高中數(shù)學聯(lián)賽真題分類匯編數(shù)列C輯(解析版)

備戰(zhàn)2021年高中數(shù)學聯(lián)賽之歷年真題匯編(1981-2020)

專題11數(shù)列C輯

施雷國氟題:

1.12020高中數(shù)學聯(lián)賽B卷(第01試)】設數(shù)列｛冊｝的通項公式為斯-(—)"]，"=12….證明：

存在無窮多個正整數(shù)機，使得a?>+4am-1是完全平方數(shù).

【答案】證明見解析

【解析】記%=與<勺2=與之則=一1，

于是冊=—『7獸5=L2,…).

所以4=l,a2=1.又注意到Qi+1=q1i=1,2).

有%!+1+%=/理:1-q>1+京qf-歐

=口用1+1-勺加2+1

=為產(chǎn)7/2,

an+2=cin+i+an,n=1,2,—,

由此易知，數(shù)列｛an｝的每一項都是正整數(shù).

由計算易得.4++於=7,

故。2“+3a2n-l-1=^Qin+3-<?2n+3?翥q?*T_q尹T_1.

=|<7?n+2+</2n+2-QiQ2n-1qi-QiQ2n-1?72-1

1

=-q產(chǎn)+2+q/"+2+qf+一1

=1q"+2+q智+2+7-1

5

=gqfn+2+q烈+2+2

n+1n+12

=[^<??-qi]=ain+i.

所以,對任意正整數(shù)n,a2n+3a2n-i-1都是完全平方數(shù).于是對于正奇數(shù)見am+4am-1均為完全平方數(shù).

2.【2018高中數(shù)學聯(lián)賽A卷(第01試)】已知實數(shù)列出,。2，。3,…滿足:對任意正整數(shù)〃，有an(2Sn—4)=1,其

中S,表示數(shù)列的前〃項和證明：

(1)對任意正整數(shù)〃，有時V2歷1;

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⑵對任意正整數(shù)n,有anQn+i<1.

【答案】證明見解析

【解析】(1)約定So=O,由條件知，對任意正整數(shù)〃，有1=QK2sti-Qn)=(Sn-S71T)(S九+S吁1)=S/-S￡1，

從而S譚=n4-So=n,即5?=±五(當n=0時亦成立).

顯然，an=Sn—Sn_]<Vn4-Vn—1<2Vn.

(2)僅需考慮斯，即+1同號的情況.不失一般性，可設Qn,Qn+】均為正(否則將數(shù)列各項同時變?yōu)橄喾磾?shù)，仍滿足條件),

則又+1>Sn>Sn_i>—y/rii

故必有Sn=赤,5篦+1=Vn+1,此時an=Vn±Vn-1,an+1=7n+1-gi,

從而ana九+i<(Vn+Vn-l)(Vn+1-Vn)<Qjn+1+Vn)(Vn4-1-Vn)=1.

3.12018高中數(shù)學聯(lián)賽B卷(第01試)】已知數(shù)列｛Q｝:a】=7A=Q+2,n=1,2,3,…,求滿足a>42°18的最

nannn

小正整數(shù)>1.

【答案】12

【解析】由'"1+'=a.+2知a“+i+1=(a+I)2.

annn

因此冊+1=(%+1)2"T=82"-1=23X2"T,故即=23x2rt-1-1.

顯然｛斯｝單調(diào)遞增.

由于=23072一1<21036=42°18,%2=26144-1>24036=42018,

故滿足題目條件的n的最小值是12.

4.12017高中數(shù)學聯(lián)賽B卷(第01試)】設數(shù)列｛恁｝是等差數(shù)列,數(shù)列2“｝滿足bn=an+i%t+2一成,n=l,2,….

(1)證明:數(shù)列出“｝也是等差數(shù)列；

(2)設數(shù)歹見冊｝,｛%｝的公差均是存0,并且存在正整數(shù)S、3使得as+瓦是整數(shù)，求1%1的最小值.

【答案】⑴證明見解析；(2)吉

【解析】(1)設等差數(shù)列｛隔｝的公差是4,則

%+1—%=(即+2M+3-an+l)—(an+lan+2—an)=冊+2(冊+3-an+l)—(an+l+an)(.an+l—an)

2

=an+2-2d-(an+1+an)-d=(2an+2-an+1-an)-d=3d.

所以數(shù)列出“)也是等差數(shù)列.

(2)由已知條件及(1)的結果知3/=".因為存0,故d=:

2

這樣加=an+1an+2-W=(an+d)(an+2d)一磷=3dan+2d=an+~.

若正整數(shù)s、f滿足as+瓦ez,

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則Qs+瓦=Qs+&+g=Qi+(s-l)d+Qi+(t-l)d+-=2Q1H---F-6Z.

記1=2%+，二+；,M/ez,且18Q〔=3⑶一$-￡+1)+1是一個非零的整數(shù)，故|18%|》1,從而出|》之

3918

又當％=專時，有％+白3=±+葛=1€Z.

綜上所述，|%|的最小值為2.

18

512015高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】設的,。2，。3，。4是4個有理數(shù)，使得{/a/l<i<;<4}={-24,-2,-|,-i,l,3}

成立.求的+。2+。3+。4的值.

【答案】±;

【解析】由條件可知，見巧(141</(4)是6個互不相同的數(shù)，且其中沒有兩個為相反數(shù)，由此知，a”a2,a3,

。4的絕對值互不相等，不妨設|的|<|a2l<l^sl<|a4|>

則同同(1<i<;<4)中最小的與次小的兩個數(shù)分別是la/EI及|%|%],最大與次大的兩個數(shù)分別是a1憶1

及Ella/，

(1

a\a2=~~

從而必須有，=1,于是的=一甘-,%=工,。4==一24%.

a2a4=3眄3a14散

、。3。4=-24

qWQ,=±7

故結合只可能由4

由此易知％=-,a=-z?a3=4,a=-6或者q=-^a=^,a=-4,a=6.

422442f234

經(jīng)檢驗知這兩組解均滿足問題的條件.

故由+02+。3+。4=±*

6.12014高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】數(shù)列{%}滿足％=±Q+i=arctan(seca)(N€幾*),求正整數(shù)機，使得

6nn

?..1

sin%,sina2,--,sinam=—.

【答案】3333

【解析】由已知條件可知，對任意正整數(shù)小知且tanan+i=secan①

由于sect%＞。，故。計1E(0,9，

222

由式①得tan2azi+i=secan=1+tanan,&tanan=n—14-tar12al=n—1+^=2詈，

BPtanan=

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m.LU...tanaitanatana

區(qū)I止匕sinQi,sincio......sinam=---------------2...----------m-

secajseca2secam

=tanai.tanaj……tanam（利用式①）

tana2tana3tanam+1

tana1

tanam+1

由后=擊得/3333.

7.12012高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)］已知數(shù)列｛為｝的各項均為非零實數(shù)，且對于任意的正整數(shù)小都有

2

@+a2+???+an）=若+磅H------F碎,

(1)當?=3時，求所有滿足條件的三項組成的數(shù)列為,。2，。3；

(2)是否存在滿足條件的無窮數(shù)列｛%｝,使得。2。13=-2012?若存在，求出這樣的無窮數(shù)列的一個通項公式；若不

存在，說明理由.

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.

【解析】⑴當〃=1時青=Q；，由R和，得3=1.

當〃=2時(1+。2)2=1+Q%由生和，得〃2=2或。2=-1.

當n=3時(1+a2+%)2=1+af+a3?

若々2=2,得的=3或的二一2；若〃2=—1，得。3=1.

綜上，滿足條件的三項數(shù)列有3個：1,2,3或1,2,-2或1,-1,1.

(2)令&=+。2+…+an?則靠=a?++***+an(九WN"),

從而(Sn+an+1Y=a：+磅+???+*+Q>I,

兩式相減，結合an+iH0,得2s八=a"1-an+1.

當〃:1時，由情形(1)知。尸1；

當佗2時，2an=26-Sn_1)=(W+i-dn+i)一(W-an),

即3n+l+。九)(%+1-%-1)=0,

所以Q〃+1=—或Qn+1=+L

又％=l,a20i3=-2012,

所以存在如下形式滿足條件a”=Qo/A贏:,3)?

8.［2011高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)］已知數(shù)列｛冊｝滿足：q=2f—3QGR且樹1),冊+1=@"飛:翟產(chǎn)飛兀6N)

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)若》0,試比較冊+i與冊的大小.

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2(沖—1)

【答案】（1）a=—1；(2)^n+l>Q?v

nn

【解析】（1）由原式變形得冊+i=空上膂3一1，

an+zt1

2(an+l)

則警十2(即+1)t^-1

n

an+2t-l￡tn±j+l+N2

記霍H%，則*=焉，瓦=罟=詈=2.

又1=2-+2，j_=1

%+1%2bl2

從而有91+(兀-1),:=r故筌M，

bn2

于是有冊=中一1.

2(1n+1-1)_2(產(chǎn)-1)

（2）由題意知與+1-斯

n+1n

:;:+；；[n(l+t+--?+tn-1+tn)-(n+1)(1+t+…+tn-1)]

=-7-~[ntn-(1+t+…+tn-1)]

n(n+I)1J

=n(n+r)[(t°-1)+(嚴一。+…+(嚴一嚴一')]

華E[(tn-1+tn-2+-+1)+t(tn-2+tn~3+-+1)+???+tn-1],

n(n+l)

a

顯然在/>0(件1)時恒有an+i-Qn>0,故Qn+l>n-

9.12010高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】證明：方程2?+5x—2=0恰有一個實數(shù)根心且存在唯一的嚴格遞增正整數(shù)

數(shù)列｛4〃｝，使得:=rai+r02+ra34—.

【答案】證明見解析

【解析】令/(%)=2%3+5%-2,則/(%)=6%2+5>0,

所以./U)是嚴格遞增的.

又f(0)=-2<Ojg)=^>0,故7U)有唯一實數(shù)根re

所以2r3+5r—2=0,-=—=r+r44-r7+r104-…，

5l-r3

故心,=3n-2(n=1,2,…)是滿足題設要求的數(shù)列.

若存在兩個不同的正整數(shù)數(shù)列的<a2<…<a”<…和瓦<b2<???<bn<???,

滿足產(chǎn)i+ra2+r03+—=rbl+rb2+rb3+--?=|,

S2

去掉上面等式兩邊相同的項，有產(chǎn)，+r+卜3+...=rti+rtz+rt3+

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VS2Vs3V

這里SI…，<t2<t3<…，

所有的Si與弓都是不同的.

不妨設Si<G，貝如S1vrSi+rs2+...=rti+rt2+…1Vr'l-Si+rt2-Si+...

<r4-r2+???=———1<々—1=1,矛盾.

l-ri-i

故滿足題設的數(shù)列是唯一的.

10.12009高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)圮知P，q(g#))是實數(shù)，方程X2—px+q=0有兩個實根a,/?,數(shù)列｛即｝滿足4=p,

a2=P?-q，an=pan^-qon_2(n=3,4,-).

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式(用心夕表示)；

(2)若p=l,q=：,求｛a“｝的前”項和.

【答案】⑴a“=(n+l)a%(2)Sn=3-答.

【解析】解法一(1)由韋達定理知a?B=q豐0,又a+夕=p,所以

an=pxn-l-qXn-2=(Q+一部dp5=3,4,5,…)，

整理得“一BdnT=。(即-1一%一2)，

令%=冊+1-。Qn，則%+i=a勾(n=1,2,…),

所以仍〃｝是公比為。的等比數(shù)列，

2

數(shù)列｛6〃｝的首項為瓦=a2-6al=p2_q-￡p=(仇+py-鄧-/?(a+0)=a,

2n-1n+1n+1

所以bn=a?a=a,即0n+1—Pan=a(n=1,2,…)，

所以％i+i=ficin+a"】(九=12…)，

n+1

當■=口2-49=0時，a=0手0,aA=p=a+a=2a,an+1=pan4-a(n=1,2,-?-),

變?yōu)榧?】=戊即+4+15=1,2,…)，整理得.一意=1(n=l,2,-)?

所以，數(shù)列倍｝構成公差為1的等差數(shù)列，其首項為詈=署=2,

所以于是數(shù)列｛a,,｝的通項公式為a”=(n+l)an,

當4=p2-4q>。時，a*B,a=^a+an+1=/?a+an+1

n+1nnp-Ct

=夕冊+會"”-這*15=12”)

整理得a,i+i+皆"=A(即+黃羨)(n=1,2,—'),

所以，數(shù)列｛an+公｝構成公比為夕的等比數(shù)列，

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其首項為由+y—=a+0+六=，一，

p-a廠p-ap-a

〃n+io2

所以an+A=/-0”T，

p-ap-a

于是數(shù)列｛a“｝的通項公式為a”=竺?二.

p-a

(2)若p=l,q=｝則A=p2-4Q=0,此時a=/?=|,

由情形⑴的結果得，數(shù)列｛〃“｝的通項公式為an=(n+1)g)"=貴，

所以，｛4｝的前n項和為Sn=：+)+妥+…+w7+聚，

l_2,3,4.nH+1

25c?=/+/+法+…+9+即，

以上兩式相減，整理得1sli='-需，所以又=3-*.

解法二(1)由韋達定理知a?/?=q工0,又a+。=p,所以%=a+/7,^2=d+儼+戊氏

特征方程T-p/l+q=0的兩個根為a,0.

n

當a=B豐0時，通項0n=(A1+A2n)a(n=1,2,-??),

由%=2a,a2=3a2得卜丁二；2))；212),

解得&=4=1，故冊=(1+n)an,

nn

當時，=Ara+A2p(n=1,2,…)，

由a1=a+pg=a2+所+如此2：藍+必'

-n+i優(yōu)+1髀+1—an+i

故冊=a"+0=下」

（2）同解法一.

11.12007高中數(shù)學聯(lián)賽（第01試）】設a“=S”"1及求證：當正整數(shù)“22時，an+1<an.

乙k=”（n+l-k）

【答案】證明見解析

【解析】由于+因此a"=WS"

k（n+l-k）n+1\kn+l-k/n+1/y_【k

于是，對任意的正整數(shù)底2,有

nn+1

1,1711'1

2（an-an+1）=—乙乙Z

fc=lk=l

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-Q+1.+2)〉：/c(n4-l)(n+2)

k=i

=——-——(yn1)>0,

5+l)(n+2)\乙仁1kJ

即即+1<Q”

12.12006高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】將2006表示成5個正整數(shù)%1，%2，%3，%4，%5之和?記S=看芍?問:

⑴當%1，%2，%3，工4，%5取何值時，S取到最大值？

(2)進一步地，對任意19左5有限一巧|42,當%1，%2，%3，%4，%5取何值時，S取到最小值?說明理由.

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.

【解析】(1)首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值.

若%1+%2+%3+%4+%5=2006,

且使S=￡i《y45看勺取到最大值，則必有N-芍(1<ij<5)①

事實上，假設式①不成立,不妨假設-％2》2,則令圻=-1,為=工2+1，*=覆(i=3,4,5),

有其+為=+工2，x[-X2=%1%2+%]__1>X1X2，

XXXX

將S改寫成S=E1<1<;<5iXj=XxX2+(%1+X2)(3+%4+%5)+%3%4+35+%4%5，

同時有S'=%(%2+(X｛+X分(X3+%4+欠5)+X3X4+X3X5+%4%5，

于是有S-S=x[x'2—%1%2>。，

這與S在％1，%2，%3/4，%5時取得最大值矛盾.

所以必有|勺一巧|<1(Kifj<5),

因此當=402,%2=%3=%4=%5=401取到最大值.

(2)當+%2+%3+%4+%5=2006且上一“<2時，只有：

(1)402,402,402,400,400；

(2)402,402,401,401,400；

(3)402,401,401,401,401.

三種情形滿足要求.

而后面兩種情形是在第一組情形下作*=X-1,寫=Xj+1調(diào)整下得到的.

根據(jù)上一小題的證明可以知道，每調(diào)整一次，和式S=￡]<kk5勺巧變大.

所以在=%2=x3=402,%4=%5=400情形取到最小值.

7a+45a^-36

13.12005高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】數(shù)列｛6｝滿足：劭=1,冊+1=—n%----,"CM證明：

(1)對任意“6N,為為正整數(shù)；

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(2)對任意"GN,a.an+1-1為完全平方數(shù).

【答案】證明見解析

【解析】(1)由題設得％=5,且｛斯｝嚴格單調(diào)遞增.

將條件式變形得2an+i-7an=/45若一36,

兩邊平方整理得W+i-7anan+1+a?+9-0①

所以①一②得(即+i-an-i)(an+i+即-1-7%)=0.

因為即+1>?！埃詀“+i+冊_I-7冊=0,故即+1=7冊一冊_1③

由式③及a。=1,%=5可知，對任意a”為正整數(shù).

29a

(2)將式①兩邊配方，得5+1+an)=(ann+i-D，

所以瑪即+】-1=(如產(chǎn))2④

由式③得a“+i+ctn=9on—(un+%+i),

n

所以an+i+an=—(an+ctn+i)=…=(-l)(<ii+%)=0(mod3).

因此，詠1為整數(shù)，所以以冊+1-1是完全平方數(shù).

14.12002高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】如圖，有一列曲線P0,Pi，P2,…，己知幾所圍成的圖形是面積為1的等邊三

角形，PM+I是對外進行如下操作得到：將外的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，

再將中間部分的線段去掉0=0,1,2).記S,,為曲線4所圍成圖形的面積.

(1)求數(shù)列｛SJ的通項公式；

(2)求limSn.

n-?oo

【答案】⑴5”=；|x(弟(2*

【解析】(1)對方進行操作，容易看出A的每條邊變成片的4條邊，故外的邊數(shù)為3x4；同樣，對外進行操作,

外的每條邊變成P2的4條邊，故修的邊數(shù)為3網(wǎng)2,從而不難得到巳的邊數(shù)為3x4".

已知方的面積為&尸1,比較P,與R).容易看出G在&的每條邊上增加一個小的等邊三角形其面積為專，

而凡有3條邊，故Si=S()+3x^=1+：,

第9頁共29頁

再比較3與多，可知2在Pi的每條邊上增加了一個小的等邊三角形，其面積為專x親

而B有3x4條邊，故$2=SI+3X4X三=1+：+之,

3夕333

類似地有S3=52+3X42x*=l+/卷+東

|71

__口..14A24。-1\'

于7E有S=1+三+/+病+…+筋二=1+2,4一_143

n為-1+]

k=l

=1+小一時k

=1+|1-①

4瀉*鈔

下面利用數(shù)學歸納法證明式①

當n=l時，由上面已知，式①成立.

假設n=k時，有=：一|，(g)

當"="1時，易知第人1次操作后，比較A”與H，尸川在P4的每條邊上增加了一個小的等邊三角形，其面積

為小，

而阿有3?4k條邊，故S.+i=Sk+3?4上?黃磊=Sk+京磊=1-1.Q)

綜上，由數(shù)學歸納法，式①得證.

⑵物S"=時削(I),(洎V

15.[2001高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】｛/｝為等差數(shù)列,出“｝為等比數(shù)列，且瓦=al，b2=aj,b3=退(a<a2),又

lim(瓦+力2+…+以)=&+1，試求｛的｝的首項與公差.

n->+oo

【答案】答案見解析

【解析】這是一個有關等差、等比數(shù)列的基本問題，數(shù)列｛斯｝與｛兒｝的前三項滿足仇=砰a=1,2,3),由此可

確定數(shù)列伍“｝的首項4與公差d的關系.

由lim(A+b+■■■+b)=V2+1便可求出g和d的值.

X-?OO2n

設｛斯｝的公差為4,由由<。2，得分0,

由狀=瓦顯得說=a海,所以譴=,(舍去，否則%=0,2=。3),

或詆=一%。3，所以(1+d)2=—。式的+2d),即2a：+4的￡(+d2=0.

解得d=(-2士

若d=(-2-&)%,則q=筆=(V2+I)2>1,不符合要求.

%

第10頁共29頁

若d=(-2+V2)a,則q=有=(V2-l)2,

tai

由lim+人2+…+bn)=y/2+1得=V2+1,

好=V2+1,

即[1-(V2-1)]2解得憂=2,

由底=—及%<口?知<0，

所以見=—\[2,d=(-2+企)％=2>/2—2.

16.12001高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】用電阻值分別為由,。2，。3，。4,曲，生(。1>a2>a3>a4>a5>。6)的電阻組

裝成一個如圖的組件，在組裝中應如何選取電阻，才能使該組件總電阻值最小?證明你的結論.

—1-

,(---?4WV?—

-------------------

【答案】答案見解析

[解析】設6個電阻的組件的總電阻為RFG.當Ri=%(i=3,456),

凡,/?2是%,a2的任意排列時，RFG最小?

用逐步調(diào)整法證明如下;

(1)當心,/?2并聯(lián)時，所得組件阻值R滿足;=/+A

若交換R1，R2，R不變，且當它或必變小時，R也減小，因此不妨取

(2)設三個電阻的組件(如圖所示)的總電阻為以8,

則以8=7~77~+氏3=R1R2+R1,R3+R2R3

&+/?2

顯然，R1+R2越大，則以8越小，所以為使最小，必須取自為所取三個電阻中阻值最小的一個.

—?R

AiR'B

I—^v\2v-J

(3)設四個電阻的組件(如圖所示)的總電阻為&D，

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則1_]?1_/?1/?2+.1.3+=1-4+12-3+冗2區(qū)4

RCDRAB夫4R1R2R4+R1R3R4+R2A3川4

記Si=El<i<j<4^iRj,S?=RjRk，

則S1，S2為定值.

于是/?co=52~~/?[/?泮3

Si-R3R4

顯然，當R3R4最小，旦旦/?2&3最大時，Re。最小.

故應取/?4<區(qū)3#3<尺2，%<%才能使總電阻的阻值最小.

(4)回到圖1,把由RI，&，R3組成的組件用等效電阻代替.

要使RFC最小，由情形(3)知，必須使/?6<思，且由情形(1)知，應使&E最小?

由情形(2)知，要使&E最小，必須使/?5<R4，且應使&D最小.

而由情形(3)知，要使Re最小，應使R4<?3<氏2，且R4<R3VRr

綜上所述，按照圖1選取電阻，才能使該組件的總電阻值最小.

17.11999高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】給定正整數(shù)〃和正數(shù)M,對于滿足條件/+成+14M的所有等差數(shù)列

…，試求S=%i+l+an+2+*"+。24+1的最大值.

【答案］(n+1)VM

【解析】設公差為d,an+i=a,則S=an+1+an+2+■?-+a2n+i=(n+l)a+的羅d,

則M》憂+W+i=(a—ndy+a?="a+?)+(4a-3nd)2>,

因此|5|《早(n+1)SW,且當a==&彳業(yè)時，

S=5+1)島幅+9急;何=5+1扁而呼5+1師

又因為此時4a=3nd,有a；+W+i=(O=M曰由=加，

所以，5的最大值為岑5+1)〃7.

18.11993高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】設正數(shù)列…，Qn，…滿足J%Qn_2-Jan-iQn-2=2an-1(幾32),

且。0=的=1,求｛an｝的通項公式.

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l(n=0)

【答案】a

n=1n"](2k—1尸(九EN)

【斛機】將'，得門]——2—Ja?i-l,Qn-2=2。八一/處為2-2@九一1=y/^n—l^n—Z1

=1

錯位相減可得：戶一2吁】岸=1+2+22+…+2nT.

7a。

于是I—=1+2+22+…+2rlT=2n-1,

an-l

所以冊=(2"-D^n-iCZ"-1)2(2"T-1)2冊_2=…=H：=i(2k-1產(chǎn)

九十i—n-I1

19.【1992高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】設N為自然數(shù)，Q(x)=xx：i。片0,±1)，令'=%+：

(1)求證：fn+i(x)=yfn(x)-A_1(x),n>1.

(2)用數(shù)學歸納法證明：

(yn-禺-V+-+(-1)&-,力川+…+=1,2…an為偶必

f(x)={n-1Ilzlz1、?

[yn-盤-1嚴2+…+(_iycjyn-2i+..?+(_1尸?y(i=1,2，…，囁n為硝

I2

【答案】證明見解析

【解析】(1)由y&(x)-右_1(%)

(%+(xn+1—x-n-1)—(xn—x-n)

x—X-1

_X-+2+一一一九一+一九一

X-L

j^n+2_%—ii—2

=XT-1=&+1(”)

得/n+lW=yfnM-/n-i(X).

(2)直接計算得/i(x)=x+^=y,心(x)="+1+*=(x+：)-1=y2-1.

因此，命題對于"=1,2時成立

設命題對彷〃?（〃?之2,m為自然數(shù)）已成立，今證對于〃=〃計1也成立，分兩種情況:

⑺當）〃+1為奇數(shù)時，由歸納假設知，對〃=加及〃=/〃一1有

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篇(X)=ym+C〔2嚴-2+C—ymT+…+(-1)^^"*^+…+(-1)矮加'…嗎②

m-y

my12-1/-、crn-l.

m+121

7m_l(X)=嚴-1_%一2嚴7+…+(-iyc^y-+-+(-1"T金y(m-l)-2x—t③

2

用y乘式②減去式③得到

yfmW-篇_i(x)=ym+1_...+(_+C期)嚴+—2i+…+(-l)T(qm

因為C；j+C『i=C工j+i，

m%

m+1

所以y加⑴一/m-i(x)=y--T+…+(-I)C"+心f+…+(_1)TC2y.

根據(jù)式①，故命題對n=m+\(m+\為奇數(shù))成立.

(")當m+1為偶數(shù)時，由歸納假設知，對片加及〃二〃7一1,有

m-1Z2Z1

怠(X)=ym-Cliym-2+…+(_1)([十加-2,+…+(-1)—C^y②

2

771-1-

m3

/m-l(x)=ym-1_C^,2y-+?■■+(-l)IC3ym+l-2i+...+(-1)—C^y③

2

用)，乘式②減去式③，如同上述W+1為奇數(shù)時一樣進行合并，

m-1-7zn+1771+1m+1

并注意到最后的常數(shù)項為(-1)MC/T=(-1)MC&=(-1)—.

m+1

于是得到"n(X)-An-xCx)=ym+1-*ym-1+…+(-1)—.

根據(jù)情形⑺的結論，故命題對”=加+1(，”+1為偶數(shù))成立，綜合上述，可知對一切自然數(shù)〃，

命題成立.

20.[1990高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)]“2(論4)個正數(shù)排成〃行"列：

alla12a13a14…aln

a21a22a23a24…a2n

a31a32a33a34…a3n

a41a42a43a44…a4n"

^nl”n2%3%4***^nn

其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知。24=1，。42=3。43=堤，求

816

Q11+。22+。33+。44+…+^nn-

【答案】2—泰一/

【解析】設第一行數(shù)列公差為"，各列數(shù)列公比為“，則第四行數(shù)列公差是"爐，于是可得方程組

。24=(?ii+3d)q=1

?42=(?n+d)q3=5,

(%3="dq3=高

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解此方程組，得Q]】=d=q=±，

由于〃2個數(shù)都是正的，故Q[i=d=q=].

而對于任意10右山有Qkk=QikqkT=[%i+(k-l)d]qJ=k點,

故S=#2?…+咤

又因為齊=專+2專+…+n/,

相減后即得尹=：+/+…+*一幾鼎=

2

所以5=2-/一段.

21.11989高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】已知的,。2,…，曲是"個正數(shù)，滿足七?。2??…即=1.求證：(2+aj(2+

。2)…(2+%)》3n.

【答案】證明見解析

【解析】解法一利用不等式a+b+c》3幅(a,b,c為正數(shù))，

有2+%=1+1+/》(i=1,2,---,n),則(2+aj(2+a?)…(2+aj.3”,…冊=3n.

b

解法二令q=ei,則由&?a2...an=1可知瓦+b2++bn=0.

考慮函數(shù)f(x)=ln(2+e*).

由f(x)+/(y)》2f代，可知/(x)是凸函數(shù)，由延森(Je〃se〃)不等式得

以+比；…+%

f(bj+/(b2)+…+f(bn)》nf()=nin3,

此即(2+aj(2+a2)?■-(2+an)>3n.證畢.

a

22.11989高中數(shù)學聯(lián)賽(第01試)】已知對任意的”GN,有/>0,且2a?=(Xj=1;)-求證：??=?-

【答案】證明見解析

【解析】用數(shù)學歸納法證明

(1)當"=1時，結論顯然成立；

(2)假設命題在〃必時成立，即當，=1,2,★時,則4=

下面考慮當片%+1時的情形：=(2防iq)2=+碇+1=(234+以+1)2,

于是成+1=2-%+1求1at+或+i,

因為q=i(i=l,2,-,fc),所以型=1々=竺羅.

進而說〃+i-%+1-k(k+1)=0(以+i>0),解得am=k+1或Q〃+I=-k(不符合題意).

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故命題在"=?+1時成立.

做直的物題弱頌D固

n-l

/(九32).求證：

Zk=lk

(1)^=-^-7(n>2)；

an+15+1)2''

⑵(1+J(1+J…(1+JV4(幾》1).

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】

nZ=/+JM

(1)由已知可得也把=

an+i

(2)由已知條件有%=1,。2=生

當”=1時，1+?=2<4,不等式成立.

al

當論2時，由(1)的結論可得

11111+&1+。21+。31+

(1+—)(1+—)(1+-)-(1+—)=-------------------?…------

Qla2Qfl02%

1+%1+。21+為1+Q12232n22a

=玄?(^^?????大n)?冊+1=2?[聚?招一…^7^卜冊+1=^n+^1

111111

=2(14--+-z-+??,-!—r)<2[1+---+———+???+-------1

2232n211x22x3(n-1)xnJ

=2[1+(1-1)+(|-1)+-+(W_5=2(2_：)<4.

綜上所述，不等式成立.

2.已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為5,“且麋

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

(2)求證：yn當<3.

乙k=lak

【答案】(1)4=〃；⑵證明見解析

【解析】

(1)由｛y^l；_Q2得到成+1=S/+i—=(S“+i+Sn)(S”+]—Sn)=(Sn+i+Sn)Qn+「

Ln+1ai=^n+l

因為斯+1>0，所以W+1=2Sn+即+1，即2Sn=底+1—0n+1，2Sn_1=-an(n>2).

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兩式相減，得2即=W+i-an+i-W+Qn，進而（即+1+%）（%1+1-。71）=%!+1+。71,

因為即+1+冊＞O,所以由1+1-a=1（九＞2）.

又由已知%=1,。2=2，所以，對任意有“+1-a九=1,

即1%｝是等差數(shù)列,故。產(chǎn)兒

（2）由“〃=，，對原式變形有:

n

1+

<i+，局-i)(7c+i)(vm+vFQ

k=2

n

VF+1-