學(xué)案函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

【第一課時】

幾個函數(shù)模型的比較

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義。

2.區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及募函數(shù)增長速度的差異。

3.會選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實際問題。

4.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認識函數(shù)模型的作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點】

1.理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義。

2.區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及募函數(shù)增長速度的差異。

【教學(xué)過程】

一、情境引入

理財?shù)姆绞接泻芏?，如儲蓄、債券、股票、保險、外匯、基金、P2P等，因為不同的理財

方式有不同的特點，要選擇自己合適的理財方式，一定要了解理財產(chǎn)品的收益與風(fēng)險情況，根

據(jù)我們所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，并結(jié)合自己的經(jīng)濟實力和需求進行選擇，最好是多掌握一些理財知

識和科學(xué)的理財技巧。如果你需要理財?shù)脑挘氵x擇理財方式的依據(jù)是風(fēng)險低，相同時間內(nèi)收

益最大化。

問題函數(shù)與我們的日常生活聯(lián)系密切，不同的函數(shù)模型可以刻畫不同的自然現(xiàn)象，我們

怎樣選擇函數(shù)模型去擬合呢？

提示不同的函數(shù)，變化趨勢不同，我們根據(jù)實際問題選擇擬合效果較好的函數(shù)。

二、新知初探

比較三種函數(shù)模型的性質(zhì)，填寫下表：

數(shù)y=axy=logax

性質(zhì)Ca>l)(a>l)(?>0)

在（0,+oo）上的增

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

減性

隨X的增大逐漸變隨X的增大逐漸趨于

圖象的變化隨a值而不同

“陡”穩(wěn)定

增長速度的增長快于?的增長,y的增長快于log"的增長

增長后果當(dāng)X足夠大時，有>logtzX（〃>1）

拓展深化

［微判斷］

1.當(dāng)X增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是X的一次函數(shù)。（7）

2.一個好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合又能很好地推演和預(yù)測。（7）

3.函數(shù)y=logiX衰減的速度越來越慢。（7）

2

4.由于指數(shù)函數(shù)模型增長速度最快，所以對于任意x?R恒有a。/（a>l）。（x）

提示當(dāng)x趨于無窮大時a*〉%2（a>l）恒成立。

［微訓(xùn)練］

1.已知函數(shù)為y=l+2x,當(dāng)x減少1個單位時，y的變化情況是（）

A.y減少1個單位B.y增加1個單位

C.y減少2個單位D.y增加2個單位

解析結(jié)合函數(shù)y=l+2x的變化特征可知C正確。

答案C

2.下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（）

A.y=e%B.y=lnx

C.y=/D.y=e~x

解析結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及事函數(shù)的圖象變化趨勢可知A正確。

答案A

3.某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示。

時間1234

利潤（千元）23.988.0115.99

現(xiàn)構(gòu)建一個銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應(yīng)是下列函數(shù)中的（）

A.y=log2XB.y=2x

C.y—x^D.y=2x

解析逐個檢驗可得答案為B.

答案B

［微思考］

對數(shù)函數(shù)y=log?x（<7>1）,指數(shù)函數(shù)丁=出（a>l）與易函數(shù)丁=尤"（〃>0）在區(qū)間（0,+

oo）上都是增函數(shù)，哪個函數(shù)的增長速度最快？

提示在描述現(xiàn)實問題的變化規(guī)律時，常用“指數(shù)爆炸”、“直線上升”、“對數(shù)增長”

等術(shù)語表示指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長方式，當(dāng)x足夠大時,總有ax>x">logd（a>l）。

三、合作探究

題型一函數(shù)模型的增長差異

【例1】（1）下列函數(shù)中，增長速度最快的是（）

A.尸201少B.y=x2019

C.y=log20i9XD.y=2019x

（2）四個自變量yi,券，y3,/隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表:___________________

X151015202530

,yi226101226401626901

2321024327681.05X1063.36X1071.07X109

*2102030405060

24.3225.3225.9076.3226.6446.907

則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是。

解析（1）比較一次函數(shù)、募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，

故選A.

（2）以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化。從表格中可以看出，四個變量yi,券，券，>4

均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量”的增長速度最快，畫出

它們的圖象（圖略），可知變量券關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化。

答案（1）A（2）j2

規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和募函數(shù)增長差異的判斷方法

（1）根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進行判斷。

（2）根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和募函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升

的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)

函數(shù)。

【訓(xùn)練1】函數(shù)/（x）=2*和g（尤）=3x的圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A

(1)請指出圖中曲線Cl,C2分別對應(yīng)的函數(shù)；

(2)結(jié)合函數(shù)圖象，比較/(3),g(3),f(2021),g(2021)的大小。

解(1)G對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=3x,C2對應(yīng)的函數(shù)為/(x)=2%

(2)'：f(3)=8,g(3)=9,：.f(3)<g(3),

又/(4)>g(4),/.3<X2<4.

從圖象上可以看出，當(dāng)x>%2時，f(%)>g(x),."(2021)>g(2021)o

又g(2021)>g(3),：.f(2021)>g(2021)>g(3)>f(3)0

題型二函數(shù)模型的選取

【例2】科技創(chuàng)新在經(jīng)濟發(fā)展中的作用日益凸顯。某科技公司為實現(xiàn)9000萬元的投資

收益目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當(dāng)投資收益達到3000萬元時，按投資收

益進行獎勵，要求獎金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，獎金總

數(shù)不低于100萬元，且獎金總數(shù)不超過投資收益的20%o

(1)現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模型：①/1(x)=0.03%+8,②于3=08+200,③/Xx)=1001og2ox

+50,%e[3000,9000]o試分析這三個函數(shù)模型是否符合公司要求？

(2)根據(jù)(1)中符合公司要求的函數(shù)模型，要使獎金額達到350萬元，公司的投資收益

至少要達到多少萬元？

解(1)由題意符合公司要求的函數(shù)/(x)在[3000,9000]為增函數(shù)，

—X

且對VxG[3000,9000],恒有/(%)N100且/(龍)與。

①對于函數(shù)/(x)=0.03%+8,當(dāng)x=3000時，/(3000)=98<100,不符合要求；

②對于函數(shù)/(x)=08+200為減函數(shù)，不符合要求；

③對于函數(shù)/(x)=1001og2ox+50,%e[3000,9000],

顯然/(x)為增函數(shù)，且當(dāng)x=3000時，f(3000)>1001og2o20+50=150>100；又因為了

(x)<f(9000)

=1001og2o9000+50<1001og2ol60000+50=450；

而方具詈=600,所以當(dāng)x?[3000,9000]時，f(%)max^^o

所以/(X)巖恒成立；因此/(x)=1001og2ox+50為滿足條件的函數(shù)模型。

(2)S1001og2ox+50>350Mlog2ox>3,所以史8000,

所以公司的投資收益至少要達到8000萬元。

規(guī)律方法不同的函數(shù)增長模型的特點

對于函數(shù)模型選擇的問題，熟悉各種函數(shù)模型的增長特點是關(guān)鍵。一次函數(shù)模型的增長是

勻速的，二次函數(shù)模型是對稱的，一側(cè)增，一側(cè)減；指數(shù)型函數(shù)模型適合描述增長速度很快的

變化規(guī)律；對數(shù)型函數(shù)模型比較適合描述增長速度平緩的變化規(guī)律；募型函數(shù)模型介于指數(shù)型

函數(shù)模型和對數(shù)型函數(shù)模型之間，適合描述不快不慢的變化規(guī)律。

【訓(xùn)練2】某汽車制造商在2019年初公告：公司計劃2019年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛。

已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示：

年份201620172018

產(chǎn)量(萬)81830

如果我們分別將2016,2017,2018,2019年定義為第一、二、三、四年，現(xiàn)在你有兩個

函數(shù)模型：二次函數(shù)模型/(x)=a^+bx+c(存0),指數(shù)函數(shù)模型g(x)=0〃+c(存0,

b>0,^l)o哪個模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？

解建立生產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點(1,8),(2,18),(3,30)。

(1)構(gòu)造二次函數(shù)模型/(x)=a^+bx+c(存0),將點的坐標(biāo)代入，

(a+b+c=8,

可得|4a+20+c=18,

[9a+30+c=30,

解得a=Lb=7,c=0,

則/(x)=x2+lx,

故/(4)=44,與計劃誤差為1.

(2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a-bx-\-c(存0,b>0,厚1),

{cib~\~c=8,

加+c=18,

ab3ji-c=30,

解得b=三,c=—42,

則g（X）=號、3：—42,

4

故g（4）=*（1）—42=44.4,與計劃誤差為1.4.

由（1）（2）可得/（x）=?+7x模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系。

四、課堂總結(jié)

1.通過對函數(shù)增長模型的選取，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

2.四類不同增長的函數(shù)模型

（1）增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型。

（2）增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型。

（3）增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)型函數(shù)模型。

（4）增長速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是募函數(shù)模型。

3.函數(shù)模型的應(yīng)用

（1）可推演原則：建立模型一定要有意義，既能作理論分析又能計算、推理且能得出正

確結(jié)論。

（2）反映性原則：建立模型應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的

功能，能回到具體問題中解決問題。

五、課堂練習(xí)

1.三個變量”，/2,中隨著變量X的變化情況如下表所示:________

X1357911

州5135625171536456655

529245218919685177149

56.106.616.9857.27.4

則關(guān)于X分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、募函數(shù)變化的變量依次為（）

A.yi,券，*B./，yi，/

C.2，/，yiD.yi,券，yi

解析通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)函數(shù)

的增長速度越來越慢，變量/隨X的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快，變量第

隨X的變化符合此規(guī)律；募函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間，變量V隨X的變

化符合此規(guī)律。故選C.

答案C

2.下列函數(shù)中增長速度越來越慢的是（

A.y=6xB.y=log6X

D.y=6x

解析D增長速度不變，A,C增長速度越來越快，只有B符合題意。

答案B

3.下列選項是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看更為有前

途的生意是（填序號）。

①y=10xl.05t@y=2Q+x1-5；

③y=30+lg（x-1）；④y=50.

解析增長速度最快的函數(shù)為y=10x1.05\故選①。

答案①

4.現(xiàn)測得（x,j）的兩組對應(yīng)值分別為（1,2）,（2,5）,現(xiàn)有兩個待選模型：甲：j=x2

+L乙:y=3x-l,若又測得（x,y）的一組對應(yīng)值為（3,10.2）,則應(yīng)選用作為函

數(shù)模型。

解析將x=3分別代入y=N+l及y=3x—1中，得y=32+l=10,y=3x3—1=8.由

于10更接近10.2,所以選用甲模型。

答案甲

5.某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在

生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨生源利潤x（單位：

萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%?，F(xiàn)有三個獎勵

模型：y=0.2x,y=log5%,y=L02%,其中哪個模型符合該校的要求？

解作出函數(shù)y=3,y=0.2x,y=log5x,y=l.02工的圖象（如圖所示）。

觀察圖象可知，在區(qū)間［5,60］上，y=Q.2x,y=l.028的圖象都有一部分在直線尸3的上

方，只有y=log5X的圖象始終在y=3和y=0.2x的下方，這說明只有按模型y=log5X進行獎勵

才符合學(xué)校的要求。

，產(chǎn)0.2%產(chǎn)1.()21

-Tj=】Og5”

51()2030405060

【第二課時】

函數(shù)的實際應(yīng)用

【教學(xué)目標(biāo)】

1.會利用已知函數(shù)模型解決實際問題。

2.能建立函數(shù)模型解決實際問題。

3.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認識函數(shù)模型的作用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等

素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點】

會利用已知函數(shù)模型解決實際問題。

【教學(xué)過程】

一、情境引入

愛因斯坦說過，復(fù)利的威力比原子彈還可怕。若每月堅持投資100元，40年之后將成為

百萬富翁。也就是說隨著變量的增長，指數(shù)函數(shù)值的增長是非常迅速的，可以根據(jù)這一特點來

進行資金的管理。例如，按復(fù)利計算利率的一種儲蓄，本金為。元，每期的利率為廣，設(shè)本利

和為》存期為x,那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要寫出本利和y關(guān)于存期x的

函數(shù)式。假設(shè)存入的本金為1000元，每期的利率為2.25%o

問題五期后的本利和是多少？

提示解決這一問題，首先要建立一個指數(shù)函數(shù)關(guān)系式，即y=a(1+r)x,將相應(yīng)的數(shù)

據(jù)代入該關(guān)系式就可得到五年期的本利和。

二、新知初探

常見的函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)模

y=kx-\-bCk,~為常數(shù)，片0）

常型

用(2)二次函數(shù)模

y=ax1-\-bx+c（Q,b,c為常數(shù)，〃加）

函型

數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)模

y=bax+c（a,b,c為常數(shù)，厚0,〃>0且存1）

模型

型(4)對數(shù)函數(shù)模

y=mlog）ax+n（m,a,"為常數(shù),〃>0且aRl）

型

（5）募函數(shù)模型y=axn-\~b(a,b為常數(shù),存0)

（6）分段函數(shù)模f(x)(x<m),

尸

型(x)(x>m)

2.解決實際問題的一般程序：

實際問題一建立數(shù)學(xué)模型-求解數(shù)學(xué)模型-解決實際問題

拓展深化

［微判斷］

1.實際問題中兩個變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系。（X）

提示兩個變量之間可以有關(guān)系，但不一定是確定的函數(shù)關(guān)系。

2.函數(shù)模型中，要求的定義域只需使函數(shù)式有意義。（x）

提示函數(shù)模型中定義域必須滿足實際意義。

3.用函數(shù)模型預(yù)測的結(jié)果和實際結(jié)果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了。（x）

提示擬合函數(shù)預(yù)測的結(jié)果近似的符合實際結(jié)果即可。

4.利用函數(shù)模型求實際應(yīng)用問題的最值時，要特別注意取得最值時的自變量與實際意義

是否相符。2

［微訓(xùn)練］

1.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間/變化的圖象如圖所示，那么圖象所對

應(yīng)的函數(shù)模型是（）

A.分段函數(shù)B.二次函數(shù)

C.指數(shù)函數(shù)D.對數(shù)函數(shù)

答案A

2.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為》

則x,y的函數(shù)關(guān)系是（）

A.y=0.9576i0°B.y=（0.9576）100-r

<0.9576VD上

C100J-y=1-0,0424100

答案A

3.2014年我國人口總數(shù)約為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%,則預(yù)計

年我國人口將首次超過20億(1g2-0.3010,1g3-0.4771,1g7-0.845Do

解析設(shè)x年我國人口將超過20億，由已知條件得14(1+1.25%)廠2。14>20,x-2

1叼1—1g7

OlAfQ［產(chǎn)28.7,則x>2042.7,即x最小為2043?

olr41g3—31g2—1

答案2043

［微思考］

在募函數(shù)模型的解析式中，n的正負如何影響函數(shù)的單調(diào)性？

提示當(dāng)x>0,〃>0時，函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是上升的，在(0,+oo)上為增函數(shù);

當(dāng)x>0,〃<0時，函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是下降的，在(0,+oo)上為減函數(shù)。

三、合作探究

題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型

［例1］某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一臺該儀器需要增加投

入100元，已知總收入滿足函數(shù)：

400x—x2,0<%<200,xGN,

H(%)=\

.40000,x>200,xGN,

其中x是儀器的月產(chǎn)量。

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)(用/(x)表示)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，車間所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收入=總成本+

利潤)

解(1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為/=10000+100x。又/(x)=H(x)-t,

—f+300x—10000,0<x<200>x?N,

.../(x)=\

.30000—lOOx,x>200,x?N.

(2)當(dāng)g爛200時，f(x)=-(x—150)2+12500,

所以當(dāng)x=150時，有最大值12500；

當(dāng)x>200時，/(x)=30000—100x是減函數(shù)，

f(%)<30000-100x200<12500.

所以當(dāng)尤=150時，f(x)取最大值，最大值為12500.

所以每月生產(chǎn)150臺儀器時，利潤最大，最大利潤為12500元。

規(guī)律方法1.利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點

(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及

利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題。

(2)注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符。

2.應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點

(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏。

(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集。

(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論。

【訓(xùn)練1】在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)/(x)的邊際函數(shù)跖'(x)定義為孫(x)=/(x+1)-

/(x)。某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(x?N*)的收入函數(shù)為R(x)=

3000X-20%2(單位：元)，其成本函數(shù)為C(x)=500x+4000(單位：元)，利潤是收入與成

本之差。

(1)求利潤函數(shù)P(%)及邊際利潤函數(shù)MP(x);

(2)利潤函數(shù)尸(x)與邊際利潤函數(shù)MP(%)是否具有相同的最大值？

解(1)由題意知，%￡[1,100],且x《N*。

P(x)=R(x)-C(x)

=3000x-20x2-(500x+4000)

--20^+2500x-4000,

MP(尤)=P(尤+1)~P(尤)

=—20(%+l)2+2500(x+1)-4000-(—20/+2500x—4000)=2480-40%-

2

(2)P(x)=—2oj一爭+74125,當(dāng)x=62或x=63時，P(x)的最大值為74120

(元)。

因為MP(x)=2480—40x是減函數(shù)，當(dāng)x=l時，MP(x)的最大值為2440(元)。

因此，利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)不具有相同的最大值。

題型二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

【例2】科學(xué)研究表明：人類對聲音有不同的感覺，這與聲音的強度/(單位：瓦/平方

米)有關(guān)，在實際測量時，常用L(單位：分貝)來表示聲音強弱的等級，它與聲音的強度/

滿足關(guān)系式：L=01g￡(a是常數(shù))，其中7o=1x10-12瓦/平方米，如風(fēng)吹落葉沙沙聲的強度/=

IxlO-u瓦/平方米，它的強弱等級L=10分貝。

(1)已知生活中幾種聲音的強度如表：

聲音來源

風(fēng)吹落葉沙沙

聲音大小輕聲耳語很嘈雜的馬路

聲

強度/(瓦/平方米)IxlO-"IxlO-101X1CF3

強弱等級L(分貝)10m90

求a和機的值。

(2)為了不影響正常的休息和睡眠，聲音的強弱等級一般不能超過50分貝，求此時聲音

強度/的最大值。

解⑴將/o=1x10-12瓦/平方米，/=lxl0-ii瓦/平方米代入L=a-l看得

1X1Q-11

10=<7-lg=alglO=ana=10,

1x1012

-10

n,IxlO

貝U?=l0lg-=101g100=20今加=20.

1Xv1inUl2

(2)由題意得LW50,即后50,

Ix

得1際上定5,即T^El05=/WlX10-7,此時聲音強度/的最大值為10-7瓦/平方米。

ixiu1x

規(guī)律方法指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法

(1)指數(shù)函數(shù)模型：、=機〃(a>0且存1,*0),在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利

率、細胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示。

(2)對數(shù)函數(shù)模型：y=mlogax+c(加和，。>0且分1),對數(shù)函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系

式，然后利用對數(shù)的運算求解。

(3)指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實際

情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題，④得出結(jié)論。

【訓(xùn)練2】一片森林原來面積為跖計劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年

減少〃％,10年后森林面積變?yōu)槿珵楸Ｗo生態(tài)環(huán)境所剩森林面積至少要為原面積的?已知到

今年為止森林面積為拳A.

(1)求2％的值；

(2)到今年為止該森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多還能砍伐多少年？

解(1)由題意得a(1—p°/o)i°=/

即(1—p%)10=|,解得p%=l—

(2)設(shè)經(jīng)過加年森林面積為冷處

則a(1—p0/o)m=^^a,，得聆3解得機=5.故到今年為止，已砍伐了5

、\12

(3)設(shè)從今年開始，〃年后森林面積為怪入(l—p%)"

9當(dāng)a(1-/7%)"之］。，BP(1—p%)"N乎，

得Jn俱3，解得彷15,

故今后最多還能砍伐15年。

四、課堂總結(jié)

1.通過利用已知函數(shù)模型解決實際問題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；通過建立函數(shù)模型解決實

際問題，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

2.函數(shù)模型的應(yīng)用實例主要包括三個方面：

(1)利用給定的函數(shù)模型解決實際問題；

(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實際問題；

(3)建立擬合函數(shù)模型解決實際問題。

3.在引入自變量建立函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢

驗所得結(jié)果，必要時運用估算和近似計算，以使結(jié)果符合實際問題的要求。

五、課堂練習(xí)

1.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表:

則下面的函數(shù)關(guān)系式中擬合效果最好的是()

A.y=2x—1B.y=x1—1

C.y=2'-lD.y=1.5x2~2.5x+2

解析將數(shù)值代入各選項中，三個點均與D