高中數(shù)學(xué) 拋物線同步學(xué)案 新人教A版選修2

§2.4拋物線典例剖析

知識點(diǎn)一拋物線概念的應(yīng)用

⑥例?已知拋物線/=2x的焦點(diǎn)是凡點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)4(3,2),求

I為I+I/1的最小值，并求出取最小值時。點(diǎn)的坐標(biāo).

解

將x=3代入拋物線方程

y2=2x,得y=±J^.

、后>2,.?.點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部.

設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線1：

x=—工的距離為d,由定義知|PA|+PF|=|PA1+d,

2

當(dāng)PA_L1時，|PA|+d最小,

7,,,,7

最小值為一，即IPAI+IPFI的最小值為一，

22

此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,代入y、2x,得x=2,

...點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2).

知識點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

A例2求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(D過點(diǎn)(一3,2)；

(2)焦點(diǎn)在直線x—2y—4=0上.

分析設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，依據(jù)條件求出P的值.

解(D設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為7=-2勿或x2=2py(p>0),則將點(diǎn)(一3,2)代入方程得2P

4Q49

=§,或2。=/,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或六=5%

(2)①令x=0,由方程X—2y—4=0,得y=-2.

拋物線的焦點(diǎn)為戶(0,-2).

設(shè)拋物線方程為f=-2py,則由￡=2,得2p=8.

所求的拋物線方程為1=一8/

②令7=0,由x—2y—4=0,得x=4.

???拋物線的焦點(diǎn)為尸(4,0).

設(shè)拋物線方程為V=2px,由￡=4,得2P=16.

所求拋物線方程為/=16x.

知識點(diǎn)三拋物線在實(shí)際中的應(yīng)用

?例3汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡

的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑是24cm,燈深10cm,那么燈泡與反射

鏡的頂點(diǎn)（即截得拋物線頂點(diǎn)）距離是多少？

分析確定拋物線方程，求出拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離

解取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)

系xOy,如圖所示.

因燈口直徑IAB|=24.燈深|0P|=10,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（10,12）.

設(shè)拋物線的方程為y?=2px（p>0）.

由點(diǎn)A（10,12）在拋物線上,12=2pX10,

：.p=7.2.

拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3.6,0）.

因此燈泡與反射鏡頂點(diǎn)的距離是3.6cm.

知識點(diǎn)四拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用

⑥例4拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸重合于橢圓9/+4/=36短軸所在的直線，拋物

線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,求拋物線的方程.

分析先確定拋物線方程的形式，再依條件求待定參數(shù).

22

解橢圓9丁+4/=36可化為1+戶1,得拋物線的對稱軸為x軸.

設(shè)拋物線的方程為/=ax（aW0）,

又拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3,

則有子=3,.?.|a|=12,即。=±12.

故所求拋物線方程為/=12x,或/=-12/

知識點(diǎn)五直線與拋物線

0例5已知過拋物線/=2.（或0）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于4、8兩點(diǎn)，且=會,

求/彳所在的直線方程.

解焦點(diǎn)廠（多0）,設(shè)4（為，防）、8（x2,㈤,

5

若AB_LOx,則|相|=2仄鏟不合題意.

所以直線48的斜率存在，設(shè)為九

則直線四的方程為y—e，20.

y=klx-與,

由消去X,

4=2px,

整理得ky—2py—kf=0.

韋達(dá)定理得,必+尸產(chǎn)石'=—/

I4gl=7(汨一及)？+(y-%，

?(yi-72)

(刃+㈤？-

c/?1、5

=2。(1+?)=3夕.

解得立=±2.

.??4?所在直線方程為尸2(%一負(fù),或y=-2U-1).

知識點(diǎn)六拋物線的焦點(diǎn)弦問題

⑨例6U是過拋物線/=2px(p>0)焦點(diǎn)廠的弦，M是的中點(diǎn)，/是拋物線的準(zhǔn)線,

MNL1,N為垂足.求證：

(DAV1&V；

(2)/7V±^；

(3)若W交拋物線于Q,則0平分MN.

證明(1)作ACJ_1,垂足為C,作BDL1,垂足為D,在直角梯形ABDC中,

V|AF|=|AC|,|BF|=|BD|,

A|MN|=-(|AC|+|BD|)

2

(|AF|+|BF|)

2

2

2

由平面幾何知識可知

△ANB是直角三角形，即ANLBN.

(2)V|AM|=|NM|,

.?./MAN=NMNA,

VAC/7MN,

.,.ZCAN=ZMNA,AZMAN=ZCAN.

在△ACN和AAFN中，|AN|=|AN|,|AC|=|AF|,

且NCAN=NFAN,AAACN^AAFN,

ZNFA=ZNCA=90Q,

即FNJ_AB.

⑶在Rt^MNF中,連結(jié)QF,

由拋物線的定義及(2)的結(jié)論得

QN|=|QF|=>ZQNF=ZQFN,

且/QFN=90°-ZQFM,ZQMF=90°-ZQNF,

/.ZQFM=ZQMF,/.|QF|=|QM|,

|QN|=|QM|,即Q平分MN.

知識點(diǎn)七拋物線的綜合問題

⑥例7過拋物線爐=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸作傾斜角為6的直線交拋物線于4、8兩點(diǎn),

設(shè)△/!如的面積為S(0為原點(diǎn)).

(1)用。、。表示S；

(2)求S的最小值；當(dāng)最小值為4時，求拋物線的方程.

解(1)設(shè)直線g,代入/=2px,

得，=2痣4,

即y一空曠一d=。，

K

-----2P①

-sin"」

當(dāng)直線軸時，①也成立.

.?.5=10F\MFlsin的|明sin("-0)

明閡sin9

\P2P.ep

=■—?----：—s1n4—-------.

22sinF2sine

⑵當(dāng)0=90°時，

若￡m=4,貝&=4,

,".p='2r\[2.

，此時拋物線的方程為/=4啦x.

考題賞析

1.(遼寧高考)已知點(diǎn)尸是拋物線V=2x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)尸到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)尸

到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()

A.乎B.3C.mD.|

解析如圖所示，由拋物線的定義知，點(diǎn)尸到準(zhǔn)線”=—/的距離d等于點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距

離1陽.

因此點(diǎn)戶到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)。到準(zhǔn)線的距離之和可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)

p0)的距離，則距離之和的最小值為

夕到點(diǎn)尸的距離之和，其最小值為點(diǎn)材(0,2)到點(diǎn)

V17

2?

答案A

2.(全國I高考)已知拋物線y=af—l的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三

個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為.

解析Vy=ax—\,Ay+\=ax.

=2X/

令p+l=V,x=x',則v=ax'：.x

???x'2=~yf的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,即p+l=；i

a\4a)4a

?,?產(chǎn)=&^-1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(o,

又？=af—1的焦點(diǎn)是原點(diǎn)，

4d4

令x=0,得y=-1,令y=0,得才=±2.

故1與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為(0,-1),(2,0),(—2,0),

二圍成三角形面積為5=1x4Xl=2.

答案2

3.(全國n高考)已知尸是拋物線a/=4x的焦點(diǎn)，48是拋物線c上的兩個點(diǎn)，線

段46的中點(diǎn)為#(2,2),則△/!跖的面積等于.

解析設(shè)力(小，yi),8(x2,㈤，則抬=4M,城=4*2.

A(yi+?2)(yi—72)=4(為一尼).

..,?“一二4

?X\~r~X2，??11.

xt-X2y\+y2

直線力6的方程為y-2=x—2,即了=乂

將其代入/=4x,得4(0,0)、8(4,4).

|AB\=472.又尸(1,0)到尸x的距離為平，

義X4"\/2—2.

答案2

自主訓(xùn)練

1.拋物線/=ax（aWO）的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）

4㈤R㈤

A?丁B~

C.\a\D.—|

答案B

解析因?yàn)?=ax,所以。=高，即該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為得，故選B.

2.拋物線/=20x（p>0）上一點(diǎn)〃到焦點(diǎn)的距離是a（a號），則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是（）

A.a+垓B.a-3

C.a+pD.a-p

答案B

解析由拋物線的定義知:點(diǎn)材到焦點(diǎn)的距離a等于點(diǎn)必到拋物線的準(zhǔn)線x=一卷的距離,

所以點(diǎn)"的橫坐標(biāo)即點(diǎn)必到y(tǒng)軸的距離為a—多

3.已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上點(diǎn)尸（一3,血到焦點(diǎn)廠的距離為

5,則拋物線方程為（）

A.y=8xB.y=-8x

C.y=4xD./=-4x

答案B

解析點(diǎn)尸（一3,而在拋物線上，焦點(diǎn)在x軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為/=一

2Pxs>0）.由拋物線定義知I杼1=3+1=5.所以°=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=-8乂

應(yīng)選B.

4.拋物線/=ax的焦點(diǎn)與雙曲線!一步=1的左焦點(diǎn)重合，則這條拋物線的方程是（）

A.y=\xB.y=—4x

C./=一仆,D.y=-8x

答案D

解析因?yàn)楫?dāng)一/=1的左焦點(diǎn)為（-2,0）,所以拋物線開口向左，所以a<0,且P=*=

4,所以a=-8,所以拋物線方程為y=-8x,故選D.

5.辦口廠為拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)，過?且斜率為1的直線交拋物線。于4、6兩點(diǎn).設(shè)

\FA\>\FB\,則I加與|網(wǎng)的比值等于.

答案3+2也

解析；「=4才的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

以1,0）,準(zhǔn)線方程為入=-1,

...過F且斜率為1的直線方程為

y=x-1.

將其代入y2=4x得

x2-6x+1=0.

V|FA|>|FB|,.,.XA=3+2A/2,xe=3-2萬

又|FA|=XA+1,|FB|=XB+1>

.IFAI

邛=3+2萬

"iFBI4-2V2

答案-3

6.過拋物線y'4x的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則04?0B

的值是.

.解析當(dāng)直線過焦點(diǎn)且垂直于X軸時，直線方程為x=l,代入/=4x,H2=土2.4、

8點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,2),(1,-2).

0A-OB=l-4=~3.

當(dāng)直線過焦點(diǎn)不垂直x軸時，則直線的方程可設(shè)為了=鼠》-1),設(shè)兒8坐標(biāo)分別為(為,

%)(如㈤.則/?4=16%及.

由；、得(2A+4)X+N=0,

[y=A(x—1),

OA,6^=為小+%%=1—4=—3.

7.已知圓心(x+2)z+/=l與定直線/：x=l,若動圓C與圓月相外切，且與直線/

相切，求動圓圓心。的軌跡方程.

解設(shè)圓心C到直線1的距離為"，則由題意知|=d+l從而可知圓心C到點(diǎn)(一2,0)

的距離和到定直線x=2的距離相等.

所以動圓圓心。的軌跡是拋物線，其焦點(diǎn)為(-2,0),準(zhǔn)線為x=2,故設(shè)動圓圓心，的

軌跡方程為/=-2/ZY(/?>0),由孑=2,得0=4.

因此動圓圓心C的軌跡方程為"=一8乂

8.已知點(diǎn)材(-2,4)及焦點(diǎn)為尸的拋物線在此拋物線上求一點(diǎn)尸使\PM\+\PF\

o

的值最小.

分析先根據(jù)已知條件畫出圖形，由定義知，拋物線上的點(diǎn)尸到焦點(diǎn)廠的距離等于尸到

準(zhǔn)線1的距離d,所以求\PM\+\PF\的最小值問題可轉(zhuǎn)化為求IPM\+d的最小值問題，讓點(diǎn)P

在拋物線上運(yùn)動，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到過點(diǎn)M且與x軸垂直的直線與拋物線的交點(diǎn)處時，

P^\+d最小.

解如圖，設(shè)MN，x軸，與準(zhǔn)線交于N,與拋物線交于點(diǎn)P,在拋物線上任取一點(diǎn)P',

連P'M,P'F,作P'N垂直于準(zhǔn)線，垂足為N'.

由拋物線的定義，

|PN|=|PF|,\P'N;|-|PZF|

\P'M|+|P,N'|=|P'M|+|PZF|

|PN|+|PM|=|PM|+|PF|

V|P,M|+PN(|>|PN|+|PM|

A|P,Ml+lP*F|>|PM|+|PF|

這就是說，當(dāng)P'與P重合時,PM|+|PF|的值最小

1

解方程組112得P(-2,—).

2

9.已知拋物線7=2人過點(diǎn)0(2,1)作一條直線交拋物線于4、3兩點(diǎn)，試求弦4?中點(diǎn)

的軌跡方程.

解設(shè)弦力方的中點(diǎn)軟x,。，力(汨，yi),B(x?,%),

則有?=2小，贄=2*2,

.>一7_2

又M+%=2%

''X\-X271+72,

.ji-y-1即T

>?——，

x\—x?y

y—1.

又丸。=='由題忌知力。

得y—x—y+2=0.

所以，弦4?中點(diǎn)的軌跡方程為7-x—y+2=0.

10.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135。的直線，被拋

物線所截得的弦長為8,試求拋物線方程.

解如右圖所示，依題意設(shè)拋物線方程為yJ2px(p〉0),

則直線方程為y=—x+-p.

2

設(shè)直線交拋物線于A(x“y),

B(X2,y2)1

則由拋物線定義得

|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|

pp

=X1+——+X2+—f

22

即xi+x2+p=8.①

又4(小，乂)、8(小㈤是拋物線和直線的交點(diǎn).

由卜r+T消去y得.3.+*。，

[y=2px,

.*.xi+x2=3p,將其代入①得p=2.

所求拋物線方程為/=4x.

當(dāng)拋物線方程設(shè)為/=-2px(p>0)時，同理可求得拋物線方程為/=-4x.

故拋物線的方程為"=4x或/=—4x.

講練學(xué)案部分

2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

對點(diǎn)講練

知識點(diǎn)一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

?例?分別求出滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)過點(diǎn)(3,-4).(2)焦點(diǎn)在直線x+3y+15=0上.

解(1廣.?點(diǎn)(3,-4)在第四象限，

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=2px(p>0)或Y=-2p,y(p,>0),把點(diǎn)(3,—4)的坐標(biāo)分別

代入得

169

(-4)2=2pX3,32=—20義(-4)即20=k，2n=彳

二.所求拋物線的方程為/1=6導(dǎo)*或*=一Q,

(2)令x=0得y=—5；令y=0得x=-15

...拋物線的焦點(diǎn)為(0,—5)或(一15,0)

???所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-60x或*=-20卜

【反思感悟】求拋物線方程應(yīng)首先確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定方程的形式，然后利用

已知條件求P的值.

變式遷移1求滿足下列條件的拋物線的方程.

(1)以坐標(biāo)軸為對稱軸，且過點(diǎn)力(2,3)；

(2)以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為萬

解(D由題意，方程可設(shè)為7=磔或*2=心,

將點(diǎn)4(2,3)的坐標(biāo)代入，得

94

3，=勿?2或2'=〃?3,.?.m=5或〃=看

...所求的拋物線方程為9或/=￡4卜

乙O

(2)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為|,

可知。=|.

所求拋物線方程為

V=5x或/=-5x或V=5p或V=-5乂

知識點(diǎn)二拋物線定義的應(yīng)用

⑥例2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)欣一3,而到焦點(diǎn)的

距離等于5,求拋物線的方程和應(yīng)的值.

解設(shè)拋物線的方程為/=-2px(p>0),則準(zhǔn)線方程為*=爭

..?點(diǎn)，"(一3,而是拋物線上的點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義，"點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于〃點(diǎn)到準(zhǔn)線的

距離

-3I+1=5：.p=4.

拋物線方程為/=-8乂

又點(diǎn)."(一3,就在拋物線上故/=-8X(—3)

ni=±2乖.

【反思感悟】涉及拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離問題要注意用定義轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的

距離，可簡化計(jì)算.

變式遷移2若動圓與圓(X—2/+/=1相外切，又與直線x+l=O相切，則動圓圓心的

軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線

C.雙曲線的一支D.拋物線

答案D

解析設(shè)動圓的圓心為半徑為八動圓與圓(“一2)2+/=1相外切，則"到定點(diǎn)(2,0)

的距離為r+1,動圓與直線工=-1相切，則點(diǎn)"到定直線8=-1的距離為r,所以"到定

點(diǎn)⑵0)和到定直線*=一2的距離相等，由拋物線定義知，答案選D.

知識點(diǎn)三拋物線知識在實(shí)際中的應(yīng)用

⑥例3噴灌的噴頭裝在直立管柱0A的頂點(diǎn)A處，噴出水流的最高點(diǎn)8高5m,且與

以所在的直線相距4m,水流落在以。為圓心，半徑為9m的圓上，則管柱力的長是多少？

解如圖所示，

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)水流所形成的拋物線的方程為x2=-2py(p>0),點(diǎn)C(5,-5)在拋

物線上，所以25=-2P?(-5),2p=5,所以拋物線的方程為x?=-5y,點(diǎn)A(-4,y。)在拋物

線上，所以16=-5yo,yo=-y,所以0A的長為5-y=1.8(m).二管柱0A的長是

1.8m.

【反思感悟】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出拋物線方程，再利用拋

物線方程解決實(shí)際問題.

變式遷移3拋物線型拱橋頂距離水面2米，水面寬4米，當(dāng)水下降1米后，水面寬

____米.

答案2乖

解析可設(shè)拋物線方程為/=-2”,則點(diǎn)(一2,—2)在拋物線上，則有：4=40.

.,.p—l,拋物線方程為1=-2y,當(dāng)y=-3時，x=±#.

???水面寬為2

課堂小結(jié)：

1.四個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)字母對應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的

符號確定.當(dāng)系數(shù)為正時，開口方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向；系數(shù)為負(fù)時，開口方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的負(fù)

方向.

2.焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x?=2py通常又可以寫成y=ax；這與以前學(xué)習(xí)的二次

函數(shù)的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax?來求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線時，必須先

化成標(biāo)準(zhǔn)形式.

3.經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的弦稱為拋物線的焦點(diǎn)弦，它有以下特性：設(shè)焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)

2

分別為A(xi,yi),B(x2,y2),則y1y2=-p,xix2=——，IAB|=Xi+x2+p.

4

課時作業(yè)

一、選擇題

1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為X軸，焦點(diǎn)在曲線9—￡=1上，則拋物線方程

為（）

A.y=8xB.y=4.x

C./=2xD./=±8x

答案D

22

解析由題意知拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線十一］=1的頂點(diǎn)，即（-2,0）、（2,0）,所以拋物

線的方程為/=8才或"=-8x.

2.拋物線y=mx（K0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（0,令B.（0,￡）

C.（0,D.（0,-￡）

答案B

解析由于拋物線方程可化為（欣0）,所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且

2p=--,所以§=—；,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,；）,答案選B.

m24m4m

3.過點(diǎn)."（2,4）作與拋物線"=8x只有一個公共點(diǎn)的直線/有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

答案C

解析容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)."（2,4）在拋物線/=8x上，這樣1過歷點(diǎn)且與x軸平行時，/與拋物

線有一個公共點(diǎn)，或者，在M點(diǎn)上與拋物線相切，故選C.

4.已知P\（xi,yi）,Pilxi,%）是拋物線y—2px（p〉0）上不同的兩點(diǎn)，貝Uy\/

是直線A月通過拋物線焦點(diǎn)的（）

A.充分不必要條件

B.充分必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析設(shè)直線的斜率為衣，在x軸上的截距為xo,則。也的方程為y=4（x—X。），

x=%+xo（4=O時只有-一個交點(diǎn)不合題意），

所以y'=2/0/+xo）,即_/一華y—2Pxo=O.

當(dāng)直線尸12過焦點(diǎn)時，xo=導(dǎo)則防鹿=-p：

當(dāng)片次=-A?時，即一2〃的=一爐'，則劉=5直線過焦點(diǎn).

當(dāng)斜率不存在時也可驗(yàn)證是充要條件.

5.過拋物線/=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于/（小，/）,B（xz,㈤兩點(diǎn)，如果汨+及=6,

那么/冽等于（）

A.10B.8C.6D.4

答案B

解析方法一由已知得拋物線焦點(diǎn)為（1,0）,過焦點(diǎn)的直線設(shè)為尸火才一1）（由小+熱

=6知，此直線不平行于y軸，因而衣存在）.

由1"消去p得六/一2（^+2）不+六=0.

,y=4x,

得k=±\.所以|（1+如）（為一冠2=2（不一范產(chǎn)=

x\?A2=l

64,故|明=8.

方法二由焦半徑公式

,AB\—\AF\-\-.BFi\=小+]+用+§=8.

二、填空題

6.拋物線2/+5x=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.

答案（V°）x=l

解析化拋物線2/+5x=0為標(biāo)準(zhǔn)方程7=一占20=也所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一*

ZZZoo

0）,準(zhǔn)線方程為

O

7.設(shè)點(diǎn)?3,￥）與拋物線「=2”上的點(diǎn)尸之間的距離為d,。到拋物線準(zhǔn)線/的距離

為&,則當(dāng)d+d取最小值時，/點(diǎn)坐標(biāo)為.

答案（2,2）

解析當(dāng)尸點(diǎn)是歷與焦點(diǎn),，0）連線與拋物線交點(diǎn)時，d+出最小，物'的方程為

9

一泉與拋物線V=2x聯(lián)立得PR,2）.

O

三、解答題

8.過點(diǎn)0（4,1）作拋物線/=8x的弦四，若弦恰被。平分，求46所在直線方程.

解設(shè)力（汨，跖），8（*2,㈤，因點(diǎn)0（4,1）為46的中點(diǎn)

[XI+X2=8,

則有｛,將1、3兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=8*

lyi+/2=2

y\—Sxi①

則有，。

.疚=8*2②

①一②得：（防一度）（%+度）=8（為一冠，

由弘+及=2,則有~——4,

M一吊

二所求直線方程為y—1=4（%—4）,即4x—y-15=0.

9.一拋物線拱橋跨度為52米，拱頂離水面6.5米，一竹排上有一寬4米、高6米的矩

形大木箱，問能否安全通過？

解

建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)拋物線方程為

x=-2py,

則點(diǎn)（26,-6.5）在拋物線上，

.,.26*2--2p?（-6.5）,

；.p=52,拋物線的方程為x?=-104y,

當(dāng)y=—0.5時，x=±2V13,則有4萬>4,

所以木箱能安全通過.

10.已知過拋物線〃=2px（p>0）的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于/（劉，力）,夙如㈤兩點(diǎn).

求證：（1）X1也為定值；

給）倔y+》[為定值.

證明（1）拋物線/=2px的焦點(diǎn)為《，0）,

當(dāng)月6不垂直于x軸時，

設(shè)直線血的方程為尸?圄（20）.

由卜小一9消去y,

[y=2px

得六寸——p（必+2）x+~~~=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得占也=?（定值）.

當(dāng)軸時，x\=x?=g

2

X1至=/■也成立.

（2）由拋物線的定義知，

\FA\=汨+5|必|=在十苫

又由（1）得小才2=?,

所端T

汨+%+夕

苴（不+意+汨蒞+￡

汨+&+2=2（定值）.

彳（為+%+。）''

2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

對點(diǎn)講練

知識點(diǎn)一由性質(zhì)求方程

⑥例?已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且與圓/+/=4相交的公共

弦氏等于2#,求這條拋物線的方程.

解設(shè)講求拋物線方程為/=2px（p>0）或/=-2〃x（p>0）,設(shè)交點(diǎn)力（xi,yi）,BQ,%），

（yi>0,度<0）,則|%|+I度I=2#,即八一%=小打，由對稱性知，度=一九代入上式得力

=*,把必=餡代入x+/=4得x=±L所以點(diǎn)（1,鏡）在拋物線/=20才上點(diǎn)（一1,鏡）

在拋物線「=一2,彳上，所以3=2,或3=—20義（-1）.所以,=會所以所求拋物線方程為

y'=3才或y=—3x.

【反思感悟】（1）由已知的幾何條件求拋物線方程，常用待定系數(shù)法.（2）由于拋物線

是軸對稱圖形，所以與對稱軸垂直的弦一定被對稱軸平分.

變式遷移1已知拋物線的焦點(diǎn)在X軸上，直線y=2x+l被拋物線截得的線段長為訴,

求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解?.?拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,

???設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為"=2px

y—2px

由方程組',得"+(4—2p)x+l=0.

匕=2x+l

?J汨一也I-------------—.

y11+2'|x\~xi\=^^\/p2—4p.

^^7p2—4p=y[15.”=6或。=-2.

???拋物線的方程為V=12x或/=-4x.

知識點(diǎn)二與拋物線有關(guān)的證明問題

，例2過拋物線焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于4,E兩點(diǎn),通過點(diǎn)4和拋物線頂點(diǎn)的直線

交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)〃，求證：直線的平行于拋物線的對稱軸.

證明

如圖所示，以拋物線的對稱軸為x軸，它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)拋物線的方程為y?=2px,①

點(diǎn)力的坐標(biāo)為僚，外），

則直線處的方程為‘

Ti’②

拋物線的準(zhǔn)線方程是x=_g③

聯(lián)立②③，可得點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)為y=-2④

因?yàn)辄c(diǎn)尸的坐標(biāo)是(5oj,當(dāng)仞Lx軸時，|%|=p

此時，|如|=|勿|,二如〃”軸

當(dāng)48與x軸不垂直時，即近時，

直線力尸的方程為y=⑤

聯(lián)立①⑤,可得點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為〃=一(.⑥

由④⑥可知，〃6〃x軸.

【反思感悟】因拋物線方程的獨(dú)特形式，較之橢圓與雙曲線，它上面的點(diǎn)便于用一個

變量表示出來，如上任一點(diǎn)，可表示為(以，，，注意恰當(dāng)運(yùn)用.

變式遷移2設(shè)拋物線「=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,0是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直

線。。交準(zhǔn)線于。點(diǎn)，過0且平行于拋物線對稱軸的直線交準(zhǔn)線于彳點(diǎn)，求證：PF1RF.

證明

如圖所示，設(shè)點(diǎn)Q

貝ijR.(——,yo)

2

直線0Q的方程為y=&x,

yo

當(dāng)x=-E時，解得y=-",

2yo

,P=&%又F(E

0),A臍=,前=5,一%)

2yo2

.?.宓■?麻土0,：.PFA.RF.

知識點(diǎn)三直線與拋物線的交點(diǎn)問題

⑥例3已知拋物線的方程為*=4x,直線1過定點(diǎn)戶(一2,1),斜率為k.k為何值時,

直線/與拋物線V=4x：只有一個公共點(diǎn)；有兩個公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？

解由題意，設(shè)直線/的方程為y—1=HX+2).

y—1=4(x+2)

由方程組

y=4x

可得：ky—4y+4(24+1)=0.①

(D當(dāng)衣=0時，由方程①得y=l.

把y=l代入/=4x,得x=*

這時，直線/與拋物線只有一個公共點(diǎn)(；，1)

(2)當(dāng)kWQ時，方程①的判別式為

△=一16(24+才一1).

1°由4=0,即2如+4-1=0,

解得k——\,或★=/

于是，當(dāng)衣=一1,或在二'1時，方程①只有一個解，從而方程組(*)只有一個解.這時,

直線/與拋物線只有一個公共點(diǎn).

2°由4>0,即2六+4一1<0,解得一l<*g.

于是，當(dāng)一1<伙/且4去0時，方程①有兩個解，從而方程組有兩個解.這時，直線/

與拋物線有兩個公共點(diǎn).

3°由4<0,即22+力一1>0,

解得在<—1,或衣斗.

于是，當(dāng)衣一1,或時，方程①沒有實(shí)數(shù)解，從而方程組(*)沒有解.這時，直線/

與拋物線沒有公共點(diǎn).

綜上，我們可得

當(dāng)a=-1,或A=；,或4=0時，直線/與拋物線只有一-個公共點(diǎn)；

當(dāng)一1<人看且4W0時，直線/與拋物線有兩個公共點(diǎn);

當(dāng)K—1,或A〉$寸，直線，與拋物線沒有公共點(diǎn).

【反思感悟】當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，拋物線和直線相交，只有一個

交點(diǎn).解決直線與拋物線位置關(guān)系問題時，不要忽視這一點(diǎn)，否則容易漏解.

變式遷移3直線/：y=kx^\,拋物線a〃=4%,當(dāng)A'為何值時，/與C分別相切、相

交、相離？

fy—kx+1,①

解將/和C的方程聯(lián)立L人

[4=4x,②

①式代入②式，并整理，得

發(fā)/+(24—4)x+l=0.

當(dāng)*#0時，是一元二次方程，

，4=(2〃-4)2—4片=16(1一公.

(1)當(dāng)4=0時，即4=1時，/與C相切.

(2)當(dāng)4>0時,即衣1時,/與C相交.

⑶當(dāng)/<0時，即衣>1時，/與C相離.

當(dāng)4=0時.，直線/：尸1與曲線a/=4才相交.

綜上所述，當(dāng)％=0或%<1時，/與C相交，當(dāng)衣=1時，/與C相切，當(dāng)A>1時，1與C

相離.

課堂小結(jié)：

1.在已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為X軸,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，為避免討論

張口的方向可設(shè)拋物線的方程為y'2ax(aWO).此時，不論a>0或a<0,焦點(diǎn)坐標(biāo)都是(幺,0),

2

準(zhǔn)線方程都為x二-色.

2

2.拋物線y"=2px(p>0)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)可用一個量yi表示為;x?=2py(p>0)

2P

X\

上任一點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(Xi,—).

2P

3.直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)直線1：y=kx+m,拋物線：y、2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x

的方程：ax2+bx+c=0,

⑴若a#0,

當(dāng)A〉0時，直線與拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)△=()時，直線與拋物線相切，有一個交點(diǎn)；

當(dāng)A<0時，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn).

(2)若a=0,直線與拋物線有一個交點(diǎn)，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重

合，因此直線與拋物線有一個交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

課時作業(yè)—一?

一、選擇題

1.P(x。，用)是拋物線V=2px(pr0)上任一點(diǎn)，則戶到焦點(diǎn)的距離是()

A.|B.|xo+負(fù)

C.|x?—p\D.|Ao+pl

答案B

解析當(dāng)。>0時，由拋物線定義得點(diǎn)尸(施，㈤到焦點(diǎn)的距離為劉+家當(dāng)。〈。時由拋物

線定義知網(wǎng)質(zhì)，㈤到焦點(diǎn)的距離為一日一施，綜上得所求距離為|劉+￡,故選B.

2.過拋物線/=4x的焦點(diǎn)作直線/交拋物線于4、8兩點(diǎn)，若線段^中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

4,則|力以等于()

A.10B.8C.6D.4

答案A

解析設(shè)/、6兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為無、x,?則有玉+葡=8,

\AB\=\AF\+IBF\—XB+^

=8+p=8+2=10.

3.拋物線〃=2以與直線ax+y—4=0的一個交點(diǎn)是(1,2),則拋物線的焦點(diǎn)到該直線

的距離為()

A.|,\/3

C?娜D.乎

答案B

解析由已知得拋物線方程為V=4x,直線方程為2x+y-4=0,拋物線y=4x的焦點(diǎn)

坐標(biāo)是尸(1,0),到直線2x+y-4=0的距離占與空。=呼

V?+l5

4.若拋物線7=2px(0〉0)上三個點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個點(diǎn)到拋物

線焦點(diǎn)的距離的關(guān)系是()

A.成等差數(shù)列

B.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列

C.成等比數(shù)列

D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列

答案A

解析設(shè)三點(diǎn)為尸I(XI,珀，Pi(xz,㈤，P人X3,7s),

則狀=20小，yi—2pxi,ys.-7.px).,因?yàn)?狀=蘇+蘇，

所以XI+>3=2X2,

即|尸㈤一介舊"一勞=20班一外

所以|K冏+記/=2]臺尸

二、填空題

5.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線垂直于x軸，且焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為4,則其方程為

答案/=16才或/=-16x

解析焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離即^=4,p=8.

6.拋物線y=f上的點(diǎn)到直線2x—y-4=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

答案(1,1)

解

析設(shè)點(diǎn)1(x,。是符合題設(shè)條件的點(diǎn)，則由點(diǎn)到直線的距離公式，得d=^|2x-y

4」V5

x—41

V5

--(1)2—31