北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)期中期末考試滿分全攻略九年級(jí)下冊(cè)第3章圓(壓軸題專練)原卷版+解析

九下第3章圓壓軸題專練一、單選題1．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（2023·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圓心角為60°，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，P為線段BD上的一點(diǎn)，且PB＝2PD，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．（2023·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校二模）如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，BE的最小值為（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．34．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，BC＝6，AC＝8，⊙O的半徑為2，圓心在AB邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙O與的邊恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，OA的取值范圍是（）A．7.5＜OA＜8 B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5 D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，以M為圓心，5為半徑作，與y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，Q是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持，當(dāng)?shù)慕Y(jié)果最大時(shí)，長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，圓O的半徑為R，正△ABC內(nèi)接于圓O，將△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△A'B'C'，它的兩邊與AB①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于，其外角平分AD交于D，于M，則結(jié)論①②③④中正確的是（）A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④8．（2023·江蘇省無(wú)錫市僑誼教育集團(tuán)九年級(jí)期中）如圖，AB為半圓O的直徑，M，C是半圓上的三等分點(diǎn)，AB＝8，BD與半圓O相切于點(diǎn)B．點(diǎn)P為AM上一動(dòng)點(diǎn)（A，M重合），直線PC交BD于點(diǎn)D，BE⊥OC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交PC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是：①PB＝PD；②BC的長(zhǎng)為π；③∠DBE＝45°；④當(dāng)P為AM中點(diǎn)時(shí)EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．29．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，，均在坐標(biāo)軸上，，過，，作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．10．（2023·浙江·余姚市姚北實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在等邊中，，點(diǎn)是以為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（）A．27 B．26 C．25 D．2411．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期中）在直角中，，圓O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，則為（）A． B． C． D．12．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)M，N在上，將紙片沿折疊，折疊后使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合于點(diǎn)I，的外接圓分別交于點(diǎn)P，Q．若，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．13．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，若的面積為，，則周長(zhǎng)的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題14．（2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，，為的外接圓，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③若，則的長(zhǎng)為；④；⑤若，則．15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，C是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，B，D是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，圓弧與圍成了一個(gè)封閉圖形，當(dāng)線段AC與BD都最短時(shí)，圖中陰影部分的面積為________．16．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個(gè)結(jié)論．（1）H是FK的中點(diǎn)；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有________（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．17．（2023·全國(guó)·九年級(jí)月考）如圖，CD為⊙O的直徑，AB為⊙O中長(zhǎng)度為定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，連接AC，BC，BE．下列四個(gè)結(jié)論中：①O到AB的距離為定值；②BE＝BC；③當(dāng)OE＝AE時(shí)，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD為定值．正確的是___．（填所有正確的序號(hào)）18．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）小明準(zhǔn)備以“青山看日出”為元素為永嘉縣某名宿設(shè)計(jì)標(biāo)志示意圖，如圖所示，他利用兩個(gè)等邊三角形和一個(gè)圓分別表示青山和日出，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，且，四邊形和四邊形的面積之差為，則的長(zhǎng)是______；連結(jié)，若是的內(nèi)切圓，則圓心O到的距離是_______．19．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）如圖，已知中，，作的外接圓，直徑將圓分成上下兩部分，點(diǎn)E為上半圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在下半圓上，連結(jié)，過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則周長(zhǎng)的最大值為________．20．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若菱形的兩條對(duì)角線分別與軸、軸平行，則稱該菱形為坐標(biāo)平面內(nèi)的“規(guī)則菱形”．已知點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，現(xiàn)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，若在上存在點(diǎn)，線段上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，為相鄰頂點(diǎn)的“規(guī)則菱形”為正方形，則的取值范圍是______．21．（2023·廣東·執(zhí)信中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為___________；②面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請(qǐng)你利用圖1證明；（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)P在直線的左側(cè)，且．①線段長(zhǎng)的最小值為_______；②若，則線段長(zhǎng)為________．22．（2023·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號(hào)即可）．23．（2023·江西·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，連接，，其中點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)為______．24．（2023·浙江義烏·九年級(jí)期中）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長(zhǎng)記作．下面我們來(lái)探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍(lán)畫了圖①、圖②兩種排列方式，請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：_______．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請(qǐng)你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是_______．（用含a的代數(shù)式表示）三、解答題25．（2023·浙江·諸暨市暨陽(yáng)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，直線分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，作矩形ABCD，其中點(diǎn)C，點(diǎn)D在第一象限，且滿足AB∶BC＝2∶1．連接BD．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)E是線段AB（與端點(diǎn)A不重合）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過E作EF∥AD，交BD于點(diǎn)F，作直線AF．①過點(diǎn)B作BG⊥AF，垂足為G，當(dāng)BE＝BG時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)度．②若點(diǎn)P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PF，將△DFP沿PF所在直線翻折，使得點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段BD或線段AB上．直接寫出線段AE長(zhǎng)的取值范圍．26．（2023·湖北·武漢一初慧泉中學(xué)九年級(jí)月考）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D．（1）若BH平分∠ABC交CD于點(diǎn)H，已知∠A=82°，求∠BHC的度數(shù)；（2）如圖2，若G為△ABC的內(nèi)心，E，F(xiàn)分別為BC，AC邊上的點(diǎn)，且CE=CF，BE=5，AF=2，求EF的長(zhǎng)；（3）如圖3，AF⊥BC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)H，已知∠ADC=45°，tan∠ACD=，CF=3，直接寫出BF的長(zhǎng)．27．（2023·浙江·杭州市采荷中學(xué)二模）在中，，以為直徑的交于點(diǎn)．（1）如圖①，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)，連結(jié)，若，求；（2）如圖②，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖③，在（1）（2）的條件下，若，求的值．28．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)月考）已知，E為正方形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CF⊥BE交AD于F，垂足為G．（1）如圖1，求證：CE＝DF；（2）如圖2，連接AG、BF，交于點(diǎn)H，求證：∠ABF＝∠AGF；（3）如圖3，在（2）的條件下，若AG＝AB＝11，求線段GH的長(zhǎng)．29．（2023·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)九年級(jí)月考）已知AB、CD為的兩條弦，．（1）如圖1，求證弧弧BD；（2）如圖2，連接AC、BC、OA、BD，弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AO交CD于點(diǎn)E，連接BE，使，若，求證：四邊形ABEC為菱形；（3）在（2）的條件下，CH與相切于點(diǎn)C，連接CO并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BE交CH于點(diǎn)H，，，求CH長(zhǎng)．30．（2023·江蘇·泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P．（1）探究AE、BF的關(guān)系，并說明理由；（2）求證：A、D、F、P在同一個(gè)圓上；（3）如圖2，若正方形ABCD的邊AB在y軸上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)P落在以M為圓心1為半徑的圓上．求a的取值范圍．31．（2023·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，點(diǎn)O、P分別在AB、AD邊上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑作⊙O，連接BP，把⊙O沿著BP翻折得⊙Q．（1）若⊙O的半徑r＝1．①DQ的最小值為．②當(dāng)DC切⊙Q于點(diǎn)E時(shí)，求CE長(zhǎng)．（2）當(dāng)⊙Q在運(yùn)動(dòng)的過程中與BC邊始終沒有公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出⊙O的半徑r的值或取值范圍．32．（2023·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，連接AC、BC，點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有∠QAB＝∠QCA．（1）求∠AQC的度數(shù)．（2）線段QA、QC、QB三者之間的數(shù)量關(guān)系為：，并說明理由．（3）若，求∠AQB的度數(shù)．33．（2023·重慶一中九年級(jí)月考）如圖，在等腰中，，，垂足為，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使，以為底邊作等腰．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過作，垂足為，連接交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)為平面內(nèi)不與點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線與直線交于點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接并在的右側(cè)作且，連接，為邊上一點(diǎn)，，，當(dāng)取到最小值時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的面積．34．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)月考）對(duì)圖形M，N和點(diǎn)P，如果圖形M上存在點(diǎn)Q1，圖形N上存在點(diǎn)Q2，使得點(diǎn)Q1繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與點(diǎn)Q2重合，則稱圖形N是圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“秋實(shí)”圖形．（1）如圖1，A（﹣3，0），B（0，3），則點(diǎn)C1（1，0），C2（﹣2，﹣1），C3（3，0）中．是線段AB關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形的點(diǎn)是；（2）設(shè)直線y＝x+b（b＞0）與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，與y軸正半軸交于點(diǎn)E，⊙F是以點(diǎn)F（2，1）為圓心，2為半徑的圓．若⊙F是線段DE關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形，求b的取值范圍；（3）設(shè)直線l：y＝k（x+m），其中m＞0，⊙G是以G（4，0）為圓心，1為半徑的圓，若對(duì)⊙G上的任意一點(diǎn)H，存在k（≤k≤），使得點(diǎn)H是直線l關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的“秋實(shí)”圖形，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．九下第3章圓壓軸題專練一、單選題1．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．答案：D分析：當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則此時(shí)⊙A與直線相切，（需考慮左右兩側(cè)相切的情況）；設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)同時(shí)在⊙A與直線上，故可以表示出點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)作，則此時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)算出長(zhǎng)度，最終得出結(jié)論．【詳解】如下圖所示，連接，過點(diǎn)作，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，∴，，在中，，又∵半徑為5，∴，∵，∴，則，∴，∴，∵左右兩側(cè)都有相切的可能，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝，扇形AOC的圓心角為60°，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，P為線段BD上的一點(diǎn)，且PB＝2PD，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．答案：A分析：在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分別連接EF、PE、GE、OD，則可證明△DBO∽△PBE，從而求得PE的長(zhǎng)為定值，這樣可確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為一段弧，且弧的兩端為點(diǎn)F和點(diǎn)G，因此只要求出OA的長(zhǎng)及圓心角∠FEG的大小，即可求得圓弧的長(zhǎng)，從而求得結(jié)果．【詳解】在OB上取BE=2OE，在AB上BF=2AF，在BC上取BG=2CG，分別連接EF、PE、GE、OD，如圖∵BP=2PD，BE=2OE∴∵∠DBE=∠PBE∴△DBO∽△PBE∴即∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，AB＝∴∴同理：EF=，∴PE=EF=EG∵當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合∴點(diǎn)P在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓弧FG上運(yùn)動(dòng)∵∠AOC=60°∴∠COB=∠AOC+∠AOB=90°∵△FBE∽△ABO，△BEG∽△BOC∴∠FEB=∠AOB=30°，∠GEB=∠COB=90°∴∠FEG=90°－∠FEB=60°的長(zhǎng)為故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵在于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的探尋，有一定的難度．3．（2023·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校二模）如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，BE的最小值為（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3答案：B分析：如圖，連接BO′、BC．在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O′、E、B共線時(shí)，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2，在Rt△BCO′中，，∵O′E+BE≥O′B，∴當(dāng)O′、E、B共線時(shí)，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E＝﹣2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，屬于中考選擇題中的壓軸題．4．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，BC＝6，AC＝8，⊙O的半徑為2，圓心在AB邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙O與的邊恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，OA的取值范圍是（）A．7.5＜OA＜8 B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5 D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜答案：D分析：由勾股定理可求AB＝10，找出出⊙O與的邊恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)OA的臨界值，即可求解．【詳解】解：∵∴AB＝＝＝10，如圖1，當(dāng)⊙O過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)⊙O與△ABC的邊恰有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)OA＝2，當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)與△ABC的邊恰有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，則；如圖2，當(dāng)⊙O與AC相切于點(diǎn)E時(shí)，此時(shí)⊙O與的邊恰有3個(gè)交點(diǎn)，連接OE，∴，∴，又∵，∴△AEO∽△ACB，∴，∴，∴AO＝，當(dāng)與BC相切于點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)與△ABC的邊恰有3個(gè)交點(diǎn)，同理可求，∴，∴當(dāng)⊙O與的邊恰有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，OA的取值范圍為或．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)；關(guān)鍵在于能完整的找到臨界位置來(lái)確定范圍．5．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，以M為圓心，5為半徑作，與y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，Q是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持，當(dāng)?shù)慕Y(jié)果最大時(shí)，長(zhǎng)為（）A． B． C． D．答案：D分析：根據(jù)△AQP∽△APB，確定，過點(diǎn)M作MG⊥AB，垂足為G，根據(jù)垂徑定理計(jì)算AB=8，用AQ的代數(shù)式表示AP+QB，運(yùn)用二次函數(shù)的思想確定最值，確定AQ=2，AP=4，證明AE=AP=4，連接MA，交PE于點(diǎn)N，根據(jù)垂徑定理的推論，確定AM⊥PE，設(shè)AN=x，則MN=5-x，用勾股定理同時(shí)表示EN求得x，從而求得EN，根據(jù)PE=2EN計(jì)算即可【詳解】如圖，∵，，∴△AQP∽△APB，∴AP：AB=AQ：AP，∴，過點(diǎn)M作MG⊥AB，垂足為G，連接MA，則AG=GB，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，圓的半徑為5，∴MG=3，MA=5，根據(jù)勾股定理，得AG==4，∴AB=2AG=8，∴，∴或（舍去），∵AQ=AB-QB，∴AP+QB=+8-AQ==∴AP+QB有最大值，且當(dāng)時(shí)，有最大值10，∴AQ=2，AP=4，連接AE，設(shè)MA與PE的交點(diǎn)為N，∵△AQP∽△APB，∴∠APQ=∠ABP，∵∠AEP=∠ABP，∴∠APQ=∠AEP，∴AP=AE=4，，根據(jù)垂徑定理的推論，得AM⊥PE，設(shè)AN=x，則MN=5-x，在Rt△AEN中，，在Rt△MEN中，，∴=,解得x=，∴，∴EN=，∴PE=2EN=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的對(duì)稱性，三角形的相似，二次函數(shù)的最值，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性，活用三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，圓O的半徑為R，正△ABC內(nèi)接于圓O，將△ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△A'B'C'，它的兩邊與AB①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4答案：B分析：根據(jù)圓內(nèi)接正三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，則，于是可得到；在△中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，，再利用“”可證明△△，則，所以；根據(jù)對(duì)頂角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，則，把代入得到．【詳解】解：連接，，，，如圖，∵△ABC是正角三角形，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△，△為等邊三角形，，而點(diǎn)為△的內(nèi)心，，又，，△是等腰直角三角形，，，，所以①正確；，而，，，，，，AB=AAA'，在△和△中，，△△，，，所以②錯(cuò)誤；，所以③正確；在△中，，，，而，，，所以④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何運(yùn)算．7．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于，其外角平分AD交于D，于M，則結(jié)論①②③④中正確的是（）A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④答案：B分析：由A、B、C、D四點(diǎn)共圓，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所對(duì)的圓周角相等得到圓周角相等，結(jié)合外角平分線可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；過點(diǎn)D作DF⊥BE，可以通過證明三角形全等，通過邊的關(guān)系可以得到②AC+AB=2CM，③AC-AB=2AM，都是正確的；S△ABD和S△ABC的大小無(wú)法判斷．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥BE于F，∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠FAD=∠BCD，∵外角平分線AD交⊙O于D，∴∠FAD=∠DAC，又∵∠DBC=∠DAC，∴∠BCD=∠CBD，∴①DB=DC，故此選項(xiàng)正確；∵AD外角平分線，DF⊥BE，DM⊥AC于M，∴DF=DM，在△BFD≌△CMD中，，∴Rt△BFD≌Rt△CMD，∴BF=CM，又∵AF=AM，∴②AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此選項(xiàng)正確；∴③AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此選項(xiàng)正確；S△ABD和S△ABC的大小無(wú)法判斷，④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角、三角形的外角的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；作出輔助線，利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇省無(wú)錫市僑誼教育集團(tuán)九年級(jí)期中）如圖，AB為半圓O的直徑，M，C是半圓上的三等分點(diǎn)，AB＝8，BD與半圓O相切于點(diǎn)B．點(diǎn)P為AM上一動(dòng)點(diǎn)（A，M重合），直線PC交BD于點(diǎn)D，BE⊥OC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BE交PC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論正確的是：①PB＝PD；②BC的長(zhǎng)為π；③∠DBE＝45°；④當(dāng)P為AM中點(diǎn)時(shí)EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2答案：C分析：①連接AC，并延長(zhǎng)AC，與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，若PD=PB，得出P為AM的中點(diǎn)，與實(shí)際不符，即可判定正誤；②先求出∠BOC，再由弧長(zhǎng)公式求得BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而判斷正誤；③由∠BOC=60°，得△OBC為等邊三角形，再根據(jù)三線合一性質(zhì)得∠OBE，再由角的和差關(guān)系得∠DBE，便可判斷正誤；④通過條件可證明△BCF∽△PCB，可得到∠CFE=∠FCE，便可判斷正誤；⑤通過④可得∠DFB＝∠CBP．【詳解】解：①連接AC，并延長(zhǎng)AC，與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，如圖1，

∵M(jìn)，C是半圓上的三等分點(diǎn)，

∴∠BAH=30°，

∵BD與半圓O相切于點(diǎn)B．

∴∠ABD=90°，

∴∠H=60°，

∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH，

∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，

∵∠PBD=90°-∠ABP，

若∠PDB=∠PBD，則∠ABP+60°=90°-∠ABP，

∴∠ABP=15°，∴P點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，這與P為AM上的一動(dòng)點(diǎn)不完全吻合，

∴∠PDB不一定等于∠ABD，

∴PB不一定等于PD，

故①錯(cuò)誤；②∵M(jìn)，C是半圓上的三等分點(diǎn)，

∴∠BOC=×180°＝60°，

∵直徑AB=8，

∴OB=OC=4，∴BC的長(zhǎng)度=，故②正確；③∵∠BOC=60°，OB=OC，

∴∠ABC=60°，OB=OC=BC，

∵BE⊥OC，

∴∠OBE=∠CBE=30°，

∵∠ABD=90°，

∴∠DBE=60°，

故③錯(cuò)誤；④∵M(jìn)，C是半圓上的三等分點(diǎn)，∴∠BPC=30°，∠COB=60°∴△COB為等邊三角形，∴∠OBC=60°又CF⊥OC，∴∠CBF=30°，又∠PCB=∠BCF，∴△PCB∽△BCF，∴∠CFB=∠CBP，又P為AM的中點(diǎn)，∴∠PBC=45°，∴∠CFE=45°，又∠CEF=90°，∴∠FCE=45°，∴EF=EC，故④正確；⑤由④可得出，∠DFB＝∠CBP正確，故⑤正確．∴②④⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用．9．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，，均在坐標(biāo)軸上，，過，，作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．答案：C分析：連接，，如圖，利用圓周角定理可判定點(diǎn)在上，易得，，，，，設(shè)，則，由于表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，由于為平分，則，利用點(diǎn)在圓上得到，則可計(jì)算出，從而得到的最大值．【詳解】解：連接，，如圖，，為⊙D的直徑，點(diǎn)在上，，，，，，，設(shè)，，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，為平分，，，，即，此時(shí)，即的最大值是6．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理等，作出輔助線，得到是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江·余姚市姚北實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在等邊中，，點(diǎn)是以為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，連接，則線段的最大值與最小值之積為（）A．27 B．26 C．25 D．24答案：A分析：過作于，在上截取，連結(jié)，；先證明，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到；再根據(jù)圖形得到，即當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值為最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【詳解】解：如圖：過作于，在上截取，連結(jié)，，是等邊三角形，，，，，，．，，．，，，，，，，．∴當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值為最小值，∴的最大值為，的最小值為，∴的最大值與最小值之積為．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期中）在直角中，，圓O經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，則為（）A． B． C． D．答案：A分析：如圖，連接DE，可知，證明為等腰三角形，得到，接著通過等量代換證明AC為的角平分線，從而證明△ACG?△ACB，設(shè)BC=x，通過條件和勾股定理列式可解得AB=，最后求解即可．【詳解】解：如圖，連接DE，AE為直徑，，又，為等腰三角形，，，，又AF為圓O的切線，，，，AC為的角平分線，過C點(diǎn)作AF的垂線，垂足為G，可知CB=CG，，AC為公共邊，∴△ACG，設(shè)BC=x，，，在Rt△CGF中，，在Rt△ABF中，，，解得AB=，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，涉及求解三角函數(shù)值，勾股定理，角平分線，全等三角形等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)，可以通過條件找出邊的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）如圖，在正方形紙片中，點(diǎn)M，N在上，將紙片沿折疊，折疊后使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合于點(diǎn)I，的外接圓分別交于點(diǎn)P，Q．若，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．答案：B分析：首先證明△IBC是等邊三角形，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)推出，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到，，過點(diǎn)作，則OH平分BC，利用勾股定理求出OB，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴△IBC是等邊三角形，∴，∴，由折疊知：，，∴，，∴，∵圓是△IBC的外接圓，∴點(diǎn)是△IBC的內(nèi)心，∴OB平分，OC平分，∴，，過點(diǎn)作，則OH平分BC．則：，在中：，由勾股定理得：，即，解得：，（舍），∴PQ=故選B．【點(diǎn)睛本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外接圓，內(nèi)心的有關(guān)性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)定理，掌握求弧長(zhǎng)所需的條件．13．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，若的面積為，，則周長(zhǎng)的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：B分析：利用將軍飲馬之造橋選址的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算．【詳解】如圖所示，（1）為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)M．四邊形是平行四邊形則C（2）找一點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作的平行線，連接則C△AM'N'=AN'+AM'+N'M'=AN'+AM'+CG=AN'+AM'+NM=AN'+AM'+1．此時(shí)C△AMN（1）中△AMN周長(zhǎng)取到最小值四邊形是平行四邊形四邊形是正方形，又，，△CNO?又∵AC⊥BD△ANM是等腰三角形，則圓的半徑，故選：B．【點(diǎn)睛】本題難度較大，需要具備一定的幾何分析方法．關(guān)鍵是要找到周長(zhǎng)取最小值時(shí)的位置．二、填空題14．（2023·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，，為的外接圓，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③若，則的長(zhǎng)為；④；⑤若，則．答案：②④⑤分析：①根據(jù)線段垂直平分線定理，為的直徑，為的弦，即可得出結(jié)論；②根據(jù)段垂直平分線得出∠A+∠AED=90°，再證∠A+∠ABC=90°，等量代換即可；③根據(jù)已知條件先得出∠EBC的度數(shù)，再利用圓周角定理得∠EOC=2∠EBC，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；④根據(jù)角角相似證明△EFD∽△BFE即可得出結(jié)論；⑤先根據(jù)勾股定理得出BF的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法得出ED，根據(jù)角角相似證明Rt△ADE∽R(shí)t△ACB，得出，即可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解:①∵DE是的垂直平分線∴為的直徑，為的弦．故①不正確．②∵DE是的垂直平分線∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正確．③連接OD的長(zhǎng)為．故③錯(cuò)誤．④∵DE⊥AB，F(xiàn)是⊙O的切線∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正確．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分線，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽R(shí)t△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．故⑤正確．綜上所述：正確的有②④⑤．故答案為：②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及定理、勾股定理、切線的性質(zhì)、等面積法是常用的計(jì)算邊長(zhǎng)的方法、靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，C是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，B，D是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，圓弧與圍成了一個(gè)封閉圖形，當(dāng)線段AC與BD都最短時(shí)，圖中陰影部分的面積為________．答案：分析：設(shè)點(diǎn)A，要使當(dāng)線段AC與BD都最短，就是使OA最短，利用勾股定理表示出OA與x的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出OA的最小值，即可求出AC的值；再利用同樣的方法可求出BC的長(zhǎng)；再證明△ABC是等邊三角形，然后利用扇形的面積公式和三角形的面積公式可求出陰影部分的面積．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A，要使當(dāng)線段AC與BD都最短，就是使OA最短，∴，∴當(dāng)時(shí)，OA的最小值為，∴x=1（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)；∴AC=，設(shè)點(diǎn)B，要使當(dāng)線段BD都最短，就是使OB最短，∴，∴當(dāng)時(shí)，OB的最小值為，∴x=-（負(fù)值舍去），∴點(diǎn)B，點(diǎn)D；∵點(diǎn)B和點(diǎn)D，點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴BC=AB=CD=AD，∴，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC=AB，∴，∴S陰影部分=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，線段最值，二次函數(shù)求最值，等邊三角形，弓形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵在于求出線段的最值．16．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個(gè)結(jié)論．（1）H是FK的中點(diǎn)；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有________（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．答案：（1）（3）（4）．分析：由正方形的性質(zhì)可證明，則可推出，利用垂徑定理即可證明結(jié)論（1）正確；過點(diǎn)H作交BC于N，交AD于M，由三角形面積計(jì)算公式求出，再利用矩形的判定與性質(zhì)證得，并根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出，，則最后利用銳角三角函數(shù)證明，即可證明結(jié)論（2）錯(cuò)誤；根據(jù)（2）中結(jié)論并利用相似三角形的性質(zhì)求得，即可證明結(jié)論（3）正確；利用（1）所得結(jié)論并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可證明結(jié)論（4）正確．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，．又∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，即H是FK的中點(diǎn)；故結(jié)論（1）正確；（2）過點(diǎn)H作交BC于N，交AD于M，由（1）得，則．∵，∴．∵四邊形ABCD是正方形，，∴．∴四邊形ABNM是矩形．∴，．∵，∴．即．∵，∴．∵，∴．∴．即．解得．則．∵，．∵，，∴．∴．∴．∴與不全等，故結(jié)論（2）錯(cuò)誤；（3）∵，∴．即．解得．由（2）得，．∴；故結(jié)論（3）正確；（4）由（1）得，H是FK的中點(diǎn)，∴．由勾股定理得．∴；故結(jié)論（4）正確．故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的綜合問題，掌握特殊四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·全國(guó)·九年級(jí)月考）如圖，CD為⊙O的直徑，AB為⊙O中長(zhǎng)度為定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，連接AC，BC，BE．下列四個(gè)結(jié)論中：①O到AB的距離為定值；②BE＝BC；③當(dāng)OE＝AE時(shí)，∠ABC＝67.5°或22.5°；④∠BAE+2∠ACD為定值．正確的是___．（填所有正確的序號(hào)）答案：①④分析：對(duì)于①：過O點(diǎn)作OH垂直AB，由垂徑定理即可求解；對(duì)于②：舉反例，當(dāng)A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，即：CD⊥AB時(shí)，此時(shí)BE＜BC，；對(duì)于③由OE＝AE時(shí)△AOE為等腰直角三角形，得到∠AOE=45°，進(jìn)而得到∠AOC=180°-45°=135°，再由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求解；對(duì)于④：由已知得到∠ACD=∠DAE，進(jìn)而得到∠BAE+2∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB，由AB為定弦即可求解．【詳解】解：對(duì)于①：過O點(diǎn)做OH⊥AB于H點(diǎn)，如下圖所示：由垂徑定理可知：，由于AB為⊙O中長(zhǎng)度為定值的弦，∴AH為定值，且圓O確定后其半徑也為定值，∴必為定值，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，即：CD⊥AB時(shí)，此時(shí)BE＜BC，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：當(dāng)OE＝AE時(shí)，連接OA，由已知條件AE⊥CD可知，△AOE為等腰直角三角形，此時(shí)E點(diǎn)在以AO的中點(diǎn)為為圓心，為半徑的圓上，如上左圖所示：當(dāng)E點(diǎn)位于AO下方時(shí)，此時(shí)∠AOE=45°，∠AOC=180°-45°=135°，∴，當(dāng)E點(diǎn)位于AO上方時(shí)，如上右圖所示，此時(shí)∠AOE=45°，∠AOC=180°-45°=135°，∴，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：連接AO、AD，如下圖所示，∵CD為圓O的直徑，∴∠CAD=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，又∠DAE+∠ADC=90°，∴∠ACD=∠DAE，由同弧所對(duì)的圓周角相等可知，∠DAB=∠DCB，∴∠BAE+2∠ACD=(∠BAE+∠ACD)+∠ACD=(∠BAE+∠DAE)+∠ACD=∠DAB+∠ACD=∠DCB+∠ACD=∠ACB，∵AB為定值，∴∠ACB為定值，∴∠BAE+2∠ACD為定值，故④正確；故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半、垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握?qǐng)A周角定理及其推論是解決本類題的關(guān)鍵．18．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）小明準(zhǔn)備以“青山看日出”為元素為永嘉縣某名宿設(shè)計(jì)標(biāo)志示意圖，如圖所示，他利用兩個(gè)等邊三角形和一個(gè)圓分別表示青山和日出，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，且，四邊形和四邊形的面積之差為，則的長(zhǎng)是______；連結(jié)，若是的內(nèi)切圓，則圓心O到的距離是_______．答案：2分析：設(shè)CF=x，表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形和四邊形的面積之差，得到，求出x值即可；連結(jié)AD，連接OG并延長(zhǎng)交BF于點(diǎn)，設(shè)圓與AC的切點(diǎn)為，連接OH，連接AE，作，垂足為，證明為直角三角形，求出內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到∠HGO，從而證明OM⊥BF，求出GM，從而得到OM即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，∴，，∵△ABC與△DEF為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．連結(jié)AD，連接OG并延長(zhǎng)交BF于點(diǎn)，設(shè)圓與AC的切點(diǎn)為，連接OH，連接AE，作，垂足為，∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為，為BC中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，為直角三角形，∴內(nèi)切圓半徑，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴圓心到BF的距離為，故答案為：2，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，19．（2023·浙江浙江·九年級(jí)期中）如圖，已知中，，作的外接圓，直徑將圓分成上下兩部分，點(diǎn)E為上半圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在下半圓上，連結(jié)，過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則周長(zhǎng)的最大值為________．答案：分析：連結(jié)BD，過作于，首先得到HC和HB的關(guān)系，再證明AH=BH，可得AC=BH，根據(jù)AC求出AB，利用圓周角定理證明∠ABD=90°，從而推出∠F=30°，得到BF和EF，即可表示出△BEP的周長(zhǎng)，可得當(dāng)且僅當(dāng)BE經(jīng)過圓心，BE為⊙的直徑時(shí)，BE取得最大值為時(shí)，△BEF的周長(zhǎng)最大．【詳解】解：連結(jié)BD，過作于，在中，，，∴．在中，，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵AD是⊙的直徑，∴．∵，∴．在中，，∵，，∴，∴，，∴．當(dāng)且僅當(dāng)BE經(jīng)過圓心，BE為⊙的直徑時(shí)，BE取得最大值為時(shí)，的周長(zhǎng)最大，∴△BEF的周長(zhǎng)最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用BE表示出△BEF的周長(zhǎng)．20．（2023·浙江杭州·九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若菱形的兩條對(duì)角線分別與軸、軸平行，則稱該菱形為坐標(biāo)平面內(nèi)的“規(guī)則菱形”．已知點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，現(xiàn)以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，若在上存在點(diǎn)，線段上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，為相鄰頂點(diǎn)的“規(guī)則菱形”為正方形，則的取值范圍是______．答案：分析：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)G，連接AG交x軸于H，以AG為對(duì)角線作正方形ADGE，可得正方形ADGE是“規(guī)則菱形”，根據(jù)以點(diǎn)，為相鄰頂點(diǎn)的“規(guī)則菱形”為正方形可知△AHE為等腰直角三角形，根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)可得點(diǎn)E坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，過點(diǎn)B作BF//AE，當(dāng)⊙C與BF相切時(shí)，c有最大值，根據(jù)⊙C半徑及等腰直角三角形點(diǎn)性質(zhì)可求出FC1的長(zhǎng)，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，即可得出c值，同理，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)可求出點(diǎn)c的最小值，即可得c點(diǎn)取值范圍．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)G，連接AG交x軸于H，以AG為對(duì)角線作正方形ADGE，∴HD=HE，AH=HG，DE⊥AG，AG⊥x軸，∴點(diǎn)D、E在x軸上，△AHE為等腰直角三角形，正方形ADGE是“規(guī)則菱形”，∴AH=EH，∠AEH=45°，∵A（2，5），B（5，5），∴OE=7，AB=3，AB//EF，∵以點(diǎn)，為相鄰頂點(diǎn)的“規(guī)則菱形”為正方形，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合時(shí)，過點(diǎn)B作BF//AE，則四邊形AEFB是平行四邊形，∴AB=EF，當(dāng)⊙C與BF相切于M時(shí)，c有最大值，∴OF=10，∵BF//AE，∴∠BFE=45°，∵⊙C半徑為，⊙C與BF相切于M，∴C1M⊥BF，C1M=，∵∠C1FM=45°，∴C1M=FM=，∴FC1=4，∴OC1=14，∴C1（14，0），即c=14，同理，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A重合時(shí)可得⊙C與AD相切時(shí)，c有最小值，HD=5，OD=3，C2D=4，∴OC2=7，∴C2（-7，0），即c=-7，∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用圖象解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．21．（2023·廣東·執(zhí)信中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧（如圖1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為___________；②面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請(qǐng)你利用圖1證明；（3）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)P在直線的左側(cè)，且．①線段長(zhǎng)的最小值為_______；②若，則線段長(zhǎng)為________．答案：（1）①2；②；（2）見解析；（3）①；②分析：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=60°，證明△OBC是等邊三角形，可得半徑；②過點(diǎn)O作BC的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)EO，交圓于D，以BC為底，則當(dāng)A與D重合時(shí)，△ABC的面積最大，求出OE，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（2）延長(zhǎng)BA′，交圓于點(diǎn)D，連接CD，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；（3）①根據(jù)，連接PD，設(shè)點(diǎn)Q為PD中點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，PD為半徑畫圓，可得點(diǎn)P在優(yōu)弧CPD上，連接BQ，與圓Q交于P′，可得BP′即為BP的最小值，再計(jì)算出BQ和圓Q的半徑，相減即可得到BP′；②根據(jù)AD，CD和推出點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，從而找到點(diǎn)P的位置，過點(diǎn)C作CF⊥PD，垂足為F，解直角三角形即可求出DP．【詳解】解：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=2，即半徑為2；②∵△ABC以BC為底邊，BC=2，∴當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，如圖，過點(diǎn)O作BC的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)EO，交圓于D，∴BE=CE=1，DO=BO=2，∴OE==，∴DE=，∴△ABC的最大面積為=；（2）如圖，延長(zhǎng)BA′，交圓于點(diǎn)D，連接CD，∵點(diǎn)D在圓上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，且PC=時(shí)，∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC==，為定值，連接PD，設(shè)點(diǎn)Q為PD中點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，PD為半徑畫圓，∴當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧CPD上時(shí)，tan∠DPC=，連接BQ，與圓Q交于P′，此時(shí)BP′即為BP的最小值，過點(diǎn)Q作QE⊥BE，垂足為E，∵點(diǎn)Q是PD中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為PC中點(diǎn)，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，∴BE=BC-CE=3-=，∴BQ==，∵PD==，∴圓Q的半徑為，∴BP′=BQ-P′Q=，即BP的最小值為；②∵AD=3，CD=2，，則，∴△PAD中AD邊上的高=△PCD中CD邊上的高，即點(diǎn)P到AD的距離和點(diǎn)P到CD的距離相等，則點(diǎn)P到AD和CD的距離相等，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，如圖，過點(diǎn)C作CF⊥PD，垂足為F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF==，∵tan∠DPC==，∴PF=，∴PD=DF+PF==．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，三角形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題，解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，解題時(shí)要根據(jù)已知條件找到點(diǎn)P的軌跡．22．（2023·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號(hào)即可）．答案：①②③⑤分析：由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對(duì)于①：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問題可判定；對(duì)于②：把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對(duì)于③：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進(jìn)而問題可求解；對(duì)于④：過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問題可求解；對(duì)于⑤由③可得，進(jìn)而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四邊形內(nèi)角和可得，∴點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正確；②把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正確；③連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：∵點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③正確；④過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，如圖所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，∵點(diǎn)P在線段上，∴的長(zhǎng)不可能為定值，故④錯(cuò)誤；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江西·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，連接，，其中點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)為______．答案：9或10或18分析：根據(jù)點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，先在腦海中生成運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)圖，通過從滿足條件的特殊的情況入手，然后再適當(dāng)左右擺動(dòng)圖形，尋找其它可能存在的解．【詳解】解：如下圖：（1）當(dāng)M，N分別與B，F(xiàn)重合時(shí)，在中，由題意得：，易算得：，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得，，為等邊三角形，即為等邊三角形，邊長(zhǎng)為18，此時(shí)已為最大張角，故在左上區(qū)域不存在其它解；（2）當(dāng)M，N分別與DF，DB的中點(diǎn)重合時(shí)，由（1）且根據(jù)三角形的中位線得：，，△DMN為等邊三角形，邊長(zhǎng)為9，（3）在（2）的條件下，陰影部分等邊三角形會(huì)適當(dāng)?shù)淖笥覕[動(dòng)，使得存在無(wú)數(shù)個(gè)這樣的等邊三角形且邊長(zhǎng)會(huì)在到之間，其中包含邊長(zhǎng)為，，，且等邊三角形的邊長(zhǎng)為整數(shù)，邊長(zhǎng)在到之間只能取9或10，綜上所述：該等邊三角形的邊長(zhǎng)可以為9或10或18．故答案是：9或10或18．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形中動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生等邊三角形問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等邊三角形的邊只能取整數(shù)為依據(jù)，進(jìn)行分類討論，難點(diǎn)在于陰部部分等邊三角形向左右適當(dāng)擺動(dòng)時(shí)如何取邊長(zhǎng)的整數(shù)值．24．（2023·浙江義烏·九年級(jí)期中）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長(zhǎng)記作．下面我們來(lái)探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍(lán)畫了圖①、圖②兩種排列方式，請(qǐng)你通過計(jì)算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：_______．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請(qǐng)你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是_______．（用含a的代數(shù)式表示）答案：圖①分析：(1)圖①由10個(gè)正六邊形構(gòu)成，圖②由10個(gè)正六邊形和4個(gè)正三角形構(gòu)成，分別計(jì)算出其面積比較大小即可，(2)要裝24支鉛筆，要使紙盒底面最小，按圖①方式排每個(gè)正六邊形相鄰的空間最小計(jì)算出半徑即可；【詳解】（1）∵一個(gè)正六邊形可以分為6個(gè)全等的等邊三角形，且邊長(zhǎng)為∴小三角形的高=∴，圖①由10個(gè)正六邊形構(gòu)成，圖②由10個(gè)正六邊形和4個(gè)正三角形構(gòu)成∵∴圖①更節(jié)省空間故答案為：①（2）由（1）可知，每個(gè)正六邊形相鄰空間最小，此時(shí)的盒地面半徑最小，如圖以中點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑紙盒底面半徑最小,過O點(diǎn)作OB⊥AB，由（1）可知，OB=在Rt△AOB中，AB=a，OBOA=紙盒底面最小半徑是故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面鑲嵌，正多邊形的面積，勾股定理，以及圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵要讀懂題意畫出示意圖．三、解答題25．（2023·浙江·諸暨市暨陽(yáng)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，直線分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，作矩形ABCD，其中點(diǎn)C，點(diǎn)D在第一象限，且滿足AB∶BC＝2∶1．連接BD．（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)E是線段AB（與端點(diǎn)A不重合）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過E作EF∥AD，交BD于點(diǎn)F，作直線AF．①過點(diǎn)B作BG⊥AF，垂足為G，當(dāng)BE＝BG時(shí)，求線段AE的長(zhǎng)度．②若點(diǎn)P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PF，將△DFP沿PF所在直線翻折，使得點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段BD或線段AB上．直接寫出線段AE長(zhǎng)的取值范圍．答案：（1）A（6，0），B（0，8）；（2）①4；②或分析：（1）分別令中x=0、y=0，求出與之對(duì)應(yīng)的y、x值，由此即可得出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）由題意證，得出AF＝AD，設(shè)BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，即可求出線段AE的長(zhǎng)度；在線段AB上時(shí)：（考慮以F為圓心的圓與AB相交的情況），分情況討論即可．【詳解】（1）令中x=0，則y=8，；令中y=0，則x=6，；（2）①由BE＝BG，，，∠BDA＝∠BFE＝∠BFG＝∠AFD，可得：AF＝AD，，，又AB∶BC＝2∶1，，，設(shè)BE＝x，EF＝0.5x，AE＝10－x，在Rt△AEF中：，可得x＝6，AE＝4；②當(dāng)在BD上時(shí)，當(dāng)P與A重合時(shí)，AE最長(zhǎng)，即時(shí)，AE最長(zhǎng)，，，，，，，當(dāng)時(shí)，可把翻折到BD上；當(dāng)在線段AB上時(shí)：當(dāng)DP＝P時(shí)，與A重合，PF為AD中垂線，PF為中位線，AE＝5，（若此時(shí)E再上移，以F為圓心，F(xiàn)D為半徑作圓，與AB不會(huì)有交點(diǎn)，所以）；當(dāng)FE＝FD時(shí)：與E重合，設(shè)則，，由，得：，，，即，當(dāng)在AB上時(shí)，．綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．26．（2023·湖北·武漢一初慧泉中學(xué)九年級(jí)月考）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D．（1）若BH平分∠ABC交CD于點(diǎn)H，已知∠A=82°，求∠BHC的度數(shù)；（2）如圖2，若G為△ABC的內(nèi)心，E，F(xiàn)分別為BC，AC邊上的點(diǎn)，且CE=CF，BE=5，AF=2，求EF的長(zhǎng)；（3）如圖3，AF⊥BC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)H，已知∠ADC=45°，tan∠ACD=，CF=3，直接寫出BF的長(zhǎng)．答案：（1）131°；（2）；（3）分析：（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠OBC=∠ABC，∠HCB=∠ACB，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）由點(diǎn)G為內(nèi)心，得到∠BGC=90°+∠BAC，證明△BEG∽△GFA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）設(shè)∠ACD=，HM=m，則∠ACD=∠BCD=∠MAH=，利用正切函數(shù)以及相似三角形的判定和性質(zhì)求得AM=3m，DH=4m，CD=12m，CN=，NF=，最后由△BDN△BAF，即可求解．【詳解】解：（1）∵CD平分∠ACB，BH平分∠ABC，∴∠ACD=∠BCD，∠ABH=∠CBH，∵∠A=82°，∴∠ABC+∠ACD=180°?∠A=98°，∴∠CBH+∠BCH=(∠ABC+∠ACD)=49°，∴∠BHC=180°?(∠CBH+∠BCH)=131°；（2）連AG，BG，∵點(diǎn)G為內(nèi)心，∴∠BAG=∠CAG，∠ABG=∠CBG，同（1）可得到：∠BGC=90°+∠BAC，∵CE=CF，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，EG=FG，CG⊥EF，∴∠BEG=∠GFA，∠BGE=∠GAF，∴△BEG∽△GFA，∴，∴，∴；（3）如圖，過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于點(diǎn)N，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵∠AMH=∠AFC=90°，∠AHM=∠CHF，∴∠ACD=∠BCD=∠MAH，設(shè)∠ACD=，HM=m，則∠ACD=∠BCD=∠MAH=，∵tan∠ACD=，則tan∠ACD=tan∠BCD=tan∠MAH==，在Rt△BDA中，HM=m，∴AM=3m，AH=，∵∠ADC=45°，∴AM=DM=3m，則DH=4m，在Rt△AMC中，AM=3m，∴CM=9m，CH=CM-HM=8m，CD=CH＋HD=12m，∴，∵AF⊥BC，DN⊥BC，∴HF∥DN，∴△CHF△CDN，∴，∵CF=3，∴CN=，NF=，DN=HF，在Rt△CFH中，CH=8m，CF=3，∵=，∴HF=，∴CH=，∴m=，∴AF=AH+HF=，DN=HF=，∵AF∥DN，∴△BDN△BAF，∴，∴BN=BF=2NF=3，∴BF=BN+NF=3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、三角形內(nèi)心的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．27．（2023·浙江·杭州市采荷中學(xué)二模）在中，，以為直徑的交于點(diǎn)．（1）如圖①，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)，連結(jié)，若，求；（2）如圖②，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖③，在（1）（2）的條件下，若，求的值．答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）分析：（1）由三角形內(nèi)角和角的計(jì)算問題；（2）證明，則，得到，即可求解；（3）設(shè)，，，則，由，得到，同理可得：，即可求解．【詳解】解：（1）由題意知，，，，又，；（2）如圖2，為圓的切線，連接，則，，，，，，，且．．，；（3）過作的垂線交于，過作的垂線交于，連接，，，，設(shè)，，，則，而，，則，，則，，，同理可得：，則，所以．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)以及圓中切線性質(zhì)的應(yīng)用，題目難度不大．28．（2023·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級(jí)月考）已知，E為正方形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CF⊥BE交AD于F，垂足為G．（1）如圖1，求證：CE＝DF；（2）如圖2，連接AG、BF，交于點(diǎn)H，求證：∠ABF＝∠AGF；（3）如圖3，在（2）的條件下，若AG＝AB＝11，求線段GH的長(zhǎng)．答案：（1）證明見解析，（2）證明見解析，（3）6分析：（1）證明△BCE≌△CDF即可；（2）取BF中點(diǎn)O，連接OA、OG，證明A、B、G、F四點(diǎn)共圓即可；（3）作AK⊥BG于K，HN⊥AB于N，GM⊥AB于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出∠BAG的正切值，求出AH長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵CF⊥BE，∴∠BGC＝90°，∴∠CBE+∠GCB＝90°，∠GCB+∠DCF＝90°，∴∠CBE＝∠DCF，∴△CBE≌△DCF（AAS），∴CE＝DF；（2）取BF中點(diǎn)O，連接OA、OG，∵∠BAF＝90°，∴OA=OF=OB，同理，OG=OF=OB，∴A、B、G、F四點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，如圖所示，∴∠ABF＝∠AGF；（3）作AK⊥BG于K，HN⊥AB于N，GM⊥AB于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵AK⊥BG，∴∠AKB＝90°，∴∠BAK+∠ABK＝90°，∠ABK+∠CBG＝90°，∴∠BAK＝∠CBG，∴△BAK≌△CBG（AAS），∴AK＝BG；∵AG＝AB＝11，∴，∴，∴BC＝2EC，由（1）得，DC＝2DF，∴，∴∵M(jìn)G∥CB，∴∠MGB＝∠CBG，∴MG＝2MB，AM＝11-MB，,解得，，（舍去），，，∴，∴，∵，∴，解得，，則，，GH=11-5=6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理證明．29．（2023·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)九年級(jí)月考）已知AB、CD為的兩條弦，．

（1）如圖1，求證弧弧BD；（2）如圖2，連接AC、BC、OA、BD，弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)AO交CD于點(diǎn)E，連接BE，使，若，求證：四邊形ABEC為菱形；（3）在（2）的條件下，CH與相切于點(diǎn)C，連接CO并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BE交CH于點(diǎn)H，，，求CH長(zhǎng)．答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）分析：（1）直接根據(jù)同圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等可得結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理，以及等腰三角形的性質(zhì)可得，即可得出四邊形為平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形為菱形可得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于,連接，過作于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)勾股定理相似三角形的性質(zhì)求出的值，即可得出，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得結(jié)果．【詳解】解：（1）連接,

∵，∴,∴；（2）∵，∴,即,∴,∵，∴,∴,∴,∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，即,∴四邊形ABEC為菱形；（3）延長(zhǎng)交于,連接，過作于點(diǎn)，∴,,∵,設(shè)，∴，∴，∵四邊形ABEC為菱形，∴，∴，∵,∴,即，解得：，∴,∵,∴,∴,∵,∴，∴,解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，菱形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)點(diǎn)，熟知性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．30．（2023·江蘇·泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P．（1）探究AE、BF的關(guān)系，并說明理由；（2）求證：A、D、F、P在同一個(gè)圓上；（3）如圖2，若正方形ABCD的邊AB在y軸上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)點(diǎn)，且，AE和BF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)P落在以M為圓心1為半徑的圓上．求a的取值范圍．答案：（1）AE=BF，且AEBF，見解析；（2）見解析；（3）分析：（1）證明△ABE?△BCF(SAS)，得AE=BF（2）由△ABE?△BCF(SAS)得到，再利用同角的余角相等，解得（3）如圖，先計(jì)算AB=2a，由可得在以為圓心，半徑為的圓上，再確定點(diǎn)落在上的兩個(gè)臨界點(diǎn)，即兩圓外切與兩圓內(nèi)切時(shí)，從而可得答案．【詳解】解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC,，在和中，AE=BF，∵，，∴，AEBFAE=BF，且AEBF；（2）由（1）知，A、D、F、P在以AF為直徑的同一個(gè)圓上；（3）的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：如圖，結(jié)合（1）可得：在以為圓心，半徑為的圓上，要在以為圓心，半徑為的圓上，當(dāng)外切時(shí)，過作于則而如圖，當(dāng)內(nèi)切時(shí)，過作于則同理可得：所以：當(dāng)點(diǎn)P落在以M為圓心1為半徑的圓上．a(chǎn)的取值范圍為：

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，90°所對(duì)的弦是直徑、兩圓的外切與內(nèi)切的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷兩圓外切與內(nèi)切是解題的臨界位置．31．（2023·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，點(diǎn)O、P分別在AB、AD邊上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑作⊙O，連接BP，把⊙O沿著BP翻折得⊙Q．（1）若⊙O的半徑r＝1．①DQ的最小值為．②當(dāng)DC切⊙Q于點(diǎn)E時(shí)，求CE長(zhǎng)．（2）當(dāng)⊙Q在運(yùn)動(dòng)的過程中與BC邊始終沒有公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出⊙O的半徑r的值或取值范圍．答案：（1）①；②；（2）r＞或0＜r＜時(shí)，⊙Q在運(yùn)動(dòng)的過程中與BC邊始終沒有公共點(diǎn)．分析：（1）①連接BD交圓弧于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q在以B為圓心，BO長(zhǎng)為半徑的圓上，可知當(dāng)B、Q、D三點(diǎn)在一條線上時(shí)，DQ最小，結(jié)合勾股定理即可求解；②連接QE，BQ，過點(diǎn)Q作QM⊥BC，可得四邊形MCEQ是矩形，進(jìn)而即可求解；（2）取兩個(gè)臨界狀態(tài)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，⊙O恰好過點(diǎn)C時(shí)，連接OC，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，⊙Q恰好過點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q在CD上，連接OQ交BD于點(diǎn)M，分別求出對(duì)應(yīng)的r，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：（1）①以B為圓心，BO長(zhǎng)為半徑畫弧，連接BD交圓弧于點(diǎn)Q，由翻折的性質(zhì)可得：BO=BQ，且點(diǎn)Q在以B為圓心，BO長(zhǎng)為半徑的圓上，∴當(dāng)B、Q、D三點(diǎn)在一條線上時(shí)，DQ最小，∵AB=8，OA=1，∴BQ=BO=8-1=7，∴DQ的最小值=BD-BQ=，故答案是：；②連接QE，BQ，過點(diǎn)Q作QM⊥BC，∵DC切⊙Q于點(diǎn)E，即：QE⊥CD，∴四邊形MCEQ是矩形，∴CM=QE=1，BM=5-1=4，在中，MQ=，∴CE=MQ=；（2）如圖：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，⊙O恰好過點(diǎn)C時(shí)，連接OC，設(shè)OC=OP=r，則OB=8-r，∴，解得：r=，∴當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)，r＞時(shí)，⊙Q在運(yùn)動(dòng)的過程中與BC邊始終沒有公共點(diǎn)；如圖：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，⊙Q恰好過點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q在CD上，連接OQ交BD于點(diǎn)M，則OQ垂直平分BD，∵cos∠BDC=，DM=，∴，解得：DQ=，∴r=CQ=AO=8-=，∴當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)，0＜r＜時(shí)，⊙Q在運(yùn)動(dòng)的過程中與BC邊始終沒有公共點(diǎn)，綜上所述：r＞或0＜r＜時(shí)，⊙Q在運(yùn)動(dòng)的過程中與BC邊始終沒有公共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，分類畫出圖形，添加輔助線，是解題的關(guān)鍵．32．（2023·江蘇省鹽城中學(xué)新洋分校九年級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，連接AC、BC，點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有∠QAB＝∠QCA．（1）求∠AQC的度數(shù)．（2）線段QA、QC、QB三者之間的數(shù)量關(guān)系為：，并說明理由．（3）若，求∠AQB的度數(shù)．答案：（1）135°；（2）AQ2+2QC2=BQ2，理由見詳解；（3）150°分析：（1）先證是等腰直角三角形，可得∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，進(jìn)而即可得到答案；（2）把CQ繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CQ’，連接QQ’，AQ’，則是等腰直角三角形，再證，∠AQQ’=135°-45°=90°，進(jìn)而即可得到答案；（3）設(shè)CQ=3x，AQ=，則QQ’=3x，從而得tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，結(jié)合，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，∴是等腰直角三角形，∴∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，∵∠QAB＝∠QCA，∴∠QCA+∠QAC=45°，∴∠AQC=180°-（∠QCA+∠QAC）=135°；（2）如圖：把CQ繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CQ’，連接QQ’，AQ’，則是等腰直角三角形，∴∠CQQ’=45°，QQ’=QC，∵∠QCQ’=∠ACB=90°，∴∠ACQ’=∠BCQ，又∵AC=BC，CQ=CQ’，∴，∴AQ’=BQ，∵∠AQC=135°，∴∠AQQ’=135°-45°=90°，∴AQ2+QQ’2=AQ’2，∴AQ2+2QC2=BQ2；（3）∵，∴設(shè)CQ=3x，AQ=，則QQ’=3x，∴tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，∴∠AQ’C=30°+45°=75°，∵，∴∠BQC=∠AQ’C=75°，∴∠AQB=360°-135°-75°=150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合以及全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．33．（2023·重慶一中九年級(jí)月考）如圖，在等腰中，，，垂足為，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使，以為底邊作等腰．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過作，垂足為，連接交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)為平面內(nèi)不與點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線與直線交于點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接并在的右側(cè)作且，連接，為邊上一點(diǎn)，，，當(dāng)取到最小值時(shí)，直線與直線交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的面積．答案：(1)；(2)見解析；(3)分析：(1)過E點(diǎn)作EH⊥AD于H點(diǎn)，在等腰Rt△ABC中求出，再結(jié)合已知條件∠ADE=30°求出，最后即可求出進(jìn)而求