2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)計數(shù)原理

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)計數(shù)原理目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

1.某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，內(nèi)科有5名男醫(yī)

生，4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名

女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會，則所有不同的

選派方案有（

）A.180種B.56種C.29種D.15種解析：

從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有3×3＝9種方案，

從內(nèi)科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有5×4＝20種方案，根據(jù)分步乘

法計數(shù)原理，該醫(yī)院總共有9×20＝180種不同的選派方案，故選A.2.畢業(yè)季，6位身高全不相同的同學(xué)拍照留念，站成前后兩排各三

人，要求每列后排同學(xué)比前排高的不同排法共有（

）A.40種B.20種C.180種D.90種

3.把5張不同的電影票分給4個人，每人至少一張，則不同的分法種數(shù)

為

?.

2405PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練兩個計數(shù)原理1.（2024·黃岡中學(xué)一模）甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾

數(shù)分別是0，0，2，1，5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定

（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通

行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車

最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（

）A.5B.24C.32D.64解析：

5日至9日，即5，6，7，8，9，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)

日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8

（種）；第二步安排偶數(shù)日出行分兩類：第一類，先選1天安排甲

的車，另外一天安排其他車，有2×2＝4（種）；第二類，不安排甲

的車，每天都有2種選擇，共有22＝4（種），共計4＋4＝8（種）.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為8×8＝64.2.如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域

只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有

（

）A.24種B.48種C.72種D.96種解析：

分兩種情況：①

A

，

C

不同色，先涂

A

有4種，

C

有3種，

E

有2種，

B

，

D

有1種，有4×3×2×1＝24（種）；②

A

，

C

同色，

先涂

A

，

C

有4種，再涂

E

有3種，

B

，

D

各有2種，有4×3×2×2＝48

（種）.故不同的涂色方法有48＋24＝72（種）.3.如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平

行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂

點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是

?.解析：一個長方體的面可以和它相對的面上的4條棱和兩條對角線

組成6個“平行線面組”，一共有6個面，共有6×6＝36（個）.長方

體的每個對角面有2個“平行線面組”，共有6個對角面，一共有

6×2＝12（個）.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有36＋12＝48（個）平

行線面組.484.由0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字可以組成

?個無重復(fù)數(shù)字

的四位偶數(shù).解析：要完成的一件事為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千

位數(shù)字不能為0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中的四個

數(shù)字不重復(fù).因此應(yīng)先分類，再分步.第1類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即

取1，3，5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0，2，4，6中的任意一

個，百位數(shù)字不能取與個位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能

取與個位、百位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，420不同的取法種數(shù)為3×4×5×4＝240.第2類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取

2，4，6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除千位數(shù)字外的任意一個偶數(shù)數(shù)字，百位數(shù)字不能取與個位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與個位、百位、千位數(shù)字重復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為3×3×5×4＝180.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為240＋180＝420.練后悟通1.利用兩個計數(shù)原理解決問題的一般步驟2.涂色問題常用的兩種方法簡單的排列與組合問題【例1】

（1）（2024·全國乙卷7題）甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀

物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共

有（

）A.30種B.60種C.120種D.240種

（2）（2024·新高考Ⅰ卷13題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝

術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選

修課至少選修1門，則不同的選課方案共有

種（用數(shù)字作

答）.64

解題技法1.對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析

法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限

制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用

間接法.2.組合問題常見的兩類題型（1）“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取

出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，

再從剩下的元素中去選??；（2）“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，

通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.

1.在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分

配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有

種（用數(shù)字作答）.

602.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成

4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，則共有

?種不同

的選法（用數(shù)字作答）.

660

排列與組合的綜合問題考向1

相鄰與相間問題【例2】

（2024·新高考Ⅱ卷5題）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成

一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方

式共有（

）A.12種B.24種C.36種D.48種

解題技法相鄰、相間問題的解題策略（1）求相鄰問題時，把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排

列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列；（2）對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的

元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.考向2

定序問題【例3】元宵節(jié)燈展后，懸掛的8盞不同的花燈需要取下，如圖所

示，每次取1盞，則不同的取法共有（

）A.32種B.70種C.90種D.280種

考向3

分組、分配問題【例4】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配

方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

解題技法1.分配問題屬于“排列”問題，要按排列模型求解；而分組問題屬于

“組合”問題，要按組合模型求解.區(qū)分是分組問題還是分配問題的

關(guān)鍵是看有無分配對象，若沒有分配對象，則為分組問題；若有確

定的分配對象，則為定向分配問題，否則，為不定向分配問題.

（3）對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中

元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)，這類問題

也有無序不平均分組和有序不平均分組兩種情形.

1.（多選）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的

是（

）A.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C.甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為72種D.甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有30種

2.（2024·滁州一中檢測）某學(xué)校安排4名老師到學(xué)校的兩個入口處進

行值班，每個入口至少需要1人，每人都必須參加，則安排的方法

總數(shù)為

?.

143.有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成

一行，要求從左到右，女生從矮到高排列（不一定相鄰），不同的

排法共有

種.

840PART3課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.（2024·齊齊哈爾模擬）“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食

是我國的傳統(tǒng)美德.已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷

菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并

全部吃完，則不同的選取方法有（

）A.13種B.22種C.30種D.60種解析：

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2×6×5＝60（種）不同的

選取方法，故選D.123456789101112131415161718192021222324252627282.夜市的一排攤位上共有9個鋪位，現(xiàn)有6家小吃類店鋪，3家飲料類

店鋪打算入駐，若要排出一個攤位規(guī)劃，要求飲料類店鋪不能相

鄰，則可以排出的攤位規(guī)劃總個數(shù)為（

）

3.某大廈有

A

，

B

，

C

，

D

四部電梯，現(xiàn)有3人在同一層乘坐電梯上

樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有（

）A.12種B.24種C.18種D.36種

4.（2024·新高考Ⅱ卷3題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，

用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部

兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）

5.（多選）下列等式正確的有（

）

6.（多選）現(xiàn)有4個數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7

人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是（

）A.選1人為負責(zé)人的選法種數(shù)為34B.每組選1名組長的選法種數(shù)為5400C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為

420D.若另有3名學(xué)生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組

必須有人選，則不同的選法有37種解析：

對于A，4個數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34

（人），故選1人為負責(zé)人的選法共有34種，A對；對于B，分四

步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名

組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040（種），B錯；對于

C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第

一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1

人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人，有8×9種不

同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第

三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法.所以不同的選法共有

7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（種），C錯；對于D，若不考慮限制條件，每個人都有4種選法，共有43＝64（種）

選法，其中第一組沒有人選，每個人都有3種選法，共有33＝27（種）

選法，所以第一組必須有人選的不同選法有64－27＝37（種），D對.7.男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同學(xué)排成一排拍照，要求男女

生相間且甲和乙相鄰，共有

種不同排法.

40

9.如圖所示的幾何體是由一個三棱錐

P

-

ABC

與三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1

組合而成的，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色（底面

A

1

B

1

C

1不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案種數(shù)

為（

）A.10B.12C.18D.24

10.（2024·北京模擬）在0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)中任取4個

數(shù)，將其組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除且比4351大的

數(shù)共有（

）A.54個B.62個C.74個D.82個

11.（多選）現(xiàn)有4個編號為1，2，3，4的不同的球和4個編號為1，

2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi).則下列說法正確的是

（

）A.恰有1個盒子不放球，共有72種放法B.每個盒子內(nèi)只放一個球，且球的編號和盒子的編號不同的放法

有9種C.有2個盒子內(nèi)不放球，另外兩個盒子內(nèi)各放2個球的放法有36種D.恰有2個盒子不放球，共有84種放法

12.《醫(yī)院分級管理辦法》將醫(yī)院按其功能、任務(wù)不同劃分為三個等

級：一級醫(yī)院、二級醫(yī)院、三級醫(yī)院.某地有9個醫(yī)院，