2023-2024學年上海市黃浦區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年上海市黃浦區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，共14分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知2+i(i是虛數(shù)單位)是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的一個根，那么p，q的值分別是(

)A.p=?4，q=5 B.p=?4，q=3 C.p=4，q=5 D.p=4，q=32.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x+sinx，當x<0時，f(x)的表達式為(

)A.x+sinx B.?x?sinx C.?x+sinx D.x?sinx3.若對任意實數(shù)x都有3sinx?4cosx=5sin(x+φ)，則角φ的終邊在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.設θ∈R，若對任意的x1∈[0,π2]，都存在x2∈[0,π2]A.π4 B.5π12 C.7π12二、填空題：本題共12小題，共42分。5.若扇形的圓心角為π4，半徑為4，則其弧長為______．6.已知向量a=(?1,?1)，設m∈R，向量b=(1,m)，若b/?/a，則m=7.若sin(π2?α)=128.在梯形ABCD中，AD=12BC，設AC=a，BD=b，若用a、b9.若sinα+cosα=32，則sin2α=10.若向量a=(3,4)，b=(?1,2)，則?a,11.設0≤φ<π，若函數(shù)y=tan(x+φ)的定義域為{x|x≠kπ+π3,k∈Z}12.某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，設立了兩個觀測點A和B.某日兩個觀測點的林場人員都觀測到C處出現(xiàn)火情.在A處觀測到火情發(fā)生在北偏西40°方向，而在B處觀測到火情在北偏西60°方向.已知B在A的正東方向10km處，那么火場C與A距離約為______km.(結果精確到0.1km)13.若tanαtanβ=12，則cos(α?β)cos14.已知點A的坐標為(43,1)，若將OA繞坐標原點O逆時針旋轉π3至OB，則點15.i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z1和復數(shù)z2滿足|z1?1?i|≤1，z16.已知平面非零向量a、b、c的模均為λ(λ∈R)，若?a，b?=π3，a?c=2，三、解答題：本題共5小題，共44分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

已知復數(shù)z1滿足(z1?2)(1+i)=1?i(i為虛數(shù)單位)，復數(shù)z2的虛部為2，18.(本小題8分)

已知cosα=?13，且π<α<3π2．

(1)求cos2α，sin2α的值；

(2)若tanβ=19.(本小題10分)

(1)已知P是直線P1P2上一點，P1P=λPP2(λ為實數(shù)，且λ≠?1)，點P1、P2的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，求點P的坐標(x,y)20.(本小題10分)

在△ABC中，已知AB=c，BC=a，CA=b，BC邊上的中線長為3m．

(1)求證：2b2+2c2=a2+36m2；

(2)若AC、AB邊上的中線長分別為3n、3t(m<n<t)21.(本小題10分)

設a∈R，f(x)=sin2x+acosx．

(1)當a<?2時，用函數(shù)單調性的定義證明：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,π2)上是嚴格增函數(shù)．

(2)

①根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,2π]上零點的個數(shù)；

②若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,kπ](k為正整數(shù))上恰有7個零點，求k的最小值及此時a答案1.A

2.B

3.D

4.B

5.π

6.1

7.128.139.?110.arccos11.π612.14.6

13.3

14.13215.1+16.2

17.解：由(z1?2)(1+i)=1?i，知z1=1?i1+i+2=2?i，

設z2=a+2i，a∈R，

則z1?z218.解：(1)因為cosα=?13，且π<α<3π2，

所以sinα=?223，

故cos2α=2cos2α?1=2×19?1=?79，

19.解：(1)由P1P=λPP2，可得(x?x1,y?y1)=λ(x2?x,y2?y)，

即x?x1=λ(x2?x)y?y1=λ(y2?y)，解得x=x1+λx21+λy=y1+λy21+λ，(λ≠?1)，

20.(1)證明：設BC的中點為D，則AD=3m，

在△ABD中，AB2=BD2+AD2?2BD?ADcos∠BDA，可得2BD?ADcos∠BDA=BD2+AD2?AB2…①，

同理可得△ADC中，2CD?ADcos∠CDA=CD2+AD2?AC2…②，

因為∠BDA+∠CDA=π，所以cos∠BDA=?cos∠CDA，

結合BD=CD，將①、②相加，得0=(BD2+AD2?AB2)+(CD2+AD2?AC2)，

整理得AB2+AC2=BD2+CD2+2AD2，

將AB=c，BD=CD=12a，AC=b，AD=3m代入上式，得c2+b2=14a221.解：(1)證明：設0<x1<x2<π2，

f(x1)?f(x2)=sin2x1+acosx1?sin2x2?acosx2

=2sinx1cosx1+acosx1?2sinx2cosx2?acosx2

=cosx1(2sinx1+a)?cosx2(2sinx2+a)，

因為0<x1<x2<π2,所以1>cosx1>cosx2>0，

且a<?2，所以2sinx1+a<2sinx2+a<0，

所以?(2sinx1+a)>?(2sinx2+a)>0，

則?cosx1(2sinx1+a)>?cosx2(2sinx2+a)，

所以cosx1(2sinx1+a)?cosx2(2sinx2+a)<0，

即f(x1)?f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，

所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,π2)上是嚴格增函數(shù)．

(2)①sin2x+acosx=0，則2sinxcos