2023年上海復(fù)旦附中高一下期中數(shù)學(xué)試卷及答案

試卷試卷2022-2023學(xué)年上海市復(fù)旦附中高一年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對得4分，7-12題每個(gè)空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知，，則_________.2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為__________.3.向量在向量方向上的投影為___________.4.在△ABC中，若，，，則___________.5.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_________.6.方程在區(qū)間上的所有解的和為__________.7.設(shè)，，且，則_______.8.在△ABC中，邊a，b，c滿足，，則邊c的最小值為__________.9.在直角三角形中，，，，點(diǎn)是外接圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值是___________.10.在銳角三角形ABC中，，，點(diǎn)O為△ABC的外心，則的取值范圍為__________.11.如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點(diǎn)，設(shè)P、Q分別為線段AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，若P、M、Q三點(diǎn)共線，則的最大值為__.12.設(shè)函數(shù)，若恰有個(gè)零點(diǎn)，.則下述結(jié)論中:①若恒成立，則的值有且僅有個(gè)；②在上單調(diào)遞增；③存在和，使得對任意恒成立；④“”是“方程在恰有五個(gè)解”的必要條件.所有正確結(jié)論編號是______________；二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件14.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的銳角，始邊在x軸的非負(fù)半軸，始終繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后交單位圓于，則的值為（）A. B. C. D.15.某港口某天0時(shí)至24時(shí)的水深（米）隨時(shí)間（時(shí)）變化曲線近似滿足如下函數(shù)模型（）.若該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有3個(gè)時(shí)刻水深為3米，則該港口該天水最深的時(shí)刻不可能為（）A.16時(shí) B.17時(shí) C.18時(shí) D.19時(shí)16.設(shè)是的垂心，且，則的值為（）A B. C. D.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程.（1）若復(fù)數(shù)z是該方程一個(gè)虛根，且，求m的值；（2）記方程的兩根為和，若，求m的值.18.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間與對稱軸方程；（2）若，關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍及的值.19.近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計(jì)劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以中點(diǎn)A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點(diǎn)在弧BC上（不與端點(diǎn)重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).（1）如果點(diǎn)P位于弧BC中點(diǎn),求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;（2）“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對于“拉動(dòng)靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時(shí)攤點(diǎn),積極推進(jìn)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”發(fā)展,預(yù)計(jì)每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?（精確到1萬元）20.在平面直角坐標(biāo)系中，，設(shè)點(diǎn)，是線段AB的n等分點(diǎn)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，使用，表示，；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求（，，i，）的最小值.21.對于函數(shù)，，如果存在一組常數(shù)，，…，（其中k為正整數(shù)，且）使得當(dāng)x取任意值時(shí)，有則稱函數(shù)為“k級周天函數(shù)”.（1）判斷下列函數(shù)否是“2級周天函數(shù)”，并說明理由：①；②；（2）求證：當(dāng)時(shí)，是“3級周天函數(shù)”；（3）設(shè)函數(shù)，其中b，c，d是不全為0的實(shí)數(shù)且存在，使得，證明：存在，使得.試卷試卷2022-2023學(xué)年上海市復(fù)旦附中高一年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對得4分，7-12題每個(gè)空格填對得5分，否則一律得0分.1.已知，，則_________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式與平方和關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以故答案為?.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為__________.【答案】##0.2【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)z，然后根據(jù)虛部為0可得.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，所以

故答案為：3.向量在向量方向上的投影為___________.【答案】【解析】【分析】由向量投影公式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】向量在方向上的投影為.故答案為：.4.在△ABC中，若，，，則___________.【答案】【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和求得，然后由正弦定理求得．【詳解】由三角形內(nèi)角和定理可得：，因?yàn)椋?，由正弦定理可得，故答案為?5.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡求得復(fù)數(shù)z，然后求模.【詳解】，所以故答案為：6.方程在區(qū)間上的所有解的和為__________.【答案】##【解析】【分析】利用倍角余弦公式得到關(guān)于的一元二次方程求解，由正弦函數(shù)值求，即可得結(jié)果.【詳解】由，即，解得或，在，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)或，所以所有解的和為.故答案為：7.設(shè)，，且，則_______.【答案】1【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可得．【詳解】因?yàn)?，所?故答案為:1.8.在△ABC中，邊a，b，c滿足，，則邊c的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式和結(jié)合余弦定理即可求解的最小值．【詳解】由余弦定理可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號，所以.故答案為：.9.在直角三角形中，，，，點(diǎn)是外接圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值是___________.【答案】45【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用圓的方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算的最大值．【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，外接圓，設(shè)，，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．所以的最大值是45．故答案：45．10.在銳角三角形ABC中，，，點(diǎn)O為△ABC的外心，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】三角形外接圓的性質(zhì)、正弦定理得、，、，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)化求.【詳解】，因?yàn)殇J角三角形中，所以，，所以，，又，即，則且，則，即.故答案為：11.如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點(diǎn)，設(shè)P、Q分別為線段AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，若P、M、Q三點(diǎn)共線，則的最大值為__.【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由P、M、Q三點(diǎn)共線，設(shè)，求得，代入計(jì)算知，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得最值.【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，又Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，可得設(shè)，，由P、M、Q三點(diǎn)共線，設(shè)利用向量相等消去可得：，令，，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路：向量的坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算可用坐標(biāo)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量坐標(biāo)運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密的結(jié)合起來，建立直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量運(yùn)算，考查學(xué)生的邏輯思維與運(yùn)算能力，屬于較難題.12.設(shè)函數(shù)，若恰有個(gè)零點(diǎn)，.則下述結(jié)論中:①若恒成立，則的值有且僅有個(gè)；②在上單調(diào)遞增；③存和，使得對任意恒成立；④“”是“方程在恰有五個(gè)解”的必要條件.所有正確結(jié)論的編號是______________；【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)條件畫出的圖像，結(jié)合圖像和逐一判斷即可.【詳解】恰有個(gè)零點(diǎn)，，，函數(shù)的圖像如圖：①如圖，即有兩個(gè)交點(diǎn)，正確；②結(jié)合右圖，且當(dāng)時(shí)，在遞增，錯(cuò)誤；③，，，存在為最小值，為最大值，正確；④結(jié)合右圖，若方程在內(nèi)恰有五個(gè)解，需滿足，即，同時(shí)結(jié)合左圖，當(dāng)，不一定有五個(gè)解，正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，屬于難題.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義判斷充分性，再舉反例判斷必要性即可【詳解】由題意，為純虛數(shù)則設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，可取，則為純虛數(shù)不成立.故“為純虛數(shù)”是“”的充分非必要條件故選：A14.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)的銳角，始邊在x軸的非負(fù)半軸，始終繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)過后交單位圓于，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出，然后湊角結(jié)合兩角差的正弦公式求出.【詳解】由題意得(為銳角)∵為銳角，∴，∴故選：B15.某港口某天0時(shí)至24時(shí)的水深（米）隨時(shí)間（時(shí)）變化曲線近似滿足如下函數(shù)模型（）.若該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有3個(gè)時(shí)刻水深為3米，則該港口該天水最深的時(shí)刻不可能為（）A.16時(shí) B.17時(shí) C.18時(shí) D.19時(shí)【答案】D【解析】【分析】本題是單選題，利用回代驗(yàn)證法，結(jié)合五點(diǎn)法作圖以及函數(shù)的最值的位置，判斷即可．【詳解】解：由題意可知，時(shí)，，由五點(diǎn)法作圖可知：如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值可得：，可得，此時(shí)函數(shù)，函數(shù)的周期為：，該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有3個(gè)時(shí)刻水深為3米，滿足，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值可得：，可得，此時(shí)函數(shù)，函數(shù)的周期為：，時(shí)，，如圖：該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有3個(gè)時(shí)刻水深為3米，不滿足，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的模型以及應(yīng)用，三角函數(shù)的周期的判斷與函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是難題．16.設(shè)是的垂心，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角形垂心性質(zhì)及已知條件可求得，，由向量夾角公式即可求解．【詳解】由三角形垂心性質(zhì)可得，，不妨設(shè)x，∵345，∴，∴，同理可求得，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的運(yùn)用及向量的夾角公式，解題的關(guān)鍵是由三角形的垂心性質(zhì)，進(jìn)而用同一變量表示出，要求學(xué)生有較充實(shí)的知識儲(chǔ)備，屬于中檔題．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程.（1）若復(fù)數(shù)z是該方程的一個(gè)虛根，且，求m的值；（2）記方程的兩根為和，若，求m的值.【答案】（1）－2（2）或【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合韋達(dá)定理可求解.（2）分討論方程的兩根為實(shí)根還是虛數(shù)根兩種情況討論，結(jié)合韋達(dá)定理可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，由韋達(dá)定理可得，所以；【小問2詳解】解：若方程的兩根為實(shí)數(shù)根，則，解得，若方程的兩根為虛數(shù)根，則設(shè)，，可得，則，，，所以，所以，由韋達(dá)定理可得，所以，此時(shí)，滿足題意，綜上，或18.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間與對稱軸方程；（2）若，關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍及的值.【答案】（1），；，（2），【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，結(jié)合正弦函數(shù)的基準(zhǔn)減區(qū)間和對稱軸求得的嚴(yán)格減區(qū)間和對稱軸；（2）方程化簡得和，由正弦函數(shù)性質(zhì)和的范圍，同時(shí)得出和，求得結(jié)論．【小問1詳解】，解得，令，解得，所以函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為，，對稱軸方程為；【小問2詳解】，即，形為，所以，當(dāng)，有一個(gè)解，不妨設(shè)為，則，即有不同于的兩個(gè)解，因?yàn)?，所以，且上?yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，要想有不同于的兩個(gè)解，則，解得，此時(shí)的兩根關(guān)于對稱，則，所以.19.近年來,為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”、現(xiàn)計(jì)劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、如圖所示,以中點(diǎn)A為圓心,為半徑的扇形草坪區(qū),點(diǎn)在弧BC上（不與端點(diǎn)重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,PR與AC垂直.設(shè).（1）如果點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn),求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度;（2）“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對于“拉動(dòng)靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時(shí)攤點(diǎn),積極推進(jìn)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”發(fā)展,預(yù)計(jì)每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?（精確到1萬元）【答案】（1）(米)（2）2022萬元【解析】【分析】(1)根據(jù)圖依次求出三條線段長度即可求出總長度;(2)將PQ、PR、RQ三邊通過圖中的關(guān)系用關(guān)于的等式表示,再記經(jīng)濟(jì)總效益,將進(jìn)行表示,通過輔助角公式化簡求出最值即可.【小問1詳解】解:由題,,同理,故,由于點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn),所以點(diǎn)P位于的角平分線上,則,,因?yàn)?,所以為等邊三角形,則,因此三條街道的總長度為（米）.小問2詳解】由圖可知,,,,在中由余弦定理可知:,則,設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益,則,當(dāng)即時(shí)取最大值,最大值為.答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為2022萬元.20.在平面直角坐標(biāo)系中，，設(shè)點(diǎn)，是線段AB的n等分點(diǎn)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，使用，表示，；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求（，，i，）的最小值.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解；（2）根據(jù)向量的坐