高中數(shù)學(xué)概率-重點問題探討

中學(xué)數(shù)學(xué)中古典概率應(yīng)用上之易錯處探究

-*、基本樵念

(1)分類計數(shù)原理：N=ml+m2+---+mn

(2)分步計算原理：N—叫也…

(3)排列:一般地，從〃個元素中取出加個元素(相＜〃)，依據(jù)肯定的快因排成一列，叫

做從〃個元素中取出，"個元素的一個排列。從〃個元素中取出，”個元素(加《〃)的全部排列

的個數(shù)，叫做從〃個不同元素中取出，”個元素的排列數(shù)，用符號4"表示，

(4)組合：一般地，從〃個不同元素中取出，"個元素(機并成一組，叫做從〃個

元素中取出m個元素的一個組合。從〃個元素中取出m個元素的全部組合的個數(shù)，叫做從〃個

不同元素中取出加個元素的組合數(shù)，用符號C；表示。

,A：n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

qrnk——0

(5)必定事務(wù)：在肯定的條件下必定要發(fā)生的事務(wù)。

(6)不行能事務(wù)：在肯定的條件下不行能發(fā)生的事務(wù)。

(7)隨機事務(wù)：在肯定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事務(wù)。

(8)在相同的條件下，進行了〃次試驗，在這〃次試驗中，事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)〃人稱為事

務(wù)A發(fā)生的頻數(shù)。比值區(qū)稱為事務(wù)A發(fā)生的頻率。

n

(9)一般地，在大量重復(fù)進行同一試驗時，事務(wù)A發(fā)生的頻率.總是接近于某個常數(shù),

n

在它旁邊搖擺，這時就把這個常數(shù)叫做事務(wù)A的頻率，記作P(A),且一次試驗連同其中可能

出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本領(lǐng)件，通常此試驗中的某一個事務(wù)A由幾個基本領(lǐng)件組成，

假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個，即此試驗由〃個基本領(lǐng)件組成。而且全部結(jié)果出現(xiàn)

的可能性相等，那么每一個基本領(lǐng)件的概率都是工。假如某個事務(wù)A包含的結(jié)果有根個，那

n

么事務(wù)A的概率

P(A)=%。

n

1.“有放回摸球”與“無放回摸球”

“有放回摸球”與“無放回摸球”主要有以下區(qū)分：

(1)無放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球時總數(shù)比前次少一；而有

放回的摸球是每次摸出一球放在袋內(nèi)，下次再摸球時袋內(nèi)球的總數(shù)不變。

(2)“無放回摸球”各次抽取不是相互獨立的，而“有放回摸球”每次是相互獨立的。

下面通過一個例題來進一步的說明“無放回摸球”與“有放回摸球”的區(qū)分。

例1袋中有1,2,3,…，N號球各一個，采納①無放回，②有放回的兩種方式摸球,

試求在第k次摸球時首先摸到一號球的概率。

解：設(shè)為事務(wù)“第i次摸到一號球"(i=l,2,…外。

①無放回摸球

若把2次摸出的2個球排成一排，則從N個球任取左個球的每個排列就是一個基本領(lǐng)件,

因此基本領(lǐng)件的總數(shù)為以數(shù)碼1,2,-,N中任取k個數(shù)碼的排列數(shù)，n=P/

下面求事務(wù)從包含的基本領(lǐng)件數(shù)〃事務(wù)以可分兩步完成：先在第Z個位置上排上1號球,

只有一種排法，再在前A-1個位置排其它N-1個球，共有P盤種排法，由乘法原理知，事務(wù)

厚包含的基本領(lǐng)件數(shù)為

“2=1X=P/3，

從而

rjA:-11

②有放回的摸球

因為有放回摸球，每次袋中都有N個球，共摸Z次，故共有N,種可能結(jié)果，既基本領(lǐng)件

總數(shù)為〃=N,事務(wù)2可分為兩步完成：前人-1次未摸到1號球，共有機=Ni,于是

。出)一丁』-°

分析：對于有放回摸球與無放回摸球題型，在審題時肯定要留意是有放回還是無放回，

然后依據(jù)題意來考慮排列與組合的應(yīng)用，總之，肯定要抓住題目的隱含條件與已知條件的關(guān)

系，所要求的問題與已知條件之間的連接點，這樣才能夠很快的解決問題而不至于錯誤。

2.“隔板法”

隔板法是插空法的一種特別狀況，它的運用特別廣泛，能解決一大類組合問題。下面用

一個詳細的例子來說明它的運用的優(yōu)越性。

例2將9個相同的小球放到六個不同的盒子里，每個盒子至少放一個球，有多少種不同

放法。

解法一：先在盒子里各放一個球，再把剩下的3個球放到6個盒子里，分三類：

①3個球放到一個盒子里，有C：種放法；

②3個球放到兩個盒子里，球數(shù)分別為2,1,共配種放法；

③3個球放到3個盒子里，每個盒子各一個球，共C：種放法。依據(jù)分類計數(shù)原理，共有

媒+代+=56種放法。

解法二（隔板法）：把6個盒子看做由平行的7個隔板組成的，每一個滿意要求的放法'

相當(dāng)于9個小球和7個隔板的一個排列，其中2個隔板在兩頭，任何2個隔板之間至少有1

個球（既任何2個隔板不相鄰），把兩頭的2個隔板拿掉，每一個滿意要求的放法還相當(dāng)于

再排成一列的9個小球間8個空檔中插入5個隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有

=56種。

分析：對于用隔板法解決概率問題，一般都是將問題的思索角度進行轉(zhuǎn)化，使問題從多

向思維向單一思維轉(zhuǎn)化，然后把問題的本質(zhì)找出來進行剖析，問題自然就很好理解了。上述

解法2應(yīng)用了對應(yīng)的方法，轉(zhuǎn)化為插空問題，計算比較簡潔，但不易理解，等理解透徹后，

就會發(fā)覺隔板法是特別好用的，是具有普適性的方法。但肯定要留意的是應(yīng)用此法的前提是

小球是完全相同（不加區(qū)分），盒子是不同的，每個盒子至少放一球。

例3要從高一年級8個班中產(chǎn)生12學(xué)生代表，每個班至少產(chǎn)生一名代表，則代表名額

的安排的方案至少有多少種？

解：這個問題假如用原始的方法來分析，是比較麻煩的額，但假如轉(zhuǎn)化問題的角度，用

“隔板法”來理解，這個問題就簡潔解決了。把12個名額看做12個相同小球，8個班看做

8個不同的盒子，用隔板法知道名額安排方法共有G1種。

3.分組問題

分組問題時排列組合中的一個難點，主要有以下兩種狀況。

（1）非平均分組問題

在非平均分組問題中，不管是給出組名或不給出組名，其分組的方法相同。

例4把12人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數(shù)：

①分成甲'乙'丙三組，其中甲組7人'乙組3人、丙組2人。

②分成三組，其中一組7人、一組3人'一組2人。

解：①先從12人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人為丙組，則

共有G,zC；。；種不同的方法。

②先從12人中任選7人為一組有C］種選法，再從余下5人中任選3人有C；種選法，剩

下的兩人為一組，共有種不同的選法。

分析：在第一個問題中，學(xué)生很簡潔受到干擾，就是對于甲、乙、丙三組，和分成三組

時否須要乘以的問題。但是由于各組的人數(shù)不同，這個問題屬于非平均分組問題，雖然第

一小問給出了分組的名稱，但是這個并不影響最終的結(jié)果，它們的分組方法都是一樣的。

（2）平均分分組問題。

分析：上面的非平均分組問題中，是否給出組名對結(jié)果沒有影響，但在平均分組問題中

肯定要留意問題是否給出了詳細的組名，它們的結(jié)果是不同的。

例5有6本不同的書，按下列要求安排，各有多少種分發(fā)。

①分給甲、乙、丙三人，每人2本；

②平均分成三份。

解：①從6本書中任取2本給一個人，再從剩下的4本中取2本給另外一個人，剩下的

2本給最終一個人，共有C；C：C；=90種分法。

②設(shè)平均分成三堆有x種分法，在分給甲乙、丙三人每人各2本，則應(yīng)有xxA?=C；C：C；

種分法。所以有》=盤華種不同的分法。

說明：上面例子中可以看出：兩個問題都是分成三堆，每堆兩本，屬于平均分組問題，

而(1)分到甲'乙'丙三人，屬于到位問題，相當(dāng)于給出了甲'乙'丙三個指定的組，但

(2)沒有給出組名，因而是不同的。

規(guī)律：一般地，把〃加個元素平均分到加個不同的位置，有第CLC；種方法，

把〃〃7個不同元素平均分成〃7組有或-%d種分法。

m\

4.圓排列與重復(fù)組合問題

(1)圓排列

定義1：從”個不同的元素中任取見機＜〃)個，依據(jù)肯定的依次排成圓形，叫做一個圓排

列。

定義2：從〃個不同的元素中取出皿機4”)個元素的全部圓排列的個數(shù)，叫做圓排列數(shù)，

用符號R；表示。

例65個摯友坐在圓桌四周時，席位排列方法有幾種？

解：設(shè)5個人分別為a,b,c,d,e,把他們排成一排時，排列的數(shù)目是5!,排成圓形

時，像下圖那樣只是轉(zhuǎn)了一個地方的排法被看做是一樣的，所以依據(jù)乘法原理得：

居x5=5!

51

所以7?：=-=24

5

答：席位的排列方法有24種。

命題1：n個不同的元素的圓排列數(shù)R：：=(〃-1)!。

例7有6名同學(xué)做成一圓圈做嬉戲，有多少種做法？

解：據(jù)命題一，瞪=(6-1)!=120種。

答：共有120種。

命題2：從〃個元素中取出m[m<〃）個元素的圓排列數(shù)R：=第,（加-1）!。

證明：從〃個不同元素中取出機個元素的組合數(shù)為C；種，而將這"個元素排成圓形由命

題1共有種方法，于是由乘法原理得

（2）重復(fù)組合

定義3：從〃個不同的元素中任取，〃個元素，元素可以重復(fù)選取，不管怎樣的依次并成一

組叫做重復(fù)組合。

一’定義4：從〃個不同的元素中取出〃，個元素的全部重復(fù)組合的個數(shù)，叫做重復(fù)組合數(shù)，用

符號表示。

例8有5個數(shù)1,2,3,4,5,同一個數(shù)允許選用隨意次，求從中選出3個的重復(fù)組合

數(shù)。

解：假如從5個中選出3個時，選的都是不同的數(shù)，那么很明顯組合數(shù)為以，但是同一

個數(shù)允許選用隨意次，因此像（1,1,1）,（1,2,1）,（4,4,5）,…的組合也應(yīng)在算內(nèi)，

所以要想方法，把問題轉(zhuǎn)化成選取的全是不同元素的問題，為了把上述（1,1,1）,（1,2,

1）,（4,4,5）改成全是不同的數(shù)，先把這些數(shù)按從小到大的依次排列起來得到（1,1,1）,

（1,2,1）,（4,4,5）?然后第一個數(shù)不變,在其次個數(shù)上加1,在第三個數(shù)上加2,這

就變成：（1,2,3）,（1,2,4）,（4,6,7）0

一般地（4"c）c（a,"+l,c+2）,可以證明左右兩邊是---對應(yīng)的（左右各有一組相互對

應(yīng)，一組不能和兩組以上對應(yīng)）。這樣，中即使有相同的元素，在上述的一一對應(yīng)中,

也能夠變更成沒有相同的元素組，所以從整體上來說，結(jié)果就成了從1,2,3,4,5,6,7

的7個數(shù)中選取3個不同的元素的組合問題了，即

^=C3=7X6X5=35O

1x2x3

答：從1,2,3,4,5中選取3個數(shù)的重復(fù)組合數(shù)為35。

命題3：從n個不同的元素中選取出m個元素的重復(fù)組合數(shù)為

Tjm_z-iwi

nn~Cn+/M+I°

例9從3,5,7,11這4個質(zhì)數(shù)中任取兩個相乘，同一個數(shù)允許重復(fù)運用，可以得到

多少個不相同的乘積？

解：依據(jù)命題3有：”：=C，T=10個。

答：可以得到10個不相等的乘積。

分析：圓排列和重復(fù)組合問題時高考中的難點，學(xué)生在平常的理解過程中往往也存在許

多的理解上的問題，主要是因為他們在平常的訓(xùn)練當(dāng)中已經(jīng)習(xí)慣性的接受了全排列和不重復(fù)

組合的許多的例題，導(dǎo)致了思維的本能反應(yīng)而導(dǎo)致錯誤，老師在講解這兩個學(xué)問點的時候最

好能夠重新給學(xué)生建立相應(yīng)的學(xué)問體系，在講完這一個學(xué)問點以后再與前兩個學(xué)問點進行相

應(yīng)的比照理解和學(xué)習(xí)，這樣可能更好的促進教學(xué)，學(xué)生也能夠很好的接受。

5.連排與間隔排

(1)排列中的“連排”問題(我們稱要求某些元素必需排在一起的排列問題為“連排”問

題)：

例10某班有學(xué)生38人，其中男生24人，女生14人，現(xiàn)將他們排成一排，女生必需

排在一起的排法有多少種？

我們稱要求某些元素必需排在一起的排列問題為“連排”問題。

解：由于14名學(xué)生必需排在一起，所以我們可以將14名學(xué)生看成1個“人”，把38人

的排列問題看成24+1=25人的問題，共有&s種，再考慮到14名學(xué)生之間的排法&*,因此

女生必需排在一起的排法種數(shù)為&5凡4種。

一般地，在"個不同的元素中，某火個元素排在一起的排法種數(shù)有《'片:片種。

例11某班有38名同學(xué)，其中第一組的12名同學(xué)必需排在一起且第一組中的5名女同

學(xué)又必需排在一起的排列方法有多少種？

解：將第一組的12名同學(xué)看成一個“人將38名同學(xué)的排列問題看成27人的排列的

問題，共有排法用7種，再考慮到12名同學(xué)的排列方法，依按例1,可知第一組的12名同學(xué)

要求5名女生排在一起的排法共有種。因此總的排法種數(shù)有87MH種。

命題4：一般地，〃個不同元素的排列中，某左個元素必需排在一起的且在這Z個元素中

的某/個元素有必需排在一起的排法共有種。

分析：“連排”問題的類型許多，不行能一一例舉，處理“連排”問題的基本方法，就是

將要求排列在一起的元素看成一個整體，將它作為一個元素放到問題中去處理，之后再考慮

這個整體的內(nèi)部排列。

(2)“間隔排”問題

我們稱要求某些元素中的任何兩個都不能排列在一起的排列問題為“間隔排”問題。例

12某班有59名同學(xué)，其中第一小組有14名，現(xiàn)將他們排成一排且要求第一小組的任

何兩名同學(xué)都不排在一起的排法有多少種？

解：首先將不要求間隔的同學(xué)先排列有片$種排法，然后再將要求間隔排的同學(xué)插入已排

的45位同學(xué)的46個空檔（包括兩頭）中去，有琛種插入方法，所以總的排法種數(shù)共有碟&5

種。

命題5：一般地，在n個不同元素的排列中，某k（Z4等）個元素中的任何兩個元素不排

列在一起的排法有《酎笈川種。

例13現(xiàn)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,用它們（不重復(fù)）可組成多少個各位上奇偶相間的

六位數(shù)？

解：首先將1,3,5先排共有種排法，再將2,4,6插入已排的1,3,5的空檔中去,

考慮到奇偶數(shù)字要相間排列，故只有兩大插法。在2,4,6之間還要考慮依次關(guān)系，所以插

法共有2年種，故可組成2?片個奇偶相間的六位數(shù)。

分析：處理“間隔排”問題的基本方法是將不要求間排的元素先排，之后再考慮將要求

間隔排的元素插入已排元素的空檔中間去。

重復(fù)計算或者漏計算

求解排列組號問題時，常有遺漏或重復(fù)的狀況，導(dǎo)致解答錯誤，下面將求解排列組合問

題時幾類常見的錯誤進行分析，以引起留意。

（1）對一些數(shù)學(xué)概念的意義把握不準(zhǔn)，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。

例14數(shù)2310有多少個正約數(shù)？

錯解：因為2310=2x3x5x7x11,所以從這5個質(zhì)數(shù)中分別取1個，取2個，取3個，

取4個，取5個的積都是2310的正約數(shù)，故正約數(shù)有

C+C；+C：+C；+C；=31（個

分析：上述解法其實有遺漏，緣由對正約數(shù)的概念駕馭不深化，所謂的正約數(shù)是指：若

有一個正約數(shù)c（此處的整數(shù)指正整數(shù)），使得整數(shù)“與〃之間適合a=A,則稱可整除a,

記作〃I",這時”稱為b的倍數(shù)，方稱為〃的約數(shù)，因為112310,所以1也是2310的一個

正約數(shù)，所以正確的解答為

C+C+G+C+或+1=32（個

（2）對題意要求或約束條件考慮不周，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)或者不符題意的解答。

例15用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，能夠組成多少個大于240135

的正整數(shù)？

錯解：用這6個數(shù)字組成比2