24.1一元二次方程課件冀教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第二十四章一元二次方程24.1一元二次方程

一元二次方程的概念1.(2023·石家莊橋西區(qū)期中)下列方程中，是一元二次方程的是(

B

)A.4(

x

＋2)＝25B.2

x2＋3

x

－1＝0C.

x

＋

y

＝0D.

＝42.當(dāng)

m

時(shí)，關(guān)于

x

的方程(

m

－2)

x2＋

x

－2＝0是一元二次方程.【解析】由一元二次方程的概念，易知

m

－2≠0，解得

m

≠2.B≠2

123456789101112131415161718193.關(guān)于

x

的方程

x｜

k－1｜＋5

x

－3＝0是一元二次方程，則

k

的值為

?

?.【解析】由一元二次方程的概念，易知｜

k

－1｜＝2，解得

k

＝－1或3.－1

或3

12345678910111213141516171819

一元二次方程的一般形式4.一元二次方程4

x2＋1＝6

x

的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別

是(

C

)A.4，1，6B.4，6，1C.4，－6，1D.4，－6，－1【解析】4

x2＋1＝6

x

化為一般形式為4

x2－6

x

＋1＝0.∴一元二次方程4

x2＋1＝6

x

的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別

是4，－6，1.C123456789101112131415161718195.(2023·唐山古冶區(qū)期中)一元二次方程(

x

＋3)(

x

－1)＝2

x

－4化為一般

形式是(

D

)A.

x2－1＝0B.

x2－7＝0C.

x2＋4

x

＋1＝0D.

x2＋1＝0【解析】(

x

＋3)(

x

－1)＝2

x

－4.去括號(hào)，得

x2＋2

x

－3＝2

x

－4.移項(xiàng)，得

x2＋2

x

－2

x

－3＋4＝0，合并同類項(xiàng)，得

x2＋1＝0.D123456789101112131415161718196.一個(gè)關(guān)于

x

的一元二次方程，它的二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為2，

常數(shù)項(xiàng)為－3，則這個(gè)一元二次方程是

?.7.若一元二次方程2

x2－(

m

＋1)

x

＋1＝

x

(

x

－1)的一次項(xiàng)系數(shù)為－2，

則

m

的值為

?.【解析】2

x2－(

m

＋1)

x

＋1＝

x

(

x

－1).化為一般形式為

x2－

mx

＋1＝0.∵一次項(xiàng)系數(shù)為－2，∴－

m

＝－2，解得

m

＝2.3

x2＋2

x

－3＝0

2

12345678910111213141516171819

一元二次方程的根8.若關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－2

x

＋

m

＝0有一個(gè)根為1，則

m

的值為

(

B

)A.－1B.1C.－3D.3【解析】把

x

＝1代入方程

x2－2

x

＋

m

＝0，得1－2＋

m

＝0，解得

m

＝1.B123456789101112131415161718199.

已知關(guān)于

x

的一元二次方程(

a

－1)

x2－2

x

＋｜

a

｜－1＝0有一

個(gè)根為

x

＝0，則

a

＝

?.【解析】將

x

＝0代入(

a

－1)

x2－2

x

＋｜

a

｜－1＝0，得｜

a

｜－1＝0，

解得

a

＝±1.∵一元二次方程

a

－1≠0，∴

a

≠1.∴

a

＝－1.－1

12345678910111213141516171819

注意題干隱含條件，“一元二次方程”隱含“

a

－1≠0”，不能忘

記這個(gè)條件.思路點(diǎn)撥1234567891011121314151617181910.若

a

是方程

x2＋2

x

－1＝0的一個(gè)根，則2

a2＋4

a

－2024的值為

(

D

)A.2023B.－2023C.2022D.－2022【解析】∵

a

是方程

x2＋2

x

－1＝0的一個(gè)根，∴

a2＋2

a

－1＝0.∴

a2＋2

a

＝1.∴2

a2＋4

a

－2024＝2(

a2＋2

a

)－2024＝2－2024＝－2022.D12345678910111213141516171819

列一元二次方程11.某中學(xué)有一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃出

四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度，設(shè)

花帶的寬度為

xm，則可列方程為(

C

)CA.(30－

x

)(20－

x

)＝

×20×30B.30

x

＋2×20

x

＝

×20×30C.(30－2

x

)(20－

x

)＝

×20×30D.(30－2

x

)(20－

x

)＝

×20×301234567891011121314151617181912.某班共有

x

名同學(xué)，每名同學(xué)都分別給其他同學(xué)發(fā)了一條消息，這

樣一共產(chǎn)生272條消息.(1)列出關(guān)于

x

的方程；解：(1)由題意，得

x

(

x

－1)＝272.(2)將方程化為

ax2＋

bx

＋

c

＝0的形式，并指出

a

，

b

，

c

的值.解：(2)

x

(

x

－1)＝272.整理，得

x2－

x

－272＝0.則

a

＝1，

b

＝－1，

c

＝－272.12345678910111213141516171819

13.【教材第36頁(yè)習(xí)題B組第1題改編】關(guān)于

x

的方程(

a

－3)

x｜

a－1｜＋2

x

－3＝0是一元二次方程，則

a

的值為

?.【解析】∵關(guān)于

x

的方程(

a

－3)

x｜

a－1｜＋2

x

－3＝0是一元二次方程，∴

a

－3≠0且｜

a

－1｜＝2，解得

a

＝－1.－1

1234567891011121314151617181914.若關(guān)于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)的其中一根為

x

＝2023，則關(guān)于

x

的方程

a

(

x

＋2)2＋

bx

＋2

b

＋

c

＝0的根為

?.【解析】

a

(

x

＋2)2＋

bx

＋2

b

＋

c

＝0整理，得

a

(

x

＋2)2＋

b

(

x

＋2)＋

c

＝0.∵關(guān)于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)的其中一根為

x

＝

2023，∴關(guān)于

x

的方程

a

(

x

＋2)2＋

b

(

x

＋2)＋

c

＝0，其中一根為

x

＋2＝

2023，解得

x

＝2021.x

＝2021

1234567891011121314151617181915.已知一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0).(1)如果方程有一個(gè)根是1，那么

a

，

b

，

c

之間有什么關(guān)系？解：(1)將

x

＝1代入原方程，得

a

×12＋

b

×1＋

c

＝0，即

a

＋

b

＋

c

＝0.(2)如果方程有一個(gè)根是－1，那么

a

，

b

，

c

之間有什么關(guān)系？解：(2)將

x

＝－1代入原方程，得

a

×(－1)2＋

b

×(－1)＋

c

＝0，即

a

－

b

＋

c

＝0.(3)如果方程有一個(gè)根是0，那么方程的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)有什么特征？解：(3)將

x

＝0代入原方程，得

a

×0＋

b

×0＋

c

＝0，∴

c

＝0.12345678910111213141516171819思路點(diǎn)撥

此題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義.解此題的關(guān)鍵

是要掌握一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)中幾個(gè)特殊值的特殊形

式：當(dāng)

x

＝1時(shí)，

a

＋

b

＋

c

＝0；當(dāng)

x

＝－1時(shí)，

a

－

b

＋

c

＝0；當(dāng)

x

＝0

時(shí)，

c

＝0.1234567891011121314151617181916.根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于

x

的方程，并將其化為一元二次方程的一

般形式.(1)如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)之和為14cm，面積為24cm2，

求它的兩條直角邊的長(zhǎng)；

12345678910111213141516171819(2)有一個(gè)三位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，十位數(shù)字比百位數(shù)字

小2，三個(gè)數(shù)字的平方和的9倍比這個(gè)三位數(shù)小20，求這個(gè)三位數(shù).解：(2)設(shè)十位數(shù)字為

x

，則個(gè)位數(shù)字為

x

＋3，百位數(shù)字為

x

＋2，根據(jù)題意，得9[(

x

＋3)2＋

x2＋(

x

＋2)2]－[100(

x

＋2)＋10

x

＋(

x

＋3)]＝

－20，整理得27

x2－21

x

＋66＝0.1234567891011121314151617181917.一元二次方程

a

(

x2＋1)＋

b

(

x

＋2)＋

c

＝0化為一般式后為6

x2＋10

x

－1＝0，求以

a

，

b

為兩條對(duì)角線長(zhǎng)的菱形的面積.

12345678910111213141516171819

18.

定義：如果關(guān)于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)

滿足

b

＝

a

＋

c

，那么我們稱這個(gè)方程為“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是

.(填序號(hào))①

x2－4

x

＋3＝0；②2

x2＋

x

＋3＝0；③2

x2－

x

－3＝0.【解析】①

x2－4

x

＋3＝0.∵

a

＝1，

b

＝－4，

c

＝3，∴

a

＋

c

＝4≠

b

，則方程

x2－4

x

＋3＝0不是“完美方程”.③

12345678910111213141516171819②2

x2＋

x

＋3＝0.∵

a

＝2，

b

＝1，

c

＝3，∴

a

＋

c

＝5≠

b

，則方程2

x2＋

x

＋3＝0不是“完美方程”.③2

x2－

x

－3＝0.∵

a

＝2，

b

＝－