高中數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1

必修二復(fù)習(xí)(立體幾何)

第一章柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

一、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱

(1)結(jié)構(gòu)特征：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊

都互相平行，由這些面圍成的多面體。

倒棱

A\

側(cè)面璃點(diǎn)

注意：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎？

答：不一定是.如圖所示，不是棱柱

(2)棱柱的性質(zhì)

L側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形；

2.兩個(gè)底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形；

3.平行于側(cè)棱的截面都是平行四邊形；

(3)棱柱的分類

按側(cè)棱是否和底面垂直分類：

［斜棱柱

L直棱柱嚴(yán)棱柱

I其它直棱柱

按邊數(shù)分：三棱柱四棱柱五棱柱

按側(cè)棱是否與底面垂直分：斜棱柱直棱柱正棱柱

2、棱錐

(1)結(jié)構(gòu)特征：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

(2)棱錐的分類

按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐、

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心的棱錐。

定義：

有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐。

如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱

錐。

性質(zhì)

I、正棱錐的性質(zhì)

(1)各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。

(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在

底面上的射影也組成一個(gè)直角三角形。

正棱錐性質(zhì)2：棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成一個(gè)直角三角形。棱錐的高、側(cè)棱

和側(cè)棱在底面的射影組成一個(gè)直角三角形

棱臺(tái)由棱錐截得而成，所以在棱臺(tái)中也有類似的直角梯形。

3棱臺(tái)

結(jié)構(gòu)特征：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分是棱臺(tái).

4圓柱

結(jié)構(gòu)特征：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做

圓柱。

5圓錐

結(jié)構(gòu)特征：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成

的幾何體叫做圓錐

6圓臺(tái)

結(jié)構(gòu)特征：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分是圓臺(tái).

7球

結(jié)構(gòu)特征：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體.

8空間幾何體的表面積和體積

空間幾何體的表面積和體積

一囪柱的側(cè)面枳：s=2m”

-圓錐的側(cè)面積：s=7trl

面積__圓臺(tái)的側(cè)面積：s=](/+〃)/

_球的表面積：5=47滅2

L柱體的體積：y=sh

錐體的體積：v=^Sh

體積一

臺(tái)體的體積：jzT(S，+JSS+S)〃

球的體積：/=4兀R3

3

練習(xí)題

1.設(shè)棱錐的底面面積為8cm2,那么這個(gè)棱錐的中截面(過(guò)棱錐的中點(diǎn)且平行于底面的截面)

的面積是()

(A)4cm2(B)2V2cm?

(C)2cm2(D)V2cnr2

2.若一個(gè)錐體被平行于底面的平面所載，若截面面積是底面面積的四分之一，則錐體被截

面截得的一個(gè)小錐與原棱錐體積之比為()

(A)l：4(B)1：3

(01:8(D)1：7

3.上、下底面積分別為367r和497r,母線長(zhǎng)為5

的圓臺(tái)，其兩底面之間的距離為

練4：一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是6,高是有，那么這個(gè)正三樓

錐的體積是(A)

(A)9(B)-(C)7(D)-

22

練5：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底

面邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm,

高是1.5cm,求三棱臺(tái)的側(cè)

面積。27^/3

------cnr2

2

6.如圖，等邊圓柱(軸截面為正方形ABCD)一只螞蟻在A處，想吃G處的蜜糖，怎么走才

最快，并求最短路線的長(zhǎng)？

二、空間幾何體的三視圖和直觀圖

「中心投影

投影-「正視圖

廠三視圖-一側(cè)視圖

孑行投影-1-俯視圖

一直觀圖一型二測(cè)

畫(huà)法

平行投影法投影線相互平行的投影法.

(1)斜投影法

投影線傾斜于投影面的平行投影法稱為斜投影法.

(2)正投影法

投影線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法.

?有關(guān)概念：物體向投影面投影所得到的圖形稱為視圖。

?如果物體向三個(gè)互相垂直的投影面分別投影，所得到的三個(gè)圖形攤平在一個(gè)平面上,

則□就是三視圖□。

便視重俯視圖方向

I長(zhǎng)對(duì)正，

?

?高平齊，

俯視圖?寬相等.

三視圖的作圖步驟

1.確定視圖方向

2.先畫(huà)出能反映物體真實(shí)形狀的一個(gè)視圖

3.運(yùn)用長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等的原則畫(huà)出其它視圖

4.檢查，加深，加粗。

g

斜二測(cè)畫(huà)法步驟是：

（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)0。畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們畫(huà)成

對(duì)應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸交于點(diǎn)0',且使/x'O'y'=45°（或135°）,它們確定的

平面表示水平面。

（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x'軸或y'軸的線

段。

（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)

度為原來(lái)的一半。

練1：

圓柱的正視圖、側(cè)視圖都是，俯視圖是；（矩形、圓）

圓錐的正視圖、側(cè)視圖都是,俯視圖是；（三角形、圓及圓心）

圓臺(tái)的正視圖、側(cè)視圖都是,俯視圖是。（梯形、圓環(huán)）

練2：利用斜二測(cè)畫(huà)法可以得到：

①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的

直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形。以上結(jié)論正確的是（）A

（A）①②（B）①（C）③④（D）①②③④

練3：根據(jù)三視圖可以描述物體的形狀，其中根據(jù)左視圖可以判斷物體

的;根據(jù)俯視圖可以判斷物體的;根據(jù)

正視圖可以判斷物體的（寬度和高度、長(zhǎng)度和寬度、長(zhǎng)度和高度）

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

?四個(gè)公理

直線與直線位置關(guān)系

?三類關(guān)系直線與平面位置關(guān)系

平面與平面位置關(guān)系

線線角

?三種角線面角

二面角

線面平行的判定定理與性質(zhì)定理

線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

?八個(gè)定理面面平行的判定定理與性質(zhì)定理

面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

1、四個(gè)公理

公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi).（常用于證明直線在平

面內(nèi)）

公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.（用于確定平面）.

推論1：直線與直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.

推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面.

推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線

（兩個(gè)平面的交線）.

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2、三類關(guān)系

共面:af|b=A,a//b

（1）線線關(guān)系:

.異面:a與b異面

異面直線：

（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一一異面直線；

（2）判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的直線是異面

直線。

異面直線所成的角：（1）范圍：＜9e（O°,9O°];

（2）作異面直線所成的角：平移法

/Qa=A

IHa

直線與平面所成的角（簡(jiǎn)稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)

射影的夾角。

平行：a〃萬(wàn)

（3）面面關(guān)系.人f斜交：an，=a

相交〈工士C

[垂直：a

①二面角：（1）定義：【如圖】；范圍：ZAOBe[0°,180°j

OBL],OAAJ=NAO8是二面角a一/-4的平面角

②作二面角的平面角的方法：

（1）定義法；（2）三垂線法（常用）；（3）垂面法.

3、八個(gè)定理

1.線面平行：

①定義：直線與平面無(wú)公共點(diǎn).

allb

②判定定理：a^a\^cilla（線線平行一線面平行）

bua

alia

③性質(zhì)定理：au（3\^allb（線面平行=線線平行）

=b

2.面面平行：

①定義：anB=0=a//0；

②判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于

另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行；

符號(hào)表述：a,b<^a,aC\h—O,a//a,b//a=i>a///3

allp'

③面面平行的性質(zhì)定理：=〃8

OCy=b

④判定與證明面面平行的依據(jù)：

（1）定義法；（2）判定定理及結(jié)論1;（3）結(jié)論2.

結(jié)論1:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的

兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行

符號(hào)表述：a,bua,aCb=O,a',b'u/3,aHa',hllb'=>all/3

結(jié)論2：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行.

符號(hào)表述：aX.a,aA-/3=>all/3.【如右圖】

3.線面垂直

①定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，

則這條直線垂直于平面。

符號(hào)表述：若任意aua,都有/，且則/_La.

a,bua

a[}b=O

②判定定理：/<za,n/1a（線線垂直二線面垂直）

/.La

IVb

③性質(zhì)定理：a1a,b±a=>a//b（線面垂直=線線平行）;

另：/±a,a<^a=>I±a（線面垂直=線線垂直）；

證明或判定線面垂直的依據(jù)：

（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；

allbQ-

（3）[=>b±a（較常用）；

aLa

allB\

(4)卜=>aJ"4;

aA.a\

a1。

a[\B=b

(5)>=>a.L/3(面面垂直二>線面垂直)

aua

aA-b

4.面面垂直

(1)定義：若二面角c—/一方的平面角為90。，則。，尸；

(2)判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

(線面垂直=面面垂直)

aLp

a1B

..-a[}IBZ=AB

⑶性質(zhì)定理：(面面垂直=>線面垂直);

aua

aJ_AB

基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò):

立體幾何解題中的轉(zhuǎn)化策略

位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：

大策略：空間到平面

小策略：

①平行轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行

②垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直線面垂直面面垂直

③平行關(guān)系垂直關(guān)系

例1：在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—AiBiGD]中,

(1)求異面直線AiB與BiC所成的角的大??；

(2)求直線A〔B與平面BBRiD所成的角；

(3)求二面角A—BD—A1的正切值；

(4)求證:平面A*D〃平面CB]Di；4

(5)求證:直線4G1平面A]HD;卜卜

(6)求證：平面4SG1平面A]BD;%]'

(7)求點(diǎn)A1到平面CB〔Di的距離.卜、、

例2：

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-431Gz中，AAX=,4D=a,

AB=2a,E、尸分別為G2、43的中點(diǎn).D,.

(I)求證：DE±平面BCE；.*j

A

練習(xí)1；

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AXBXCXDX中，441=40=a,

AB=la,E、尸分別為G。1、43的中點(diǎn).D,_

(I)求證：DE1平面3C￡；A」

(H)求證：4F〃平面BDE.

AB

策略：線面平行轉(zhuǎn)化成線線平行（空間轉(zhuǎn)化平面）

例3（綜合題型）：

一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示:

（其中M-V分別是幺尸、5。的中點(diǎn)）

1）求該多面體的表面積與體積（策略：空間幾何體的相互轉(zhuǎn)化可考慮將該多面體補(bǔ)圖成

正方體

解：1,?r~

S=2X-X22+2X23+2X2>/2

2

=12+40

K=-x22x2=4

2

（2）求證：MN/怦面CDEE

解：

連結(jié)EC,貝（I5E經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

在△5EC中,MN是中位線

MN//EC'

ECu平面CDE尸1=孫7/平面。。底產(chǎn)

必/0平面。?！戤a(chǎn)

策略：利用中位線將線面平行轉(zhuǎn)化成線線平行

(3)求二面角C-4F-8的正切值;

解：連結(jié)

AB=BF=2,AC=CF=2?

M為4尸的中點(diǎn)

NCMB為二面角C-AF-3的平面角

CB=?,MB=0,在比ACMB中

tanZGW5=-=72

MB

策略：將二面角轉(zhuǎn)化成平面角，先找后求

第三章直線與直線方程

1、直線的傾斜角

傾斜角的取值范圍是0°?a<180°.

2、直線的斜率

k=tan0,(ah90°)

意義：斜率表示傾斜角不等于90。的直線對(duì)于X軸的

傾斜程度。

直線的斜率計(jì)算公式:i即左…;

X-Xt:

L.2

直線方程的形式:

形式條件方程應(yīng)用范圍

點(diǎn)斜式過(guò)點(diǎn)(Xo,%),

了一兒=左(工一%)上存在

斜率為k

斜截式在y軸上的截距為b,

斜率為ky=kx+b上存在

過(guò)Pi(Xi，y?,〃存在

兩點(diǎn)式y(tǒng)-yi=

P2(X2J2)為一必％2一再且左二0

截距式在y軸上的截距為b,室”上存在且工0

在x軸上的截距為a

ab且不過(guò)原點(diǎn)

一般式Ax+By+C=0任何直線

兩直線平行的判定:

方法：

1)若[：y=左X+4，，2:y=k2x+b2

4〃/,U>左]二k,&Wb?

2)若4：A^x+B[y+C]—0572:A^x+B,y+C)-0

ij/1,=A.B2=4瓦,4。2H4G

兩直線相交的判定：

方法：

1)若，i：y=4+a12：y=k2x+b2

4,相交。左w左2

2)若4：4*+8/+G=0,/2:A2X+B2y+C2=0

中2相交o4B2H4B]

兩直線垂直的判定：

方法：

1)若4y=kxx+bx,l2:y=k2x+b2

4_!_/?Okx?左,=-l

2)若/"3+Bxy+G=0,/2:A2X+B2y+C2=0

._L，2=442+瓦32=0

4.點(diǎn)到直線的距離，平行線的距離

(1)點(diǎn)P(%,Jo)到直線4V+5j+C=0距離：

.|//+如+。|

JT+H

(2)直W+5j+G=倒直線小+為+。2=0

的距離：

dK2-GI

d=-------=

」A2

中對(duì)稱(點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線)

解決方法中點(diǎn)坐標(biāo)公式

切軸對(duì)稱(點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線)

解決方法⑴垂直⑵中點(diǎn)在對(duì)稱軸上

題型一求直線的方程

例1、求適合下列條件的直線方程：

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,-3),且傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程

形式，把所需要的條件求出即可.

解(1)方法一設(shè)直線1在x,y軸上的截距均為a,

若a=0,即1過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,2),

...I的方程為尸x,即2x-3y=0.

若aWO,則設(shè)1的方程為

?.T過(guò)點(diǎn)(3,2),

.".a=5,/.1的方程為x+y-5=0,

綜上可知，直線1的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.

方法二由題意知，所求直線的斜率k存在且kWO,

設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),

令y=0,得x=3-，令x=0,得y=2-3k,

由已知3-=2-3k,解得1<=-1或1<=,

二直線1的方程為

y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),

即x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為，

則所求直線的傾斜角為2.

Vtan=3,tan2=

又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,-3),

因此所求直線方程為y+3=-(x+1),

即3x+4y+15=0.

即(k-5)(4k+2)20,???k25或k].

即直線I的斜率k的取值范圍q-哈-；

U[5,+8).

題型三兩直線的位置關(guān)系

例3：已知直線方程為(2+4)x+(1—2A)y+9—34=0.

(1)求證不論/取何實(shí)數(shù)值，此直線必過(guò)定點(diǎn)；

(2)過(guò)這定點(diǎn)引一直線，使它夾在兩坐標(biāo)軸間的線段被這點(diǎn)平分，求這條直線方程.

解：把直線方程整理為2x+y+9+(x-2y-3)=0.

]2x+y+9=0

解方程組

|x—2y—3=0

即點(diǎn)(一3,—3)適合方程2x+y+9+4c-2y—3)=0,也就

是適合方程Q+1)x+(l-22?+9-32=0.

所以，不論才取何實(shí)數(shù)值，直線(2+4)x+(l—2/)什9-34=0必過(guò)定點(diǎn)(—3,—3).

⑵設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,—3)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于4(a,0),B(0,

a+0

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

解得a=-6,6=—6.

故過(guò)點(diǎn)(-3,—3)的直線方程為人+士=1,

即x+y+6=0.

練1、過(guò)P(-1,2)的直線/與線段相交，若”(-2,-3),鳳3,0)，

求/的斜率左的取值范圍。

2、證明：/(T,—5)1(3,3),0(7,11)三點(diǎn)共線。

3、設(shè)直線/的斜率為左,且-石求直線的傾斜角〃

的取值范圍。3

4、已知直線/的傾斜角的正弦值為§，且它與兩坐標(biāo)軸圍成

的三角形面積為6,求直線/的方程。

答案：1、ke-oo,--U[5,+oo)；2、方法：①=kAC

(2)\AB\+\BC\=\AC\③赤/就；3、0'?)u?！?；

練5、a為何值時(shí)，直線我+(l-a)j，+3=0與(。-1)*+(2。+3)『一2=0

平行？垂直？

練6、求過(guò)點(diǎn)/(—1,2)且與原點(diǎn)的距離為日的直線方程。

答案；1、判斷4星-工通1是否為0,。=1或。=一3時(shí)垂直;

2、x+『-1=0或7x+『+5=0;

7、將直線4x-y+2=0繞著

它上面的一點(diǎn)⑵囪)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15。

得直線辦求4的方程。

解：?.?41=1左？=tan(45°+15°)=、回

：.i【'y~4^>—4^>(x-1)

：.V3x-y-43=0為所求的方程。

8、直線過(guò)點(diǎn)(-2,-1),且在兩坐標(biāo)軸上

的截距相等，求直線方程。

解：若直線截距為o,則設(shè)所求直線為J，=",

再由過(guò)點(diǎn)(―2,-U得4二工；

2

若直線截距不為0,則設(shè)所求直線為二+工=1,

aa

再由過(guò)點(diǎn)得。=一3.

/.所求直線方程為x-2y=0或x+『+3=0。

9、(1)求A(-2,3)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)光線自A(-3,3)射出，經(jīng)x軸反射以后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,5),求入射光線和反射光線

的直線方程；

(3)已知M(-3,5),N(2,15),在直線上找一點(diǎn)P,使|PM|+|PN|最小，并求出最小值

10、若直線ax+by+c=0在第一、二、

三象限，則(D)

A.ab>0,bc>0B.ab>0,

C.ab<0,bc>0D.ab<0,bYO

解析：由題意，直線的斜率一定大于0,所以及=一彳>0,

即疑<0；根據(jù)直線的縱截距大于0,可得3>0,即從V0.

第四章圓與方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

!(x-a)2+(>^-6)2=r2>

?_____________________________j

圓的一般方程

!x2+y2+Dx++F=0!

圓的參數(shù)方程

；Jx=a+r8saj

![v=Z>+rsiner!

1.(全國(guó))圓心為(1,2)且與直線5x-12y-7=0相切的圓的方程為

2.圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2),求圓C的方程.

3.AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(5,l),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.

直線與圓的位置關(guān)系：

位置關(guān)系判斷方法

相離/或A>0

相切