能裝8噸水，水池里裝有一個進水管和一個出水管。兩管齊開，20分鐘

能把一池水放完。已知進水管每分鐘往池里進水0.8噸，求出水管每分鐘放水多少噸？

2,某工地原有水泥120噸。因工程需要，又派5輛卡車往工地送水泥，平均每輛卡

車每天送25噸，3天后工地上共有水泥101噸。這個工地平均每天用水泥多少噸？

3,一堆貨物重96噸，甲隊用16小時運完，乙隊用24小時運完。如果讓兩隊同時合

運，幾小時運完？

第9周一般應(yīng)用題（三）

專題簡析

解答一般應(yīng)用題時，可以按下面的步驟進行:

1,弄清題意，找出已知條件和所求問題；

2,分析已知條件和所求問題之間的關(guān)系，找出解題的途徑；

3,擬定解答計劃，列出算式，算出得數(shù)；

4,檢驗解答方法是否合理，結(jié)果是否正確，最后寫出答案。

例1甲、乙兩工人生產(chǎn)同樣的零件，原計劃每天共生產(chǎn)700個。由于改進技術(shù)，甲

每天多生產(chǎn)100個，乙的日產(chǎn)量提高了1倍，這樣二人一天共生產(chǎn)1020個。甲、乙

原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？

分析二人實際每天比原計劃多生產(chǎn)1020-700=320（個）。這320個零件中，有

100個是甲多生產(chǎn)的，那么320—100=220（個）就是乙日產(chǎn)量的1倍，即乙原來的日

產(chǎn)量，甲原來每天生產(chǎn)700—220=480（個）。

練習(xí)一

1,工廠里有2個鍋爐，原來每月燒煤5.6噸。進行技術(shù)改造后，1號鍋爐每月節(jié)約1

噸煤，2號鍋爐每月燒煤量減少了一半，現(xiàn)在每月共燒煤3.5噸。原來兩個鍋爐每月

各燒煤多少噸？

2,甲、乙兩人生產(chǎn)同樣的零件，原計劃每天共生產(chǎn)80個。由于更換了機器，甲每天

多做40個，乙每天生產(chǎn)的是原來的4倍，這樣二人一天共生產(chǎn)零件300個。甲、乙

原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？

3,甲、乙兩隊合挖一條水渠，原計劃兩隊每天共挖100米，實際甲隊因有人請假，

每天比計劃少挖15米，而乙隊由于增加了人，每天挖的是原計劃的2倍，這樣兩隊

每天一共挖了150米。求兩隊原計劃每天各挖多少米？

例2把一根竹竿插入水底，竹竿濕了40厘米，然后將竹竿倒轉(zhuǎn)過來插入水底，這

時，竹竿濕的部分比它的一半長13厘米。求竹竿的長。

分析因為竹竿先插了一次，濕了40厘米，倒轉(zhuǎn)過來再插一次又濕了40厘米，所以

濕了的部分是40X2=80（厘米）。這時，濕的部分比它的一半長13厘米，說明竹竿

的長度是（80—13）X2=134（厘米）。

練習(xí)二

1,有一根鐵絲，截去一半多10厘米，剩下的部分正好做一個長8厘米，寬6厘米的

長方形框架。這根鐵絲原來長多少厘米？

2,有一根竹竿，兩頭各截去20厘米，剩下部分的長度比截去的4倍少10厘米。這

根竹竿原來長多少厘米？

3,兩根電線一樣長，第一根剪去80米，第二根剪去320米，剩下部分第一根是第二

根長度的4倍。兩根電線原來各長多少米？

例3將一根電線截成15段。一部分每段長8米，另一部分每段長5米。長8米的

總長度比長5米的總長度多3米。這根鐵絲全長多少米？

分析設(shè)這15段中有X段是8米長的，則有（15—X）段是5米長的。然后根據(jù)“8

米的總長度比5米的總長度多3米”列出方程，并進行解答。

練習(xí)三

1,某人過一個小山坡共用了20分鐘，他上坡每分鐘走80米，下坡每分鐘走102米。

上坡路比下坡路少220米。這段小坡路全長多少米？

2,食堂里買來15袋大米和面粉，每袋大米25千克，每袋面粉10千克。已知買回的

大米比面粉多165千克，求買回大米、面粉各多少千克？

3,老師買回兩種筆共16支獎給三好學(xué)生，其中鉛筆每支0.4元，圓珠筆每支1.2元,

買圓珠筆比買鉛筆共多用了1.6元。求買這些筆共用去多少錢？

例4甲、乙兩名工人加工一批零件，甲先花去2.5小時改裝機器，因此前4小時甲

比乙少做400個零件。又同時加工4小時后，甲總共加工的零件反而比乙多4200個。

甲、乙每小時各加工零件多少個？

分析（1）在后4小時內(nèi)，甲一共比乙多加工了4200+400=4600（個）零件，甲每

小時比乙多加工4600：4=1150個零件。

（2）在前4小時內(nèi)，甲實際只加工了4-2.5=1.5小時，甲1.5小時比乙1.5小

時應(yīng)多做1150X1.5=1725個零件，因此，1725+400=2125個零件就是乙2.5小時的

工作量，即乙每小時加工2125:2.5=850個，甲每小時加工850+1150=2000個。

練習(xí)四

1,甲、乙二人同時從A地去B地，前3小時，甲因修車1小時，因此乙鄰先于甲4

千米。又經(jīng)過3小時，甲反而領(lǐng)先了乙17千米。求二人的速度。

2,師徒二人生產(chǎn)同一種零件，徒弟比師傅早2小時開工，當(dāng)師傅生產(chǎn)了2小時后，

發(fā)現(xiàn)自己比徒弟少做20個零件。二人又生產(chǎn)了2小時，師傅反而比徒弟多生產(chǎn)了10

個。師傅每小時生產(chǎn)多少個零件？

3,甲每小時生產(chǎn)12個零件，乙每小時生產(chǎn)8個零件。一次，二人同時生產(chǎn)同樣多的

零件，結(jié)果甲比乙提前5小時完成了任務(wù)。問：甲一共生產(chǎn)了多少個零件？

例5加工一批零件，單給甲加工需10小時，單給乙加工需8小時。已知甲每小時

比乙少做3個零件，這批零件一共有多少個？

分析因為甲每小時比乙少做3個零件，8小時就比乙少做3義8=24（個）零件，所

以，24個零件就是甲（10—8）小時的工作量。甲每小時加工24：（10-8）=12

（個），這批零件一共有12X10=120（個）。

練習(xí)五

1,快、慢兩車同時從甲地開往乙地，行完全程快車只用了4小時，而慢車用了6.5

小時。已知快車每小時比慢車多行25千米。甲、乙兩地相距多少千米？

2,媽媽去買水果，她所帶的錢正好能買18千克蘋果或25千克的梨。已知每千克梨

比每千克蘋果便宜0.7元，媽媽一共帶了多少錢？

3,師徒二人加工零件，已知師傅6小時加工的零件和徒弟8小時加工的零件相等。

如果師傅每小時比徒弟多加工3個零件，那么，徒弟每小時加工多少個零件？

第10周數(shù)陣

專題簡析：

填“幻方”是同學(xué)們比較熟悉的一種數(shù)學(xué)游戲，由幻方演變出來的數(shù)陣問題，也

是一類比較常見的填數(shù)問題。這里，和同學(xué)們討論一些數(shù)陣的填法。

解答數(shù)陣問題通常用兩種方法：一是待定數(shù)法，二是試驗法。

待定數(shù)法就是先用字母（或符號）表示滿足條件的數(shù)，通過分析、計算來確定這

些字母（或符號）應(yīng)具備的條件，為解答數(shù)陣問題提供方向。

試驗法就是根據(jù)題中所給條件選準(zhǔn)突破口，確定填數(shù)的可能范圍。把分析推理和

試驗法結(jié)合起來，再由填數(shù)的可能情況，確定應(yīng)填的數(shù)。

例題1把5、6、7、8、9五個數(shù)分別填入下圖的五個方格里，如圖a使橫行三個

數(shù)的和與豎行三個數(shù)的和都是21o

C6

AEB579

D8

(a)(b)

先把五格方格中的數(shù)用字母A、B、C、D、E來表示，根據(jù)題意可知：A+B+C+D

+E=35,A+E+B+C+E+D=21X2=42O

把兩式相比較可知，E=42-35=7,即中間填7。然后再根據(jù)5+9=6+8便可把五

個數(shù)填進方格，如圖b。

練習(xí)一

1,把1——10各數(shù)填入“六一”的10個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都

是12。

2,把1——9各數(shù)填入“七一”的9個空格里，使在同一直線上的各數(shù)的和都是

13o

3,將1——7七個自然數(shù)分別填入圖中的圓圈里，使每條線上三個數(shù)的和相等。

例題2將1——10這十個數(shù)填入下圖小圓中，使每個大圓上六個數(shù)的和是30。

a

kJ及yj

分析設(shè)中間兩個圓中的數(shù)為a、b,則兩個大圓的總和是1+2+3+……+10+

a+b=30X2,即55+a+b=60,a+b=5。在1——10這十個數(shù)中1+4=5,2+3=5。

當(dāng)a和b是1和4時，每個大圓上另外四個數(shù)分別是(2,6,8,9)和(3,5,

7,10);當(dāng)a和b是2和3時，每個大圓上另外四個數(shù)分別為(1,5,9,10)和

(4,6,7,8)o

練習(xí)二

1,把1——8八個數(shù)分別填入下圖的O內(nèi)，使每個大圓上五個O內(nèi)數(shù)的和相等。

2,把1——10這十個數(shù)分別填入下圖的O內(nèi)，使每個四邊形頂點的O內(nèi)四個數(shù)

的和都相等，且和最大。

3,將1——8八個數(shù)填入下圖方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、

中間四格以及對角線四格內(nèi)四個數(shù)的和都是18。

例題3將1——6這六個數(shù)分別填入下圖的圓中，使每條直線上三個圓內(nèi)數(shù)的和相

等、且最大。

a

c

分析設(shè)中間三個圓內(nèi)的數(shù)是a、b、Co因為計算三條線上的和時，a、b、c都

被計算了兩次，根據(jù)題意可知：1+2+3+4+5+6+(a+b+c)除以3沒有余數(shù)。1

+2+3+4+5+6=21,214-3=7沒有余數(shù)，那么a+b+c的和除以3也應(yīng)該沒有余數(shù)。

在1——6六個數(shù)中，只有4+5+6的和最大，且除以3沒有余數(shù)，因此a、b、c分

別為4、5、6o(1+2+3+4+5+6+4+5+6)4-3=12,所以有下面的填法：

1,將1——6六個數(shù)分別填入下圖的O內(nèi)，使每邊上的三個。內(nèi)數(shù)的和相等。

2,將1——9九個數(shù)分別填入下圖O內(nèi)，使每邊上四個O內(nèi)數(shù)的和都是17。

3,將1——8八個數(shù)分別填入下圖的O內(nèi)，使每條安上三個數(shù)的和相等。

例題4<1——7分別填入下圖的7個O內(nèi),使每條線段上三個O內(nèi)數(shù)的和相等。

分析首先要確定中心圓內(nèi)的數(shù)，設(shè)中心O內(nèi)的數(shù)是a,那么，三條線段上的總

和是1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a,由于三條線段上的和相等，所以（28+2a）

除以3應(yīng)該沒有余數(shù)。由于28：3=9……1,那么2a除以3應(yīng)該余2,因此，a可以

為1、4或7。當(dāng)a=1時，（28+2X1）：3—1=9,即每條線段上其他兩數(shù)的和是9,

因此，有這樣的填法。

練習(xí)四

1,將1——9填入下圖的O中，使橫、豎行五個數(shù)相加的和都等于25。

2,將1——11這十一個數(shù)分別填進下圖的O里，使每條線上3個O內(nèi)的數(shù)的和

相等。

3,<1-----8這八個數(shù)分別填入下圖O內(nèi)，使外圓四個數(shù)的和，內(nèi)圓四個數(shù)的和

以及橫行、豎行上四個數(shù)的和都等于18。

例題5如下圖（a）四個小三角形的頂點處有六個圓圈。如果在這些圓圈中分別填上

六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20,而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)的和相等。問這六個

質(zhì)數(shù)的積是多少？

分析設(shè)每個小三角形三個頂點處O內(nèi)數(shù)的和為Xo因為中間的小三角形頂點處

的數(shù)在求和時都用了三次，所以，四個小三角形頂點處數(shù)的總和是4X=20+2X,解方

程得X=10o由此可知，每個小三角形頂點處的三個質(zhì)數(shù)的和是10,這三個質(zhì)數(shù)只能

是2、3、5o因此這6個質(zhì)數(shù)的積是2><2義3><3><5><5=900。如圖（b）。

練習(xí)五

1,將九個不同的自然數(shù)填入下面方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的積

都相等。

2,將1——9九個自然數(shù)分別填入下圖的九個小三角形中，使靠近大三角形每條

邊上五個數(shù)的和相等，并且盡可能大。這五個數(shù)之和最大是多少？

3,將1——9九個數(shù)分別填入下圖O內(nèi)，使外三角形邊上O內(nèi)數(shù)之和等于里面三

角形邊上O內(nèi)數(shù)之和。

第11周周期問題

專題簡析：

周期問題是指事物在運動變化的發(fā)展過程中，某些特征循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩

次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫做周期。在數(shù)學(xué)上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而且平

時解題時也常常碰到與周期現(xiàn)象有關(guān)的問題。這些數(shù)學(xué)問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)

象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期的等式相對應(yīng)，就能找到解題關(guān)鍵。

例題1流水線上生產(chǎn)小木球涂色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，

再