高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)課件

導(dǎo)數(shù)

一、主要知識(shí)

/(%+?)一/(/)

導(dǎo)數(shù)：/(x)=y'-lim-=lim

&YT()Ar加->o

2.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)/初的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)尸(%,/(%))處切線的斜率

3.(1)常用的導(dǎo)數(shù)公式：①。=0(C為常數(shù))；②(x")'=〃x"T(〃eN*)；

③(sinx)'=cosx；@(cosx)=sinx；@(eA)-ex；⑥(a*)'=a*lna(a>Cl&aHl)；

⑦Qnx)=—；⑧(log；)'=4log；(a>0且
)。

xx

(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：?(W±V)'=M'±V；

②(〃V)-UV+UV;

(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)y=/(“),“=g(x),貝！Jy=f(M)g'(x)

4.導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用(綜合應(yīng)用)

(1)切線的斜率：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(2)函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)1(X)；③令/'(x)>0,

解出x的取值范圍，便得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令f(x)<0,解出x的取值范圍，便得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。

(3)函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法是：設(shè)函數(shù)y=f(x)在玉,處連續(xù)，且/'(%)=0,若在X。附近的左側(cè)

f(x)>0,右側(cè)/'(x)〈0,則/(X。)為函數(shù)的極大值，若在點(diǎn)與附近左側(cè)/,(x)<0,右側(cè)f(x)>0,則/(X。)為

函數(shù)的極小值。

(4)函數(shù)的最值，在閉區(qū)間［a,同上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)f(x),在區(qū)間,力］上必有最大值和最小值，設(shè)函數(shù)f(x)在

［a,可上連續(xù)，在(。力)內(nèi)可導(dǎo)，先求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值，然后將f(x)的各極值與/⑷，/(b)比較,

其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。

(5)恒成立問(wèn)題：一般出現(xiàn)在題目中參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，利用

/(x)<a恒成立o[/(x)]max<a

/(x)>a恒成立Q[/(x)]mjn>a

(6)證明不等式：主要利用函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行證明。

5.求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)有兩種方法，即導(dǎo)數(shù)的定義法和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法。

(1)用定義求函數(shù)在點(diǎn)七處導(dǎo)數(shù)的方法

①求函數(shù)的增量：Ay=/(x0+Ar)-/(x0)

②求平均變化率：且J5+

AJCAX

③求極限的導(dǎo)數(shù)：f(x0)=lim”

—t。Ar

(2)利用導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值求函數(shù)在點(diǎn)小處導(dǎo)數(shù)的方法

①求函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(〃力)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)/.(X)

②將飛€(凡6)代入導(dǎo)函數(shù)/'(X)得函數(shù)/(X。)即為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)。

6.求定積分的方法：

(1)根據(jù)定義求定積分(一般比較少用)

(2)利用微積分的基本公式求定積分，/(x)dx

步驟:①求/(x)的原函數(shù)F(x);

②計(jì)算F(b)-F(a).

(3)求平面圖形面積的一般步驟是：

①畫出圖形，并將其適當(dāng)?shù)姆指畛扇舾蓚€(gè)曲邊梯形；

②對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定被積分的上限和下限，用定積分表示其面積；

③計(jì)算各個(gè)定積分，求出所求的面積。

二、主要題型

題型-導(dǎo)數(shù)的定義的應(yīng)用

f(x0-^k)-f(x0)

例1已知f(x0)=-2,求Un--------2----------的值。

J。k

解：

/。()+(-1&))-7(入0)

/(X。)=in-----------=-2

kl->0n-----------1J.

——K

2

f(x0-h)-f(x0)1/(x0+(-^))-/(x0)

Un-----------------------=——lin-------------\-------------

—0k22。1,

——K

2

1.1

=_萬(wàn)/(x0)="-x(-2)=l

練習(xí)；

1.設(shè)f(x)在X。處可導(dǎo)，試求lim_%1“)一"飛二仍的值。

°2。2h

2.已知f(X。)=lim"X)7(X。)，八3)=2,八3)=—2,則lim23支的值是——_.

XT/X-Xo13%—3

3.(山東卷文10)觀察(x2)=2x,(犬)=4/，(cosx)=-sinx,由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)/(幻滿

足/(T)=/(X),記8(幻為/J)的導(dǎo)函數(shù)，則gL幻=

(A.)/(X)⑻一/(X)(C)g(x)(D)-g(x)

4.(0北京卷理72)如圖，函數(shù)/(x)的圖象是折線段ABC,

其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),J..........

貝1」/(/(0))=___________；

小"十八)一人)=—

_.(用數(shù)字作答)0123456x

△J。AJC

題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例2已知直線4為曲線+x—2在點(diǎn)(1.0)處的切線，4為該曲線的另一條切線，且(1)求直線，2

的方程；(2)求由直線小4和x軸所圍成的三角形的面積。

(x+Ax)"+(x+Ax)—2—x~+x—2

,?：y'=lim—=lim—

解(1)&3。AxZf。Ax

yk=3

所以直線乙的方程為y=3x-3.

設(shè)直線4過(guò)曲線y=1+工一2上的點(diǎn)產(chǎn)(%,%2+%.-2),則直線4的方程為

y-(/2+X0-2)=(2x0+l)(x-x0)

2

丁KJ_，2，3(2%Q+1)=-1,XQ=~~

「?直線的方程為y二一1^^一2年2，

「々，[1

y=3x-3x=—

(2)解方程組122,得6

1y=—3x---9-卜一5

又直線人，4和X軸交點(diǎn)分別為(1,0),(—彳,0),

.?.所求三角形面積為5=』x-4x/1+必]=工

2|2|13)12

練習(xí)：

1.曲線y=x?+x-3的一條切線與直線y=3x+4平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程。

2.已知點(diǎn)M(0,-1),F(0,1)過(guò)點(diǎn)M的直線/與曲線y=；d-4x+4在x=-2處的切線平行。

(1)求直線/的方程；

(2)求以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，/為準(zhǔn)線的拋物線C的方程。

3.(09安徽理9)已知函數(shù)/(x)在R上滿足/(x)=2/(2—x)—f+8x—8,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線

方程是

(A)y=2x-l(B)y=x(C)y=3x-2(D)y=-2x+3

x

4.(09遼寧理7)曲線y=—在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為

x-2

(A)y=x-2(B)y=-3x+2(C)y=2x-3(D)y=-2x+l

4

y=-~

5.(10遼寧卷理[0文12)已知點(diǎn)P在曲線e'+l上，口為曲線在點(diǎn)0處的切線的傾深斗角，則a的取值范圍是

7C與(9芻[與⑺

(A)[0,4)(B)42(C)24⑼4

X

y—

6.(10全國(guó)I新卷理3.)曲線x+2在點(diǎn)(T,-1)處的切線方程為[

(A)y=2x+l(B)y=2xT.(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2

7.(全國(guó)I新卷文.4)曲線y=x?-2x+l在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為

(A)y=x-{(B)y=f+i

?y=2%一2⑻尸一21+2

(二、

,1a,a2

8.(10全國(guó)n卷理10)若曲線)'=x在點(diǎn)lJ處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18,則“=

(A)64(B)32(C)16(D)8

9.(10全國(guó)II卷文7)若曲線丁=￡+利+8在點(diǎn)(0,3處的切線方程是、一)'+1=°,則

(A)"1,0=1(B)a=T，》=l

⑹⑻a=-\,b=-\

10.(函遼寧卷理。文6)設(shè)P為曲線C：y=/+2x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為0,-,

4」

則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為()

A.-1,-1B.[-1,0]C.[0,1]D.g,l

r4-1

11.(0全國(guó)I卷理7)設(shè)曲線y=——在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直，貝!]“=

x-1

116

A.2B.—C.---D.-2

22

12.(〃全國(guó)I卷文4)曲線y=x3-2x+4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

13.(加全國(guó)II卷文7)設(shè)曲線y=ax?在點(diǎn)(1,。)處的切線與直線2x—y-6=0平行，則。=

11,

A.1B.—C.---D.-1

22

14.(加江蘇卷為直線y=+b是曲線》=11!》*>0)的一條切線，則實(shí)數(shù)。=。

15.(0全國(guó)H卷理”)設(shè)曲線)，=6依在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+l=0垂直，貝必=

題型三導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(主要運(yùn)用求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo))

攸求)，=4112(2%+§)的導(dǎo)數(shù)

解

1.(

—sin

2I

練習(xí)：

1.已知偶函數(shù)/(x)=ax4+bx3+ex2+d+e的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(0,1),且在x=1處的切線方程為y=%-2,

求函數(shù)y=/(x)的解析式

2.函數(shù)/*)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件/(x+2)=」一,若/(1)=—5,貝i」/(7(5))=____________

/(x)

3.(10江西卷文4)若/3=辦4+而+。滿足/'⑴=2,貝1/'(—1)=

A.-4B.-2C.2D.4

4.海南寧夏卷文4)設(shè)/(x)=xlnx,若/''(x())=2,則/=()

-In2,-

A.c~2B.eC.---D.In2

2

題型四導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

(1)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系

例4如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)y=f，(x)的圖象可能是()

解：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正f負(fù)f正一負(fù),只有答案A滿足.

（2）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

例5已知函數(shù)/（X）=x3+x+l,aeR.

（I）討論函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）設(shè)函數(shù)/（X）在區(qū)間（一2,_；）內(nèi)是減函數(shù)，求4的取值范圍.

解：(1)/(x)=丁+ax2+x+l求導(dǎo)：f'(x)=3x2+lax+1

當(dāng)/W3時(shí)，AWO,/'(x)2O,/(x)在R上遞增

—a±\/a2-3

當(dāng)/〉3,（5）=0求得兩根為了=

遞增,遞減,

2

-a-\la-3W-27

3,、7

(2)且/〉3解得：a"

2—32」4

3

求函數(shù)的極值問(wèn)題

kx+1

例6已知函數(shù)f（x）=x[c（c>。，且cWl,k￡R）恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是x=-c.（I）求

函數(shù)f（x）的另?個(gè)極值點(diǎn)；（11）求函數(shù)1?）的極大值曲極小值111,并求M—m2時(shí)k的取值范圍.

k(xJ+c)—2x(kx+1)—kx-2x+ck

解(I)f'(x)=

(x'+c)"(x'+c)”

2

由題意知f'(—c)=0,即得c2k—2c—ck=O,即c=l+「

k

Vc^O,???kWO.由f'(0)=0,得一kx2-2x+ck=0,

由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為x=I.

2

（II）由（*）式得c=l+j當(dāng)c>l時(shí)，k>0；當(dāng)OVcVl時(shí)，k<-2.

k

（i）當(dāng)k>0時(shí)，f（x）在（-8,—c）和（1,+8）內(nèi)是減函數(shù)，在（一c,1）內(nèi)是增函數(shù).

k+1k.、-kc+1-k"

f(1)=^+T=2>0,m=f(-C)=c2+c=2(k+2)<0,

Llz2L

由M—m=］+國(guó)工萬(wàn)21及k>0,解得k，豆.

(ii)當(dāng)kV—2時(shí)，f(x)在(一8,—c)和(1,+8)內(nèi)是增函數(shù)，在(-c,1)內(nèi)是減函數(shù).

—L2b-L1k—1<2k(b_L1)2_|_1

?.M=f(1)=2(k+2)m=c+］=5<>m-2(k+2)~2~1k+2-*-'1恒成“,

綜上可知，所求k的取值范圍為(—8,-2)U［、P，+8).

(4)求解函數(shù)的最值問(wèn)題

例7已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x"x-a).(I)略；(H)求f(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值.

2a

解(Il)f'(x)=3x2—2ax.令P(x)=0,解得xi=0,X2=~r.

o

當(dāng)李WO,即aWOH寸，1*?)在［0,2］上單調(diào)遞增，從而f(x)max=f⑵=8—4a.

當(dāng)當(dāng)三2,時(shí),即a，3時(shí)，f(x)在［0,2］上單調(diào)遞減,從而f(x)max=f(0)=0.

9o9o9o

當(dāng)0<彳<2,即0<a<3,f(x)在［0,上單調(diào)遞減，在l，2］上單調(diào)遞增，

ooO

\8-4a0Va<2

從而f(x)w,*=io2<a<3T

綜上所述,f(x)皿=［「aa：；

(5)導(dǎo)數(shù)與數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題

例8水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用f表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量(單

位：億立方米)關(guān)于，的近似函數(shù)關(guān)系式為

1(-?2+14/-40>4(+50,0<z<10,

(4(/-10)(3/-41)+50,10<r<12.

(I)該水庫(kù)的蓄求量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以表示第1月份(i=L2…,12)，同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是

枯水期？

(II)求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量(取e=2.7計(jì)算).

解(1)①當(dāng)時(shí)0<f410,V(O=(-r+14r-40)er+50<50,

化簡(jiǎn)得產(chǎn)-14r+40>0,解得，<4或，>10,又0<f410,故0<f<4.

②當(dāng)10<fW12時(shí)，V。)=4?！?0)(3/—41)+50<50,化簡(jiǎn)得，(f-10)(3?-41)<0

41

解得10<f(一，又10<fW12,故10<fK12.綜上得，0<f<4,或10<fK12.

3

故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個(gè)月。

(2)由(1)知，-(f)的最大值只能在(4,10)內(nèi)內(nèi)達(dá)到。

1,1,31-/

由V(r)=e4(一一廠+-f+4)=一—e4Q+2)(t—8),

424

令V'(f)=O,解得，=8C=—2舍去)。

當(dāng)，變化時(shí)，V'(f)與V。)的變化情況如下表:

t(4,8)8(8,10)

+0-

v1(0

極大值

由上表，V⑺在f=8時(shí)取得最大值V(8)=8/+50=108.32(億立方米)。

故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米。

練習(xí)：

1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x‘一3(a—Dx'+l,其中a》l.

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)討論f(x)的極值.

2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=x"ax-3),其中a為常數(shù).(I)若x=l是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；(11)若函

數(shù)f(x)在區(qū)間(—1,0)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.

3.已知函數(shù)f(x)=x3+bx?+ax+d的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)M(-1,f(-1))處的切線方程為6x-y+7=0.

(I)求函數(shù)y=f(x)的解析式；

(II)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

4.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+l)ln(x+l),若對(duì)所有的x》0,都有f(x))ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5.已知函數(shù)f(x)=-x?+8x,g(x)=61nx+m.

(I)求f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t)；

(II)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取

值范圍；，若不存在，說(shuō)明理由。

6.已知函數(shù)f(x)=log,x+2x和g(x)=210gli(2x+t—2)+2x(a>0,a#l,teR)的圖象在x=2處的切線互相平行.

⑴求t的值;

(H)設(shè)F(x)=g(x)—f(x),當(dāng)xG［L4］時(shí)，F(xiàn)(x)下2恒成立,求a的取值范圍

7.(09安徽理6)設(shè)aVb,函數(shù)y=(x-a)\x-b)的圖像可能是

兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧力8上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的

影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的

距離為xkm,建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所

選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例

系數(shù)為k,當(dāng)垃圾處理廠建在48的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數(shù)；

<-V.

(11)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧43上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響

度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說(shuō)明理由。

9.(09海南寧夏理21)

已知函數(shù)/(x)=(/+3/+ax+bW

(I)如。=〃=一3,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若“X)在(-8,a),(2,￡)單調(diào)增加，在(a,2),(￡,+oo)單調(diào)減少，證明

(3—a<6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

10.(09遼寧理21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=；/-QX+(Q-l)lnx,a>1,

(1)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)證明：若。<5,則對(duì)于任意X1,X,e(0,+8),X|WX,,有/(*)—>_]

須一彳2

11.(09福建理20)(本小題滿分14分)

2

已知函數(shù)/(x)=g/+ax+bx,且/1)=0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)試用含a的代數(shù)式表示b,并求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令。=一1,設(shè)函數(shù)/(x)在土,%2(玉<》2)處取得極值，記點(diǎn)M(X]J(xJ),N(X2,/(x2)),),

x,<m<x2，請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線/(x)在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問(wèn)題：

(I)若對(duì)任意的mG(X,,X2),線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論;

(II)若存在點(diǎn)Q(n,f(n)),xWn<m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍(不

必給出求解過(guò)程)W.W.W

2

2.12.(09安徽理19)已知函數(shù)/(x)=x——+a(2-lnx),(a>0),討論/(x)的單調(diào)性

x

13.(09天津理20)已知函數(shù)/(x)=(;?+ax-2a2+3a)e*(xeR),其中aeR

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線的斜率；

2

(2)當(dāng)寸，求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間與極值

14(10山東卷文8)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)〉(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量》(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為

1,

y-——x3+8lx-234

3,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為

(A)13萬(wàn)件(B)ll萬(wàn)件(C)9萬(wàn)件(D)7萬(wàn)件

15.(10江西卷理12)如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱軸與水面垂直)勻速地升出水面,

記.時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為5"）（5（°）=°）,則導(dǎo)函數(shù)＞=5'。）的圖像大致為

16.

（I）求/（X）的單調(diào)區(qū)間與極值;

(H)求證：當(dāng)。>此2-1g％>0時(shí)，ex>x1-lax+1

/（X）=一/+儲(chǔ)+cx+d（aA0）r（、Q_n

17.（10北京卷文18）設(shè)定函數(shù)3,且方程/=U的兩個(gè)根分別為1,4。

（I）當(dāng)a=3且曲線y=/Q）過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求/（X）的解析式;

（II）若/（X）在（一雙+00）無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。

18.（10福建卷理20）

（I）已知函數(shù)"x）=x3-x,其圖象記為曲線C。

（i）求函數(shù)/（幻的單調(diào)區(qū)間;

（ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)/，曲線°與其在點(diǎn)4（%’/（/））處的切線交于另一點(diǎn)巴（々，/（々）），曲線c與

其在點(diǎn)巴處的切線交于另一點(diǎn)8（/，/（七）），線段46、6P與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為si,S2,

則$2為定值;

（II）對(duì)于一般的三次函數(shù)85）="3+/+5+4300）,請(qǐng)給出類似于（］）（^）的正確命題，并予以證明。

f（x）=—x~+cix+b_ag

19.（10福建卷文22）已知函數(shù)3的圖像在點(diǎn)P（0,f（0））處的切線方程為y=%-2

（I）求實(shí)數(shù)a,b的值;

(II)設(shè)丁=4x(-2)2=2p2,x=-l8“)一”"十三1是［2,+?0上的增函數(shù).

（i）求實(shí)數(shù)m的最大值;

（ii）當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q,使得過(guò)點(diǎn)Q的直線能與曲線＞=g（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉

圖形的面積總相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

20.（10湖北卷理17）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑

物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)

元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：

-----（0<x<10）,

C（X）=3x4-5若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元。設(shè)f（X）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源

消耗費(fèi)用之和。

（I）求k的值及f（x）的表達(dá)式。

（II）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，并求最小值。

b

21..（10湖北卷理21）已知函數(shù)f（x）=ax+x+c（a>0）的圖象在點(diǎn)（l,f（l））處的切線方程為y=xT.

（I）用a表示出b,c;

（II）若f（x）>Inx在［1,8］上恒成立，求a的取值范圍；

（HI）證明：i+2+3+...+n>ln（n+l）+2（〃+l））（n2i）.

a

/（x）=—+x+（a-l）lnx+15tz,

22（10湖南卷文21）已知函數(shù)%其中a<0,且aW-L

（I）討論函數(shù)"X）的單調(diào)性；

/、［（-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a）ex,x<1

（II）設(shè)函數(shù)X>1（e是自然數(shù)的底數(shù)）。是否存在a,使8。）在匕,一］上

為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

23.（10江西卷理19）設(shè)函數(shù)/（x）=lnx+ln（2_x）+ax（a〉O）.

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求〃龍）的單調(diào)區(qū)間；

￡

（2）若/（X）在（°，I］上的最大值為2,求。的值.

24..（10江西卷文17）設(shè)函數(shù)/（”）=6/+3（°+2*+2以

（1）若外幻的兩個(gè)極值點(diǎn)為玉，工2,且玉々=1,求實(shí)數(shù)。的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)“，使得/（*）是（-00,+°0）上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出。的值；若不存在，說(shuō)明理由.

25.（10遼寧卷理21）已知函數(shù)/（》）=（。+1）111%+0/+1

（I）討論函數(shù)/“）的單調(diào)性；

（II）設(shè)a<T.如果對(duì)任意e（0,+8）,1/（/）―/（尤2）?41匹一看I,求a的取值范圍。

26.（10全國(guó)I卷理20）已知函數(shù)/（x）=（x+l）lnx-x+1

（I）若獷（幻</+3+1,求a的取值范圍；

(II)證明：(xT)/(xRO.

27.(10全國(guó)I新卷理21)設(shè)函數(shù)"x)="T—x—/

若a=°,求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

若當(dāng)xN0時(shí)/(幻2°,求。的取值范圍

28.(10全國(guó)I新卷文21)設(shè)函數(shù)()=W"T)-“

2_

(I)若a=2,求%、)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若當(dāng)x20時(shí)「，)20,求a的取值范圍

29.(10全國(guó)II卷理22)設(shè)函數(shù)”""I一，

/(%)>—

(I)證明：當(dāng)x>T時(shí)，x+\.

(II)設(shè)當(dāng)XN0時(shí)，以+1,求a的取值范圍.

32

30.(10全國(guó)H卷文21)已知函數(shù)f(x)=x-3ax+3x+l。

(I)設(shè)a=2,求f(x)的單調(diào)期間；

(H)設(shè)f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍。

1—Q

f(x)=Inx—oxH---------l(aGR)

31.(10山東卷理22)已知函數(shù)x

2_

(I)當(dāng)aw5時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性：

(H)設(shè)g(x)=x2-2bx+4.當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意xie(0,2),存在XZGR3],使/(%)'g(Z),

求實(shí)數(shù)b的

取值范圍。

32.(10陜西卷理21)已知函數(shù)f(x)=4，g(x)=alnx,aGRo

(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

⑵設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),當(dāng)h(x)存在最小之時(shí),求其最小值」(a)的解析式;

心“⑷+9的2ab

<<P\)

⑶對(duì)(2)中的8(a)和任意的a>0,b>0,證明:22a+b

33.(10天津卷理21)已知函數(shù)/(X)=祝'(xeR)

(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間和極值：

(II)已知函數(shù))'=8(幻的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，證明當(dāng)X>1時(shí)，/(x)>g(x)

34.(10重慶卷文19)已知函數(shù)"幻=以3+/+法(其中常數(shù)a,bGR),8(幻=/。)+/(》)是奇函數(shù).

(I)求八?的表達(dá)式；

(II)討論8(幻的單調(diào)性，并求8(力在區(qū)間口'2]上的最大值與最小值.

35.(0福建卷理72)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是()

A.〃>—3B.Q<—3C.a>—D.a<—

33

37.(0廣東卷文夕)設(shè)QER,若函數(shù)y=靖+以，xwR,有大于零的極值點(diǎn)，貝IJ()

1I1

A、〃<—1B、。>一11C、Q<—D、Q>—

ee

38.(0湖北卷理7)若/(x)=—；x2+bln(x+2)在(T,+oo)上是減函數(shù)，則。的取值范圍是()

A.[-l,+oo)B.(一1,+8)C.(-oo,-l]D.(-oo,-l)

39.安徽卷理勿)設(shè)函數(shù)/(x)=—!—(x>0且XH1)

xlnx

(I)求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知2最>犬對(duì)任意x￡(0,l)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

40.(如安徽卷文統(tǒng))設(shè)函數(shù)/*)=3X3—■|/+9+1"+1,其中&為實(shí)數(shù)。

(I)已知函數(shù)在x=l處取得極值，求a的值；

(II)已知不等式f(x)>x2—x—a+1對(duì)任意ae(0,+oo)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍

2Y—h

41.(0北京卷理右)已知函數(shù)/(x)=V求導(dǎo)函數(shù)/'(x),并確定/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(X-1)

42.(。夕北京卷文77)已知函數(shù)/?)=/+以2+3"+。3/0),且g(x)=/(X)—2是奇函數(shù).

(【)求a,c的值；

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

43.(。夕福建卷理22)已知函數(shù)f(x)=ln(l+x)-xi

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)記f(x)在區(qū)間［0,可(neN*)上的最小值為bx令an=ln(l+n)-bx.

(Ill)如果對(duì)一切n,不等式J］<Ja”+2一求實(shí)數(shù)c的取值范圍;

(W)求證：幺+膽++的342,1<J2T+1—1.

aaa

a2a2a4i42?

44.(Gg福建卷文a)已知函數(shù)/(x)=x3+〃*+〃x—2的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,-6),且函數(shù)g(x)=/'(x)+6x的圖象關(guān)

于y軸對(duì)稱.

(I)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若a>0,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a-l,a+l)內(nèi)的極值.

45.(GX廣東卷文Z7)某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的

樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x》10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48X(單位：元).為了使樓房每平方

米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

(注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=購(gòu)地總費(fèi)用)

建筑總面積

46.湖北卷文77)已知函數(shù)/(》)=丁+〃>—病x+1(m為常數(shù)，且m>0)有極大值9.

(I)求m的值；

(II)若斜率為-5的直線是曲線y=/(x)的切線，求此直線方程.

r2

47.(0湖南卷理牙)已知函數(shù)f(x)=h?(l+x)---.

1+x

(I)求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若不等式(1+工)"°We對(duì)任意的〃eN*都成立(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).求a的

n

Ia

48.(如湖南卷文2Q已知函數(shù)/。)=1/+工3一2》2+以有三個(gè)極值點(diǎn)。

(I)證明：-27<C<5;

(II)若存在實(shí)數(shù)c,使函數(shù)在區(qū)間［a,a+2］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。

已知函數(shù)/(、)=卷+患+優(yōu)

49.(G『江西卷理22)XG(0,+00).

(1).當(dāng)a=8時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2).對(duì)任意正數(shù)a,證明：l</(x)<2.

50.(0江西卷文27)已知函數(shù)/。)=1/+_14》3一/￡+44伍>0)

43

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖像與直線y=l恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

Inx

51.(Gg遼寧卷理22)設(shè)函數(shù)/(x)=------lnx+ln(x+l).

1+x

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式/(x)Na的解集為(0,+00)?若存在，求a的取值范圍；若不存在,

試說(shuō)明理由.

52.山東卷理27)已知函數(shù)/(x)=『y+"ln(x—l),其中ndN*,a為常數(shù).

(I)當(dāng)n=2時(shí)-，求函數(shù)f(x)的極值；

(II)當(dāng)a=l時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x》2時(shí)，有f(x)Wx-l.

kx+1

53.(GT陜西卷理27)已知函數(shù)/(》)=二一(C>0且CHl,ZeR)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中

尸+C

一個(gè)是X=-C.

(I)求函數(shù)/W的另一個(gè)極值點(diǎn)；

(II)求函數(shù)/(x)的極大值M和極小值加，并求"-機(jī)21時(shí)攵的取值范圍.

54.四川卷理22)已知x=3是函數(shù)〃x)=aln(l+x)+x2-lOx的一-個(gè)極值點(diǎn)。

(I)求Q;

(II)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(III)若直線y=b與函數(shù)y=/(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍。

55.天津卷理2。)已知函數(shù)/(犬)=%+q+6(了力0),其中

X

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)P(2,/(2))處的切線方程為y=3x+l,求函數(shù)_/(x)的解析式；

(II)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

56.天津卷文27)設(shè)函數(shù)/(x)=X”+ax'+2/+0(xeR),其中a,Z?eR.

(I)當(dāng)a=—W時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(11)若函數(shù)/(x)僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；

(III)若對(duì)于任意的ae[-2,2],不等式/(x)W1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范圍.

57.浙江卷理27)已知。是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=?(x-a)。

(I)求函數(shù)J(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)g(a)為J(x)在區(qū)間［0,2］上的最小值。

(i)寫出g(a)的表達(dá)式；

(ii)求。的取值范圍，使得一6Kg(a)<—2

58.浙江卷文27)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(均=/(%一①。

(I)若/⑴=3,求。的值及曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程;

(II)求/(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值。