高中數(shù)學(xué)三維設(shè)計浙江專版必修1講義3．2　函數(shù)模型及其應(yīng)用

函數(shù)模型及其應(yīng)用

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

.電擊詼加力閘理■一課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P95?101,思考并完成以下問題

(1)函數(shù)y=k)g〃x(a>l)和>=/(">0)在(0,+8)上的單調(diào)性是怎樣的？

圖象的變化規(guī)律是什么？

(2)函數(shù)》=優(yōu)(“>1),y=log"X(a>l)和y=x"(">0)的增長速度有什么不同？

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的增長差異

一般地，在區(qū)間(0,+8)上，盡管函數(shù)v=lo&x(a>l)和v=x"(〃>0)都是增函數(shù),但它們

的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上.

隨著x的增大，尸砂(a>l)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=x"(">0)的增長速度，而j=

10gox(a>l)的增長速度則會越來越慢.

因此，總會存在一個xo,使得當(dāng)x>xo時，就有1?！旰?5(a>1,">0).

1.判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)比y=2"增長的速度更快些.()

(2)當(dāng)。>1,">0時，在區(qū)間(0,+8)上，對任意的x,總有l(wèi)ogdVx"V福成立.()

答案：(1)X(2)X

2.下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是()

A.j=exB.j=lnx

C.y=x2D.y=e~x

答案：A

3.某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價120元，則每天可售出20件，如果售出件

數(shù)是定價的一次函數(shù)，則這個函數(shù)解析式為

答案：y=-1x+50(0<x<200)

字課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

幾類函數(shù)模型增長差異的比較

［例1］四個變量乃，J2?山，%隨變量X變化的數(shù)據(jù)如表:

X151015202530

J1226101226401626901

J22321024327681.05X1063.36X1071.07X109

2102030405060

J424.3225.3225.9076.3226.6446.907

關(guān)于X呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是.

［解析I從表格觀察函數(shù)值以，J2,山,%的增加值，哪個變量的增加值最大，則該變量關(guān)于X呈指數(shù)

函數(shù)變化.

以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化.

從表格中可以看出，四個變量刈，J3,山均是從2開始變化，變量W，J2,山，力都是越來越大，

但是增長速度不同，其中變量及的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量以關(guān)于X呈指數(shù)函數(shù)

變化.故填山.

［答案］J2

常見的函數(shù)模型及增長特點

(1)線性函數(shù)模型

線性函數(shù)模型y=Ax+0(?>0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變.

(2)指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型y=/(a>l)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度

急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.

(3)對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型y=logM(a>l)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速

度平緩.

(4)賽函數(shù)模型

幕函數(shù)y=x"5>0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.

I活學(xué)活用］

1.有一組數(shù)據(jù)如下表：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.01

現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是()

A.P=log2^B.。=1。私

02/24

t2-1

C.v=2D.v=2t—2

解析：選C從表格中看到此函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，排除B,增長速度越來越快，排除A和D,選C.

______________________________________

［例2］某學(xué)校冊藏胞蟒酶源利潤目標(biāo)，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利

潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，

但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.2x,yfogsx,y=1.02。

其中哪個模型符合該校的要求？

［解］作出函數(shù)y=3,j=0.2x,j=logsx,y=l.02”的圖象(如圖所示).觀察圖象可知，在區(qū)間［5,60］

上，y=0.2x,y=l.02”的圖象都有一部分在直線j=3的上方，只有y=logsx的圖象始終在丁=3和y=0.2x

的下方，這說明只有按模型y=log5X進行獎勵才符合學(xué)校的要求.

不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準

(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律；

(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律；

(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；

(4)賽函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.

因此，需抓住題中蘊含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決實際問題.

［活學(xué)應(yīng)用］

2.某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴重，測得最近三年沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬

公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加值y萬公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式大致可以是()

A.y=0.2xB.j=j^(x2+2x)

.產(chǎn)而D.j=0.2+logi(>x

解析：選C對于A,x=l,2時，符合題意，x=3時，y=0.6,與0.76相差0.16;

對于B,x=l時，y=0.3;x=2時，y=0.8;x=3時，y=1.5,相差較大，不符合題意；

對于C,x=l,2時，符合題意，x=3時，_y=0.8,與0.76相差0.04,與A比較，符合題意;

對于D,x=l時，j=0.2;x=2時，j=0.45;x=3時，j^0.6<0.7,相差較大，不符合題意.

題型三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與塞函數(shù)模型的潑瑟

［例3］函數(shù)Hx)=2,和8(*)=好的圖象如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點4(X1，

Jl)?8(X2，J2)>且X1VX2.

(1)請指出圖中曲線Cl,C2分別對應(yīng)的函數(shù).

(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷八6),g(6),f(2016),g(2016)的大小.

［解］(1)6對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x\對應(yīng)的函數(shù)為/Cv)=2*.

(2)因為>/U)>g(l),-2)Vg(2),/(9)<g(9),/(10)>g(10),所以1VXIV2,9VX2<10,所以6Vx2,2

016>M.從圖象上可以看出，當(dāng)xiVxV*2時，/(x)Vg(x),所以/(6)Vg(6).當(dāng)x>*2時，Ax)>g(x),所以

A2016)>g(2016),又因為g(2016)>g(6),所以火2016)>g(2016)>g(6)>_A6).

［一題多變］

1.［變條件］若將本例中“函數(shù)兀0=2'"改為"八*)=3*"，又如何求解(1)呢？

解：由圖象的變化趨勢以及指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的增長速度可知：G對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x\C2對應(yīng)的

函數(shù)為<*)=3*.

2.［變設(shè)問］本例條件不變，(2)中結(jié)論若改為:試結(jié)合圖象，判斷八8),g(8),-015),g(2015)的大

解：因為_/U)>g(l)，｛2)Vg(2),#9)Vg(9),_/U0)>g(10),所以1VXIV2,9VMV10,所以不〈8〈必,

2015>口.從圖象上可以看出，當(dāng)xiVxVm時，A*)〈g(x),所以大8)Vg(8).

當(dāng)時，兀r)>g(x),

所以/(2015)>g(2015).

又因為g(2015)>g(8),所以人2015)>g(2015)>g(8)>/(8).

由圖象軻斷指數(shù)函數(shù)函數(shù)和尋函數(shù)的面右

根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和第函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自

變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù).

課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)

1.在一次數(shù)學(xué)試驗中，采集到如下一組數(shù)據(jù):

則x,y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？(其中a,b為待定系數(shù))(

A.y=a+bxB.y=a+bx

C.y=ax1+bD.J=a+-

解析：選B在坐標(biāo)系中描出各點，知模擬函數(shù)為y=a+Z>*.

2.下列函數(shù)中，隨著x的增大，增長速度最快的是()

B.j=1000x

C.j=0.4-2x

解析：選D指數(shù)函數(shù)^=爐，在時呈爆炸式增長，而且a越大，增長速度越快，選D.

3.某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越

04/24

慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用（）

A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)

C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)

解析：選D由于一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的增長不會后來增長越來越慢，只有對數(shù)函數(shù)的增

長符合.

4.有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：

Xi2345

y1.55.913.424.137

下列所給函數(shù)模型較適合的是（）

A.j=logaX（a>l）B.y=ar+仇。>1）

C.y=ax2+b（a>d）D.j=logox+/>（a>l）

解析：選C通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大，其增長速度越來越快，而A、D中的函數(shù)增長速度越來

越慢，而B中的函數(shù)增長速度保持不變，故選C.

5.yi=2x,yi=x2,j3=log2X,當(dāng)2Vxe4時，有（）

A.J1>J2>J3B.J2>J1>J3

C.J1>J3>J2D.J2>J3>J1

解析：選B在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個函數(shù)的圖象（圖略），在區(qū)間（2,4）內(nèi)，從上到下圖象

依次對應(yīng)的函數(shù)為垃=工2,yi=2x,j3=10g2X,故y2次1>%.

6.小明2015年用7200元買一臺筆記本.電子技術(shù)的飛速發(fā)展，筆記本成本不斷降低，每過一年筆

記本的價格降低三分之一.三年后小明這臺筆記本還值________元.

解析：三年后的價格為7200X,X衣於哼左.

7.函數(shù)y=x2與函數(shù)y=jdnx在區(qū)間（1,+8）上增長較快的一個是.

解析：當(dāng)x變大時，x比Inx增長要快，

.?.X2要比xlnX增長的要快.

答案：7=3

8.已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y=0（O.5），+兒現(xiàn)已知該廠今年1月、2

月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件.則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件.

1=aX0.5+瓦

解析：,.4=。（0.5尸+6,且當(dāng)x=l時，y=l,當(dāng)x=2時，y=1.5,則有?，解得

1.5=aX0.25+P,

[a=~2,

\b=2.

.?,j=-2X(0.5)x+2.

當(dāng)x=3時,y=-2X0.125+2=1.75(萬件).

答案：1.75

9.畫出函數(shù)大幻=正與函數(shù)g(x)=$2—2的圖象，并比較兩者在［0,+8)上的大小關(guān)系.

解：函數(shù)八X)與g(x)的圖象如圖所示.

根據(jù)圖象易得：

當(dāng)0WxV4時，貝x)>g(x);

當(dāng)x=4時，/(x)=g(x);

當(dāng)x>4時，貝x)Vg(x).

10.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示

為函數(shù)0=51og2品單位是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)求燕子靜止時的耗氧量是多少個單位；

(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？

解：(1)由題知，當(dāng)燕子靜止時，它的速度。=0,

代入題中所給公式可得：0=51og2告，解得。=10.

即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.

(2)將耗氧量。=80代入題給公式得：

80

v=510g2m=51og28=15(m/s).

即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度為15m/s.

層級二應(yīng)試能力達標(biāo)

1.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y

=人幻的圖象大致為()

yyy

/

1上上

Z0欠0Xo1?

BD

解析：選D設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為明由題意可得ox=a(l+0.104y,故y=logi.io4X(x'l),

函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y=/U)的圖象大致為D中圖象，故選D.

2.三個變量以，J2,%,隨著變量x的變化情況如下表：

X1357911

Jl5135625171536456655

J2529245218919685

山56.106.616.9857.27.4

則關(guān)于x分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)變化的變量依次為()

A.ji,yi,y3B.y2,yi,心

06/24

C.%，?，jiD.ji,%，yi

解析：選C通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)函數(shù)的增

長速度越來越慢，變量％隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長速度成倍增長，以隨x的變化符合此規(guī)

律；森函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間，以隨x的變化符合此規(guī)律，故選C.

3.四人賽跑，假設(shè)他們跑過的路程力(x)(其中后{1,2,3,4})和時間》(》>1)的函數(shù)關(guān)系分別是力(%)=必，

x

f2(x)=4x,力(x)=logM,fi(x)=2,如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()

A.fi(x)=x2B./>(x)=4x

x

C.力(x)=logMD.f4(x)=2

解析:選D顯然四個函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是啟x)

=2》,故選D.

4.以下四種說法中，正確的是()

A.幕函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快

B.對任意的x>0,x">logax

C.對任意的x>0,ax>log?x

D.不一定存在Xo,當(dāng)X>Xo時，總有0r>Jf">logaX

解析：選D對于A,施函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度受幕指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，幕指數(shù)與一次項

系數(shù)不確定，增長幅度不能比較；對于B、C,當(dāng)OVaVl時，顯然不成立.當(dāng)a>l,〃>0時，一定存在

xo,使得當(dāng)x>xo時，總有a、>x">log?x,但若去掉限制條件%>1,">0"，則結(jié)論不成立.

5.以下是三個變量山，J2,[3隨變量X變化的函數(shù)值表：

X12345678???

J1248163264128256???

J21491625364964???

011.58522.3222.5852.8073…

其中，關(guān)于X呈指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是.

解析：從表格可以看出，三個變量V,J2,”都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量)，1的增長

速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量力呈指數(shù)函數(shù)變化，故填刊.

答案：yi

6.生活經(jīng)驗告訴我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時間內(nèi)進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化,

在下圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應(yīng)_____；B對應(yīng)_____；C對應(yīng)______；D對應(yīng)______.

解析：A容器下粗上細，水高度的變化先慢后快，故與(4)對應(yīng)；B容器為球形，水高度變化為快一慢

一快，應(yīng)與(1)對應(yīng)；C,D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線型，但C容器細，D容器粗,

故水高度的變化為：C容器快，與(3)對應(yīng)，D容器慢，與(2)對應(yīng).

答案：(4)(1)(3)⑵

7.函數(shù)八*)=1.1*,g(x)=lnx+l,的圖象如圖所

指出各曲線對應(yīng)的函數(shù)，并比較三個函數(shù)的增長差異(以1,a,

為分界點).

解：由指數(shù)爆炸、對數(shù)增長、幕函數(shù)增長的差異可得曲線

函數(shù)是,八%)=1.1。曲線。2對應(yīng)的函數(shù)是A(X)=XR,曲線C3對

是g(x)=lnx+1.

由題圖知，當(dāng)XV1時，Hx)>Mx)>g(x);

當(dāng)lave時，a)>g(x)>人(%);

當(dāng)evxv〃時，g(x)>f(x)>h(x);

當(dāng)a<x<b時，g(x)>h(x)>f(x);

當(dāng)h<x<c時，h(x)>g(x)>f(x);

當(dāng)c<rvd時，Mx)》x)>g(x);

當(dāng)時，J(x)>h(x)>g(x).

I.點選做司

8.某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52,54,58.為了預(yù)測以后各月的患病人數(shù),

甲選擇了模型y=ax2+%x+c,乙選擇了模型y=pq「+r,其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,b,c,p,

q,/?都是常數(shù).結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66,82,115,你認為誰選擇的模型較好？

+c=52,

解：依題意，得，a-22+b-2+c=54,

_a-32+b-3+c=58,

pz+Z>+c=52,4=1,

解得付T,

MpS4a+2b+c=54,

|_9a+3力+c=58,

《=52,

z

所以甲：y\=x-x+529

(p-qx+r=52①，

又，p?k+r=54②，

[/?,^4^=58③，

②一①，得p?q2—p.qi=2,④

③一②，得p0—pq2=%⑤

⑤得q=2.

將q=2代入④式，得〃=1.

將q=2,p=1代入①式，得r=50,

X

所以乙：J2=2+50.

計算當(dāng)x=4時，刈=64,,2=66;

08/24

當(dāng)x=5時，ji=72,也=82;

當(dāng)x=6時，yi=82,也=114.

可見，乙選擇的模型較好.

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例

.電我豆*州段百課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P101?106,思考并完成以下問題

(1)一、二次函數(shù)的表達形式分別是什么？

⑵指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型的表達形式是什么？其中待定系數(shù)有哪些限制條件?

(3)解決實際問題的基本過程是什么？

幾類常見函數(shù)模型

名稱解析式條件

一次函

y=kx+b20

數(shù)模型

反比例函

y=x+b20

數(shù)模型

一般式：

y=ax2+bx+c

二次函

頂點式：勃2

數(shù)模型

4ac—b2

+4a

指數(shù)函?>0且aKL

y=b^+c

數(shù)模型京0

對數(shù)函a>0且蚌1,

y=mlogax+n

數(shù)模型rn^O

幕函數(shù)

y=axn+b畔0,n,l

模型

1.判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)在一次函數(shù)模型中，系數(shù)★的取值會影響函數(shù)的性質(zhì).()

(2)在塞函數(shù)模型的解析式中，a的正負會影響函數(shù)的單調(diào)性.()

答案：(1)J(2)7

2.某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費為：電動自行車0.3元獺，普通自行

車0.2元/輛.若該天普通自行車存車x輛次，存車費總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()

A.y=0.2x(04W4000)B.y=0.5x(00《4000)

C.j=-0.1x+l200(0^x^4000)D.y=0.1x+l200(0?4000)

答案：C

3.某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后

得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是()

A.y—2xB.尸2門

C.y=2xD.y=2x+l

答案：D

4.某物體一天內(nèi)的溫度7是時間，的函數(shù)7(f)=F—3f+60,時間單位是h,溫度單位為。C,f=0時

表示中午12：00,則上午8：00時的溫度為℃.

答案：8

字課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

二次函數(shù)模型

［例1］某商場經(jīng)營一批進價是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價x元與日銷售

量y件之間有如下關(guān)系：

銷售單價宜元)30404550

日銷售量y(件)6030150

(1)在所給坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x,y)對應(yīng)的點，并確定x與y的一個函數(shù)關(guān)系

式y(tǒng)=/U);

(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單

價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤.

［解］⑴如圖:

10/24

設(shè),人*)=丘+①

60=304+6,[k=~3,

則,解得

[30=40A+b,[*=150.

所以大x)=-3x+150,30WxW50,檢驗成立.

(2)P=(x-30)-(-3x+150)=-3x2+240x-4500,30WxM50.

240

因為對稱軸x=--Q^Q=40S[30,50],

所以當(dāng)銷售單價為40元時，所獲日銷售利潤最大.

OM?二次函數(shù)模型應(yīng)用題的4個步驟

(1)審題：理解題意，設(shè)定變量x,J.

(2)建模：建立二次函數(shù)關(guān)系，并注明定義域.

(3)解模：運用二次函數(shù)相關(guān)知識求解.

(4)結(jié)論：回歸到應(yīng)用問題中去，給出答案.

[活學(xué)活用]

1.據(jù)市場分析，煙臺某海鮮加工公司，當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時，月生產(chǎn)總成本y(萬元)可以看成

月產(chǎn)量x(噸)的二次函數(shù)；當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時，月總成本為20萬元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時，月總成本最低

為17.5萬元，為二次函數(shù)的頂點.

(1)寫出月總成本y(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系.

(2)已知該產(chǎn)品銷售價為每噸1.6萬元，那么月產(chǎn)量為多少時，可獲最大利潤？

解：⑴由題可設(shè)y=a(x-15)2+17.5,將x=10,y=20代入上式，

得20=25。+17.5.

解得a~W

所以y=0.1x2—3X+40(10WXW25).

(2)設(shè)最大利潤為Q(x),

則Q(x)=1.6x—j=L6x—(O.lx2-3x+40)

=-0.1(x-23產(chǎn)+12.9(10^x^25).

因為x=23G[10,25],

所以月產(chǎn)量為23噸時，可獲最大利潤12.9萬元.

分段函數(shù)模型

[例2]提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速

度。(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成

堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時.研究表明：當(dāng)

20WxW200時，車流速度。是車流密度x的一次函數(shù).

(1)當(dāng)0WxW200時，求函數(shù)o(x)的表達式；

(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位:輛/小時)/(x)=xMx)

可以達到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時)

［解］(1)由題意，當(dāng)0WxW20時,磯x)=60;

當(dāng)20Wx/200時，設(shè)“幻=如+兒

1

〃=一§,

200a+Z>=0,

再由已知得，,解得<

20a+6=60,「200

'=亍

故函數(shù)o(x)的表達式為

60,0&W20,

。(*)=<1

丁20()—x?,20<x^200.

(2)依題意并結(jié)合(1)可得

60x,0京xW20,

{x)=11

TX?200-X?,20cx《200.

當(dāng)0WxW20時，八x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為60X20=1200;

當(dāng)20Vx近200時，_/U)=；x(200—x)=—;(x-lOO"嗎叫W里號"當(dāng)且僅當(dāng)x=100時，等號成立.

所以，當(dāng)*=100時，/U)在區(qū)間(20,200］上取得最大值雪蛆.

綜上，當(dāng)x=100時，/U)在區(qū)間［0,200］上取得最大值弛羅打3333.

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點

建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一區(qū)間進行分類討

論，從而寫出函數(shù)的解析式.

［活學(xué)活用］

2.某醫(yī)療研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：y服藥后每

毫升血液中的含藥量y(jig)與時間f(h)之間近似滿足如圖所示的曲線.

(1)寫出服藥后y與f之間的函數(shù)關(guān)系式；硝行：

(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4pg時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥為上午

7：00,問一天中怎樣安排服藥時間(共4次)效果最佳？

(6t,00W1,

解：(1)依題意得?=

IV’WlO.

220

⑵設(shè)第二次服藥時在第一次服藥后fi小時，則一?i+寸=4,解得「4,因而第二次服藥應(yīng)在11:

12/24

00.

設(shè)第三次服藥在第一次服藥后打小時，則此時血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，即有一

；勿+普一孤一4)+號=4,解得打=9小時，故第三次服藥應(yīng)在16:00.

設(shè)第四次服藥在第一次服藥后辦小時S>10),則此時第一次服進的藥已吸收完，血液中含藥量應(yīng)為第

220220

二、第三次的和一副辦—4)+§一不白-9)+§=4,解得力=13.5小時，故第四次服藥應(yīng)在20:30.

題型三

［例3］一種放界踐斜颼觥窿為500g,按每年10%衰減.

(1)求f年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達式；

(2)由求出的函數(shù)表達式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1).

［解］(1)最初的質(zhì)量為500g.

經(jīng)過1年，w=500(l-10%)=500X0.9;

經(jīng)過2年，卯=520X0.92；

由此推知，r年后，w=500X0.9(.

(2)由題意得500X09=250,即

0.4=0.5,兩邊取以10為底的對數(shù)，得

lg0.9z=lg0.5,即fig0.9=lg0.5,

,"一lg0.9?

即這種放射性元素的半衰期為6.6年.

-OBO?-----------------

指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示.通常

可以表示為y=N(l+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式.

［活學(xué)活用］

3.某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為“，在今后機年內(nèi)，計劃使產(chǎn)量平均每年比上年增加0%.

⑴寫出產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式；

(2)若使年產(chǎn)量兩年內(nèi)實現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，求p.

解：(1)設(shè)年產(chǎn)量為y,年數(shù)為x,則y=a(l+p%尸，

定義域為{x|0式且xGN*}.

1.一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時間的經(jīng)營實踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格

與住房率之間有如下關(guān)系：

每間每天定價20元18元16元14元

住房率65%75%85%95%

要使收入每天達到最高，則每間應(yīng)定價為（）

A.20元B.18元

C.16元D.14元

解析：選C每天的收入在四種情況下分別為

20X65%X100=l300（元），18X75%X100=1350（元），16X85%X100=1360（元），14X95%X100

=1330（元）.

2.若等腰三角形的周長為20,底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為（）

A.y=20—2x（xW10）B.j=20—2x（x<10）

C.J=20-2X（5^X^10）D.j=20-2x（5<x<10）

解析：選D由題意，得2x+y=20,.,.j=20-2x.Vj>0,.\20-2x>0,...xV10.又1?三角形兩邊

2x>y,

之和大于第三邊，二，解得x>5,.\5<x<10,故選D.

[y=2d—2x,

3.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y=

（4x,14W10,xGN,

Jlx+lO,10<x<100,xGN,其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60,則該公

[1.5x,x^lOO,xGN,

司擬錄用人數(shù)為（）

A.15B.40C.25D.130

解析：選C若4x=60,則x=15>10,不合題意；若2x+10=60,則x=25,滿足題意；若1.5x=

60,則x=40V100,不合題意.故擬錄用25人.

4.某種動物的數(shù)量y（單位：只）與時間x（單位：年）的函數(shù)關(guān)系式為^=。1082（X+1）,若這種動物第1

年有100只，則第7年它們的數(shù)量為（）

A.300只B.40（）只

C.500只D.600只

解析：選A由題意，知100=alog2（l+l）,得a=l（）0,則當(dāng)x=7時，j=1001og2（7+l）=100X3=

300.

5.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本（單

位：萬元）為C（x）=52+2x+20.已知1萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商

品數(shù)量為（）

A.36萬件B.22萬件

C.18萬件D.9萬件

解析：選C?.?利洞L（x）=20x-C（x）=一;（*-18/+142,.,.當(dāng)x=18時，L（x）取最大值.

6.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)

14/24

生產(chǎn)〃年的累計產(chǎn)量為1A〃)=3"(〃+1)(2"+1)噸，但如果年產(chǎn)量超過15()噸，將會給環(huán)境造成危害.為保

護環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是年.

解析：由題意可知，第一年產(chǎn)量為QI=；X1X2X3=3;以后各年產(chǎn)量為an—f(n)—f(n—1)—\n(n+

1)(2?+1)-1n-(n-1)(2n-1)=3n2(neN*),令3/W150,得巾?14W7,故生產(chǎn)期限最長為7

年.

答案：7

7.某商人購貨，進價已按原價a扣去25%,他希望對貨物定一新價，以便按新價讓利20%銷售后仍

可獲得售價25%的利潤，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是

解析：設(shè)新價為九則售價為以1-20%).?.?原價為a,

進價為a(l—25%).依題意，有力(1-20%)一。(1一25%)=方(1—20%)X25%,化簡得匕等，.力

=/>X20%-x=|aX20%-x,即y=%(xWN*).

答案：尸%xWN*)

8.某商店每月按出廠價每瓶3元購進一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若零售價定為每瓶4元，每

月可銷售400瓶；若零售價每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進貨當(dāng)月銷售完的前提

下，為獲得最大利潤，銷售價應(yīng)定為元/瓶.

解析：設(shè)銷售價每瓶定為x元，利潤為y元，則y=(x-3)(400+^^X40)=80(x-3)(9-x)=-80(x

-6)2+720(x23),所以x=6時，y取得最大值.

答案：6

9.為了保護學(xué)生的視力，課桌椅的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計的.研究表明：假設(shè)課桌的高度

為ycm,椅子的高度為xcm,則y應(yīng)是x的一次函數(shù)，下表列出了兩套符合條件的課桌椅的高度：

第一套第二套

椅子高度x(cm)40.037.0

桌子高度j(cm)75.070.2

(1)請你確定y與x的函數(shù)解析式(不必寫出x的取值范圍)；

(2)現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高78.2cm的課桌，它們是否配套？為什么？

解：(1)根據(jù)題意，課桌高度y是椅子高度x的一次函數(shù)，故可設(shè)函數(shù)解析式為y=Ax+b(AW0).將符

合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數(shù)解析式，

40*+6=75,僅=1.6,

得彳,所以J所以y與x的函數(shù)解析式是y=1.6x+U.

,37*+Z>=70.2,9=11,

⑵把x=42代入⑴中所求的函數(shù)解析式中，有7=1.6X42+11=78.2.所以給出的這套桌椅是配套的.

10.某租車公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金

每增加60元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每月需要維護費160元，未租出的車每月需要維護

費40元.

(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3900元時，能租出多少輛車？

(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時，租車公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：⑴租金增加了900元，900+60=15,

所以未租出的車有15輛，一共租出了85輛.

(2)設(shè)租金提高后有x輛未租出，則已租出(100-x)輛.

租賃公司的月收益為j元，

y=(3000+60x)(100—X)—160(100—x)—40x,

其中xW[0,100],xGN,

整理，得>=-60必+3120x+

=-60(x-26)2+,

當(dāng)x=26時，y=,

即最大月收益為元.

此時，月租金為3000+60X26=4560(元).

層級二應(yīng)試能力達標(biāo)

1.某地固定電話市話收費規(guī)定：前三分鐘0.20元(不滿三分鐘按三分鐘計算)，以后每加一分鐘增收

0.10元(不滿一分鐘按一分鐘計算)，那么某人打市話550秒，應(yīng)支付電話費()

A.1.00元