人教版數學八年級下《第二十章數據的分析》導學案

20.1數據的代表

學習目標、重點、難點

【學習目標】

1、掌握平均數、中位數、眾數等數據代表的概念，能根據所給信息求出相應的數據代表.

2、掌握加權平均數的計算方法.

【重點難點】

1、掌握中位數、眾數等數據代表的概念.

2、選擇恰當的數據代表對數據做出判斷.

知識概覽圖

r總體一個體一樣本一樣本容量

Cr

—1

數X=-(X]+x++x)

"n2n

<x=x+a

代平均數x—+X]于2++X』

反映一組數據

表n

的集中趨勢

(其中n=fi+f2H------1-fk)

中位數

眾數

新課導引

某中學舉行歌詠比賽，六名評委給某選手打分如下：78分，77分，82分，95分，83分，75

分，去掉一個最高分，去掉一個最低分，再統(tǒng)計平均分作為該選手的最后得分.

根據打分規(guī)則，選手的得分是：-X(78+77+82+83)=-X320=80(分)，除了用平均數來衡量

44

選手的得分外，是否還有其他的方法呢？

教材精華

知識點1平均數的概念

算術平均數.

一般地，對于n個數了1，々，,馬,我們把L（X]+X,+F+…X,）叫做這n個數的算術平均數，

一n一

--1

簡稱平均數，記為X,則X=—（X[+x,+x.

n3

新數據法.

當所給數據都在某一常數a的上下波動時，一般選用簡化公式：1=，+a.其中a通常取接近

—1

于這組數據的平均數較“整”的數,石'=x「a?x；=9-a,…，x'=x-a,x'=-（工+無；+…+龍；）是新數

nnn

據的平均數.

加權平均數.

在求n個數的算術平均數時，如果不出現(xiàn)工次，々出現(xiàn)力次，…，王出現(xiàn)力次（這里工+力+…

+￡=n）,那么這n個數的算術平均數據+”/也叫做%,這k個數的加權

n

平均數，其中U，/分別叫做工1，%2，%的權.

總結：

-1—1、

如果％=一（西+/+冬++X“），丁=一（％+%+%++笫）,則有下列結論：

nn

?x{±y],x2±y2,x3±y3,土笫，的平均數為x±y；

②％，%，馬%，%，為，州的平均數為三上；

③叫+久叫+》,小+瓦，電,+5的平均數為ax+b.

知識點2總體、個體、樣本

調查中，所要考察對象的全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體.

例如，某班10名女生的考試成績是總體，每一名女生的考試成績是個體.

從總體中抽取部分個體進行調查，這種調查稱為抽樣調查，其中從總體中抽取的一部分個體叫

做總體的一個樣本.

例如，要調查全縣農村中學生學生平均每周每人的零花錢數，由于人數較多（一般涉及幾萬人）,

我們從中抽取500名學生進行調查，就是抽樣調查，這500名學生平均每周每人的零花錢數，就是

總體的一個樣本.

知識點3中位數的概念

將一組數據按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛祿膫€數是奇數，則處于中間位

置的數稱為這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數稱為這組數據的

中位數.

知識點4眾數的概念

一組數據中出現(xiàn)次數最多的數據就是這組數據的眾數.

例如：求一組數據3,2,3,5,3,1的眾數.

解：這組數據中3出現(xiàn)3次，2,5,1均出現(xiàn)1次.所以3是這組數據的眾數.

又如：求一組數據2,3,5,2,3,6的眾數.

解：這組數據中2出現(xiàn)2次，3出現(xiàn)2次，5,6各出現(xiàn)1次.

所以這組數據的眾數是2和3.

【規(guī)律方法小結】（1）平均數、中位數、眾數都是描述一組數據集中趨勢的量.

（2）平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數據都有關，是最為重要的量.

（3）中位數不受個別偏大或偏小數據的影響，當一組數據中的個別數據變動較大時，一般用

它來描述集中趨勢.

（4）眾數只與數據出現(xiàn)的頻數有關，不受個別數據影響，有時是我們最為關心的統(tǒng)計數據.

探究交流

1、一組數據的中位數一定是這組數據中的一個，這句話對嗎？為什么？

解析：不對，一組數據的中位數不一定是這組數據中的一個，當這組數據有偶數個時，中位數

由中間兩個數的平均數決定，若中間兩數相等，則這組數據的中位數在這組數據之中，反之，中位

數不在這組數據之中.

總結：（1）中位數在一組數據中是唯一的，可能是這組數據中的一個，也可能不是這組數據

中的數據.

（2）求中位數時，先將數據按由小到大的順序排列（或按由大到小的順序排列）.若這組數據

是奇數個，則最中間的數據是中位數；若這組數據是偶數個，則最中間的兩個數據的平均數是中位

數。

（3）中位數的單位與數據的單位相同.

(4)中位數與數據排序有關.當一組數據中的個別數據變動較大時，可用中位數來描述這組數

據的集中趨勢.

課堂檢測

基本概念題

1、填空題.

(1)數據15,23,17,18,22的平均數是;

(2)在某班的40名學生中，14歲的有5人，15歲的有30人，16歲的有4人，17歲的有1人,

則這個班學生的平均年齡約是；

(3)某一學生5門學科考試成績的平均分為86分，已知其中兩門學科的總分為193分，則另外

3門學科的分為;

(4)為了考察某公園一年中每天進園的人數，在其中的30天里，對進園的人數進行了統(tǒng)計，這

個問題中的總體是，樣本是,個體是.

基礎知識應用題

2、某公交線路總站設在一居民小區(qū)附近，為了了解高峰時段從總站乘車出行的人數，隨機抽

查了10個班次的乘車人數，結果如下：

20,23,26,25,29,28,30,25,21,23.

(1)計算這10個班次乘車人數的平均數；

(2)如果在高峰時段從總站共發(fā)車60個班次，根據前面的計算結果，估計在高峰時段從總站乘

該路車出行的乘客共有多少.

綜合應用題

3、某公司銷售人員15人，銷售總為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷

售量如下表所示:

每人銷售量/1800510250210150120

件

人數113532

（1）求這15位營銷人員該月銷售量的平均數，中位數和眾數；

（2）假設銷售部負責人把每位銷售人員的月銷售額定為320件，你認為是否合理？如不合理,

請你制定一個較為合理的銷售定額，并說明理由.

探索創(chuàng)新題

4、某校對初中畢業(yè)生按綜合素質、考試成績、體育測試三項給學生評定畢業(yè)成績，其權重比

例為4：4：2.畢業(yè)成績達到80分以上（含80分）為“優(yōu)秀畢業(yè)生”.小明、小亮和三項成績如下

表所示（單位：分）：

綜合素質考試成績體育測試

滿分100100100

小明729860

小亮907595

（1）小明和小亮誰能達到“優(yōu)秀畢業(yè)生”水平？哪位同學的畢業(yè)成績更好些？

⑵升入高中后，請你對他們今后的發(fā)展給每人提一條建議.

體驗中考

1、已知一組數據2,1,x,7,3,5,3,2的眾數是2,則這組數據的中位數是

（）

A.2B.2.5C.3D.5

2、某班派9名同學參加拔河比賽，他們的體重分別是（單位：千克；67,59,61,59,63,

57,70,59,65,這組數據的眾數和中位數分別是（〉

A.59,63B.59,61C.59,59D.57,61

學后反思

附：課堂檢測及體驗中考答案

課堂檢測

1、（1）19（2）15歲（3）79分（4）一年中每天進園的人數所抽取的30天里每天進園的人

數每天進園的人數

2、分析可先由平均數計算公式求出這10個班次乘車人數的平均數，再用求得的平均數乘以

60,便可估算出高峰時段從總站乘該路車出行的乘客人數.

解：⑴

-1

X=而X（20+23+26+25+29+28+30+25+21+23）

=—x250

10

=25（人）.

所以這10個班次乘車人數的平均數是25人.

（2）60x25=1500（人）.

所以估計在高峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有1500人.

3、分析（1）利用平均數、中位數和眾數的定義即可求解.（2）平均數受一組數據中的所有數

據的影響，特別是偏大或偏小的數據（即極端值）對平均數的影響較大，所以不能用平均數確定銷

售定額，而中位數的眾數不受個別數據的影響，所以用中位數或眾數確定銷售定額比較合適.

解：（1）平均數7=2（1800X1+510X1+250X3+210X5+150X3+120X2）

=—X4800

15

=320（件）.

中位數是210件，眾數是210件.

（2）不合理，因為15人中有13人的銷售額達不到320件，銷售額定為210件合適些，因為

中位數和眾數都反映了一組數據的集中趨勢，而210件是大部分人能完成的定額，有利于調動營銷

人員的工作積極性.

4、分析（1）通過加權平均數公式可計算出平均成績；（2）是針對（1）中的數據而提出的

具有建設性的意見.

解：（1）由權重比例4：4：2得權重分別為40%,40%,20%.

小明：72X40%+98X40%+60X20%=80（分）.

小亮：90X40%+75X40%+95X20%=85（分）.

故兩位同學都是優(yōu)秀畢業(yè)生，小亮成績更好些.

（2）建議小明加強優(yōu)育鍛煉并重視綜合素質的提高，建議小亮更加努力學習.

體驗中考

1、B分析：因為眾數是2,所以2的個數應該最多，即必有x=2,所以將數據從小到大排列

2+3

為1,2,2,2,3,3,5,7.可求出中位數為一廠=2.5,故選B.

2、B分析59出現(xiàn)次數最多，將數據從小到大排列為57,59,59,59,62,63,65,67,70,

這9個數據最中間的是61,故61為中位數，故選B.

20.2數據的波動

學習目標、重點、難點

【學習目標】掌握極差、方差的概念，并能熟練應用極差、方差解決實際問題.

【重點難點】會求一組數據的極差.

知識概覽圖

數概念

據

的

波

動

22

方差的算術平方根+(x2—x)++(xn-x)]

標準差

公式：s=J/

新課導引

在日常生活中，我們經常用溫差來描述氣溫的變化情況，例如：某日在不同時刻測得烏魯木齊

和廣州的氣溫情況如下表所示：

時刻0：004：008：0012：0016：0020：00

烏魯木齊10℃14℃20℃24℃19℃16℃

廣州20℃22℃23℃25℃23℃21℃

那么這一天兩地的溫差就可知了，于是可知兩地的氣溫特點.

這一天兩地的溫差分別是：烏魯木齊為24-10=14(℃),廣州為25-20=5(℃),上

述兩個溫差告訴我們，這一天中烏魯木齊的氣溫變化幅度較大，廣州的氣溫變化幅度較小.

除了用極差能反映一組數據的變化幅度外，還有哪些量能反映數據的變化幅度呢？

教材精華

知識點1極差

一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差.

極差反映了一組數據的變化范圍，變化范圍大，說明數據的波動大，離散程度大.當然，極差

有時會受單獨幾個特大值或特小值的影響而發(fā)生較大的變化.

知識點2方差

設有n個數據Xi,X2,…，Xn各數據與它們平均數的差的平方分別是

(%-3,(々―才，,(x?-x)2,我們用它們的平均數，即用

『=」(七-4+(々-月2++(X“-X)2］來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的

n

方差，記作S2-

知識點3標準差

標準差是另外一個反映數據波動大小的量，標準差是方差的算術平方根，標準差的單位與原數

據的單位是相同的.

標準差S=E.

探究交流

1、在一次女子排球比賽中，甲、乙兩隊參賽選手的年齡如下：

甲隊：26,25,28,28,24,28,26,28,27,29；

乙隊：28,27,25,28,27,26,28,27,27,26.

兩隊參賽選手的平均年齡分別是多少？兩隊參賽選手年齡波動的情況如何？

解析：上面兩組數據的平均數分別是嚏產26.9,提乙=26.9.

從平均數上無法看出這兩組數據的波動情況，我們可以從極差的角度來比較.

甲隊參賽選手的年齡極差是：29-24=5(歲).

乙隊參賽選手的年齡極差是：28-25=3(歲).

所以由數據的極差來看，乙隊參賽選手年齡波動較小，比較穩(wěn)定.

2、對于上題中的問題，用平均數法判斷這兩組數據的波動情況，用極差可知，乙隊參賽選手

的年齡比較穩(wěn)定，那么，可否用方差來比較兩個參賽隊隊員年齡的波動情況呢？

解析：因為嚏甲=26.9,美乙=26.9,

所以s2甲='[(26-26.9)2+(25-26.9)2++(29-26.9)2]=2.29,

2222

s&=—[(28-26.9)+(27-26.9)++(26-26.9)]=0.89,

顯然s2,>s2乙，由此可知甲隊選手年齡的波動較大，也就是說，乙隊選手年齡的波動較小，比

較穩(wěn)定.

課堂檢測

基礎知識應用題

1、計算數據3,4,5,6,7的方差、標準差、極差.(精確到0.1)

2、填空題.

（1）數據5,6,7,8,9的方差是;

（2）一名運動員5次100米跑的訓練成績如下（單位：秒）：10.3,10.4,10.5,10,6,10.7,

則這組數據的方差為;

（3）一名學生軍訓時連續(xù)射靶12次，命中的環(huán)數分別為7,4,8,6,5,7,9,2,3,6,8,

7,則這名學生射擊環(huán)數的標準差為;

（4）某校初三年級甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，兩個班參加比賽的學生每分鐘輸

入漢字的個數統(tǒng)計和計算后結果如下表所示:

班級參加人數平均字數中位數方差

甲55135149191

乙55135151110

有一名同學根據上表得出如下結論：

①甲、乙兩班的平均水平相同；

②乙班優(yōu)秀人數比甲班優(yōu)秀人數多（每分鐘輸入漢字150個以上為優(yōu)秀）；

③甲班學生比賽成績的波動比乙班學生比賽成績的波動大.

上述結論正確的是.

綜合應用題

3、已知一組數據6,3,4,7,6,3,5,6.求:

（1）這組數據的平均數、眾數、中位數；

（2）這組數據的方差和標準差.

探索創(chuàng)新題

4、(1)觀察下列各組數據并填空.

A：1,2,3,4,5,

B：11,12,13,14,15,XB=B

C：10,20,30,40,50,xc=______,?

：

D3,5,7,9,11,XD=____-----'SD

(2)分析比較A與B,C,D的計算結果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(3)若已知一組數據%,七，，%的平均數為最，方差為S2,那么另一組數據

3%—2,39-2,,3%-2的平均數為,方差為.

體驗中考

1、給出一組數據，23,22,25,23,27,25,23,則這組數據的中位數是；方差(精

確到0.1)是.

2、經市場調查，某種優(yōu)質西瓜質量為(5±0.25)kg的最為暢銷，為了控制西

瓜的質量，農科所采用A,B兩種種植技術進行試驗，現(xiàn)從這兩種技術種植的西瓜中各隨機抽取

20顆，記錄它們的質量如下(單位：kg)：

A：4.14.85.44.94.7

5.04.94.85.85.2

5.04.85.24.95.2

5.04.85.25.15.0

B：4.54.94.84.55.2

5.15.04.54.74.9

5.45.54.65.34.8

5.05.25.35.05.3

⑴若質量為（5±0.25）kg的為優(yōu)等品，根據以上信息完成下表:

優(yōu)等品數量/顆平均數方差

A4.9900.103

B4.9750.093

（2）請分別從優(yōu)等品數量、平均數與方差三方面對A,B兩種技術作出評價;從市場銷售的角

度看，你認為推廣哪種種植技術較好？

學后反思

附：課堂檢測及體驗中考答案

課堂檢測

1、解：因為7-3=4,所以這組數據的極差為4.

一11

因為％=gX(3+4+5+6+7)=gx25=5.

所以$2=gx[(3—5)2+(4—5)2+(5—5)2+(6—5)2+(7—5)2]

=-x(4+1+1+4)=2.

5

標準差s—A/2X1.4.

2、答案：(1)2(2)0.02(3)名區(qū)(4)①②③

6

3、解：(1)按從小到大的順序排列數據：3,3,4,5,6,6,6,7.

_1

平均數是x=—X40=5,

8

眾數是6