量子力學(xué)基礎(chǔ)

關(guān)于量子力學(xué)基礎(chǔ)光具有波粒二象性，那么實(shí)物粒子是否也應(yīng)具有波粒二象性？或?qū)嵨锪Ｗ泳哂胁▌?dòng)性嗎？一、德布羅意物質(zhì)波假設(shè)德布羅意（L.V.deBroglie1892-1986，法國(guó)）從光具有波粒二象性出發(fā)，認(rèn)為實(shí)物粒子也應(yīng)具有波動(dòng)性。1924年11月在巴黎大學(xué)提交的博士論文中提出：22.1實(shí)物粒子的波動(dòng)性“我們因而傾向于假定，任何運(yùn)動(dòng)物體都伴隨著一個(gè)波動(dòng)，而且不可能把物體的運(yùn)動(dòng)跟波的傳播拆開(kāi)。”第2頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月這種波既不是機(jī)械波也不是電磁波，稱為物質(zhì)波或德布羅意波。具有能量E和動(dòng)量p的實(shí)物粒子所聯(lián)系的波的頻率

和波長(zhǎng)

有關(guān)系：在答辯會(huì)上有人問(wèn)：“這種波怎樣用實(shí)驗(yàn)來(lái)證實(shí)呢？”德布羅意答：“可以從電子在晶體上散射這樣的實(shí)驗(yàn)中檢查到這樣的波。”第3頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月雖然后來(lái)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證由戴維孫和革末完成了，但當(dāng)時(shí)純粹是理論推測(cè)。朗之萬(wàn)把德布羅意的文章寄給愛(ài)因斯坦，愛(ài)因斯坦說(shuō)：“揭開(kāi)了自然界巨大帷幕的一角”“瞧瞧吧，看來(lái)瘋狂，可真是站得住腳呢”盡管此假說(shuō)的有待實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，但愛(ài)因斯坦還是推薦德布羅意取得了博士學(xué)位。[例22-1]估算:

m=1g，v=1cm/s的實(shí)物粒子的波長(zhǎng)粒子對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)太小，波動(dòng)性無(wú)法表現(xiàn)出來(lái)！第4頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)于電子，m=9.110-31

kg，設(shè)加速電壓為U相當(dāng)于晶格常數(shù)量級(jí)，通過(guò)類似于晶體對(duì)X射線的衍射，可以實(shí)現(xiàn)晶體對(duì)電子的衍射。第5頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月[例22-2]德布羅意把物質(zhì)波假設(shè)用于氫原子認(rèn)為：如果電子在經(jīng)典的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，它對(duì)應(yīng)于一個(gè)環(huán)形駐波，滿足——玻爾量子化條件德布羅意用物質(zhì)波的概念成功地解釋了玻爾提出的軌道量子化條件。第6頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月二、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證貝耳電話公司實(shí)驗(yàn)室的戴維遜和革末研究電子在鎳單晶上的衍射（1927）。電子槍1.戴維遜—革末實(shí)驗(yàn)（C．J．Davisson，1881－1958；L．H．Germer，1895－1971）實(shí)驗(yàn)裝置示意圖假如電子具有波動(dòng)性，應(yīng)滿足布喇格公式

此時(shí)電表中應(yīng)出現(xiàn)最大的電流。探測(cè)器I第7頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月d若固定

角，改變加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大第8頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月若固定

角，改變加速電壓，會(huì)多次出現(xiàn)電流極大I實(shí)驗(yàn)結(jié)果:第9頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月2.G.P.湯姆遜實(shí)驗(yàn)1927年英國(guó)物理學(xué)家G.P.湯姆遜做了電子通過(guò)金多晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)1929年德布洛意獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。1937年戴維遜與G.P.湯姆遜獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。第10頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月3.約恩遜實(shí)驗(yàn)1961年C.J?nsson運(yùn)用銅箔中形成的2-5條細(xì)縫得到了電子的多縫干涉圖樣。1930年艾斯特曼(Estermann)、斯特恩(Stern)、和他們的同事們證實(shí)了普通原子具有波動(dòng)性。后來(lái)實(shí)驗(yàn)又驗(yàn)證了質(zhì)子、中子等實(shí)物粒子都具有波動(dòng)性。4.其它實(shí)驗(yàn)第11頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月三、微觀粒子波動(dòng)性的應(yīng)用1933年，德國(guó)的E.Ruska和Knoll等人研制成功第一臺(tái)電子顯微鏡。1982年，IBM的G.Binnig和H.Rohrer研制成功第一臺(tái)隧道掃描顯微鏡（STM）。魯斯卡：電子物理領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究工作，設(shè)計(jì)出世界上第一臺(tái)電子顯微鏡，1986諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)第12頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月1986諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)賓尼：設(shè)計(jì)出掃描式隧道效應(yīng)顯微鏡1986諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)羅雷爾：設(shè)計(jì)出掃描式隧道效應(yīng)顯微鏡END第13頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月22.2波函數(shù)及統(tǒng)計(jì)解釋一、波函數(shù)既然粒子具有波動(dòng)性，應(yīng)該有描述波動(dòng)性的函數(shù)——波函數(shù)。奧地利物理學(xué)家薛定諤（E．Schr?dinger）1925年提出用波函數(shù)Ψ(r,t)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。按德布羅意假設(shè)：能量E、動(dòng)量p的“自由粒子”沿x方向運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波應(yīng)為“單色平面波”：第14頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月——

0為待定常數(shù)或由關(guān)系數(shù)可將波函數(shù)改寫為若粒子為三維自由運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)可表示為波函數(shù)的物理意義是什么？粒子的什么性質(zhì)在波動(dòng)？第15頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋對(duì)應(yīng)粒子波動(dòng)性的波函數(shù)做為一個(gè)重要的新概念登上量子力學(xué)舞臺(tái)后，其本身的物理意義卻模糊不清，使許多物理學(xué)家感到迷惑不解而大傷腦筋。愛(ài)因斯坦為了解釋光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的強(qiáng)度解釋為光子出現(xiàn)的幾率密度。玻恩(M．Born，1882－1970)在這個(gè)觀念的啟發(fā)下，馬上將其推廣到Ψ函數(shù)上：|Ψ|2必須是電子（或其它粒子）的幾率密度”

。1954年，玻恩獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。

（

,t）的物理意義在于：波函數(shù)的模的平方（波的強(qiáng)度）代表時(shí)刻t、在空間點(diǎn)處，單位體積元中微觀粒子出現(xiàn)的概率。第16頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，它無(wú)直接的物理意義。有意義的是對(duì)單個(gè)粒子，給出粒子的概率分布密度；對(duì)N

個(gè)粒子，給出粒子數(shù)的分布密度。在時(shí)刻t、空間

點(diǎn)處，體積元dV

中發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率為：對(duì)N

粒子系，在體積元dV中發(fā)現(xiàn)的粒子數(shù)為說(shuō)明：1.第17頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月讓入射電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過(guò)單縫隨著電子數(shù)增大，逐漸形成衍射圖樣——衍射圖樣來(lái)源于“單個(gè)電子”所具有的波動(dòng)性——統(tǒng)計(jì)規(guī)律。底片上出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)子，開(kāi)始時(shí)點(diǎn)子無(wú)規(guī)則分布——說(shuō)明電子具有“粒子性”，但不滿足經(jīng)典的決定論。一個(gè)電子重復(fù)許多次相同實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。[例22-2]用幾率波說(shuō)明弱電子流單縫衍射數(shù)百個(gè)電子少數(shù)幾個(gè)電子數(shù)萬(wàn)個(gè)電子德布洛意波（物質(zhì)波）也稱為概率波。第18頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.如何理解微觀粒子的波粒二象性（1）粒子性指它與物質(zhì)相互作用的“整體性”。但不是經(jīng)典的粒子，因?yàn)槲⒂^粒子沒(méi)有確定的軌道。(2)

波動(dòng)性“彌散性”、“可疊加性”、“干涉”、“衍射”。不是經(jīng)典的波，并不對(duì)應(yīng)某真實(shí)物理量的波動(dòng)。(3)在一些情況下，實(shí)物粒子突出顯示出其粒子特性；而在另一些情況下，則突出顯示出波動(dòng)特性—即波粒二象性?！安▌?dòng)性”與“粒子性”的聯(lián)系——玻恩統(tǒng)計(jì)解釋。第19頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月3.關(guān)于量子力學(xué)的爭(zhēng)論

以玻耳為首，包括海森堡、狄拉克、玻恩的哥本哈根學(xué)派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶然性的平均表現(xiàn)。

以愛(ài)因斯坦為首，包括薛定諤、德布羅意學(xué)派：自然規(guī)律根本上是決定論的?！吧系劭隙ú皇怯脭S骰子來(lái)決定電子應(yīng)如何運(yùn)動(dòng)的！”

“Goddoesnotplaydice”第20頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月Einstein:

不相信單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)是不確定的，可以設(shè)計(jì)更精確的實(shí)驗(yàn)儀器解決。Bohr:所有粒子的不確定性是原則的、本性的。Einstein:

我不相信上帝會(huì)玩骰子（色子）。Bohr:不要指揮上帝去做什么。Einstein-Bohr爭(zhēng)論（1927-1955）Einstein:

按照電子的衍射，某一電子落在何處與前一個(gè)電子落在何處有關(guān)，這是不可能的。Bohr:不是前后電子之間相互影響，而是單個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)具有不確定性。在1927年Solvey會(huì)議上：第21頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月三、波函數(shù)應(yīng)滿足的條件1.自然條件：?jiǎn)沃怠⒂邢藓瓦B續(xù)2.歸一化條件粒子出現(xiàn)在dV體積內(nèi)的幾率為：粒子在空間各點(diǎn)的概率總和應(yīng)為l，END第22頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月22.3不確定性關(guān)系按照經(jīng)典波動(dòng)理論，約束在空間某區(qū)域內(nèi)的波不可能是單色的——不可能具有唯一的波長(zhǎng)。這一結(jié)論對(duì)物質(zhì)波同樣正確：被束縛在某區(qū)域的粒子不可能具有確定的動(dòng)量，即粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)取確定值，存在一個(gè)不確定關(guān)系。海森堡（W.Heisenberg）在1927年發(fā)表了著名的位置—?jiǎng)恿坎淮_定關(guān)系以電子的單縫衍射為例說(shuō)明。電子的單縫衍射“中央亮紋”半角寬度滿足：一、位置—?jiǎng)恿坎淮_定關(guān)系第23頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月如果把單縫看成對(duì)電子坐標(biāo)的測(cè)量?jī)x器，

x—相當(dāng)于對(duì)電子坐標(biāo)測(cè)量的不確定度。x單縫存在使電子在x方向的動(dòng)量分量出現(xiàn)不確定性第24頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月不限制電子坐標(biāo)時(shí)，動(dòng)量可以取確定值。對(duì)坐標(biāo)x測(cè)量得越精確（

x

越?。瑒?dòng)量不確定性

px

就越大(衍射越厲害)。電子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定。嚴(yán)格的不確定性關(guān)系應(yīng)該是：第25頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月[例22-2]氦氖激光器發(fā)光波長(zhǎng)，譜線寬度，求即相干長(zhǎng)度，譜線展寬導(dǎo)致光子動(dòng)量的不確定解：當(dāng)這種光子沿x方向傳播時(shí)，它的x坐標(biāo)的不確定就是即相干長(zhǎng)度，也就是波列長(zhǎng)度第26頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月將上例激光光子位置-動(dòng)量不確定性關(guān)系二、能量和時(shí)間的不確定關(guān)系同樣可得粒子處于某狀態(tài)的能量和時(shí)間的不確定性關(guān)系變?yōu)榈?7頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月可以解釋為什么原子譜線自然寬度

譜線寬度：與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果吻合！原子基態(tài)壽命無(wú)窮長(zhǎng)，基態(tài)有確定的能量值。[例22-3]原子在激發(fā)態(tài)的壽命為10-8

s，由不確定關(guān)系第28頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月不確定性關(guān)系限定了使用經(jīng)典語(yǔ)言的范圍和度不確定性的物理根源是粒子的波動(dòng)性。說(shuō)明：不確定性與測(cè)量沒(méi)有關(guān)系，是微觀粒子波—粒二象性的體現(xiàn)。[例22-4]氫原子中的電子的軌道運(yùn)動(dòng)速度為106m/s，速度的不確定度：，v~v但威爾遜云室可看到一條白亮的粒子徑跡～10-4cm，由此可得：p>>

p，波動(dòng)性不是很明顯，軌道概念仍適用。可見(jiàn)波動(dòng)性十分明顯，不能用軌道概念描述!

但END第29頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月按照經(jīng)典波動(dòng)理論，波動(dòng)的物理量滿足如下形式的波動(dòng)方程：22.4薛定諤方程V為波速物質(zhì)波的波動(dòng)方程是什么？德布洛意關(guān)于電子波動(dòng)性的假設(shè)傳到蘇黎士后，德拜(P.Debye，TheNobelPrizeinChemistry1936)說(shuō)，“一個(gè)沒(méi)有波動(dòng)方程的波動(dòng)理論太膚淺了！”。當(dāng)時(shí)年輕的薛定諤在場(chǎng)。在一周后聚會(huì)時(shí)薛定諤說(shuō)：“我找到了一個(gè)波動(dòng)方程！”。——量子力學(xué)中的基本動(dòng)力學(xué)方程。第30頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月一、薛定諤方程的建立自由粒子波函數(shù)對(duì)波函數(shù)微分得—能量算符第31頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月——?jiǎng)恿克惴?2頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月——自由粒子的薛定諤方程由和第33頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月把自由粒子運(yùn)動(dòng)算符推廣到非自由粒子運(yùn)動(dòng)，粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為U(x,t)，粒子的能量薛定諤方程變?yōu)榈?4頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月——這就是含時(shí)薛定諤方程稱為哈密頓算符，則令推廣到三維勢(shì)場(chǎng)U(

r,t)中第35頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月令薛定諤方程形式不變哈密頓算符變?yōu)榈?6頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月薛定諤方程不是推導(dǎo)出來(lái)的，而是依據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)和基本假定“建立”的，是否正確則由實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)。薛定諤方程——描述非相對(duì)論實(shí)物粒子在勢(shì)場(chǎng)中的狀態(tài)隨時(shí)間的變化，反映了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。說(shuō)明：薛定諤（Schr?dinger1887-1961）1933年薛定諤獲諾貝爾物理獎(jiǎng)。奧地利物理學(xué)家，提出量子力學(xué)最基本的方程。第37頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月二、定態(tài)薛定諤方程若微觀粒子處在穩(wěn)定的勢(shì)場(chǎng)中，則勢(shì)能函數(shù)U與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱這類問(wèn)題為定態(tài)問(wèn)題。自由運(yùn)動(dòng)粒子

例如：氫原子中的電子此時(shí)，哈密頓算符與時(shí)間無(wú)關(guān)，薛定諤方程可用分離變量法求解：波函數(shù)

可以分離為空間坐標(biāo)函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積。第38頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月設(shè)

可得只含變量t

和只含變量r

的兩個(gè)方程：第39頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月1.方程（1）是關(guān)于變量為t的微分方程，解為：—時(shí)間振動(dòng)因子2.方程（2）是關(guān)于變量為x、y、z的微分方程：—稱為定態(tài)薛定諤方程，又稱為能量算符的本征方程其解Φ(x,y,z)

與粒子所處的外力場(chǎng)U和邊界條件有關(guān)。第40頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月3.波函數(shù)是以上兩部分的乘積——粒子出現(xiàn)在空間的幾率與時(shí)間無(wú)關(guān)—定態(tài)粒子出現(xiàn)在空間的幾率：可見(jiàn)，定態(tài)問(wèn)題最后歸結(jié)為求解定態(tài)薛定諤方程。END第41頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月22.5力學(xué)量算符的本征值問(wèn)題一、力學(xué)量的算符表示在量子力學(xué)中，系統(tǒng)的任何力學(xué)量均對(duì)應(yīng)一算符，力學(xué)量所能取的值是其相應(yīng)算符的本征值。例如：

動(dòng)量算符這是量子力學(xué)的又一基本假設(shè)對(duì)一維運(yùn)動(dòng)第42頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

坐標(biāo)算符（就是它自己）

動(dòng)能算符：第43頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

能量算符:

角動(dòng)量算符:第44頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月第45頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月二、算符的本征值問(wèn)題利用定態(tài)薛定諤方程求解能量和定態(tài)波函數(shù)實(shí)際上是一個(gè)能量算符的本征值問(wèn)題。E

：稱為能量算符的本征值。——能量算符的本征值方程為了使波函數(shù)單值、連續(xù)、有限，能量的取值受到了限制。：稱為能量算符的本征函數(shù)（本征態(tài)）第46頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月對(duì)于處在束縛態(tài)勢(shì)場(chǎng)中的粒子能量只能取一系列的分立值：E1，E2，….，En，….同理，通過(guò)求解動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符…的本征方程可得到相應(yīng)算符的本征函數(shù)和本征值。END第47頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月22.6薛定諤方程的應(yīng)用確定粒子的哈密頓量；在全空間寫出粒子的能量本征方程；利用波函數(shù)的自然條件確定確定能量本征值和波函數(shù)。步驟：處理的問(wèn)題：勢(shì)阱中的粒子——粒子被束縛在某勢(shì)場(chǎng)中；勢(shì)壘對(duì)粒子的散射——自由粒子入射到某勢(shì)場(chǎng)中。第48頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月一、一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子金屬中的電子由于金屬表面勢(shì)能（勢(shì)壘）的束縛被限制在一個(gè)有限的空間范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)。稱為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。-e-e-e-e-e-e-e如果金屬表面勢(shì)壘很高，可以將金屬表面看為一剛性盒子。如果只考慮一維運(yùn)動(dòng)，就是一維剛性盒子。勢(shì)能函數(shù)為：V=0∞∞V(x)x無(wú)限深方勢(shì)阱第49頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

在勢(shì)阱內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程令得解為：待定常數(shù)C

和δ解由波函數(shù)的自然條件確定。V=0∞∞V(x)x無(wú)限深方勢(shì)阱第50頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

波函數(shù)在阱壁上的連續(xù)條件、本征能量該方程的解只能是：

在勢(shì)阱外，定態(tài)薛定諤方程第51頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

由式（3）可得

由式（4）可得

思考：為什么n不取零和負(fù)整數(shù)？

粒子的能量：其中第52頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月能量取分立值（能級(jí)），能量是量子化的。n=132能量間隔為：能級(jí)增大,能級(jí)間隔遞增阱變寬,能級(jí)間隔下降大質(zhì)量粒子的能級(jí)間隔小L很大或m很大，能級(jí)幾乎連續(xù)第53頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

最低能量(零點(diǎn)能)—波動(dòng)性說(shuō)明勢(shì)阱中粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)正好對(duì)應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長(zhǎng)的駐波。

勢(shì)阱中粒子的動(dòng)量和波長(zhǎng)第54頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月定態(tài)波函數(shù)為歸一化常數(shù)C和定態(tài)波函數(shù)第55頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月粒子在阱內(nèi)的波函數(shù)為第56頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月波函數(shù)為頻率相同、波長(zhǎng)相同、傳播方向相反的兩單色平面波的疊加——形成駐波。可知：阱寬為駐波半波長(zhǎng)的整數(shù)倍。由關(guān)系粒子在勢(shì)阱中的幾率分布：第57頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月第58頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月哈密頓量定態(tài)薛定諤方程二、一維諧振子（拋物線勢(shì)阱）晶體中原子圍繞平衡位置作小振動(dòng)時(shí)可近似認(rèn)為是諧振動(dòng)，勢(shì)函數(shù)為：第59頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月或利用級(jí)數(shù)展開(kāi)法解該微分方程。波函數(shù)滿足的自然條件進(jìn)一步限制了能量E的取值。主要結(jié)論如下：

1.諧振子能量

能量間隔均勻：

能量E是量子化的第60頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

最低能量(零點(diǎn)能)不為零與Planck假設(shè)不同！E0E1E2E3U(x)E0x第61頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

2.諧振子波函數(shù)Hn是厄密（Hermite）多項(xiàng)式，最高階是

[例22-4]第62頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月U(x)E0xΦ2(x)

E0經(jīng)典粒子位置幾率分布能量為E0經(jīng)典粒子沿阱壁只能爬E0高度，這時(shí)粒子的動(dòng)能為零，然后被阱壁反彈回去。第63頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月U(x)E0xΦ2(x)

E0黑色虛線為經(jīng)典粒子位置的幾率分布量子粒子位置幾率分布能量為E0量子粒子沿阱壁爬的高度可以大于E0（紅色虛線），或說(shuō)能量為E0的粒子可以穿入阱壁內(nèi)部。（用經(jīng)典理論無(wú)法解釋）量子粒子位置幾率分布與經(jīng)典粒子分布有明顯的區(qū)別第64頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月n=1Φ2(x)xn=0Φ(x)xn=0Φ2(x)xn=1Φ(x)x諧振子幾個(gè)波函數(shù)和位置幾率密度第65頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月Φ2(x)xn=9n=9xΦ(x)n=2量子概率分布

經(jīng)典概率分布(圖示虛線）

能量量子化

能量取連續(xù)值當(dāng)n∞時(shí)——玻爾對(duì)應(yīng)原理Φ2(x)xn=2第66頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月三、一維散射問(wèn)題粒子以確定能量E從遠(yuǎn)處入射到某給定勢(shì)場(chǎng)中，確定粒子的波函數(shù)和位置分布。思考：粒子的能量呢？1.矩形臺(tái)階勢(shì)壘實(shí)際金屬中的電子在表面處遇到的勢(shì)是有限高的：E<U0U(x)xU=U0U=0o第67頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月按照經(jīng)典力學(xué)：當(dāng)E>U0時(shí)，粒子可以進(jìn)入x>0區(qū)；當(dāng)E<U0時(shí)，粒子不可能進(jìn)入x>0區(qū)，在壘壁處粒子被反彈回x<0區(qū)。量子力學(xué)結(jié)果如何？E>U0E<U0U(x)xU=U0U=0o薛定諤方程第68頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月波函數(shù)當(dāng)x→∞，由波函數(shù)Φ2有限D(zhuǎn)=0第69頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月波函數(shù)各部分的含義：在兩個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別為：U(x)xU=U0o入射波反射波衰減波第70頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月量子理論：粒子可以透入勢(shì)壘，進(jìn)入U(xiǎn)>E（總能量）區(qū)域。經(jīng)典理論：因?yàn)榱Ｗ拥膭?dòng)能不可能小于零，所以粒子不能進(jìn)入U(xiǎn)>E（總能量）區(qū)域。2.隧道效應(yīng)（勢(shì)壘貫穿）自由粒子處遇到的勢(shì)是有限高和有限寬的勢(shì)壘：E<U0xU=U0U=00a第71頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月透射波（只有向右傳播的波）利用薛定諤方程可以求得波函數(shù)：入射波+反射波指數(shù)衰減波其中待定常數(shù)B、C、D、F由下列邊界條件確定：xU=U0U=00a第72頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月透射系數(shù)T：粒子穿透勢(shì)壘的概率xU=U0U=0Oa可以證明：Φ(x)

可見(jiàn)：m、a、(U0–E)

越小，則穿透率T

越大。向墻壁上扔一球，按經(jīng)典力學(xué)該球被墻壁反彈回來(lái)；例如：電子

a=2×10-10

m,(U0-E)=1

eV→T≈0.51但按量子力學(xué)小球有可能進(jìn)入墻壁中（當(dāng)m很大時(shí)，T可能很?。┑?3頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月1.STM原理利用探針在樣品表面掃描時(shí)，樣品表面和針尖之間間距有間隙，形成了電子的勢(shì)壘，間隙越小勢(shì)壘寬度越窄，隧道電流I越大。三、掃描隧穿顯微鏡（STM）掃描隧穿顯微鏡(ScanningTunnelingMicroscope)是可以觀測(cè)原子的超高倍顯微鏡。掃描隧道顯微鏡示意圖第74頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月通過(guò)測(cè)量電路中的電流，反推出距離S，繪出樣品表面形貌圖（立體圖）隧道電流I樣品和針尖間距離S的關(guān)系S—樣品和針尖間的距離U—加在樣品和針尖間的微小電壓A—常數(shù)

—平均勢(shì)壘高度第75頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月掃描探針顯微鏡

包含類型：隧道掃描、磁力掃描、橫向力掃描、力調(diào)制掃描、相檢測(cè)掃描、靜電力掃描第76頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月超高真空掃描探針顯微鏡第77頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月05090307010(nm)硅晶體表面的STM掃描圖象2.STM掃描圖象第78頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月CarbonMonoxideonPlatinum(111)第79頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月CirclesonCircles第80頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月StadiumCorral第81頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月鑲嵌了48個(gè)Fe原子的Cu表面的掃描隧道顯微鏡照片。48個(gè)Fe原子形成“電子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波：第82頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月羅赫爾：1986年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)賓尼：1986年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)魯斯卡：1932年電子顯微鏡的發(fā)明者END第83頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月22.7氫原子量子理論氫原子中的電子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)采用球坐標(biāo)系第84頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月一、角動(dòng)量算符的本征值問(wèn)題其中L2為電子繞核的軌道角動(dòng)量平方算符Lz的為軌道角動(dòng)量在z分量：通過(guò)求解L2和Lz的本征方程得到本征函數(shù)和本征值如下(過(guò)程略)：第85頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月其中為球諧函數(shù),例如：第86頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月角動(dòng)量L的取值是量子化的（量子力學(xué)很自然地給出角動(dòng)量的量子化），最小值可取零（與玻爾假設(shè)不同）1.主要結(jié)論

和

有共同的本征函數(shù)

Yl,m(θ,

)

的本征值為角動(dòng)量的大?。簂=0,1,2…

稱為角量子數(shù)第87頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

可的本征值取角動(dòng)量在空間的取向也是量子化的。m=-l,-l+1,…l-1,l

稱為磁量子數(shù)對(duì)于一定的角量子數(shù)l,磁量子數(shù)

m

可取(2l+1)個(gè)值，角動(dòng)量在空間z

方向的取向只有(2l+1)種可能。第88頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月2.角動(dòng)量空間量子化的經(jīng)典矢量模型該矢量在Lz軸上的投影在到之間。但對(duì)矢量的具體方位

不能限制，可以在半頂角α的圓錐面上的任意方位（其中）,若Lz取定值，則

完全不確定。0-2

Lz=2-Lz將角動(dòng)量想象為一長(zhǎng)度為的經(jīng)典矢量LzLz=2

第89頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月注：以上矢量模型完全是為了使角動(dòng)量空間取向量子化的描述更形象，是一種輔助方法。量子理論中由于測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的限制，電子繞原子核的角動(dòng)量方向在任何時(shí)刻均是不確定的。3.Zeeman效應(yīng)證明角動(dòng)量空間取向的量子化氫原子從第一激發(fā)態(tài)（l=1）躍遷到基態(tài)（l=0）時(shí)，發(fā)射光譜只有一條譜線。但在外磁場(chǎng)中發(fā)現(xiàn)，該條譜線分裂為三條。B=0時(shí)光譜線l=1l=0對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)B≠0時(shí)光譜線l=1l=0第90頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月電子的軌道角動(dòng)量對(duì)應(yīng)于軌道磁矩在外磁場(chǎng)中電子的軌道磁矩具有的附加磁能為：稱光譜這種分裂現(xiàn)象為塞曼效應(yīng)。解釋：由于電子軌道角動(dòng)量空間取向的量子化，氫原子的能級(jí)在外加磁場(chǎng)出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，進(jìn)一步導(dǎo)致譜線的分裂。第91頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月1902諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主塞曼塞曼效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)和研究第92頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月二、氫原子的能量和電子的幾率密度定態(tài)薛定格方程為可以用分離變量法得電子的波函數(shù)可表示為（此處略）：u(r)稱為徑向波函數(shù)為球諧函數(shù)第93頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月電子的能量本征值對(duì)角量子數(shù)的限制n=1,2,3…，1.主要結(jié)論：n稱為主量子數(shù)例如：基態(tài)n=1,l=0;

第一激發(fā)態(tài)n=2,l=0、1第二激發(fā)態(tài)n=3,l=0、1、2第94頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月徑向波函數(shù)

Rnl(r)=unl(r)/r……其中a0=ε0h2/πme2為玻耳半徑第95頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月2.電子的幾率密度分布和電子云在空間點(diǎn)（r,

,

）處,小體積元dV

中電子出現(xiàn)的概率為：一般是與r、、有關(guān)電子徑向幾率分布考慮電子在r～r+dr球殼的幾率第96頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月(由于球諧函數(shù)是歸一的)電子沿徑向的幾率分布是連續(xù)的——不同于經(jīng)典的軌道概念。在基態(tài)，電子在r=a0處出現(xiàn)的幾率最大，與經(jīng)典軌道對(duì)應(yīng)。a0第97頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月電子角向幾率分布電子在基態(tài)和激發(fā)態(tài)時(shí)的角向幾率分布(其中基態(tài)時(shí)是球?qū)ΨQ分布的)。l=0,1,2,3,…分別對(duì)應(yīng)s,p,d,f,…軌道。規(guī)定：END第98頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月§22.8電子的自旋泡利不相容原理一、電子的自旋（spin）無(wú)磁場(chǎng)有磁場(chǎng)1.斯特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)（1921）實(shí)驗(yàn)結(jié)果：銀原子束穿過(guò)非均勻磁場(chǎng)后分裂為兩束。s1s2P基態(tài)銀原子射線NS非均勻磁場(chǎng)第99頁(yè),共108頁(yè)，星期六，2024年，5月

但按電磁學(xué)知，一磁偶極子在非均勻磁場(chǎng)中，除了受力矩的作用，還受力的作用，且有但實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明銀原子有磁矩，而且沿外磁場(chǎng)方向有兩個(gè)分量（銀原子分裂為兩束）。實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)了新的矛盾：實(shí)驗(yàn)用的銀原子大部分處在基態(tài)（l=0），無(wú)磁矩，銀原子不