高中數學講義：等式與不等式

高中數學講義：等式與不等式

目錄

1.教材要點....................................................................1

1.1.要點不等式的性質......................................................1

1.2.狀元隨筆.................................................................2

2.基礎自測....................................................................2

3.題型........................................................................3

3.1.題型1利用不等式的性質判斷命題的真假..................................3

3.2.題型2證明不等式......................................................3

3.3.題型3利用不等式的性質求范圍..........................................4

4.易錯辨析多次使用同向不等式相加致誤......................................5

5.易錯警示....................................................................5

6.課堂十分鐘.................................................................6

7.新知初探?課前預習...........................................................7

7.1.要點.....................................................................7

7.2.［基礎自測］...............................................................7

7.3.題型探究?課堂解透........................................................8

8.［課堂十分鐘］..................................................................9

1.教材要點

1.1.要點不等式的性質

性質1（對稱性）a>b=.

性質2（傳遞性）a>b,b>c=>.

性質3（加法法則）a>bo

推論1如果a+b>c,那么a>c—b

推論2如果a>b,c>d,那么

a>b)

性質4（乘法法則）

c>0今——：c<0F——

a>b>0]

推論3

c>d>Oj

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推論4(乘方法則)a>b>00(neN+)

性質5(開方法則)a>b>0=(neN+)

性質6—.

ab>OJab<OJ

1.2.狀元隨筆

(1)注意不等式的單向性和雙向性.性質1和3是雙向的，其余的在一般情

況下是不可逆的.

(2)在應用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件.不可強化或弱化成

立的條件.要克服“想當然”"顯然成立”的思維定勢.

2.基礎自測

1.思考辨析(正確的畫"/"，錯誤的畫"X")

(l)a,b,c為實數，在等式中，若a=b,則ac=bc；在不等式中，若a>b,

則ac>bc.()

(2)a>boac2>bc2.()

(3)同向不等式相加與相乘的條件是一致的.(]

(4)設a,beR,月.a>b,則a3>b3.()

2.已知xVaVO,則一定成立的不等式是()

A.x2<a2<0B.x2>ax>a2

C.x2<ax<0D.x2>a2>ax

3.(多選)若a>b>0,d<c<0,則下列不等式成立的是()

A.ac>bcB.a-d>b—c

ii

C.D.a3>b3

dc

4.用不等號填空.

⑴如果a>b>0,那么*_____~

⑵如果a>b>c>0,那么；今

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3.題型

3.1.題型1利用不等式的性質判斷命題的真假

例1(1)已知a,b,ceR,那么下列命題中正確的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

B.若則a>b

CC

C.若a3>b3且ab<0,則工〉;

ab

D.若a2>b2且ab>0,則工V：

ab

(2)(多選)設a,b,cGR,且a>b,則下列不等式成立的是()

11

A.ac2>bc2B.

a2b2

C.a-c>b—cD.———>——

c2+lcz+l

方法歸納

(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意

捏造性質.

(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要

遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.

跟蹤訓練1(1)已知實數OVaVl,則下列正確的是()

A.->a>a2B.a>a2>-

aa

1i

C.a2>i>aD.i>a2>a

aa

(2)(多選)已知實數a,b,c滿足cVbVa,且ac<0,則下列不等式一定成

立的是()

A.ab>acB.c(b—a)>0

C.ac(a—c)<0D.cb2<ab2

3.2.題型2證明不等式

例2若be—ad?O,bd>0,求證：審工岑

bd

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方法歸納

1.不等式證明的實質是比較兩個實數(代數式)的大小.

2.證明不等式可以利用不等式性質證明，也可以用作差比較法證明，利用

不等式性質證明時，不可省略條件或跳步推導.

跟蹤訓練2(1)已知a>b,e>f,c>0,求證：f—ac<e—be.

(2)若aVbVO,求證：衿,

3.3.題型3利用不等式的性質求范圍

例3已知一2Vaw3,14bV2,試求下列代數式的取值范圍:

(l)|a|；(2)a+b；(3)a—b；(4)2a—3b.

方法歸納

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利用不等式性質求范圍的一般思路

(1)借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答；

(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件;

(3)結合不等式的傳遞性進行求解.

跟蹤訓練3已知實數x,y滿足：lVxV2VyV3,

(1)求xy的取值范圍；

(2)求x—2y的取值范圍.

4.易錯辨析多次使用同向不等式相加致誤

例4已知一l〈a+bV5,-4<a-b<2,求2a—4b的取值范圍.

解析：2a—4b=3(a—b)—(a+b),

因為一lVa+b<5,—4Va—b<2,所以一5V—(a+b)VI,

-12<3(a-b)<6,

所以一17V2a—4bV7.

5.易錯警示

易錯原因糾錯心得

錯解：—l<a+b<5①同向(異向)不等式的兩邊可以相加

-4<a-b<2@(減)，但這種轉化不是等價變形，如果

-2<b-a<4?在解題過程中多次使用這種轉化，就有

①+②再除以2得一可能擴大其取值范圍，所以我們選用不

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①+③再除以2得一日〈bv]等式的性質求代數式的取值范圍時務必

所以一23V2a-4bV13小心謹慎，必要時改換求解的思路和方

錯誤在于"一l<a+b<5,—4<a法.

—b<2"與"一三VavA-'vbV%并不

2222

等價.

6.課堂十分鐘

1.與a>b等價的不等式是（）

A.|a|>|b|B.a2>b2

C.:>1D.a3>b3

2.下列結論正確的是（）

A.若a>b,c>b,則a>cB.若a>b,貝!Ja2>b2

C.若a>b,c>d,則ac>bdD.若a>b,c>d,則a+c>b+d

3.（多選）如果a>b>0,那么下列不等式成立的是（）

A.Va>VbB.

a2bN

C.ac2>bc2D.a—c>b—c

4.設x>l,-l<y<0,試將x,y,一y按從小到大的順序排列如下:

5.已知一iwa+bwl,14a—2b43.求a+3b的取值范圍.

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7.新知初探?課前預習

7.1.要點

b<aa>ca+c>b+ca+c>b+dac>bcac<bcac>bdan>bn

Va>Vb

abab

7.2.［基礎自測］

1.答案：(l)x［2)X(3)x(4)V

2.解析：因為x<a<0,不等號兩邊同時乘a,則ax>a2；不等號兩邊同時

乘x,則x2>ax,故x2>ax>a2,故選B.

答案：B

3.解析：因為a>b>0,c<0,所以acvbc,A錯誤；因為a>b>0,-d>—c>0,

所以a—d>b—c,B正確；因為dvcvO,所以;一，C錯誤；因為a>b>0,所以

dc

a3>b3,D正確.故選BD.

答案：BD

4.解析：(l)；a>b>0,

.,.a2>b2>0,

￡<2_

a2b2,

(2)va>b>0,

又c>0,

A-<-.

ab

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答案：(1)<(2)<

7.3.題型探究?課堂解透

例1解析：(1)A中，若a>b,則ac2>bc2(錯)，若c=0,則A不成立；B

中，若:>?,則a>b(錯)，若c<0,則B不成立;C中，若a3>b3,且ab<0,則，>：(對)，

若a3>b3且ab<0,則卜>"；D中，若a2>b2,且ab>0,則V(錯)，若卜<°’

(b<0ab(b<0,

則D不成立.故選C.

(2)對A,當c=0時，ac2>bc2不成立，A錯誤；對B,當a=-1,b=-2

時，不成立，錯誤；對因為兩邊同時減去有成立，

a2bzBC,a>b,ca—c>b—c

故C正確；對D,由于一一>0,又a>b,故品>要，故D正確.

c2+lc2+lc2+l

答案：(1)C(2)CD

跟蹤訓練1解析：(l)rO<a<l,.?.取a=g,逐一驗證，可知A正確.

(2)因為實數a,b,c滿足cvbva,且ac〈0,

所以a>0,c<0,

由b>c,a>0,得ab>ac,故A正確；

由b<a,c<0,得c(b-a)>0,故B正確；

由a>c,ac<0,得ac(a-c)<0,故C正確；

由a>c,b2>0,得cb2wab2,當b=0時，等號成立，故D錯誤；

故選ABC.

答案：⑴A(2JABC

例2證明：(法一)；bc—ad^O,.'bcNad,

.，.bc+bd>ad+bd,

即b(c+d)>d[a+b).

又bd>0,兩邊同除以bd,得學W答.

「注一、?.a+bc+d_ad+bd-bc-bd_ad-bc八

[法一J?-^--bd--，

a+b/c+d

跟蹤訓練2證明：(1)因為a>b,c>0,所以ac>bc,即一acV—be.

又已>。即fVe,所以f—aeVe—be.

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⑵由于中=(b+a)[b-a),

''ababab

va<b<0,.,.b+a<0,b-a>0,ab>0,

(b+a)(b-a)

tVO,故沁

ab

例3解析:(l)0<|a|<3；

(2)—l<a+b<5；

(3)依題意得一2<aw3,—2<—b<—1,相加得一4va—bw2；

(4)由一2<aw3得一4<2av6①

由l<b<2W-6<-3b<-3@

由①②得，一10<2a—3b43.

跟蹤訓練3解析：(l)vl<x<2<y<3,.,.l<x<2,2<y<3,則2Vxy<6,則xy

的取值范圍是2Vxy<6.

(2)由(1)知l<x<2,2<y<3,從而一6v—2y<—4,則一5<x—2yv—2,即x

—2y的取值范圍是一5<x—2yv—2.