上海初三數學自招教學案5：整式

整式

知識梳理：

1、余式定理：多項式/(%)除以x-a所得的商式為Q(x),余式為/(〃)，即/(x)=°(x)(x—〃)+/(〃)°

2、因式定理：如果多項式/(x)含有因式x-。，那么f(a)=0,反之亦然。我們稱。為多項式/(元)的零點。

3、乘法公式：

(1)立方和公式：+一+〃卜

(2)立方差公式：(〃一/?)(〃2+〃6+。2)="3一戶

(3)三數和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2{ab+bc+ac)

(4)兩數和立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+/

(5)兩數差立方公式：(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

4、拆添項法：把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符號相反的項，前者稱為拆項，

后者稱為添項。拆項、添項的目的是使多項式能用分件分解法進行因式分解。

5、試根法：整系數多項式ax"+—+”％+〃，若'是它的有理根(八s互素)，那么s整除a，廠整除a。

n10-n0

S

一些比較復雜的因式分解也可以利用試根法來解決(試根法使用于整系數多項式的因式分解)

6、常見數學思想與方法：整體思想、降次法、消元法、待定系數法、賦值法等。除了常規(guī)的因式分解法，還有拆

添項法、雙十字相乘法、待定系數法、試根法等。

例題精講：

例1：已知a2+a-l=0,求/+2a2+2014的值。

例2：已知/'(x)=4x'+5f-3x-8,求/(x)除以g(x)=三+2x+l的商式Q(x)和余式R(x)。

例3：若/(X)除以2%-3的余數為4,試求多項式(產+1>(6+7除以2x-3的余數。

例4：若％+2整除多項式—+6x2+kx+k-8,則左=

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例5：求一個二次多項式/(%),使它滿足：/(1)=/(3)=0且/(2)=-4o

例6：已知/(%)=%3+2冗2+/+6含有因式。一3)(冗一1),試求〃、夕的值及/(x)的另一個因式。

例7：分解因式：6Z3+fe3+c3-3abc

例8：分解因式：x2(j-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

例9:若〃、b、C滿足〃2+/^+°2=9,那么代數式(〃—?2+@—0)2+(c—〃)2的最大值是多少？

例10：分解因式：X3+2X-3

例11：分解因式：213-6工2+3%+2

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例12：已知12+2%+5是x4+ax2+b的一個因式，求〃的值。

同步練習：

練習1：已知％2—X—1=0,那么代數式/一3/+3爐+2014的值是

練習2：若對于多項式g(x)有g(-l)=1,g(4)=ll,試求g(x)除以(x+l)(x-4)所得的余式。

練習3：若/(%)=2/一幺+奴+人被(%+2)。一4)整除，試求常數。、。的值。

練習4：已知g(-l)=g(-4)=0,g(-2)=2,g(-3)=1,試求三次多項式g(x)的表達式。

2

練習5：已知〃尤)=3爐+如2+依.含有因式3x-2,且/(-1)=-20,試求小、”的值及/(x)的另一個因

式。

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練習6：已知a+b+c=3m,求代數式(冽-?)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a){m-b)(m-c)的值。

練習7：分解因式2X3-X2-5X-2

練習8：分解因式4?+8x2-15x-9

練習9：分解因式：x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)

練習10：分解因式：X4-2X2-400X-9999

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參考答案

例1：答案：2015

解析：解法一,(整體代入)：由a?+a—1=0得a'+a?—a=0

所以a3+2a2+2014=a3+a"-a+a2+a+2014=a2+a-l+2015=2015

解法二(降次)：方程作為刻畫現實世界相等關系的數學模型，還具有降次的功能。

由。一+?！?—0《導(2~—1—。，

所以a3+2a2+2014=a2-a+2a2+2014=(1-a)-a+2a2+2014=a2+a+2014=a2+a-l+2015=2015

揭發(fā)三(降次、消元)：a2+a=l(消元、減項)

+2a~+2014=/+。~+。~+2014="+a)+。~+2014=。+。~+2014—1+2014=2015

說明：本題常用的方法是降次法，通過降次最后使/+2a2+2014化為一個常數，但是用降次法，變形過程

較為復雜且容易出錯，而用零代換只要掌握變形的技巧，計算比較簡便。

例2：答案：Q(x)=4x—3,R(x)=—x—5

4x-3Q(x)

解析：(長除法)：g(x).......x2+2x+1)4?+5X2-3X-8……-f(x)

-)4x3+8X2+4X

-Sx2-7x-8

-)-3f—6x-8

—x—5.......R(x)

所以/(x)除以g(x)的商式為Q(x)=4x-3，余式為R(x)=-x-5。

例3：答案：203

-FG

A)-4設-

解析：由余式定理可知，

213-則F(x＞除以2尤一3的余數為

742o

+-X+7=

I刃")I刃不

例4：答案：8

解析：設/(x)=/+6苫2+近+6-8,由題意得/(-2)=-8+24-2左+左-8=0,所以上=8

例5：答案：f(x)=4r-16x+12

解析：設/(無)=。(尤-l)(x-3),由于/'(2)=-4,則a=4所以/(X)=4(x-l)(x-3)=4x2-16x+12

例6：答案：x+2

解析：解法一：設/'(X)=(x-3)(x-l)(ar+匕)，于是/+6=。-3)(x-l)(ax+b),

第5頁

整理得：x3+px1+qx+6=ax1+(~4a+Z?)x2+(3a-b)x+3b

由待定系數法可求得：a=\,b=2,p=—2,q=-5

所以fix)的另一個因式為x+2o

解法二：設/(x)=a—3)(x—1)(依+力，由因式定理得/(l)=l+p+q+6=0,/(3)=27+9p+3q+6=0,

解得p=—2,q=5o因為當％=0時，6=3。，所以》=2。

當x=—1時，—1—2+5+6=8(—〃+2),所以a=lo

說明：根據因式定理可求出原多項式，再代入不同的數值，可求得剩下的未知數。

例7：答案：(?+/?+c)(^a1+b2+c2-ab-be-

解析：因為(〃+b)3=/+/+3ab(a+b),所以+Z?3=(a+Z?)3-3ab(a+b)

于是原式=(a+b)3一3〃萬(〃+6)+/-3Mc=+c3]-3ab(a+b+c)

(a+b+c).2+Z?2+c2-ab-be-ca

說明：該因式分解應用很廣泛，用它可以推出很多有用的公式和結論。例如:

a3+b3+c3-3abc=~(a+b+c^a-Z?)2+(Z?-c)2+(c-tz)2］；

2

當〃+b+c=O時，tz3+Z?3+c3=3abc。

例，分解因式：(工一1)。(九一2)3+(3—2x)3。由于(4一1)+(%-2)+。一24)=0,所以由上結論得

(x-1)3+(%-2)3+(3-2x)3=3(x-l)(x-2)(3-2x)

例8：答案:(y-z)(z-x)(y-x)

解析：原式=x2(y-z)+y2(z-x)+z2[-(z-x)-(y-z)]=x2(y-z)+y2(z-x)-z2(z-x)-z2(y-z)

=(y-z)(x2-z2)+(z-x)(y2一z之)=(y—z)(z-x)(-z-x+y+z)=(y-z)(z—x)(y-x)

說明：(x-y)、(y-z)、(z-x)三個形式比較像且之間有和為0的關系，所以經常用兩個替代另一個的做法。

比如X_y=_(z—j—(y—Z),這種變形比較常見。

例9：答案：27

解析：(a-b)2+(/?-c)2+(c—a)1=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2

—3(〃2+廿+c2)—2+》2+c2+2ab+2bc+2QC)=27-(a+Z?+c)2-27

所以當a+Z?+c=O時，原式取得最大值為27.

例10：答案：(%-1)(?+x+3)

解析：解法一(余項)：

3331222

%+2x-3=3x-3-2x+2x=3(<x-l)(x+x+l)-2x(x-l)(x+l)=(x-l)(^3x+3x+3-2x-2x)=(x-l)(^x+兀+3)

解法二(添項)：+2x-3=儲一12+x2+2x—3=X2(%一1)+(X一1)(1+3)=(X一1)(九2+%+3)

說明：此題無法用常規(guī)方法分解，需拆添項。觀察多項式發(fā)現當尤=1時，它的值為0,這就意味著1-1是

Y+2X-3的一個因式，因此變形的目的是湊x-1這個因式。至于如何拆項、添項并無一定規(guī)律可行。拆添

項法也是分解因式的一種常見方法，這道題拆一次項和常數項也是比較容易。

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（＞11：答案：2bc-l

解析：設/G）=2f-6x2+3x+2,最高次系數的因數為土1,±2；常數項的因數為土1,±2,則可能的根

有±1,±2,±1,代入得了（2）=0,所以X-2是/（X）的一個因式，根據長除法可得，

2

1-5

f(x)=(x-2)(2x2)(>2x-l

=2工

丁.

說明：此題不能用常規(guī)方法，也很難看出它的一個因式，這時需用試根法。試出一個根，從而得到原式的一個

因式,再用長除法降次得到原式的另一個因式，再分解徹底。若原式很長，可能要試好幾次。

例12：答案：31

解析：解法一（待定系數法）：設%4+〃冗2+8=（%2++5）（%2+如+〃），去括號整理得

x4+ax2+b=x4+(2+m)x3+(2m+〃+5)x2+(5m+2n)+5n

2+m=0m=-2

2m+n+5=a解得『二5

比較對應各項系數可知<

5m+2H=0a=6

5n=b0=25

所以a+b=31

解法二（雙十字相乘、賦值法）：設X4+QX2+》=（%2+2%+5）（工2+g+〃）

可得2x3+mx3=0,5nvc+2nx=0,根據系數為零可得m--2,n=5

所以九4+ax2+匕=(%2++5)(12一2%+5),當x=l時，l+〃+0=8x4,所以〃+b=31

同步練習:

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練習1：答案：2016

解析：用降次、消元法：由了2—%—1=0得x2-x=l

所以%4-3?+3X2+2014=X4-X3-2X3+2X2+X2+2014=.X2(X2-X)-2X(X2-X)+X2+2014

=X2-2X+X2+2014=2(X2-X)+2014=2+2014=2016

練習2：答案：2x+3

Ir-a+b=l\a=2

解析：設g(x)=Qa)a+l)(x—4)+ax+。，由于g(—1)=1,g(4)=11,所以＜,廨得＜,。

[4a+b=11[b=3

所以g(x)除以(九+1)(%-4)所得的余式為2x+3

練習3：答案：a=-22,b=-24

|-2a+b=20(Q=-22

解析：由因式定理得"-2)/4)=。，所以囚+-解得…

練習4：答案：g(x)=J(%+1)(%+2)。x+10)

4

解析：設g(x)=(x+l)a+4)(QX+。)，由題設條件得

3

—2(—2a+b)=24〃-2b=2a=—

1即1,解得54

-2(-36/+/?)=6a-2b=

2

2[b2

所以g(x)=(x+l)(x+2)(-1X-￡-2(x+1)(%+2)(3%+10)

424

練習5：答案：(x-I)2

z2“2、r2Y＜2?2

解析：由因式定理得不1中0,又/(-1)=-20,所以丫%刊=3[刊+,八加2=0

卜？[/(-l)=-3+m-?-2=-20

f4m+6n—10=0fm=-8

即《，解得＜

[m-n+15=0[〃=7

利用長除法可求出/(尤)=3^—"2+7x-2除以3%-2的商式是X2-2X+1=(X-1)2,所以

3222

/(x)=3x-8X+1X-2=(3X-2)(X-I)，另一個因式為(x-l)0

練習6：答案：0

解析：通過觀察發(fā)現，若把方程〃+b+c=3相變形為(加-〃)+(加-。)+(m-c)=0,不妨設

m-a=x,m-b=y,m-c=z,則x+y+z=0,則原代數式可變形為d++z?一3孫z

由例7結論可知x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)Qc2+y2+z2-xy-yz-xz)=0

練習7：答案：G+l)(x—2)(2x+l)

第8頁

IWf：原式=2J?+2x2—3x2-5x-2=2x2(x+l)-(x+l)(3x+2)=(x+l)(2r2-3x-2)=(x+l)(x-2)(2x+l)

說明：直接分組分解不好做，所以用拆添法做。觀察多項式發(fā)現當犬=-1時，它的值為0,這就意味著尤-1

是2d-三-5工-2的一個因式，因此變形的目的是湊尤+1這個因式。這是四次三項式，不缺某一項，不適

合用添項，至于拆項，試試拆其他項應該也是可以的，方法不唯一。

練習8：答案：(x+3)(2x+l)(2x-3)

解析：設/(；0=4;?+8--15苫一9,最高次系數的因數為±1,±2,±4；常數項的因數為±1,±3,±9,

11QQQQ

則可能的根有±1,±3,土;，土;，±〉±3±〉士代入得了(一3)=0,所以無+3是/(X)的一

個因式，根據長除法可得，/(X)=(X+3)(4X2-4X-3)=(X+3)(2JC+1)(2X-3)

說明：此題不能用常規(guī)方法，也很難看出它的一個因式,這時需用試根法。

練習9：答案：(y-z)(z-x)(y-x)(x+y+z)

解析：由例8方法可得，

原式=/(y―)+/(z-X)+z3[-(z-x)-(y-z)]=x3(y-z)+y3(z-x)-z3(z-x)-z3(y-z)

3333

=(y-z)(x-z)+(z-x)(y-z)=(