忻州市忻府區(qū)忻州實驗中學校2022-2023學年七年級下學期期中數學試題【帶答案】

忻州市實驗中學2022-2023學年度第二學期期中學科素養(yǎng)監(jiān)測七年級數學（人教版）滿分120分，考試時間90分鐘．第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項的字母標號在答題卡相應位置涂黑．1.不等式3+2x≥1的解在數軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式移項，合并同類項，把x系數化為1求出解集，表示在數軸上即可．【詳解】解：不等式3+2x≥1，移項得：2x≥1﹣3，合并同類項得：2x≥﹣2，解得：x≥﹣1，數軸表示如下：．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關鍵．不等式的解集在數軸上表示時，空心圈表示不包含該點，實心點表示包含該點．2.下列圖形是四所大學校徽的部分圖案，其中是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．據此判斷即可．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D．是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．3.若，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據不等式基本性質，逐項判斷即可．【詳解】解：A、將m＞n兩邊都減去6得：m-6＞n-6，故此選項錯誤，不符合題意；B、將m＞n兩邊都除以6得：，故此選項正確，符合題意；C、將m＞n兩邊都乘以6得：6m＞6n，故此選項錯誤，不符合題意；D、將m＞n兩邊都乘以-6，得：-6m＜-6n，故此選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的基本性質，尤其是性質不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．4.下列對△ABC的判斷，不正確的是（）A.若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形B.若AB：BC：CA＝1：2：，則△ABC是直角三角形C.若AB＝BC，∠A＝60°，則△ABC是等邊三角形D.若AB＝BC，∠C＝50°，則∠B＝50°【答案】D【解析】【分析】根據等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的判定以及三角形的內角和定理即可作出判斷．【詳解】解：A．若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故此選項正確，不符合題意；B．若AB：BC：CA＝1：2：，則12+()2=22，那么這個三角形是直角三角形，故此選項正確，不符合題意；C．若AB=BC，∠A=60°，則∠A=∠C=60°，∠B=60°，所以△ABC等邊三角形，故此選項正確，不符合題意；D．若AB=BC，∠C=50°，則∠A=∠C=50°，∠B=80°，故此選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等邊三角形的判定．根據已知條件解出三角形中的角是解題的關鍵．5.如圖，AD是△ABC的角平分線，∠C=28°，AB+BD=AC、將△ABD沿AD所在直線翻折，點B在AC邊上的落點記為點E，那么∠AED的度數為（）A.28° B.50° C.56° D.65°【答案】C【解析】【分析】根據折疊的性質可得BD=DE，AB=AE，然后根據AC=AE+EC，AB+BD=AC證得DE=EC，再根據等邊對等角以及三角形的外角的性質求解．【詳解】解：根據折疊的性質可得BD=DE，AB=AE．∵AB+BD=AC，AC=AE+EC，∴AB+BD=AE+EC，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C=，∴．故選：．【點睛】本題考查了折疊的性質以及等腰三角形的性質、三角形的外角的性質，證明DE=EC是本題的關鍵．6.如圖，在平面直角坐標系中，將線段平移得到線段，若點的對應點為，則點的對應點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據點、的坐標確定出平移規(guī)律，然后求出點的坐標即可．【詳解】解：點的對應點為，平移規(guī)律為向右3個單位，向上2個單位，點，對應點的橫坐標為，縱坐標為，點的坐標為．故選：C．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化平移，觀察圖形以及點的坐標確定出平移規(guī)律是解題的關鍵．7.若不等式組的解集為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據不等式組的解集結合口訣：“同小取小“確定m的取值范圍即可．【詳解】解：∵不等式組的解集為，根據同小取小可得，∴，∴的取值范圍是．故選C．【點睛】本題主要考查不等式組的解集的確定，掌握“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答本題的關鍵．8.如圖，一次函數的圖象經過點P，與軸交于點，則滿足不等式組的整數有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.無數個【答案】A【解析】【分析】由圖象可得：不等式組的解集為：，即可求解．【詳解】解：由圖象可得：不等式組的解集為：，∴整數有，，有2個，故選：A【點睛】本題主要考查了一次函數與一元一次不等式組的關系，利用數形結合思想求不等式組解集是解題的關鍵．9.如圖，在正三角形網格中，以某點為中心，將旋轉，得到，則旋轉中心是（）A.點A B.點B C.點C D.點D【答案】B【解析】【分析】連接、、，作的垂直平分線，作的垂直平分線，作的垂直平分線，交點為旋轉中心．【詳解】解：如圖，繞某點旋轉一定的角度，得到△，連接、、，作的垂直平分線，作的垂直平分線，作的垂直平分線，三條線段垂直平分線正好都過點，即旋轉中心是．故選：B．【點睛】本題考查了學生的理解能力和觀察圖形的能力，注意：旋轉時，對應頂點到旋轉中心的距離應相等且旋轉角也相等，對稱中心在連接對應點線段的垂直平分線上．10.如圖，在中，，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和點N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線；②；③點D在AB的中垂線上；④．其中正確的個數有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】①根據作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可以推出∠CAD=30°，即可由含角的直角三角形的性質得出；③利用等角對等邊可以證得△ADB為等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質可以證明點D在AB的中垂線上；④由②和③可推出，再結合三角形面積公式即可得出結論．【詳解】解：根據作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線，故①正確；如圖，∵在中，，，∴．又∵AD是∠BAC的平分線，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴點D在AB的中垂線上，故③正確；∵，∴，∵，，∴，故④錯誤．綜上所述，正確的結論是：①②③，共有3個．故選B．【點睛】本題考查了角平分線的判定、線段垂直平分線的判定和性質、含角的直角三角形的性質以及等腰三角形的判定和性質．利用數形結合的思想是解題的關鍵．第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.不等式的解集為___________．【答案】##【解析】【分析】根據解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數化為1可得．【詳解】解：去括號得：，移項、合并同類項得：，系數化為1得：，∴不等式的解集為，故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．12.如圖，在中，平分，，那么點到直線的距離是___________．【答案】2【解析】【分析】先求出的長，過點作于點，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質可得，從而得解．詳解】解：如圖，過點作于點，，，，，平分，，即點到直線的距離是．故答案：2．【點睛】本題考查了解平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質是解題的關鍵．13.如圖，在中，，將繞點順時針旋轉后得到（點的對應點是點，點的對應點是點），連接，若，則的大小是______．【答案】68°【解析】【分析】先根據旋轉的性質得∠B=∠AB′C′，AC=AC′，∠CAC′=90°，則可判斷△ACC′為等腰直角三角形，所以∠ACC′=∠AC′C=45°，然后根據三角形外角性質計算出∠AB′C′，從而得到∠B的度數．【詳解】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉90°后得到的△AB′C′，∴∠B=∠AB′C′，AC=AC′，∠CAC′=90°，∴△ACC′為等腰直角三角形，∴∠ACC′=∠AC′C=45°，∴∠AB′C′=∠B′CC′+∠CC′B′=45°+23°=68°，∴∠B=68°．故答案為：68°．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．14.如圖，將長方形紙片ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊上的F處，如果∠AEF＝75°，那么∠BAF＝_______°．【答案】60【解析】【分析】根據折疊的性質可得∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，再由∠AEF＝75°，可得∠EAF=15°，從而得到∠DAF=30°，即可求解．【詳解】解：根據題意得：∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，∵∠AEF＝75°，∴∠EAF=90°-∠AEF=15°，∴∠DAE=15°，∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=30°，∴∠BAF=∠BAD-∠DAF=60°．故答案為：60【點睛】本題主要考查了折疊問題，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握圖形折疊前后對應角相等，直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．15.如圖，在x、y軸上分別截取OA、OB，使OA＝OB，再分別以點A、B為圓心，以大于AB的長度為半徑畫弧，兩弧交于點C．若C的坐標為（3a，﹣a＋8），則a＝_____．【答案】2【解析】【分析】根據尺規(guī)作圖可知，點C在∠AOB角平分線上，所以C點的橫坐標和縱坐標相等，即可以求出a的值．【詳解】解：根據題目尺規(guī)作圖可知，交點C是∠AOB角平分線上的一點，∵點C在第一象限，∴點C的橫坐標和縱坐標都是正數且橫坐標等于縱坐標，即3a=-a+8，得a=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了角平分線尺規(guī)作圖，角平分線的性質，以及平面直角坐標系的知識，結合直角坐標系的知識列方程求解是解答本題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.解不等式組把它的解集表示在數軸上，并求出這個不等式組的整數解．【答案】，數軸見解析，整數解是2，3【解析】【分析】別計算出兩個不等式的解集，再根據大小小大中間找確定不等式組的解集即可，再找出解集范圍內的整數即可．【詳解】解：解不等式①，得′解不等式②，得表示在數軸上寫出解集∴這個不等式組的整數解是2，3【點睛】此題主要考查了解一元一次不等式組，解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式組的整數解．17.如圖，△ABC中，∠B=2∠C，E為BC上一點，且到A、C兩點的距離相等．（1）尺規(guī)作圖：作出點E的位置（保留作圖痕跡）；（2）連接AE，求證：AB=AE．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】作線段AC的垂直平分線，交BC于點E，點E即為所求的點；(2)根據線段垂直平分線的性質，可得AE=CE，再根據三角形外角的性質，可證得∠AEB=2∠C，由∠B=2∠C，可得∠AEB=∠B，據此即可證得結論．【小問1詳解】解：如圖：作線段AC的垂直平分線MN，交BC于點E，點E即為所求的點．【小問2詳解】解：∵MN垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AB=AE．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線的性質，三角形外角的性質，作出線段AC的垂直平分線是解決本題的關鍵．18.如圖1，圖2，圖3的網格均由邊長為1的小正方形組成，圖1是三國時期吳國的數學家趙爽所繪制的“弦圖”，它由四個形狀、大小完全相同的直角三角形組成，趙爽利用這個“弦圖”對勾股定理作出了證明，是中國古代數學的一項重要成就，請根據下列要求解答問題．（1）圖1中的“弦圖”的四個直角三角形組成的圖形是對稱圖形（填“軸”或“中心”）．（2）請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變換，在圖2，3的方格紙中設計另外兩個不同的圖案，畫圖要求：①每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊，不必涂陰影；②圖2中所設計的圖案（不含方格紙）必須是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；圖3中所設計的圖案（不含方格紙）必須既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【答案】（1）中心（2）見解析【解析】【分析】（1）利用中心對稱圖形的意義得到答案即可；（2）①每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形不重疊，是軸對稱圖形；②所設計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形．【小問1詳解】圖1中的“弦圖”的四個直角三角形組成的圖形是中心對稱圖形，故答案為：中心；【小問2詳解】如圖2是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；圖3既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【點睛】本題考查利用旋轉或軸對稱設計方案，關鍵是理解旋轉和軸對稱的概念，按要求作圖即可．19.如圖，在中，，是的平分線，于E，F在上，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據角平分線的性質“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得．再根據，得；

（2）利用角平分線性質證明，得到，再將線段進行轉化．【小問1詳解】證明：∵是的平分線，，，∴，在和中，，∴，∴；【小問2詳解】證明：在與中，，∴，

∴，

∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質．20.閱讀理解：教材呈現：如圖是某數學教材的部分內容．2.線段垂直平分線我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任意一點，連接，將線段沿直線對折，我們發(fā)現與完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．已知：如圖，，垂足點為，點是直線的任意一點，求證：．（1）請根據所給教材內容，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程．定理應用：（2）如圖②，在中，的垂直平分線分別交于點，垂足分別為，已知的周長為22，則的長為_________．（3）如圖③，在中，分別是上任意一點，若，，則的最小值是_________．【答案】（1）見解析；（2）22；（3）．【解析】【分析】（1）根據證明即可；

（2）根據線段垂直平分線的性質定理證明，，那么的周長就轉化為的長，

（3）根據等腰三角形的三線合一性質，可知是的垂直平分線，過點C作，垂足為點E，交于點P，此時，的值最?。驹斀狻浚?）證明：如圖①中，∴，在和中，∴∴．（2）∵的周長為22，∴，∵垂直平分線段，垂直平分線段，∴，，，∴．故答案為：22；（3）過點C作，垂足為點E，交于點P，

∵，，∴∴是的垂直平分線，∴，∴，此時的值最小，最小值為線段的長，在中，∴的面積∵，，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，根據題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．21.2022年翻開序章，冬奧集結號已吹響，冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”深受人民喜愛．2021年十一月初，奧林匹克官方旗艦店上架了“冰墩墩”和“雪容融”兩款毛絨玩具，當月售出了“冰墩墩”200個和“雪容融”100個，銷售總額為32000元．十二月售出了“冰墩墩”300個和“雪容融”200個，銷售總額為52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分別為90元/個和60元/個．進入2022年一月后，這兩款毛絨玩具持續(xù)熱銷，于是旗艦店再購進了這兩款毛絨玩具共600個，其中“雪容融”的數量不超過“冰墩墩”數量的2倍，且購進總價不超過43200元．為回饋新老客戶，旗艦店決定對“冰墩墩”降價10%后再銷售，若一月份購進的這兩款毛絨玩具全部售出，則“冰墩墩”購進多少個時該旗艦店當月銷售利潤最大，并求出最大利潤．【答案】（1）“冰墩墩”銷售單價為120元，“雪容融”的銷售單價為80元；（2）“冰墩墩”購進200個時該旗艦店當月銷售利潤最大，最大利潤為11600元．【解析】【分析】（1）設“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為x，y元，根據題意列二元一次方程組求解即可；（2）設購進“冰墩墩”a個，則購進“雪容融”600a個，列出不等式組，求出的取值范圍，根據一次函數的性質求解即可．【小問1詳解】設“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為x，y元，根據題意得，，解得答：“冰墩墩”銷售單價為120元，“雪容融”的銷售單價為80元【小問2詳解】設購進“冰墩墩”a個，則購進“雪容融”600a個，則，解得設一月份利潤為w，則∵，∴當a取最小值時，w取最大值．∵，∴時，w的最大值為（元）．∴“冰墩墩”購進200個時該旗艦店當月銷售利潤最大，最大利潤為11600元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數的性質解答．22綜合與探究：問題情境：數學課上，老師利用兩塊含角的全等三角尺進行圖形變換操作探究，其中，．操作探究：（1）將兩個三角尺按如圖1的方式在