高中數(shù)學題型全面歸納（學生版）：第二節(jié) 雙曲線及其性質

第二節(jié)雙曲線及其性質

考綱解讀

了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質.

命題趨勢探究

1.從內容上看，新課標高考主要考查雙曲線的定義、方程、離心率和漸近線等基礎知識,

側重考查基本量的計算.

2.從形式上看，以選做題和填空題為主，難度不大.

3.從能力上看，主要考查學生的運算和數(shù)形結合能力.

總體來看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，預測2019年高考出現(xiàn)解答題的可能

性不大，建議復習時把精力主要集中在選做題和填空題上即可.

知識點精講

一、雙曲線的定義

平面內與兩個定點居的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于閨居|）的點

的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為

MW耳I國=2a（0<2a<產閱）}

注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當2。=山時，點的軌跡是以片和尸2為端點的兩條射線；當2。=（）時，點的

軌跡是線段F,F2的垂直平分線.

（3）2a>忻用時，點的軌跡不存在.

在應用定義和標準方程解題時注意以下兩點：

u

①條件\F}F^>2a"是否成立；②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定a2,

/的值），注意/+/=。2的應用.

二、雙曲線的方程、圖形及性質

雙曲線的方程、圖形及性質如表10-2所示.

表10-2

焦點坐標片（一。,0）,「（GO）

片(0,—c),F2(0,C)

對稱性關于X,y軸成軸對稱，關于原點成中心對稱

頂點坐標4(一。,0),43，0)A}(0,a),A2(0,—a)

范圍N2Q

實軸、

實軸長為2a,虛軸長為》

虛軸

'l+:(e>1)

離心率V飛

22

令二一鼻=0=y=±—x,.yxa

漸近線方令一—7r=0=y=±丁x，

a~b~aa'b-b

程

焦點到漸近線的距離為b焦點到漸近線的距離為人

〉1,點（看,九）在雙曲線內

點和雙曲>1,點（%,%）在雙曲線內

/y2（含焦點部分）o2

線--------SK%（含焦點部分）

a2b1=1,點（尤0，%）在雙曲線上--------s

的位置關a2b2=1,點（X。,打）在雙曲線上

<1,點（%,九）在雙曲線外

系<1,點（%,%）在雙曲線外

共焦點的2222

雙曲線方-------r—=l(-?2<k<b2)—r------r—=l(-?2<k<b2)

a2+kb2-ka2+kb2-k

程

共漸近線

4-^-=A(2*O)y2x2

的雙曲線二—-0)

ab~ab~

方程

切線方程‘號—=1，（工0，》0）為切點yO）為切點

ab~a

對于雙曲線上一點（%,%）所在的切線方程，只需將雙曲線方程中/換為,

切線方程

）"換成）”便得.

T—=1，（玉），%））為雙曲線外一簧-等=1,（2。）為雙曲線外一

切點弦所ab

在直線方點

點

程

點（X。,>0）為雙曲線與兩漸近線之間的點

設直線與雙曲線兩交點為A(x「y),B(x2,y2),kAB=k.

則弦長|AB|=Ji+女2也_々I=Ji+*,|y-%1伏牛0),

弦長公式

|x,-X2|=7(X,+/)2_4X/2=■，其中"a"是消"y"后關于“X”

的一元二次方程的“一”系數(shù).

2b2

通徑通徑(過焦點且垂直于6鳥的弦)是同支中的最短弦,其長為上一

a

F

雙曲線上一點P(xQ,y0)與兩焦點K，尸2構成的APK2成為焦點三角形，

2b2

設=e,尸耳=小Pg=G，則cos6=l-----,

r\rl

。1.八sin。，2b2問為|,焦點在x軸上

=2gm6=—os/一匕|心1tM焦點在,軸上'

焦點三角

an2

形

VA

焦點三角形中一般要用到的關系是、I幺

,,\,一^8^(xo,yo)

r|P用-|P圖卜2a(2a>2c)r

<=+E|-|PE|sin4PE

［恒用2=|PE「+|P用2_2儼片|尸用cosqp61

等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線oa=人o離心率

等軸雙曲e=&o兩漸近線互相垂直O(jiān)漸近線方程為y=±xo方程可設為

線

/_J=縱幾w0)

題型歸納及思路提示

題型139雙曲線的定義與標準方程

思路提示

求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：

(1)在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a,h,c,即

利用待定系數(shù)法求方程.

(2)根據(jù)動點軌跡滿足的條件，來確定動點的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù),

即利用定義法求方程.

例10.11設橢圓G的離心率為持，焦點在x軸上且長軸長為26,若曲線上的點到橢

圓G的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線。2的標準方程為（）

22222222

A.=】B.泉-*=1C.左-%=1D.畝-白=1

變式1設命題甲：平面內有兩個定點片，尸2和一動點使得為定值,

命題乙：點M的軌跡為雙曲線，則命題甲是命題乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

變式212017課標3,理5】已知雙曲線C：二—與=1（a>0,b>0）的一條漸近線

ab"

方程為y=乎》,且與橢圓三+q=1有公共焦點，則c的方程為

029

XX"XX

A.=1B._z.=1C._z.=1D..Ji

10'T5-4'T3

變式3已知M(-2,0),N(2,0),動點P滿足1PMi-歸川=2近，記動點的P軌跡為W,

求卬的方程.

例10.12求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：

(1)經過點(一5,2),焦點為(遙,0)；

22

(2)實半軸長為2若且與雙曲線三-匚=1有公共焦點;

164

(3)經過點P(3,2j7),(—60,7).

變式1根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：

r2V2

(1)與雙曲線^--L=1有共同的漸近線，且過點(_3,3百r-)；

916

22

(2)與雙曲線^-一匕=1有公共焦點；且過點(3底,2).

164

變式2若動圓M與圓G：(x+3y+y2=9外切，且與圓：(x-3y+y2=1內切,

求動圓M的圓心M的軌跡方程.

例10.13已知雙曲線的離心率為2,焦點分別為(-4,0),(4,0),則雙曲線方程為()

92222922

A.三-21=1B.-----=1C.二-匯=1D.二-±=1

412124106610

工2v2L

2

變式1已知雙曲線二一T=1（。>0/>0）的一條漸近線方程為丁=瓜，一個焦點在

CTb~

拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為（)

，V122

A二_zi=i

-'囁1B.--------=1C.D.二-j

92710836279

變式2已知雙曲線2r=1的焦距為10,點。（2,1）在C的漸近線上，則。的方程

ah~

為（）

92222922

A.二-t=1

B.±-±=1C.二-jD.L-匕=1

20552080202080

1y2

x2

變式3已知點P（3,-4）是雙曲線-y—T=1（。>0,〃>0）漸近線上的一點，E,F是左、

ab

右兩個焦點，若EP?FP=0,則雙曲線的方程為（)

9922

匕=1D.L-±=1

A..E2iC.—

34B43=1916169

題型140雙曲線的漸近線

思路提不

掌握雙曲線方程與其漸近線方程的互求；由雙曲線方程容易求得漸近線方程；反之，由

漸近線方程可得出。，匕的關系式，為求雙曲線方程提供了一個條件.另外，焦點到漸近線

的距離為虛半軸長

22

例10.14雙曲線二=-1的漸近線方程為（）

24

A.y=±y/2xB.v=±2xC.y=土去D.y=±—x

-2

2

x

變式112016高考天津理數(shù)】已知雙曲線-------=1(￡?0),以原點為圓心，雙曲線的實

4b-

半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于48、C、。四點，四邊形的A8CD

的面積為2b,則雙曲線的方程為（）

（A）二.⑹匚叱=1(「)%2V=1（D）v

vc>-------

44434b2

X2y2

變式2【2017天津，理5）已知雙曲線方=1（。>0/>0）的左焦點,為尸，離心率

a

為JL若經過尸和P（0,4）兩點的直線平行于雙曲線的L條漸近線，則雙曲線的方程為

22222222

(A)^-21=1(B)土一上=1(C)三-工=1(D)三-上=1

44884884

變式3已知雙曲線與-2=IS>0）的左、右焦點分別為環(huán)，工，其中一條漸近線方程

為丁=%,點P（g,y0）在該雙曲線上，則麗?麗等于（）

A.-12B.-2C.0D.4

例10.15雙曲線日--絲=1的一個焦點到其漸近線的距離是________.

169—

變式1雙曲線-一匕?=1的漸近線與圓（X—3）2+>2=產0>0）相切，貝|]r=（）

63

A.V3B.2C.3D.6

2

變式2已知雙曲線0=l（a>0,b>0）的兩條漸近線均和圓

C:x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為

)

22222227

A.二-jB.二-jC.二-jD,工-匯=1

54453663

例10.16過雙曲線「一A=1（。>0/>0）的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙

ab~

曲線的兩條漸近線的交點分別為3,C,若蠢=工反,作為雙曲線的漸近線方程為

2

變式1過雙曲線C：/—y2=i的右頂點A的直線/與雙曲線。的兩條漸近線交于p,Q

兩點，且西=2而，則直線/的斜率為.

22

變式2【2017山東，理14】在平面直角坐標系xOy中，雙曲線與-斗=1（。>0/>0）的右

支與焦點為尸的拋物線x2=2px（p>0）交于兩點，若恒目+忸目=4|。目，則該雙曲線

的漸近線方程為.

題型141離心率的值及取值范圍

思路提示

求離心率的本質就是探求。，。間的數(shù)量關系，知道a,b,c中任意兩者的等式關系

或不等關系便可求解出e或其范圍，具體方法為標準方程法和定義法.

例10.17已知雙曲線二一乙=1,則此雙曲線的離心率e為(

43

C.2^/2

變式1【2017課標II,理9］若雙曲線C：3—當=1(a〉0,匕>0)的一條漸近線被

圓(x-2y+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為()

B.A/3C.V2

變式2【2017課標1,理】已知雙曲線C：=1(a>0,b>0)的右頂點為A,以A

A-

為圓心，b為半徑作圓4圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.若NM4V=60。，則

C的離心率為

變式3已知雙曲線二+”=1的離心率ee（l,2）,則〃?的取值范圍是（）

4m

A.(-12,0)B.(-oo,0)C.(-3,0)D.(-60,-12)

例10.18已知雙曲線的漸近線方程是2x土y=0,則該雙曲線的離心率等于—

評注①若雙曲線方程為0-[=1（。>0乃〉0）時（焦點在x軸上），其漸近線方程為

ab

,b

y=±—x；

a

22

若雙曲線方程為j=l（a>0,b>0）時（焦點在y軸上），其漸近線方程為y=+-x；

a~b~b

②若雙曲線的漸近線方程為y=±立女>0）；則其離心率e=Jl+坊（焦點在x軸上）或

e=Jl+*（焦點在y軸上）；

③若雙曲線的離心率為e,則其漸近線方程為y=±J7二Tx（焦點在x軸上）或

y=±^—2-x（焦點在y軸上）.

22

變式1【2016高考新課標2理數(shù)】已知耳,居是雙曲線E:5-2=1的左，右焦點，點

a~b~

M在E上，MG與x軸垂直，sin/MKK=g，則E的離心率為（）

a

(A)A/2(B)-(C)V3(D)2

2

變式2若雙曲線2y=1（。>0力>0）的離心率6=若，則其漸近線方程為.

a~b

例10.19已知雙曲線J—2r=l（a>0,/?>0）.

a'b

（1）若實軸長，虛軸長，焦距成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率

（2）若實軸長，虛軸長，焦距成等比數(shù)列，則該雙曲線的離心率.

變式1設雙曲線的一個焦點為尸，虛軸的一個端點為8,如果直線與該雙曲線的一

條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是（）

A.41B.V3

c用1］）亞+1

'2-2

例10.20雙曲線「—鼻=1（。>0/>0）的左、右焦點分別為耳，工，過K作傾斜角為

ab

30。的直線交雙曲線右支于點M,若垂直于工軸，則雙曲線的離心率為（）

A.V6B.V3c?&D-T

r22

變式1已知大，居是雙曲線三一J=l（a>0/>0）的兩個焦點,M為雙曲線上的點,

。一b

若AMF2F}=30°,則雙曲線的離心率為（）

V3+1

A.V3-1B.—C.V3+1D.--------

22

X"v

變式2已知再，尸2是雙曲線F—的兩個焦點，P是C上一點，若

a-b"

\PFt\+\PF2\^6a,且APf；鳥的最小內角為30。，則。的離心率為.

例10.21雙曲線j—5=1(。>0力>0)的兩個焦點為片，F(xiàn),,若P為其上一點，且

a~b

|P制=2|。段，則雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+8)D.[3,+oo)

變式1已知雙曲線――A=l(a>02>0)的左、右焦點分別為6(―c,0),Q(c,0),若

ab

雙曲線上存在點P使sm-PF|.=a,則該雙曲線的離心率的取值范圍是____________

sinZPFjF,c

題型142焦點三角形

思路提示

對于題中涉及雙曲線上點到雙曲線兩焦點距離問題常用定義，即|忸制-|產鳥|=2。，

在焦點三角形面積問題中若已知角，則用梟色巴=^\PF]\-\PF2\sin0,\PF\-\PF^=2a

及余弦定理等知識；若未知角，則用梟?僅0|.

例10.22過雙曲線方--看=1左焦點g的直線交雙曲線的左支于兩點W,N,B為其

右焦點，則四用+|叫|一M用的值為.

變式1設p為雙曲線--二=i上的一點，片，工是該雙曲線的兩個焦點，若

12"

|P￡|:|P閭=3:2,則APEB的面積為（）

A.6A/3B.12

C.12V3D.24

變式2雙曲線亍-丁=1的兩個焦點為再,F2,點P在雙曲線上，APKF2的面積為目,

則麗?西等于（）

A.2B.V3C.-2D.-V3

變式3已知￡,工分別為雙曲線--絲=1左、右焦點，點AwC，點"的坐標為

927

(2,0),AM為NKAB的平分線，則k鳥|=.

最有效訓練題43（限時45分鐘）

1.已知雙曲線二一一匕=1,直線/過其左焦點居，交雙曲線左支于A,B兩點，且MW=4,

m7

工為雙曲線的右焦點，尸2的周長為20,則的值為（）

A.8B.9C.16D.20

r2

2.若點。和點尸（一2,0）分別為雙曲線?一）/=1（。＞0）的中心和左焦點，點尸為雙曲線

a

右支上的任意一點，則加?品的取值范圍為（）

A.13-2,\/3,+oo^B.^3+2^3,+oojD.，

4

3.已知片，尸2為雙曲線/一丁二2的左、右焦點，點P在。上，|P團=2|尸/訃則

COSZF1PF2=)

33

AB.C.D.A

-!545

x,22n2

4.若橢圓三+Ry=l（a＞。＞0）的離心率為券，則雙曲線'=1(。>0,8>0)的

漸近線方程為（）

B.y=±2xC.y=±4xD.y=±gx

A