2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專(zhuān)題精練壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)09三角形的全等和相似(壓軸突破)(原卷版+解析)

壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)09三角形的全等和相似壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編一、單選題1．如圖，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，，，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（）

A． B． C． D．3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．連接，若平分，且正方形的面積為3，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．154．如圖，在矩形紙片中，，對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過(guò)點(diǎn)折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為．再次展平，連接，．有下列結(jié)論：①；②與相似；③的長(zhǎng)為；④若，分別為線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)不包含端點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①③5．如圖1，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s．若點(diǎn)P、Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），的面積為y（），已知y與t之間的函數(shù)圖象如圖2所示．給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；②；③時(shí)，；④在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得是等腰三角形的P點(diǎn)一共有3個(gè)；⑤當(dāng)與相似時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤6．已知的一邊，另兩邊長(zhǎng)分別是3，4，若是邊上異于，的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)截，截得的三角形與原相似，滿(mǎn)足這樣條件的直線(xiàn)有（

）條A．4 B．3 C．2 D．17．已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，過(guò)的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長(zhǎng)可能為（

）A． B． C． D．8．如圖，以正方形的兩邊和為斜邊向外作兩個(gè)全等的直角三角形和，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)D作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，交于點(diǎn)L．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．7 D．二、填空題9．如果梯形的一條對(duì)角線(xiàn)把梯形分成的兩個(gè)三角形相似，那么我們稱(chēng)該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個(gè)直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長(zhǎng)為．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為4的等邊的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，與相似．11．如圖，中，，D，E分別是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于G，交于H．（1）；（2）當(dāng)和相似時(shí)，．12．如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，D、E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，連接．（1）的度數(shù)為；（2）當(dāng)時(shí)，和相似．13．如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若小正方形和大正方形的面積分別為49和289，則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為．14．如圖，中，，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段上以的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，則當(dāng)與全等時(shí)，v的值為．

15．如圖，，于A，于B，且，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)秒后，與全等．

16．如圖，我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理．若，，則圖中正方形的邊長(zhǎng)為．

三、解答題17．已知是矩形的邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，移動(dòng)點(diǎn)，使得．①求證：；②若，求證：．18．如圖，在等腰中，，為邊上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，連接，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，求的值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求證：．19．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)F是射線(xiàn)上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)P，，垂足為O，交射線(xiàn)于點(diǎn)Q，設(shè)．

(1)若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求的值；(2)若點(diǎn)Q在邊上，求的長(zhǎng)（用含有m的代數(shù)式表示）；(3)連接，若與相似，求的長(zhǎng)．20．閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．規(guī)定：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱(chēng)三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“2倍角三角形”，小康通過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．如圖，在中，所對(duì)的邊分別為，若，則．下面是小康對(duì)“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過(guò)程：證法1：如圖1，作的平分線(xiàn)，∴．

設(shè)，則．證法2：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，……

任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造出__________三角形來(lái)加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請(qǐng)補(bǔ)全證法2剩余的部分．壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)09三角形的全等和相似壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編一、單選題1．如圖，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，，，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知條件求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再證明為等腰直角三角形，連接BC，根據(jù)“三線(xiàn)合一”性質(zhì)求出，進(jìn)一步可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，且，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，連接BC，根據(jù)“三線(xiàn)合一”性質(zhì)可知，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：．故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查位似變換的性質(zhì)，正確理解位似與相似的關(guān)系，理解關(guān)于原點(diǎn)位似的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖示可知為公共邊，若想用判定證明和全等，必須添加．【詳解】解：∵，，∴，.，符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；.，不符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．連接，若平分，且正方形的面積為3，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．15【答案】A【分析】設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊是，短直角邊是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊是，短直角邊是，正方形的邊長(zhǎng)是，正方形的面積為3，，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，正方形的面積是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是求出直角三角形的直角邊的長(zhǎng)，由勾股定理即可解決問(wèn)題．4．如圖，在矩形紙片中，，對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過(guò)點(diǎn)折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為．再次展平，連接，．有下列結(jié)論：①；②與相似；③的長(zhǎng)為；④若，分別為線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)不包含端點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①③【答案】C【分析】①如圖，連接，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，推理出為等邊三角形，得到，于是得到，即結(jié)論①正確；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，，根據(jù)相似三角形的判定定理得到與相似，即結(jié)論②正確；③解直角三角形得到，即結(jié)論③錯(cuò)誤；④過(guò)作于交于，則此時(shí)的值最小，且，解直角三角形得到的最小值是.即結(jié)論④正確．【詳解】解:①如圖，連接，

垂直平分，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，．為等邊三角形，，，即結(jié)論①正確；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，，，，，，，與相似，即結(jié)論②正確；③，，，，即結(jié)論③錯(cuò)誤；④點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)作于交于，此時(shí)的值最小，且，，，，的最小值是即結(jié)論④正確；綜上分析可知，正確的是①②④，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用以及矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，還考查了折疊的性質(zhì)和應(yīng)用．5．如圖1，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s．若點(diǎn)P、Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），的面積為y（），已知y與t之間的函數(shù)圖象如圖2所示．給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；②；③時(shí)，；④在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得是等腰三角形的P點(diǎn)一共有3個(gè)；⑤當(dāng)與相似時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤【答案】D【分析】由圖2可知，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為段，故點(diǎn)到達(dá)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)到達(dá)，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分別分析各命題的正誤．【詳解】解：由圖可知，，，四邊形是矩形，，．，，．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，是等腰三角形，①正確；對(duì)于②，，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在處，，③正確；對(duì)于④，如圖，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于，當(dāng)點(diǎn)位于處時(shí)，是等腰三角形；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于，當(dāng)點(diǎn)位于處時(shí)，是等腰三角形；作的垂直平分線(xiàn)，交于，交于，當(dāng)點(diǎn)位于或處時(shí)，是等腰三角形．綜上，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得是等腰三角形的點(diǎn)一共有個(gè)，④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，是直角三角形，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，與相似，此時(shí)，，且，或，即或，解得或（舍去）．當(dāng)與相似時(shí)，，⑤正確．綜上可得，正確的有：①③⑤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，函數(shù)圖象與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．已知的一邊，另兩邊長(zhǎng)分別是3，4，若是邊上異于，的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)截，截得的三角形與原相似，滿(mǎn)足這樣條件的直線(xiàn)有（

）條A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由，另兩邊長(zhǎng)分別是3，4，可知△ABC是直角三角形，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)直角就可以．【詳解】解：如圖，∵，另兩邊長(zhǎng)分別是3，4，又∵，∴，即△ABC是直角三角形，∵過(guò)P點(diǎn)作直線(xiàn)截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，∴只要再作一個(gè)直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似，∴過(guò)點(diǎn)P可作AB的垂線(xiàn)、AC的垂線(xiàn)、BC的垂線(xiàn)，共3條直線(xiàn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其運(yùn)用，解題時(shí)運(yùn)用了兩角法（有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）來(lái)判定兩個(gè)三角形相似．7．已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，過(guò)的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長(zhǎng)可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊問(wèn)題，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根據(jù)題意可得這條剪痕可能是或邊的中線(xiàn)．分別根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)以及勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖，中，，，，，是直角三角形，且．過(guò)的某個(gè)頂點(diǎn)將該三角形剪成兩個(gè)小三角形，再將這兩個(gè)小三角形拼成，與不全等，這條剪痕可能是或邊的中線(xiàn)．如果這條剪痕是邊的中線(xiàn)，那么，，，；如果這條剪痕是邊的中線(xiàn)，那么，，，；這條剪痕的長(zhǎng)可能為．故選：C．8．如圖，以正方形的兩邊和為斜邊向外作兩個(gè)全等的直角三角形和，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)D作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，交于點(diǎn)L．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．7 D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，連接，，設(shè)，先證明四邊形是矩形，四邊形和均是矩形，可得，，再根據(jù)，可得四邊形是正方形，四邊形是正方形，從而得到，，，，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而得到，，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，連接，，根據(jù)題意得：，∴，，設(shè)，∵，，，∴，∴，∵四邊形是正方形，

∴，，，∴，，∴，，∴，同理，∴，∴，∴四邊形是矩形，同理四邊形和均是矩形，∴，∴，

∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，，同理四邊形是正方形，∴，∴，，，

∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，

∴，即，解得：或0（舍去），∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．如果梯形的一條對(duì)角線(xiàn)把梯形分成的兩個(gè)三角形相似，那么我們稱(chēng)該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個(gè)直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長(zhǎng)為．【答案】/【分析】根據(jù)“優(yōu)美梯形”的定義，得到，從而得到，，推出，算出，再根據(jù)勾股定理，得到、的長(zhǎng)，即可得到該直角梯形的周長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，為直角梯形，，，，，直角梯形是“優(yōu)美梯形”，，，，，，，，在中，，在中，，該梯形的周長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為4的等邊的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，連接CD、CE，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為時(shí)，與相似．【答案】或【分析】因?yàn)镈E∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE與△ACE相似分兩種情況分類(lèi)討論．【詳解】∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等邊三角形，則OD＝OE＝DE，設(shè)E（a，0），則OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4?a，∵△CDE與△ACE相似，分兩種情況討論：①當(dāng)△CDE∽△EAC時(shí)，則∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四邊形AEDC是平行四邊形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴4?a＝2a，∴，∴；②當(dāng)△CDE∽△AEC時(shí)，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD＋∠ECA＝180°?60°＝120°，又∵∠BDC＋∠BCD＝180°?∠B＝120°，∴∠BCD＋∠ECA＝∠BDC＋∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4?a）＝8?2a，∴，∴，∴．綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形，考慮分類(lèi)討論是本題的關(guān)鍵．11．如圖，中，，D，E分別是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于G，交于H．（1）；（2）當(dāng)和相似時(shí)，．【答案】或【分析】（1）過(guò)A作于M交于N，利用三角形相似和面積公式，結(jié)合矩形的判定和性質(zhì)計(jì)算即可．（2）根據(jù)三角形相似的判定和性質(zhì)，分類(lèi)計(jì)算即可．【詳解】(1)過(guò)A作于M交于N，∵，∴，∵D，E分別是邊的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．(2)∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)和相似時(shí)，①，∴，∴．②，∴，∴，∴，綜上所述，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線(xiàn)定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，D、E、F分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，連接．（1）的度數(shù)為；（2）當(dāng)時(shí)，和相似．【答案】/30度或【分析】（1）找的中點(diǎn)G，連接，根據(jù)為等邊三角形和，可證為等邊三角形，即可求出答案．（2）分兩種情況討論：①若，則，可證出四邊形是平行四邊形，即可求出答案；②若，則，利用銳角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：（1）找的中點(diǎn)G，連接，如圖所示，∵為等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；解：（2）由（1）知，∵是等邊三角形，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，①若，∴，則，∵，，∴四邊形是平行四邊形，是等邊三角形，∴，∵等邊的邊長(zhǎng)是4，則，∴，∴；②若，∴，則，∵，∴，∵等邊邊長(zhǎng)為4，則，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，掌握分類(lèi)討論思想是解題關(guān)鍵．13．如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若小正方形和大正方形的面積分別為49和289，則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為．【答案】3【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，同時(shí)也利用了完全平方公式和一元二次方程，綜合性強(qiáng)，能力要求高．解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)．設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接、，則四邊形為正方形，設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r，然后利用內(nèi)切圓和直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)已知條件得，，接著利用完全平方公式進(jìn)行代數(shù)變形，最后解關(guān)于r的一元二次方程即可．【詳解】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接、，，則四邊形為正方形，設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r，，，，，，而，①，小正方形和大正方形的面積分別為49和289，，，②，負(fù)值舍去，把代入①得，③，把③代入②中，得：，，負(fù)值舍去，直角三角形內(nèi)切圓的半徑為3，故答案為：14．如圖，中，，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段上以的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，則當(dāng)與全等時(shí)，v的值為．

【答案】或【分析】點(diǎn)P在線(xiàn)段上以的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，，因?yàn)椋瑒t再利用全等三角形的判定方法得到當(dāng)，時(shí)，，即，；當(dāng)，時(shí)，，即，，然后分別解方程即可．【詳解】解：運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，由題意得，，，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，，即，，解得，；當(dāng)時(shí)，，，即，，解得，；故當(dāng)與全等時(shí)，v的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．15．如圖，，于A，于B，且，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每秒鐘走，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)秒后，與全等．

【答案】6【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒鐘后與全等；則，，則，分兩種情況：①若，則，此時(shí)，；②若，則，得出，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵于A，于，∴，設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒鐘后與全等；則，，則，分兩種情況：①若，則，∴，，∴，∴；②若，則，解得：，∴，此時(shí)與不全等；綜上所述：運(yùn)動(dòng)6秒鐘后與全等；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法、解方程等知識(shí)；本題難度適中，需要進(jìn)行分類(lèi)討論．16．如圖，我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理．若，，則圖中正方形的邊長(zhǎng)為．

【答案】2【分析】根據(jù)題意可得，，則，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：由題意可得：，，∴，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，在中，，即，解得：，（舍），∴正方形的邊長(zhǎng)為2，故答案為：2．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用、解一元二次方程，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．已知是矩形的邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，移動(dòng)點(diǎn)，使得．①求證：；②若，求證：．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析【分析】（1）證明則．即可得到結(jié)論；（2）①證明及即可證明．②過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．證明，則，進(jìn)一步得到．根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到．證明四邊形是矩形，則，即可得到結(jié)論；此題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）在矩形中，，，，．；（2）①，，由（1）知，，∴．②過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．18．如圖，在等腰中，，為邊上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，連接，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，求的值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）本題考查三角形全等的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)的到邊相等角相等，結(jié)合即可得到證明；（2）本題考查三角形相似的性質(zhì)與判定，證明，結(jié)合三角形全等的性質(zhì)得到即可得到答案；（3）本題考查三角形相似的性質(zhì)與判定，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，先證，再證，即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵在等腰中，，，，，，；（2）解：由（1）知，，，，，為的中點(diǎn)，垂直平分，，在中，，，，，；（3）證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，，，由（1）可知，∴，∴，，由（2）可知，，，，，，即．19．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)是