四川省樂山七中學2025屆九上數學期末經典模擬試題含解析

四川省樂山七中學2025屆九上數學期末經典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，直線，等腰的直角頂點在上，頂點在上，若，則（）A．31° B．45° C．30° D．59°2．下列標志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）.A． B．C． D．3．已知m是方程的一個根，則代數式的值等于（）A．2005 B．2006 C．2007 D．20084．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝35°，那么∠BAD等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°5．如圖，正方形的面積為16，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知正比例函數y1的圖象與反比例函數y2圖象相交于點A(2,4)，下列說法正確的是（A．反比例函數y2的解析式是B．兩個函數圖象的另一交點坐標為(2,-4)C．當x<-2或0<x<2時，yD．正比例函數y1與反比例函數y2都隨7．已知反比例函數y=kx的圖象經過點P（﹣2，3A．（﹣1，﹣6） B．（1，6） C．（3，﹣2） D．（3，2）8．下列式子中表示是關于的反比例函數的是（）A． B． C． D．9．下列是一元二次方程的是（）A． B． C． D．10．運動會的領獎臺可以近似的看成如圖所示的立體圖形，則它的左視圖是（）A． B．C． D．11．若一次函數的圖像經過第一、二、四象限，則下列不等式中總是成立的是（）A． B． C． D．12．如圖，為的直徑，點為上一點，，則劣弧的長度為（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．一個半徑為5cm的球形容器內裝有水，若水面所在圓的直徑為8cm，則容器內水的高度為_____cm．14．若銳角滿足，則__________．15．山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城鄉(xiāng)獨具地方風味的面食名吃，為山西四大面食之一．將一定體積的面團做成拉面，面條的總長度與粗細（橫截面面積）之間的變化關系如圖所示（雙曲線的一支）．如果將這個面團做成粗為的拉面，則做出來的面條的長度為__________．16．邊心距為的正六邊形的半徑為_______．17．如圖，一次函數與反比例函數的圖象分別是直線和雙曲線．直線與雙曲線的一個交點為點軸于點，則此反比例函數的解析式為_______________.18．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－3＝0的兩個實數根，則x1＋x2＝____．三、解答題（共78分）19．（8分）甲、乙兩名同學玩一個游戲：在一個不透明的口袋中裝有標號分別為1，2，3，4的四個小球(除標號外無其它差異)．從口袋中隨機摸出一個小球，記下標號后放回口袋中，充分搖勻后，再從口袋中隨機摸出一個小球，記下該小球的標號，兩次記下的標號分別用x、y表示．若為奇數，則甲獲勝；若為偶數，則乙獲勝．請你運用所學的概率的相關知識通過計算說明這個游戲對甲、乙雙方是否公平．20．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線（）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），經過點A的直線l：與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數表達式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；（3）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．21．（8分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，且拋物線經過B(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點A．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸直線上找一點M，使點M到點B的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；（3）如圖2，點Q為直線AC上方拋物線上一點，若∠CBQ=45°，請求出點Q坐標.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知，.（1）如圖1，求的值.（2）把繞著點順時針旋轉，點、旋轉后對應的點分別為、.①當恰好落在的延長線上時，如圖2，求出點、的坐標.②若點是的中點，點是線段上的動點，如圖3，在旋轉過程中，請直接寫出線段長的取值范圍.23．（10分）已知：如圖，在四邊形中，，，垂足為，過點作，交的延長線于點.（1）求證：四邊形是平行四邊形（2）若，，求的長24．（10分）“一帶一路”為我們打開了交流、合作的大門，也為沿線各國在商貿等領域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首屆中國國際進口博覽會在國家會展中心（上海）舉辦，據哈外貿商會發(fā)布消息，博覽會期間，哈Paseka公司與重慶某國際貿易公司簽訂了供應蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重慶某國際貿易公司供給優(yōu)質蜂蜜共3000萬件，該公司順應新時代購物流，打算分線上和線下兩種方式銷售．（1）若計劃線上銷售量不低于線下銷售量的25%，求該公司計劃在線下銷售量最多為多少萬件？（2）該公司在12月上旬銷售優(yōu)質蜂蜜共240萬件，且線上線下銷售單件均為100元/件．12月中旬決定線上銷售單價下調m%，線下銷售單價不變，在這種情況下，12月中旬銷售總量比上旬增加了m%，且中旬線上銷售量占中旬總銷量的，結果中旬銷售總金額比上旬銷售總金額提高了m%．求m的值．25．（12分）如圖，在直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸和軸正半軸上，點的坐標是，點是邊上一動點（不與點、點重合），連結、，過點作射線交的延長線于點，交邊于點，且，令，.（1）當為何值時，？（2）求與的函數關系式，并寫出的取值范圍；（3）在點的運動過程中，是否存在，使的面積與的面積之和等于的面積.若存在，請求的值；若不存在，請說明理由.26．如圖，在中，，，以為頂點在邊上方作菱形，使點分別在邊上，另兩邊分別交于點，且點恰好平分．（1）求證：；（2）請說明：．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】過點B作BD//l1，，再由平行線的性質即可得出結論．【詳解】解：過點B作BD//l1，則∠α=∠CBD．

∵，

∴BD//，

∴∠β=∠DBA,

∵∠CBD+∠DBA=45°，

∴∠α+∠β=45°,∵∴∠α=45°-∠β=31°.

故選A．【點睛】本題考查的是平行線的性質，根據題意作出輔助線，構造出平行線是解答此題的關鍵．2、B【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故選：B．【點睛】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．3、D【分析】由m是方程x2-2006x+1=0的一個根，將x=m代入方程，得到關于m的等式，變形后代入所求式子中計算，即可求出值．【詳解】解：∵m是方程x2-2006x+1=0的一個根，∴m2-2006m+1=0，即m2+1=2006m，m2=2006m?1，則=====2006+2=2008故選：D．【點睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．4、C【分析】根據題意可知、，通過與互余即可求出的值．【詳解】解：∵∴∵是的直徑∴∴故選：C【點睛】本題考查了圓周角定理，同弧所對的圓周角相等、并且等于它所對的圓心角的一半，也考查了直徑所對的圓周角為90度．5、B【分析】由于點B與點D關于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為F，此時，FD+FE=BE最小，而BE是等邊三角形ABE的邊，BE=AB，由正方形面積可得AB的長，從而得出結果．【詳解】解：由題意可知當點P位于BE與AC的交點時，有最小值．設BE與AC的交點為F，連接BD，∵點B與點D關于AC對稱∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面積為16∴AB=1∵△ABE是等邊三角形∴BE=AB=1．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是軸對稱中的最短路線問題，解題的關鍵是弄清題意，找出相對應的相等線段．6、C【解析】由題意可求正比例函數解析式和反比例函數解析式，由正比例函數和反比例函數的性質可判斷求解．【詳解】解：∵正比例函數y1的圖象與反比例函數y2的圖象相交于點∴正比例函數y1=2x∴兩個函數圖象的另一個角點為(-2,-4)∴A，B選項錯誤∵正比例函數y1=2x中，y隨x的增大而增大，反比例函數y2=8∴D選項錯誤∵當x<-2或0<x<2時，y∴選項C正確故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟練運用反比例函數與一次函數的性質解決問題是本題的關鍵．7、C【解析】先根據點（-2，3），在反比例函數y=k的圖象上求出k的值，再根據k=xy的特點對各選項進行逐一判斷．【詳解】∵反比例函數y=kx的圖象經過點（﹣2，3）∴k=2×3=-6，A.∵(-6)×(-1)=6≠-6，∴此點不在反比例函數圖象上；B.∵1×6=6≠-6，∴此點不在反比例函數圖象上；C.∵3×(-2)=-6，∴此點在反比例函數圖象上；D.∵3×2=6≠-6，∴此點不在反比例函數圖象上。故答案選：C.【點睛】本題考查的知識點是反比例函數圖像上點的坐標特點，解題的關鍵是熟練的掌握反比例函數圖像上點的坐標特點.8、C【解析】根據反比例函數的定義進行判斷．【詳解】解：A.是正比例函數，此選項錯誤；B.是正比例函數，此選項錯誤；C.是反比例函數，此選項正確；D.是一次函數，此選項錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的定義，重點是將一般式（k≠0）轉化為（k≠0）的形式．9、A【分析】用一元二次方程的定義，1看等式，2看含一個未知數，3看未知數次數是2次，4看二次項系數不為零，5看是整式即可．【詳解】A、由定義知A是一元二次方程，B、不是等式則B不是一元二次方程，C、二次項系數a可能為0，則C不是一元二次方程，D、含兩個未知數，則D不是一元二次方程．【點睛】本題考查判斷一元二次方程問題，關鍵是掌握定義，注意特點1看等式，2看含一個未知數，3看未知數次數是2次，4看二次項數系數不為零，5看是整式．10、D【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【詳解】解：由左視圖的定義知該領獎臺的左視圖如下：故選D．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，注意看不到的線用虛線表示．11、C【分析】首先判斷a、b的符號，再一一判斷即可解決問題．【詳解】∵一次函數y＝ax＋b的圖象經過第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，故A錯誤；，故B錯誤；a2＋b＞0，故C正確，a＋b不一定大于0，故D錯誤．故選：C．【點睛】本題考查一次函數與不等式，解題的關鍵是學會根據函數圖象的位置，確定a、b的符號，屬于中考?？碱}型．12、A【分析】根據“直徑所對圓周角為90°”可知為直角三角形，在可求出∠BAC的正弦值，從而得到∠BAC的度數，再根據圓周角定理可求得所對圓心角的度數，最后利用弧長公式即可求解．【詳解】∵AB為直徑，AO=4，∴∠ACB=90°，AB=8，在中，AB=8，BC=，∴sin∠BAC=，∵sin60°=，∴∠BAC=60°，∴所對圓心角的度數為120°，∴的長度=．故選：A．【點睛】本題考查弧長的計算，明確圓周角定理，銳角三角函數及弧長公式是解題關鍵，注意弧長公式中的角度指的是圓心角而不是圓周角．二、填空題（每題4分，共24分）13、2或1【分析】分兩種情況：（1）容器內水的高度在球形容器的球心下面；（2）容器內水的高度在球形容器的球心上面；根據垂徑定理和勾股定理計算即可求解．【詳解】過O作OC⊥AB于C，∴AC=BC=AB=4cm．在Rt△OCA中，∵OA=5cm，則OC3(cm)．分兩種情況討論：（1）容器內水的高度在球形容器的球心下面時，如圖①，延長OC交⊙O于D，容器內水的高度為CD=OD﹣CO=5﹣3=2(cm)；（2）容器內水的高度在球形容器的球心是上面時，如圖②，延長CO交⊙O于D，容器內水的高度為CD=OD+CO=5+3=1(cm)．則容器內水的高度為2cm或1cm．故答案為：2或1．【點睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．注意分類思想的應用．14、【分析】根據特殊角三角函數值，可得答案．【詳解】解：由∠A為銳角，且，∠A=60°，

故答案為：60°．【點睛】本題考查了特殊角三角函數值，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵．15、1【分析】因為面條的總長度y（cm）是面條粗細（橫截面面積）x（cm2）反比例函數，且從圖象上可看出過（0.05，3200），從而可確定函數式，再把x=0.16代入求出答案．【詳解】解：根據題意得：y=，過（0.04，3200）．

k=xy=0.04×3200=128，

∴y=（x＞0），

當x=0.16時，

y==1（cm），

故答案為：1．【點睛】此題參考反比例函的應用，解題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．16、8【分析】根據正六邊形的性質求得∠AOH=30°，得到AH=OA，再根據求出OA即可得到答案.【詳解】如圖，正六邊形ABCDEF，邊心距OH=，∵∠OAB=60°，∠OHA=90°，∴∠AOH=30°，∴AH=OA，∵，∴,解得OA=8，即該正六邊形的半徑為8，故答案為：8.【點睛】此題考查正六邊形的性質，直角三角形30度角的性質，勾股定理，正確理解正六邊形的性質是解題的關鍵.17、【分析】根據題意易得點A、B、D的坐標，再利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而可得點C坐標，然后根據待定系數法即可求得結果．【詳解】解：由已知，得，設一次函數解析式為，因為點A、B在一次函數圖象上，，解得：，則一次函數解析式是，因為點在一次函數圖象上，所以當時，，即，設反比例函數解析式為，∵點在反比例函數圖象上，則，所以，∴反比例函數解析式是．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式以及函數圖象上點的坐標特征，屬于基礎題型，熟練掌握待定系數法求解的方法是解題的關鍵．18、【分析】直接利用根與系數的關系求解．【詳解】解：根據題意得x1+x2═故答案為．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=，x1?x2=．三、解答題（共78分）19、公平，見解析【分析】畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】畫樹狀圖如圖所示，

由圖知共有16種等可能結果，其中為奇數的可能有8種，為偶數也有8種可能，故結果為奇數或偶數的概率都是，甲乙獲勝的概率相同，故游戲公平．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．20、（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐標為（1，）或（1，－4）．【分析】（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直線l經過點A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故點D的橫坐標為4，即有，得到，從而得出直線l的函數表達式；（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F，設E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面積的最大值為，而△ACE的面積的最大值為，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因為拋物線的對稱軸為，設P（1，m），然后分兩種情況討論：①若AD是矩形的一條邊，②若AD是矩形的一條對角線．【詳解】解：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直線l經過點A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標為4，∴，∴，∴直線l的函數表達式為；（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F，設E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面積的最大值為，∵△ACE的面積的最大值為，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴拋物線的對稱軸為，設P（1，m），①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一條對角線，則線段AD的中點坐標為（，），Q（2，），m＝，則P（1，8a），∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．綜上所述，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P的坐標為（1，）或（1，－4）．考點：二次函數綜合題．21、（1）；（2）當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為；（3）點.【分析】（1）根據對稱軸方程可得，把B、C坐標代入列方程組求出a、b、c的值即可得答案；（2）根據二次函數的對稱性可得A點坐標，設直線AC與對稱軸的交點為M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，為MB+MC的最小值，根據A、C坐標，利用待定系數法可求出直線AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得點M的坐標.（3）設直線BQ交y軸于點H，過點作于點，利用勾股定理可求出BC的長，根據∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函數可得CM=3HM，即可求出CM、HM的長，利用勾股定理可求出CH的長，即可得H點坐標，利用待定系數法可得直線BH的解析式，聯立直線BQ與拋物線的解析式求出交點坐標即可得點Q坐標.【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，∴，∵拋物線經過B(1，0)，C(0，3)兩點，∴，解得：，∴拋物線解析式為.（2）設直線AC的解析式為y=mx+n，∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，B（0，0），∴點A坐標為（-3，0），∵C（0，3），∴，解得：，∴直線解析式為，設直線與對稱軸的交點為，∵點A與點B關于對稱軸x=-1對稱，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此時的值最小，當時，y=-1+3=2，∴當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為.（3）如圖，設直線交軸于點，過點作于點，∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3，BC==，∴，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=，∴CM=3HM，∴BC=MB+CM=4HM=，解得：，∴CM=，∴CH==，∴OH=OC-CH=3-=，∴，設直線BH的解析式為：y=kx+b，∴，解得：，∴的表達式為：，聯立直線BH與拋物線解析式得，解得：（舍去）或x=，當x=時，y==，∴點Q坐標為（，）.【點睛】本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵.22、（1）;（2）①，②;（3）【解析】（1）作AH⊥OB，根據正弦的定義即可求解；（2）作MC⊥OB，先求出直線AB解析式，根據等腰三角形的性質及三角函數的定義求出M點坐標，根據MN∥OB，求出N點坐標；（3）由于點C是定點，點P隨△ABO旋轉時的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓，故根據點和圓的位置關系可知，當點P在線段OB上時，CP=BP-BC最短；當點P在線段OB延長線上時，CP=BP+BC最長．又因為BP的長因點D運動而改變，可先求BP長度的范圍．由垂線段最短可知，當BP垂直MN時，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以點P與M重合時，BP=BM最長，代入CP=BP+BC求CP的最大值．【詳解】（1）作AH⊥OB，∵，.∴H（3,5）∴AH=3,AH=∴==（2）由（1）得A（3,4），又求得直線AB的解析式為：y=∵旋轉，∴MB=OB=6,作MC⊥OB，∵AO=BO，∴∠AOB=∠ABO∴MC=MBsin∠ABO=6×=即M點的縱坐標為，代入直線AB得x=∴，∵∠NMB=∠AOB=∠ABO∴MN∥OB，又MN=AB=5，則+5=∴（3）連接BP∵點D為線段OA上的動點，OA的對應邊為MN∴點P為線段MN上的動點∴點P的運動軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓∵C在OB上,且CB=OB=3∴當點P在線段OB上時,CP=BP?BC最短;當點P在線段OB延長線上時,CP=BP+BC最長如圖3，當BP⊥MN時，BP最短∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5∴MN?BP=OB?yA∴BP===∴CP最小值=?3=當點P與M重合時，BP最大，BP=BM=OB=6∴CP最大值=6+3=9∴線段CP長的取值范圍為.【點睛】此題主要考查一次函數與幾何綜合，解題的關鍵是熟知待定系數法的運用、旋轉的性質、三角函數的應用.23、(1)詳見解析;(2)9【分析】(1)直接利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，進而得出答案；

(2)利用銳角三角函數關系得，設，，再利用勾股定理得出AE的長，進而求出答案．【詳解】(1)∵，，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；(2)∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴,∴，設，，∵，∴，即，解得：，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定以及銳角三角函數關系、勾股定理，正確得出是解題關鍵．2