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微分的定義經(jīng)濟數(shù)學在線開放課程授課教師:陳笑緣教授1引題2定義3例題1引題引題當均勻加熱時,正方形面積大約改變了多少?一塊邊長為的金屬正方形薄片,引題原正方形面積:,面積的改變量:,改變后的面積:,邊長由變到,設邊長增加了,那么既容易計算,又是較好的近似值。在式子中,當很小很小時,第(2)部分的高階無窮小可以忽略不計。那么思考:這個線性主部是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?2定義微分其中與無關,是的高階無窮小,
則稱函數(shù)在點處是可微的,記作:。即定義3.4設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,及均在這區(qū)間內(nèi),以表示:如果函數(shù)在點處的增量可稱為函數(shù)在處的微分,
所以即函數(shù)在點處可導,,如果在點處可微,(1)則且即,因而有。因此,導數(shù)也是微分之商,稱之為微商。
(2)在中,因此對于任何,這個函數(shù)的微分是,,因此??蓪c可微的關系定理3.3如果函數(shù)在點處可微,則函數(shù)在點處可導,且;反之,如果函數(shù)在點處
可導,則函數(shù)在點處可微。函數(shù)的微分定義3.5
如果函數(shù)在點處可導,則稱為函數(shù)在點處的微分,或簡稱函數(shù)的微分。記作3例題例題設函數(shù),求微分
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