靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算課件

靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算

第十六部分靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算

靜定結(jié)構(gòu)的特性：１、幾何組成特性２、靜力特性靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算依據(jù)靜力平衡原理。

第十六章靜定梁和靜定剛架

§16-1單跨靜定梁

單跨靜定梁的類型：簡(jiǎn)支梁、伸臂梁、懸臂梁一、截面法求某一指定截面的內(nèi)力§16-1單跨靜定梁

１、內(nèi)力概念內(nèi)力是結(jié)構(gòu)承受荷載及變形的能力的體現(xiàn)，可理解為在各種外因用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料的一種響應(yīng)。內(nèi)力是看不見(jiàn)的，但可由結(jié)構(gòu)上受有荷載和結(jié)構(gòu)發(fā)生變形（變形體）體現(xiàn)。２、截面法若要求某一橫截面上的內(nèi)力，假想用一平面沿桿軸垂直方向?qū)⒃摻孛娼亻_(kāi)，使結(jié)構(gòu)成兩部分；在截開(kāi)后暴露的截面上用力（內(nèi)力）代替原相互的約束。對(duì)于截開(kāi)后結(jié)構(gòu)的兩部分上，截面上的內(nèi)力已成為外力，因此，由任一部分的靜力平衡條件，均可列出含有截面內(nèi)力的靜力平衡方程。解該方程即將內(nèi)力求出。３、截面內(nèi)力

截開(kāi)一根梁式桿件的截面上有三個(gè)內(nèi)力（分量），即：軸力ＦN

、剪力ＦQ和彎矩Μ。

１、內(nèi)力的定義

ＦN：截面上平行于截面外法線方向的正應(yīng)力的代數(shù)和，一般以受拉為正。

ＦQ：截面上垂直于截面法線方向的切應(yīng)力的代數(shù)和，以使隔離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。

Μ：截面上正應(yīng)力對(duì)截面中性軸的力矩代數(shù)和，對(duì)梁一般規(guī)定使其下部受拉為正。２）內(nèi)力計(jì)算式（用截面一側(cè)上外力表達(dá)的方式）：

ＦN＝截面一側(cè)所有外力在桿軸平行方向上投影的代數(shù)和。左左為正，右右為正。

ＦQ＝截面一側(cè)所有外力在桿軸垂直方向上投影的代數(shù)和。左上為正，右下為正。

Μ＝截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩代數(shù)和。彎矩的豎標(biāo)畫(huà)在桿件受拉一側(cè)。２）Ｃ截面內(nèi)力

∑Ｆx=0

ＦNC－60=0

ＦNC=60kN

∑Ｆy=0

ＦQC－60+10×1.5=0

ＦQC=45kN

∑ΜC=0

ΜC－60×1.5－10×1.5×(1.5/2)

=0

ΜC＝101.25kNm

（下側(cè)受拉）１）計(jì)算支座反力

去掉梁的支座約束，代以支座約束反力，并假定反力的方向，建立梁的整體平衡方程。２）求C截面的內(nèi)力

切開(kāi)過(guò)C點(diǎn)的橫截面，將梁分成兩部分。取左側(cè)部分考慮，其暴露的截面上按規(guī)定的內(nèi)力的正方向?qū)?nèi)力示出，建立靜力平衡方程。

說(shuō)明：計(jì)算內(nèi)力要點(diǎn)：

１）所取的隔離體（包括結(jié)構(gòu)的整體、截面法截取的局部），其隔離體周圍的所有約束必須全部切斷并代以約束力、內(nèi)力。

２）對(duì)未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由計(jì)算后所得結(jié)果的正負(fù)判斷所求力的實(shí)際方向，并要求在計(jì)算結(jié)果后的圓括號(hào)內(nèi)用箭線表示實(shí)際方向。

３）計(jì)算截面的內(nèi)力時(shí)，截面兩側(cè)的隔離體可任取其一，一般按其上外力最簡(jiǎn)原則選擇。截面內(nèi)力均按規(guī)定的正方向畫(huà)出。二、荷載與內(nèi)力的關(guān)系

１、內(nèi)力圖概念

表示結(jié)構(gòu)上所有截面的軸力、剪力和彎矩分布的圖形稱為內(nèi)力圖。

作內(nèi)力圖的最基本的方法是，按內(nèi)力函數(shù)作內(nèi)力圖。

１）建立表示截面位置的x坐標(biāo)

２）取x處的（即K截面）以右部分建立平衡方程∑Ｆy=0得梁ＡＣ段的剪力函數(shù)：

FQk＝70-20x

(0≤x≤4)

梁ＡＣ段的剪力圖是一條斜直線，取該區(qū)段內(nèi)任意兩截面的座標(biāo)值代入函數(shù)，既可畫(huà)出該區(qū)段的剪力圖。內(nèi)力函數(shù)是分段的連續(xù)函數(shù)。２、荷載與內(nèi)力的關(guān)系微分關(guān)系：

dFN/dx=-qx

dFQ/dx=-qy

dM/dx=Q

d2M/dx2=-qy增量關(guān)系：

DFN=-FPx

DFQ=-FPy

DM=m１）微分關(guān)系及幾何意義：

dFN/dx=-qx

dFQ/dx=-qy

dM/dx=Q

d2M/dx2=-qy（１）在無(wú)荷載區(qū)段，ＦQ圖為水平直線；

當(dāng)ＦQ≠０時(shí)，Μ圖為斜直線;

當(dāng)ＦQ＝０時(shí)，Μ圖為水平直線。

（２）在均布荷載區(qū)段，ＦQ圖為斜直線；Μ圖為拋物線，且凸向與荷載指向相同。

２)

增量關(guān)系及幾何意義：

DFN=-FPx

DFQ=-FPy

DM=m(１）水平集中力FPx作用點(diǎn)兩側(cè)截面FN圖有突變，其突變值等于FPx。FQ圖和Μ圖不受影響。

（２）豎向集中力FPy作用點(diǎn)兩側(cè)截面FQ圖有突變，其突變值等于FPy。Μ圖有折點(diǎn)，其折點(diǎn)的尖角與FPy方向相同；FN圖不受影響。

（３）集中力偶Μ作用點(diǎn)兩側(cè)截面的Μ圖有突變，其突變值等于Μ；FN圖和FQ圖不受影響。

３、利用荷載和內(nèi)力關(guān)系的幾何意義,可由荷載的分布和類型定性地判斷或校核區(qū)段上的內(nèi)力圖形狀以及突變點(diǎn)和突變值的大小。

三、疊加法作彎矩圖1、簡(jiǎn)支梁的彎矩圖疊加法

２、彎矩圖疊加的實(shí)質(zhì)：

指彎矩豎標(biāo)的疊加（而不是圖形的簡(jiǎn)單疊加），當(dāng)同一截面在兩個(gè)彎矩豎標(biāo)在基線不同側(cè)時(shí)，疊加后是兩個(gè)豎標(biāo)絕對(duì)值相減，彎矩豎標(biāo)畫(huà)在絕對(duì)值大的一側(cè)；當(dāng)兩個(gè)豎標(biāo)在基線同一側(cè)時(shí)，則疊加后是兩個(gè)豎標(biāo)絕對(duì)值相加，豎標(biāo)畫(huà)在同側(cè)。

基線接力法概念。

３、直桿段彎矩圖的區(qū)段疊加法

直桿區(qū)段的彎矩圖疊加可利用簡(jiǎn)支梁的彎矩圖疊加法。其步驟是：（１）計(jì)算直桿區(qū)段兩端的最后彎矩值，以桿軸為基線畫(huà)出這兩個(gè)值的豎標(biāo)，并將兩豎標(biāo)連一直線；（２）將所連直線作為新的基線，疊加相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在跨間荷載作用下的彎矩圖。例16-1-2作圖示簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力圖。解：（１）求支座反力

（２）求控制截面內(nèi)力

取截面Ｃ以左：

FQC=70-20×4=－10kN

MC=70×4－20×4×2=120kNm(下側(cè)受拉)取截面ＤＲ以右：

ＦQDB＝－50kN

ΜＤB＝50×２＝100kNm(下側(cè)受拉)

取截面ＤＬ以右：

ＦQDC＝－50＋40＝－10kN

(3）作內(nèi)力圖區(qū)段疊加法求Ｅ、Ｄ截面彎矩；

ΜE＝20×42/8＋120/2＝100kNm(下側(cè)受拉)

ΜＤ＝40×4/4＋120/2＝100kNm(下側(cè)受拉)

說(shuō)明：集中力或集中力偶作用點(diǎn)，注意對(duì)有突變的內(nèi)力應(yīng)考慮分兩側(cè)截面分別計(jì)算。例16-1-3求作圖示伸臂梁的ＦＱ、Ｍ圖。分析：僅有豎向荷載作用時(shí)，梁的內(nèi)力只有彎矩和剪力。剪力圖的控制截面在Ｃ、ＤＬ和ＤＲ，而彎矩圖取截面Ｃ即可，綜合考慮，取控制截面為截面Ｃ、ＤＬ和ＤＲ。

解：（１）支座反力

梁的整體平衡方程∑ΜＡ=0

FＢy=140.67kN(↑)∑ΜＢ=0

FＡy=27.33kN(↑)

∑Ｆx=0

FＡx=36kN(→)

由∑Ｆy=0校核，滿足。（2）計(jì)算控制截面的剪力并作FQ圖

取支座Ｂ以左：

FQBC=60×4/5=48kN

取支座Ｂ以左：

FQBD=60×4/5

–140.67

=－92.67kN(3)計(jì)算控制截面的彎矩并作Ｍ圖

取截面ＣL以左：

ＭＣＡ＝27.33×4－20×4×2=－50.68kNm

(上側(cè)受拉)

取截面ＣR以左：

ＭＣB＝27.33×4－20×4×2+100=49.32kNm

(下側(cè)受拉)

取截面B以右：

ＭＣB＝ＭＣB=60×4×2/5=96kNm(上側(cè)受拉）例16-1-4比較圖示斜梁和簡(jiǎn)支梁的異同。分析：（１）支座反力相同。（２）兩梁的內(nèi)力由內(nèi)力函數(shù)比較

簡(jiǎn)支梁：F0Nx=0

F0Qx=ql/2－qx

M0x=qlx/2－qx2/2斜梁:FNx=－(ql/2qx)sina

=－F0Qxsina

FQx=(ql/2－qx)cosa

=F0Qxcosa

Mx=qlx/2－qx2/2

=M0x

單跨靜定梁小結(jié)要求：

１）理解內(nèi)力、內(nèi)力圖的概念；

２）了解梁的主要受力、變形特點(diǎn)；

３）理解并掌握截面法計(jì)算內(nèi)力的方法；

４）熟練掌握用疊加法做直桿段的彎矩圖。本節(jié)難點(diǎn)及重點(diǎn)：

１）內(nèi)力正、負(fù)號(hào)的判斷；

２）疊加法做彎矩圖?！?6-2多跨靜定梁

多跨靜定梁由相互在端部鉸接、水平放置的若干直桿件與大地一起構(gòu)成的結(jié)構(gòu)。

一、多跨靜定梁的組成及傳力特征對(duì)上圖所示梁進(jìn)行幾何組成分析：

ＡＤ桿與大地按兩個(gè)剛片的規(guī)則組成無(wú)多余約束的幾何不變體，可獨(dú)立承受荷載；然后桿ＤＦ和桿ＦＧ也分別按兩個(gè)剛片的規(guī)則依次擴(kuò)大先前已形成的幾何不變體。顯然，桿ＤＦ是依賴于Ｄ以右的部分才能承受荷載，而桿ＦＧ是依賴于Ｆ以右的部分才能承受荷載的?；蛘哒f(shuō)，桿ＦＧ被桿ＤＦ支承，桿ＤＦ被桿ＡＤ支承。根據(jù)各桿之間這種依賴、支承關(guān)系，引入以下兩個(gè)概念：

基本部分：結(jié)構(gòu)中不依賴于其它部分而獨(dú)立與大地形成幾何不變的部分。

附屬部分：結(jié)構(gòu)中依賴基本部分的支承才能保持幾何不變的部分。把結(jié)構(gòu)中各部分之間的這種依賴、支承關(guān)系形象的畫(huà)成如圖示的層疊圖，可以清楚的看出多跨靜定梁所具有的如下特征：

１)

組成順序：先基本部分，后附屬部分；

２)

傳力順序：先附屬部分，后基本部分。由于這種多跨靜定梁的層疊圖象階梯，可稱為階梯形多跨靜定梁。二、

多跨靜定梁的內(nèi)力計(jì)算

多跨靜定梁的內(nèi)力總能由靜力平衡條件求出。關(guān)鍵是按怎樣的途徑使計(jì)算概念清晰、簡(jiǎn)明。

例16-2-1計(jì)算圖示多跨靜定梁，并作內(nèi)力圖。解：按層疊圖依次取各單跨梁計(jì)算∑MA=0

FCy×4+(10－5×√2×√2/2)×6+20=0

FCy=－12.5kN(↓)∑MC=０FAy×4－20

+(5×√2×√2/2－10)×2

=0

FAy=7.5kN(↑)∑Fx=0

FAx+5×√2×√2/2=0FAx=－5kN(←)

說(shuō)明：

（１）按層疊圖從上往下的順序，畫(huà)各單跨梁的受力圖，并按這個(gè)順序逐一計(jì)算各單跨梁的約束力。桿ＦＧ的約束力有３個(gè)，如簡(jiǎn)支梁的計(jì)算。桿ＤＦ上沒(méi)有直接作用的外荷載（注意鉸Ｄ上作用的集中荷載FP可放在鉸的任意側(cè)），但在Ｆ處有桿ＦＧ部分傳來(lái)的已知約束力FPy。該桿的計(jì)算相當(dāng)于伸臂梁的計(jì)算，其上的荷載即是由其上的附屬部分由約束處傳來(lái)的已知約束力。桿ＡＤ是整個(gè)梁的基本部分，有三個(gè)與大地相連的待求的支座約束力，其上除了有在Ｄ處由Ｄ以右部分傳來(lái)的已知約束力，還有直接作用的外荷載FP和m。該桿仍是伸臂梁的計(jì)算。（２）將所有單根梁的約束力求得后，即可將各單跨梁的內(nèi)力圖作出后匯集，也可先匯集成整體再一次作內(nèi)力圖。注意ＡＣ段上集中力偶作用時(shí)彎矩圖的疊加特點(diǎn)。

（３）當(dāng)多跨靜定梁的附屬部分上有外荷載時(shí)，該外荷載將使該附屬部分產(chǎn)生內(nèi)力，并傳給它以下的基本部分使其也產(chǎn)生內(nèi)力；當(dāng)在其基本部分上有外荷載時(shí)，該外荷載僅使該基本部分（及以下）產(chǎn)生內(nèi)力，對(duì)其上的附屬部分不產(chǎn)生內(nèi)力。例16-2-2分析圖示多跨靜定梁可分解成單跨梁分別計(jì)算的條件，并作梁的FQ、M圖。分析：（１）圖示梁的荷載以及約束的方向，是豎向平行力系。一個(gè)平面平行力系只能列兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，解兩個(gè)未知數(shù)。

（２）桿ＣＥ有兩個(gè)與大地相連的豎向支座鏈桿，當(dāng)僅在豎向荷載作用下時(shí)，可維持這個(gè)平行力系的平衡。所以，桿ＣＥ在僅有豎向荷載的作用下，可視為與桿ＡＢ同等的基本部分。解：（１）畫(huà)層疊圖

（２）計(jì)算各單跨梁的約束力

按層疊圖以次畫(huà)出各單跨梁的受力圖，注意桿ＢＣ在桿端只有豎向約束力，并按由上向下的順序分別計(jì)算。

（３）作內(nèi)力圖說(shuō)明：本例中桿ＢＣ是不直接與大地相連的桿件，稱這類桿為有懸跨多跨靜定梁。當(dāng)僅有豎向荷載作用時(shí)，懸跨梁可視為附屬部分；當(dāng)是任意的一般荷載作用時(shí)，桿ＢＣ不能視為附屬部分，桿ＣＥ部分也不能作為基本部分。

多跨靜定梁小結(jié)

了解多跨靜定梁兩種基本類型的幾何組成特點(diǎn)。多跨靜定梁分層計(jì)算的目的，為了不解聯(lián)立方程。

計(jì)算要點(diǎn)：按先附屬，后基本的順序?！?6-3靜定平面剛架平面剛架：梁和柱構(gòu)成的平面結(jié)構(gòu)，其特點(diǎn)是在梁和柱的聯(lián)系處為剛結(jié)點(diǎn)，當(dāng)剛架受力而產(chǎn)生變形時(shí)，剛結(jié)點(diǎn)處各桿端之間的夾角始終保持不變。YAXAABaaYBXBCEFqP繞曲線桿端切線E′F′靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力ABCDE靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力一、靜定剛架支座反力的計(jì)算：平衡方程二、繪制內(nèi)力圖：用截面法求解剛架任意指定截面的內(nèi)力，應(yīng)用與梁相同的內(nèi)力符號(hào)正負(fù)規(guī)定原則即相同的繪制規(guī)律與繪圖方法作內(nèi)力圖（M圖、Q圖、N圖）靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力ABCD2m2m4mP=40kNq=20kN/mQ圖M圖N圖40kN·m40kN·m80kN·m40kN(-)40kN(+)80kN·m(-)[例16-3-1]作圖示三鉸剛架的M圖、Q圖、N圖。已知：P=60kN，q=10kN/m，a=4m。YAXAXyABaaqPaa/2YBXBC解：（1）取整體為研究對(duì)象：∑X=0XA+

qL=XB∑mA（Fi）=0YB=(10*4*2+40*6)/8=55kN(2)取BC為研究對(duì)象：∑mc（Fi）=0XB=(55*4-60*2)/4=25kN∑X=0XC=XB=25kN∑Y=0YC=60-55=5kN∑mB（Fi）=0YA=(60*2-10*4*2)/8=5kN∑X=0XA=25-40=-15kN靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力ABCBCBC5kN15kNXyAB4m4m60kN2m55kN25kN

C4m10kN/mQ圖

20kN·m10kN·m100kN

15kN

25kN5kN

55kN25kN

11.25kN·mM圖N圖25kN

5kN

55kN

20kN·mAA靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力§16-4了解三鉸拱的受力特點(diǎn)及內(nèi)力計(jì)算方法三鉸靜定拱結(jié)構(gòu)兩鉸拱結(jié)構(gòu)（一次超靜定）靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力無(wú)鉸拱結(jié)構(gòu)單元鉸拱結(jié)構(gòu)（兩次超靜定）靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力一、三鉸靜定拱結(jié)構(gòu)的計(jì)算：ABCk

kP1P2P3yHVAxHVBa1a2a3b3b2b1∑X=0，HA=HB=H∑mB(F)=0，VA=∑Pibi/L∑mA(F)=0，VB=∑Piai/L取左半部分為分離體：1.反力計(jì)算：取整體為分離體：∑mC(F)=0，VA=∑Pibi/LHA=VAL/2-P1(L/2-a1)-P2(L/2-a2)ffVB°AH=0VA°BCk1P1P2P3ABCk

kP1P2P3yHVAxHVBa1a2a3b3b2b1VA=VA°

（6-4）VB=VB°（6-5）HA=HB=H=MC°/f（6-6）三鉸拱與相應(yīng)之簡(jiǎn)支梁反力比較：f靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力H=0VAVBAyBx拉桿靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力MkVB

AH=0VA°BCk1P1P2P3Ak(xk，yk)

kP1yHVANk∑t=0，Qk

=(VA-

P1)cos

k-Hsin

k

=QK

cos

k-Hsin

k∑Mk(F)=0，Nk

=-(VA-

P1)sin

k-Hcos

k

=-QK

sin

k-Hcos

kMK=[VAxk

-

P1(xk-

a1)]-Hyk

=MK°-Hyknt∑n=0,二、拱與梁的比較·拱的合理軸線：M(x)=M

(X)-Hy(x)=0y(x)=M

(X)/HQkxVB°AH=0VA°BCAByHVAxHVBL/2L/2[例：6-18]試求圖6-31所示三鉸拱在均布荷載作用下的合理軸線方程。qq∑MC(F)=0，H=MC

/f=(ql2/8)/f=ql2/(8f)M(x)=M

(X)-Hy(x)=0y(x)=M

(X)/Hy(x)=qx(l-x)/2ql2/(8f)=4fx(l-x)/l2f三鉸靜定拱結(jié)構(gòu)兩鉸拱結(jié)構(gòu)（一次超靜定）靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力§16-5靜定平面桁架：1． 了解常見(jiàn)桁架的組成方式：簡(jiǎn)單桁架、聯(lián)合桁架。2． 重點(diǎn)掌握桁架內(nèi)力的計(jì)算方法：結(jié)點(diǎn)法和截面法3． 了解幾種梁式桁架受力性能的比較：平行弦桁架、三角形桁架、拋物線型桁架。靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力BAPP/2PPPPP/2簡(jiǎn)單桁架：由基礎(chǔ)或一個(gè)基本鉸接三角形開(kāi)始逐次增加二桿結(jié)點(diǎn)，組成的桁架。靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力聯(lián)合桁架：由幾個(gè)簡(jiǎn)單桁架組成的幾何不變體系稱為聯(lián)合桁架。靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力5kN10kN5kN10kN10kNYA=20kNYB=20kN二、結(jié)點(diǎn)法：以桁架各結(jié)點(diǎn)為分離體，由結(jié)點(diǎn)平衡方程求解各桿內(nèi)力。[例16-5-1]試計(jì)算圖示桁架各桿內(nèi)力。130°23456782m2m2m2m20kN5kNS13S1212S23S25S1210kNS13S343S35S2310kNS344S47S45靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力2S23S25S1210kNS13S343S35S2310kNS344S47S45解1）支座反力：YA=20kN，YB=20kN（2）結(jié)點(diǎn)法依次求各桿內(nèi)力：結(jié)點(diǎn)1：∑X=0，S13=（5-20