對數(shù)與對數(shù)函數(shù)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.通過閱讀課文理解對數(shù)函數(shù)的概念。2.能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，并能根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象說明對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)

自學(xué)指導(dǎo)二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象圖象特征右側(cè)上升下降性質(zhì)定義域值域單調(diào)性函數(shù)值變化規(guī)律性質(zhì)定義域值域單調(diào)性函數(shù)值變化規(guī)律續(xù)表增函數(shù)減函數(shù)

拓展

對數(shù)函數(shù)圖象的特點

三、反函數(shù)

（3）對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函數(shù).(

)1.判斷下列結(jié)論是否正確.（對的打“√”，錯的打“×”）（1）函數(shù)y=log2(x+1)是對數(shù)函數(shù).(

)×（2）若MN>0,則loga(MN)=logaM+logaN.(

)××

√（5）當(dāng)x>1時,若logax>logbx,則a<b.(

)×

BD

3.(教材改編)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,且a≠1)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是

.(填序號)

①a>1,c>1;②a>1,0<c<1;③0<a<1,c>1;④0<a<1,0<c<1.④[解析]由圖可知,函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù),所以0<a<1.又當(dāng)x=0時,y>0,即logac>0,所以0<c<1.4.(易錯點:忽視對底數(shù)的討論)若函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,則a=

.

C突破考點題型考點一

對數(shù)的運算

B

1.在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后用對數(shù)運算法則化簡合并.

2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算,然后逆用對數(shù)的運算法則,轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算.3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法,在運算中應(yīng)注意互化.1.計算(lg2)2+lg2·lg50+lg25的結(jié)果為

.

[解析]原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg4+lg25=2.2

[解析]原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg4+lg25=2.2【例2】(1)

(2023·山東二模)已知函數(shù)f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則a,b滿足的關(guān)系是(

).A.0<a-1<b<1

B.0<b<a-1<1

C.0<b-1<a<1

D.0<a-1<b-1<1

考點二

對數(shù)函數(shù)的圖象A(2)(2023·寧波適應(yīng)性考試)若a-2>a2(a>0且a≠1),則函數(shù)f(x)=loga(x-1)的圖象大致是(

).[解析]∵a-2>a2(a>0且a≠1),且-2<2,∴指數(shù)函數(shù)y=ax為減函數(shù),∴0<a<1,∴對數(shù)函數(shù)y=logax在(0,+∞)上為減函數(shù).在該函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上向右平移1個單位長度得到函數(shù)f(x)=loga(x-1)的圖象,因此,C選項中的圖象為函數(shù)f(x)=loga(x-1)的圖象,故選C.CA

B

C

D利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時,常利用數(shù)形結(jié)合思想;(2)對一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.1.(2023·山東滕州模擬)函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的圖象大致為(

).[解析]由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱.設(shè)g(x)=loga|x|,先畫出當(dāng)x>0時g(x)的圖象,然后根據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱畫出當(dāng)x<0時g(x)的圖象,最后由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移1個單位長度即得f(x)的圖象,結(jié)合圖象知選A.AA

B

C

D

[解析]問題等價于函數(shù)y=f(x)與y=-x+a的圖象有且只有一個交點,結(jié)合函數(shù)圖象可知a>1.(1,+∞)考點三

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

命題角度1

比較大小C

(2)(2023·廣東押題考試)已知a=log23,b=log46,c=log69,則(

).

A.b<c<a

B.c<b<aC.a<c<b

D.c<a<bB

比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進(jìn)行分類討論底數(shù)不同,真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進(jìn)行比較

D

B【例4】設(shè)a>0,且a≠1,解關(guān)于x的不等式:loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2.

命題角度2

解對數(shù)不等式◎同源改編◎

解對數(shù)不等式的類型及方法:①形如logax>logab的不等式,借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,那么需分a>1與0<a<1兩種情況討論;②形如logax>b的不等式,需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式再進(jìn)行求解.1.(2023·山東泰安模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=lg(3x+1)-1,則不等式f(x)>0的解集為(

).A.(-3,0)∪(3,+∞)

B.(3,+∞)

C.(-3,3)

D.(-∞,-3)∪(3,+∞)

[解析]當(dāng)x≥0時,由f(x)=lg(3x+1)-1>0,得x>3.又因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,-3)∪(3,+∞).故選D.2.若loga(a2+1)<loga2a<0,則a的取值范圍是

.

【例5】(2020年新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(

).A.(-∞,-1] B.(-∞,2]

C.[2,+∞) D.[5,+∞)

[解析]由x2-4x-5>0,得x<-1或x>5,即函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(5,+∞).令t=x2-4x-5,則t=(x-2)2-9,所以函數(shù)t在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(5,+∞)上單調(diào)遞增,又函數(shù)y=lgt在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5,+∞),由題意知(a,+∞)?(5,+∞),∴a≥5,故選D.命題角度3

對數(shù)函數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性D

已知f(x)=loga[g(x)]在區(qū)間[m,n]上是單調(diào)遞增函數(shù),對于這類問題,應(yīng)從兩個方面考慮:一是根據(jù)a與1的大小關(guān)系確定g(x)在[m,n]上的單調(diào)性;二是g(x)>0在x∈[m,n]時恒成立,此時只需g(x)min>0即可.

命題角度4

對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合ACD

利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外,解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.[解析]f(x)=lnx+ln(2-x),定義域為(0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x),令t=-x2+2x,y=lnt.∵t=-x2+2x,x∈(0,2),在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,故A不正確;f(x)max=f(1)=0,故B正確;∵f(1+x)=ln(1+x)+ln(1-x),f(1-x)=ln(1-x)+ln(1+x),∴f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1