高中數(shù)學(xué)必修1第二章導(dǎo)學(xué)案

§2.1.1指數(shù)與指數(shù)鬲的運(yùn)算（1）

。學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了M指數(shù)函藪模型背景及實(shí)用性、必要性；

2.了解根式的概念及表示方法；

3.理解根式的運(yùn)算性質(zhì).

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：正方形面積公式為；正方體的體積公式

為.

復(fù)習(xí)2：（初中根式的概念）如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫

做a的,記作；

如果一個(gè)數(shù)的立方等于那么這個(gè)數(shù)叫做a的，記

作.

二、新課導(dǎo)學(xué)

1.一般地，若%”=。,那么％叫做,

其中n>1,“GN*.

2.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)，負(fù)數(shù)的n次

方根是一個(gè),這時(shí)，。的〃次方根用符號(hào)表示.

個(gè)

3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有個(gè)，這.

表

.這時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)

數(shù)次

示，負(fù)的〃次方根用符號(hào)表示，正的〃次方根與負(fù)的〃

方根可以合并成_________________

4.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0,

即.

5.標(biāo)的式子就叫做,這里〃叫做，。叫

做.

6.（五）"=（?>0）.

7.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，"/=；

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，"=.

8.規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)塞如下

m

an=(a>O,m,nEN*,n>1)；

m

an=(a>O,m,nEN*,n>1)

9.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)靠

10.指數(shù)鬲的運(yùn)算性質(zhì)：(”0力>0,r,se°)

ar?ar=；

(優(yōu))'=；(aby=.

派典型例題

例i求下類各式的值：

(1)#(-4；(2)1(-7)4；

(3)兀)6；(4)m("b)2(a<b).

變式：計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各式.

(1)^=32；(2)際.

推廣：=行(?>0).

2-i3、_325--

例2求值：27、163；(-)；(―)3

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的形式表示下列各式（b>0）：

（1）b2*4b；（2）/*赤；（3）寂后.

例4計(jì)算（式中字母均正）：

21111512

（1）（3Q§廬）（一8〃56）+（_6/川）；(2)"滔)，

例5計(jì)算:

(1)（a〉0）；

4a*y[^

(2療〃_石3)1°+(-JI

(2)(m,nsN*)；

(3)阪-衣）+癇.

方咒4當(dāng)行指數(shù)塞的運(yùn)算時(shí)，一般地，化指數(shù)為正指數(shù)，化根式為

數(shù)累，對(duì)含有指數(shù)式或根式的乘除運(yùn)算，還要善于利用哥的運(yùn)

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.〃次方根，根式的概念；

2.根式運(yùn)算性質(zhì).

X當(dāng)堂檢測(cè)

1.而示的值是（).

A.3B.-3C.±3D.81

2.化簡(jiǎn)（汴了是（).

A.-bB.bC.±bD.1

b

3.若?！?,且根，〃為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）.

A?Q+Q=〃B.CI-a=a

H

tn\-1.4〃八。一〃

(a)=QD.\~d-Cl

_2

4.化簡(jiǎn)2-=.

3ni-n

5.若I。'"=2,10"=4,貝收0亍=

課本59頁(yè)第1、2、4(1)(3)(5)(7)

§2.1.1指數(shù)與指數(shù)鬲的運(yùn)算(2)

編寫人：李利峰審核人：牛紅麗

1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念；

2.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化；

3.掌握有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算.

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1:一般地，若x"="，則x叫做a的,其中簡(jiǎn)

記為:.

像后的式子就叫做，具有如下運(yùn)算性質(zhì)：

麗)"=;折=;.

復(fù)習(xí)2：整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì).

(1)a'"a"=;(2)(a"')n=

(3)(ab)"=.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

引例：。>0時(shí)，=y](a*2)3*5=a?=〃5,

則類似可得療=；

=d(〃?)3=廣，類似口1得&=.

新知：規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)事如下

an=\/a^(a>0,九〃eN*,〃>1);

_竺11.

an=——=-f=(a>0,m,〃eN”,〃>1).

J療

試試：

(1)將下列根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)累形式:

次=；VF=；

y[a^=(〃>0,mGN").

2245

(2)求值:8“5$;61;Q.

反思：

①0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累為;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累為.

②分?jǐn)?shù)指數(shù)塞有什么運(yùn)算性質(zhì)？

小結(jié):

規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有

理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)辱的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)

幕.

指數(shù)懸的運(yùn)算性質(zhì)：(a>0,b>0,r,seQ)

ar?ar=ar+s;(")'=a";(")’=優(yōu)優(yōu).

X典型例題

例1求值：27：；16，(-)-3;(―)^.

549

變式：化為根式.

例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的形式表示下列各式（“0）：

（1）b24b；（2）方亞；（3）瞞.

例3計(jì)算（式中字母均正）：

212L13

（1）（3/涼）（_8射6）+（_6/碗）；（2）（，病"町6.

小結(jié)：例2,運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用；例3,單項(xiàng)式運(yùn)算.

例4計(jì)算:

(1)才存（°>0）；

3

（2/）町0+（-加“-3）6

(2)(m,nGN*);

（3）阪-際）+癇.

小結(jié)：在進(jìn)行指數(shù)累的運(yùn)算時(shí)，一般地，化指數(shù)為正指數(shù)，化根式為

分?jǐn)?shù)指數(shù)哥，對(duì)含有指數(shù)式或根式的乘除運(yùn)算，還要善于利用事的運(yùn)

算法則.

反思：

①3忘的結(jié)果?

結(jié)論：無(wú)理指數(shù)塞.（結(jié)合教材尸53利用逼近的思想理解無(wú)理指數(shù)幕意

義）

②無(wú)理數(shù)指數(shù)塞/g>0,a是無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)指數(shù)塞的

運(yùn)算性質(zhì)如何？

X動(dòng)手試試

8

練1.把]）#「化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕.

練2.計(jì)算：⑴冷料匹;（2）

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

①分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義；②分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化；③有理指數(shù)幕的

運(yùn)算性質(zhì).

X知識(shí)拓展

放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型為：m=其中f表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間,

恤表示初始質(zhì)量，衰減后的質(zhì)量為相，2為正的常數(shù).

4a學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X當(dāng)堂檢測(cè)

1.若〃>0,且見(jiàn)”為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）.

m

A.a'"^an=a7B.a'n-an=a'n"

n

C.（am\]=a+〃\J.1+.a/=a^0-n

3

2.化簡(jiǎn)253的結(jié)果是（）.

A.5B.15C.25D.125

3.計(jì)算/閭丁的結(jié)果是（）.

A.3B.-V2C.也D.一也

22

§2.1.1指數(shù)與指數(shù)鬲的運(yùn)算(練習(xí))

編寫人：王曉華審核人：馬銀珠

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握〃次方根的求解；

2.會(huì)用分?jǐn)?shù)指數(shù)累表示根式；

3.掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算.

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：什么叫做根式？運(yùn)算性質(zhì)？

像標(biāo)的式子就叫做，具有性質(zhì):

麗)"=；后=；'獷=.

復(fù)習(xí)2：分?jǐn)?shù)指數(shù)累如何定義？運(yùn)算性質(zhì)？

其中〃>0,m,

②"優(yōu)=；(ar)s=;

(ah)'=.

復(fù)習(xí)3：填空.

①〃為_____時(shí)，值=1訃［….…WR.

I*<0)

②求下列各式的值：

VF=；V16=；呵=

=；'^32=；

亞=;封=.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

11

例1已知宜+尸=3,求下列各式的值:

3_3

⑴…'(2)/+,尸；⑶笄2$2

戶

補(bǔ)充:立方和差公式/±/=①土b)(a2+ab+b2).

小結(jié)：①平方法；②乘法公式；

③根式的基本性質(zhì)%為=痂(“NO)等.

注意，QNO十分重要，無(wú)此條件則公式不成立.例如，#(-8)2w”.

變式：已知)->=3,求：

1133

(1))+??；(2)丁-丁.

例2從盛滿1升純酒精的容器中倒出燈然后用水填滿，再倒出丹

又用水填滿，這樣進(jìn)行5次，則容器中剩下的純酒精的升數(shù)為多少？

變式：〃次后？

小結(jié)：①方法：摘要一審題；探究一結(jié)論；

②解應(yīng)用問(wèn)題四步曲：審題一建模一解答一作答.

X動(dòng)手試試

練1.化簡(jiǎn)：(￡-y2)+(/-/).

練2.已知無(wú)+無(wú)"=3,求下列各式的值.

I133

(1)戶+一；(2)/+xN

練3.已知f(X)=三，%>o，試求VTwvuJ的值.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算;

2.乘法公式的運(yùn)用.

X知識(shí)拓展

1.立方和差公式：

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

a3-b}=(a-b)(a2+ab+b2).

2.完全立方公式：

(a+b)}=a3+3a2h+3ah2+h3;

(a-b)3=a}-3a2b+3ab2-b).

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派當(dāng)堂檢測(cè)

1..的值為（）.

A.73B.3也C.3D.729

2---（。＞0）的值是（）.

a后

217

A.1B.aC.心D.小

3.下列各式中成立的是（）.

A.（―）7=VL1T^B.g（-3），=\/—3

m

C.y]x3+y3=（x+y）4D.7W=^3

4.化簡(jiǎn)6/=________.

4

一21I?i15

5.化簡(jiǎn)（a方）（-3〃嘮）嗎。6時(shí)=

心課后作業(yè)_________

1.已知犬=/+小，求辦2_2〃\+武的值.

2.探究：海+（標(biāo)）,=2a時(shí)，實(shí)數(shù)”和整數(shù)〃所應(yīng)滿足的條件.

§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)

編寫人：馬發(fā)展審核人：李利峰

0學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.亍禰指藪南藪模型的實(shí)際背景，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活及其他學(xué)科

的聯(lián)系；

2.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義；

3.能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、特

殊點(diǎn)).

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：零指數(shù)、負(fù)指數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)哥怎樣定義的？

(1)a°=；(2)an=；

m_m

(3)a"=；an=.

其中a>O,m,neN*,n>1

復(fù)習(xí)2：有理指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì).

(1)a,nan=；(2)("=；

(3)(abY=.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)一：指數(shù)函數(shù)模型思想及指數(shù)函數(shù)概念

實(shí)例：

A.細(xì)胞分裂時(shí)，第一次由1個(gè)分裂成2個(gè)，第2次由2個(gè)分裂成

4個(gè)，第3次由4個(gè)分裂成8個(gè)，如此下去，如果第尤次分裂得到y(tǒng)

個(gè)細(xì)胞，那么細(xì)胞個(gè)數(shù)y與次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么？

B.一種放射性物質(zhì)不斷變化成其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年的殘留量是

原來(lái)的84%,那么以時(shí)間x年為自變量，殘留量y的函數(shù)關(guān)系式是什

么？

討論：上面的兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征？底數(shù)是什么？指數(shù)是什么？

新知：一般地，函數(shù)y=a，（a>o,且"1）叫做指數(shù)函數(shù)（exponential

function）,其中％是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.

反思：為什么規(guī)定a>0且存1呢？否則會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

探究任務(wù)二：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

回顧：

研究方法：畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì).

研究?jī)?nèi)容：定義域、值域、特殊點(diǎn)、單調(diào)性、最大（小）值、奇偶性.

作圖：在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)圖象：

y=，y=2'

討論：

（1）函數(shù)>=2、與y=g）'的圖象有什么關(guān)系？如何由y=2、的圖象

畫出了=（彳）、的圖象？

X典型例題

例1函數(shù)/(%)=優(yōu)金>0,51)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,二)，求〃0),/(I),

/(-3)的值.

例2比較下列各組中兩個(gè)值的大?。?/p>

65

(1)2°-,2°-;(2)0.9一2,0.945；

052J

(3)2.1,0.5;(4)萬(wàn)層6與1.

小結(jié)：利用單調(diào)性比大??；或間接利用中間數(shù).

X動(dòng)手試試

練1.已知下列不等式，試比較加、〃的大?。?/p>

(1)(?”>($"；(2)i.r<i.i\

練2.比較大?。?/p>

7O9O8

(1)6Z=O.8°-,Z7=O.8,C=1.2;

(2)1°,0.4-2-5,2-0-2,2.5'-6.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

①指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用思想；②指數(shù)函數(shù)概念；③指數(shù)函數(shù)的圖象與性

質(zhì)；③單調(diào)法.

X知識(shí)拓展

因?yàn)閥=a'（a〉O,且awl）的定義域是R,所以

），=〃*）伍〉0,且a。1）的定義域與/（%）的定義域相同.而

y=。（相）（a>0,且a。1）的定義域，由y=0。）的定義域確定.

女粉學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X當(dāng)堂檢測(cè)

1.函數(shù)丁=（/-3。+3）優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則0的值為（）.

A.1B.2C.1或2D.任意值

2.函數(shù)（Q>0,QW1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（）.

A.（0,1）B.（0,2）C.（2,1）D.（2,2）

3.指數(shù)函數(shù)①/（x）=M,②g（x）="'滿足不等式0<相<〃<1,則它

5.函數(shù)y=J（*T的定義域?yàn)?/p>

J課后作業(yè)

1

1.求函數(shù)的定義域.

-1

2.探究:在阿，用上，/3=優(yōu)（。>0且"1）值域?

§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（2）

編寫人：李利峰審核人：牛紅麗

1.熟練掌握指數(shù)函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)；

2.掌握指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域，會(huì)判斷其單調(diào)性；

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：指數(shù)函數(shù)的形式是

y=2',y=,y=i(r,y=(Q-

思考：指數(shù)函數(shù)的圖象具有怎樣的分布規(guī)律?

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1我國(guó)人口問(wèn)題非常突出，在耕地面積只占世界7%的國(guó)土上，卻

養(yǎng)育著22%的世界人口.因此，中國(guó)的人口問(wèn)題是公認(rèn)的社會(huì)問(wèn)

題.2000年第五次人口普查，中國(guó)人口已達(dá)到13億，年增長(zhǎng)率約為

1%.為了有效地控制人口過(guò)快增長(zhǎng)，實(shí)行計(jì)劃生育成為我國(guó)一項(xiàng)基

本國(guó)策.

(1)按照上述材料中的1%的增長(zhǎng)率，從2000年起，％年后我國(guó)的

人口將達(dá)到2000年的多少倍？

(2)從2000年起到2020年我國(guó)人口將達(dá)到多少？

小結(jié)：學(xué)會(huì)讀題摘要；掌握從特殊到一般的歸納法.

試試：2007年某鎮(zhèn)工業(yè)總產(chǎn)值為100億，計(jì)劃今后每年平均增長(zhǎng)率

為8%,經(jīng)過(guò)x年后的總產(chǎn)值為原來(lái)的多少倍？

小結(jié)：指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型.

設(shè)原有量N,每次的增長(zhǎng)率為p,則經(jīng)過(guò)九次增長(zhǎng)后的總量

產(chǎn)__________.我們把形如y=妨、(%￡凡。〉0,且。。1)的函數(shù)稱

為指數(shù)型函數(shù).

例2求下列函數(shù)的定義域、值域：

__J_

(1)y=2'+l；(2)y=3歷＞(3)y=0.戶.

變式：?jiǎn)握{(diào)性如何?

小結(jié)：?jiǎn)握{(diào)法、基本函數(shù)法、圖象法、觀察法.

試試：求指數(shù)函數(shù)y=2'的定義域和值域，并討論其單調(diào)性.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.指數(shù)函數(shù)應(yīng)用模型>=履'（攵￡&。>0且

2.定義域與值域；

2.單調(diào)性應(yīng)用（比大小）.

派知識(shí)拓展

形如y=〃"）（a>0,且OH1）的函數(shù)值域的研究，先求得/⑴的值域，

再根據(jù)"的單調(diào)性，列出簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式，得出所求值域，注意不

能忽視y=a"">0.而形如y=0（相）5>0，且awl）的函數(shù)值域的研

究，易知能〉0,再結(jié)合函數(shù)°。）進(jìn)行研究.在求值域的過(guò)程中，配合

一些常用求值域的方法，例如觀察法、單調(diào)性法、圖象法等.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派當(dāng)堂檢測(cè)

1.如果函數(shù)產(chǎn)，3>0,。壬1）的圖象與函數(shù)y=b'3>0/Wl）的圖象關(guān)于

y軸對(duì)稱，則有（）.

A.a>bB.a<b

C.ab=lD.a與Z?無(wú)確定關(guān)系

2.函數(shù)/（x尸3-x—1的定義域、值域分別是（）.

A.R,RB.R,（0,+8）

C.R,（-l,+oo）D.以上都不對(duì)

3.設(shè)a、b均為大于零且不等于1的常數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.

A.y=a"的圖象與y=a一，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.函數(shù)段）=/r（a>l）在R上遞減

C.若a五>61垃',則Q>1

D.若2、>1,則x>l

4.比較下列各組數(shù)的大小:

-

（1/_（0.4）2.*嚴(yán)6（造尸75

5.在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)產(chǎn)Q\y=//,y=c\的

圖象如右圖，則。、氏c、d、1之間從小到大的

順序是.

「0裸后作業(yè)

2_

1.已知函數(shù)八%）=。一三jj"（a￡R）,求證：對(duì)任何QGR,兀￥）為增函

數(shù).

2X-1

2,求函數(shù)y=仃的定義域和值域，并討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(1)

編寫人：牛紅麗審核人：王曉華

「&式一學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解對(duì)數(shù)的概念；

2.能夠說(shuō)明對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；

3.掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化.

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：莊子：一尺之梗，日取其半，萬(wàn)世不竭.

(1)取4次，還有多長(zhǎng)？

(2)取多少次，還有0.125尺？

復(fù)習(xí)2：假設(shè)2002年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增

長(zhǎng)8%,那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)是2002年的2倍？(只列式)

二、新課導(dǎo)學(xué)

新知：一般地，如果優(yōu)=N(a>0,awl),那么數(shù)x叫做以。為底N

的對(duì)數(shù)(logarithm).

記作x=logaN,其中Q叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

新知：我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)(common

logarithm),并把常用對(duì)數(shù)log1。N簡(jiǎn)記為愴乂在科學(xué)技術(shù)中常使用

以無(wú)理數(shù)e=2.71828……為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù),

并把自然對(duì)數(shù)1。瓦N簡(jiǎn)記作liW.

試試：分別說(shuō)說(shuō)lg5、lg3.5、InlO、ln3的意義.

反思：

(1)指數(shù)與對(duì)數(shù)間的關(guān)系？

。>0,。。1時(shí)-，a=-No____________.

(2)負(fù)數(shù)與零是否有對(duì)數(shù)？為fT專

(3)log(/1=,log.a=.

X典型例題

例1下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式.

(1)5:125；(2)2"=擊；⑶3"=27；

1Zo

(4)KT?=0.01；(5)l°g|32=-5；

2

(6)lg0.001=-3；(7)In100=4.606.

變式：log[32=?lg0.001=?

2

小結(jié)：注意對(duì)數(shù)符號(hào)的書寫，與真數(shù)才能構(gòu)成整體.

例2求下列各式中九的值：

2

⑴1嗎4%=§；（2）log*8=-6；

3

（3）愴%=4；（4）Ine=x.

小結(jié)：應(yīng)用指對(duì)互化求％.

X動(dòng)手試試

練1.求下列各式的值.

25

(1)log5；(2)log2—；(3)lg10000.

練2.探究log。屋=?*g.N=?

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

①對(duì)數(shù)概念；②IgN與TnN；③指對(duì)互化；④如何求對(duì)數(shù)值

知識(shí)拓展

對(duì)贏中學(xué)初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，那么當(dāng)初是誰(shuí)首創(chuàng)“對(duì)數(shù)”這

種高級(jí)運(yùn)算的呢？在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是十六世紀(jì)末

到十七世紀(jì)初的蘇格蘭數(shù)學(xué)家——納皮爾（Napier,1550-1617年）

男爵.在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽(yáng)中心說(shuō)”剛剛開始流行,

這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科.可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限

性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)

字”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間.納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一

位天文愛(ài)好者，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，他多年潛心研究大數(shù)字的計(jì)算技術(shù)，

終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù).

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X當(dāng)堂檢測(cè)（材量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.若log2%=3,則》=（）.

A.4B.6C.8D.9

A.1B.-1C.2D.-2

3.對(duì)數(shù)式10g,一2（5—。）=匕中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.(-oo,5)B.(2,5)C.(2,+oo)D.(2,3)U(3,5)

4.計(jì)算：logg(3+20)=.

5.若logv(VI+1)=-1,貝lj尸,若log&8=y,貝I1y=

1.將下列指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式.

(1)35=243；(2)2-5=\；(3)4"=30

m

(4)(1)=1.03；(5)log.16=-4.(6)10g2128=7.

(7)log327=.

2.計(jì)算：

(1)log927；(2)log3243；(3)10g我81；

⑷log*。-a；

§§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(2)

編寫人：王曉華審核人：馬發(fā)展

2學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并能理解推導(dǎo)這些法則的依據(jù)和過(guò)程;

2,能較熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則解決問(wèn)題..

&學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：

(1)對(duì)數(shù)定義：如果/=N(a>O,aHl),那么數(shù)X叫做

記作.

(2)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化：a'=N。.

復(fù)習(xí)2:幕的運(yùn)算性質(zhì).

(1)a"'an=;(2)("")"=

(3)(ab)"=.

復(fù)習(xí)3：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義及對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系解答：

⑴設(shè)log“2=m,log“3=〃，求am+n；

(2)設(shè)logflN=nr試?yán)??、〃表不log?(M,N).

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及推導(dǎo)

問(wèn)題：由如何探討10g.MN和log.M、log.N之間的關(guān)系？

設(shè)log,,M=p,log,,N=q,

由對(duì)數(shù)的定義可得：M=a",N=?！?

.?.MN=a3=a"",

...i°g“MN=p+q,即得bg，，MN=i°g"M+lo^N.

根據(jù)上面的證明，能否得出以下式子？

如果a>0,a^\,M>0,N>0,則

(I)\oga(MN)=loguM+log?N；

M

(2)log?—=log.,M-log?N；

(3)logaM"logoM(n&R).

反思：

自然語(yǔ)言如何敘述三條性質(zhì)？性質(zhì)的證明思路？(運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，先通過(guò)

假設(shè)，將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，并利用塞運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再根據(jù)對(duì)數(shù)

定義將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式.)

X典型例題

例1用log”％,log0y,log?z表示下列各式：

,、i孫、，^yjy

(1)log”~；(2)bg“s廠.

zWz

例2計(jì)算:

(1)logs25；(2)logo.41；

85

(3)log2(4x2)；(4)IgVlOO.

探究：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)換底公式皿二置5,且心O0,

且cw1;/;>0).

X動(dòng)手試試

練1.設(shè)lg2=〃，lg3=b,試用a、b表不logs1？.

變式：已知1嗎3=4,1嗚7=4用a,b表示-4256.

練2.計(jì)算：(1)-一.⑵需.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

①對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及推導(dǎo)；②運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)；③換底公式.

X知識(shí)拓展

①對(duì)數(shù)的換底公式log*=通冬；②對(duì)數(shù)的倒數(shù)公式log"=J

log/,alog,,a

③對(duì)數(shù)恒等式：log。"N"=log”，

logN"=21og.N,10gflZ?10g/,cl0gf4=1.

m

X當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列等式成立的是()

2

A.log,(34-5)=log23-log25B.log2(-10)=2log,(-10)

33

C.log2(3+5)=log231og25D.log2(-5)=-log25

/—log,(-a)2

2.J5-(QNO)化簡(jiǎn)得結(jié)果是().

A.~aB.a2C.IaID.a

3.若21g(y—2%)=lg%+lgy,那么().

A.y=%B.y=2xC.y=^xD.y=4x

4.已知3。=5"=m，且，+：=2,則加=

ab

5.計(jì)算：愴/|+；坨3=.

心課后作業(yè)

1.計(jì)算：

一、lgV27+lg8-31gVT0

(])rlgrl.^2；

(2)Ig22+lg2-lg5+lg5.

2.設(shè)a、b>c為正數(shù)，且3"=4"=6',求證：1-工=±.

ca2b

§2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（3）

編寫人：馬銀珠審核人：馬發(fā)展

1.能較熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解決實(shí)踐問(wèn)題；

2.加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練，提高解決應(yīng)用問(wèn)題的能力.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式.

如果a>Q,a^\,M>Q,N>0,貝lj

（1）logu（MN）=；

（2）log,,y=；

（3）log“Mn=.

換底公式log,,b=.

復(fù)習(xí)2：已知log23=a,log31—b>用Q,blog4256.

復(fù)習(xí)3：1995年我國(guó)人口總數(shù)是12億，如果人口的年自然增長(zhǎng)率控

制在1.25%,問(wèn)哪一年我國(guó)人口總數(shù)將超過(guò)14億？（用式子表示）

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例120世紀(jì)30年代，查爾斯.里克特制訂了一種表明地震能量大小的

尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀

記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)其計(jì)

算公式為：M=ig4-igA），其中A是被測(cè)地震的最大振幅，4是“標(biāo)準(zhǔn)

地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中距離

造成的偏差).

(I)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地

震最大振幅是20,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001,計(jì)算這次地震的震

級(jí)(精確到0.1);

(2)5級(jí)地震給人的振感已比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震最大振幅是5

級(jí)地震最大振幅的多少倍？(精確到1)

小結(jié)：讀題摘要一尋找數(shù)量關(guān)系一利用對(duì)數(shù)計(jì)算.

例2當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大

約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)

些規(guī)律，人們獲得了生物體碳14含量尸與生物死亡年數(shù)t之間的關(guān)

系.回答下列問(wèn)題：

(1)求生物死亡/年后它機(jī)體內(nèi)的碳14的含量P,并用函數(shù)的觀點(diǎn)

來(lái)解釋P和t之間的關(guān)系，指出是我們所學(xué)過(guò)的何種函數(shù)？

(2)已知一生物體內(nèi)碳14的殘留量為P,試求該生物死亡的年數(shù)3

并用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解釋P和/之間的關(guān)系，指出是我們所學(xué)過(guò)的何種

函數(shù)？

(3)長(zhǎng)沙馬王墓女尸出土?xí)r碳14的余含量約占原始量的76.7%,試

推算古墓的年代？

反思：

①尸和/之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)；

②P關(guān)于t的指數(shù)函數(shù)P=(5734y,則t關(guān)于P的函數(shù)為

派動(dòng)手試試

練1.計(jì)算：

(1)5>叫3；(2)log43.log92-log,</32.

練2.我國(guó)的G。尸年平均增長(zhǎng)率保持為7.3%,約多少年后我國(guó)的GDP

在2007年的基礎(chǔ)上翻兩番？

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.應(yīng)用建模思想（審題一設(shè)未知數(shù)一建立％與y之間的關(guān)系一求解一

驗(yàn)證）;

2,用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋現(xiàn)象.

X知識(shí)拓展

在給定區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)“X）的圖象向上凸出，則函數(shù)/*）在該區(qū)

間上為凸函數(shù)，結(jié)合圖象易得到〃號(hào)?”幺嗎9；

在給定區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)“X）的圖象向下凹進(jìn)，則函數(shù)/（X）在該區(qū)

間上為凹函數(shù)，結(jié)合圖象易得到/（胃）.

心學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X當(dāng)堂檢測(cè)

1.舊小川50）化簡(jiǎn)得結(jié)果是（）.

A.~aB.crC.\a\X）.a

2.若log7[log3（log2x）]=0,則戶=（）.

A.3B.2GC.2忘D.3V2

3.已知3"=5"=m,且1+』=2,則加之值為（）.

ab

A.15B.V15C.iV15D.225

4.若3a=2,則log38-21og36用a表示為.

5.已知lg2=0.3010,lgl.0718=0.0301,則

lg2.5=;2'?=?

§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)

編寫人：李利峰審核人：王曉華

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通江具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步

理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；

2.能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；

3.通過(guò)比較、對(duì)照的方法，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖象類比指數(shù)函數(shù)，探索

研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法，學(xué)會(huì)研究函數(shù)性質(zhì)

的方法.

心學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì).

a>l0々<1

圖

象

(1)定義域：

性

質(zhì)(2)值域:

(3)過(guò)定點(diǎn)：

(4)單調(diào)性：

二、新課導(dǎo)學(xué)

學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)一：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

新知：一般地，當(dāng)a>0且時(shí)，函數(shù)y=log。％叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

(logarithmicfunction),自變量是％;函數(shù)的定義域是(0,+°°).

反思：

對(duì)數(shù)函數(shù)定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別，如：

y=21og2x,y=log5(5x)都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù);

對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制(?！?,且awl).

探究任務(wù)二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

試試：同一坐標(biāo)系中畫出下列對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.

y=log,x；y=logjx.

反思：

(1)根據(jù)圖象，你能歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)?

a>l0<n<l

圖

象

(1)定義域：

性

質(zhì)(2)值域:

(3)過(guò)定點(diǎn)：

(4)單調(diào)性:

(2)圖象具有怎樣的分布規(guī)律?

X典型例題

例1求下列函數(shù)的定義域：

,1

⑴產(chǎn)1嗚廠；⑵廣喧(3-%)；

變式：求函數(shù),=4。82(3-％)的定義域.

例2比較大?。?/p>

(1)In3.4,In8.5；(2)log032.8,log032.7；

(3)log.5.1,log“5.9.

小結(jié)：利用單調(diào)性比大小；注意格式規(guī)范.

變式：已知下列不等式，比較正數(shù)相、〃的大小：

(1)log3m<iog,n；(2)iog0,m>iog?,n；(3)log,,m>iog?n(a>1)

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；

2.求定義域；

3.利用單調(diào)性比大小.

派知識(shí)拓展

對(duì)數(shù)函數(shù)凹凸性：函數(shù)/(x)=bg“x,(0>0,"1),占,％是任意兩個(gè)正實(shí)數(shù).

當(dāng)心］時(shí)，小丁匕(巖)；

當(dāng)0<〃<1時(shí)，(號(hào)1).

派當(dāng)堂檢測(cè)

1.當(dāng)a>\時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)，=。一"與y=log“x的圖象是

2.函數(shù)y=2+log2*(X，1)的值域?yàn)?).

A.(2,+oo)B.(—8,2)C.[2,+oo)D.[3,+co)

3.不等式的唾尸＞9解集是().

A.(2,+oo)B.(0,2)C,g，+8)D.(°，｝

4.比大小:

(1)log67log76；(2)log31.5log,0.8.

5.函數(shù)y=iogg)(3-%)的定義域是.

6.右圖是函數(shù)y=iogqX,產(chǎn)電工,

y=iog%%,y=log%%的圖象，

則底數(shù)之間的關(guān)系為.

心課后作業(yè)

1.比較下列各題中兩個(gè)數(shù)值的大小.

(1)10g23^niog23.5；(2)logo34和logo20.7；

(3)logo_7L6和log。3。；(4)1(^3和1(^2.

2.求下列函數(shù)的定義域：

⑴y=廊而5；(2)\］。二1

§2.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(2)

編寫人：牛紅麗審核人：李利峰

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.罅對(duì)藪函藪在生產(chǎn)實(shí)際中的簡(jiǎn)單應(yīng)用；

2.進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

3.學(xué)習(xí)反函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),能夠在

同一坐標(biāo)上看出互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象性質(zhì).

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：對(duì)數(shù)函數(shù)y=108/(。〉0,且。。1)圖象和性質(zhì).

a>\0<?<1

圖

象

(1)定義域：

性

質(zhì)(2)值域:

(3)過(guò)定點(diǎn)：

(4)單調(diào)性：

復(fù)習(xí)2：比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小.

(1)log。與log］?！?；(2)log050.7log050.8.

復(fù)習(xí)3：求函數(shù)的定義域.

(2)y=log“(2x+8).

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)：反函數(shù)

問(wèn)題：如何由y=2'求出工?

反思：函數(shù)x=log2y由y=2,解出，是把指數(shù)函數(shù)y=2'中的自變量與

因變量對(duì)調(diào)位置而得出的.習(xí)慣上我們通常用X表示自變量，y表示

函數(shù),即寫為y=iog2x.

新知：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把這個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)

新函數(shù)的自變量，而把這個(gè)函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量.我們稱

這兩個(gè)函數(shù)為反函數(shù)(inversefunction)

例如：指數(shù)函數(shù)＞=2、與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x互為反函數(shù).

試試：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出指數(shù)函數(shù)〉=2、及其反函數(shù)

y=log2》圖象，發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)？

反思：

(1)如果4(%,為)在函數(shù)y=2'的圖象上，那么P。關(guān)于直線y=%的

對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)y=log2x的圖象上嗎？為什么？

(2)由上述過(guò)程可以得到結(jié)論：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于

___________對(duì)稱.

X典型例題

例1溶液酸堿度的測(cè)量問(wèn)題：溶液酸堿度pH的計(jì)算公式

p”=-其中［f］表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.

(1)分析溶液酸堿度與溶液中氫離子濃度之間的變化關(guān)系？

(2)純凈水田+］=10々摩爾/升,計(jì)算其酸堿度.

小結(jié)：抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)模型，然后應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決問(wèn)題，這就

是數(shù)學(xué)應(yīng)用建模思想.

例2求函數(shù)/（%）=log2（x-l）的單調(diào)性

變式：函數(shù)/（x）=logi（rT）的單調(diào)性是

2

小結(jié)：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法及規(guī)律：“同增異減”

派動(dòng)手試試

己知函數(shù)〃幻=優(yōu)的圖象過(guò)點(diǎn)（1,3）其反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（2,0）,

求〃力的表達(dá)式.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

①函數(shù)模型應(yīng)用思想；②反函數(shù)概念.

派知識(shí)拓展

函數(shù)的概念重在對(duì)于某個(gè)范圍（定義域）內(nèi)的任意一個(gè)自變量工

的值，y都有唯一的值和它對(duì)應(yīng).對(duì)于一個(gè)單調(diào)函數(shù)，反之對(duì)應(yīng)任意

y值，％也都有惟一的值和它對(duì)應(yīng)，從而單調(diào)函數(shù)才具有反函數(shù).反函

數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域，即互

為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)，定義域與值域是交叉相等.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派當(dāng)堂檢測(cè)

1.函數(shù)y=logo.5%的反函數(shù)是().

A.y=-logos%B.y=log2x

C.y=2xD.y=(夕

2.函數(shù)y=2,的反函數(shù)的單調(diào)性是().

A.在R上單調(diào)遞增

B.在R上單調(diào)遞減

C.在(0,+8)上單調(diào)遞增

D.在(0,+8)上單調(diào)遞減

3.函數(shù)y=f。<0)的反函數(shù)是().

A.y=±4(x>0)B.y=y/x(x>0)

C.y=-Jx(x>0)D.y=±4x

4.函數(shù)y的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(9,2),則。的值為.

2課后作業(yè)(課本75頁(yè)A組第U題、B組第4題)

對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用：

現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中有占總數(shù);的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由

1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，細(xì)

胞總數(shù)可以超過(guò)10"個(gè)？(參考數(shù)據(jù)：lg3=0.477,1g2=0.301).

§2.2對(duì)數(shù)函數(shù)(練習(xí))

編寫人：王曉華審核人：李利峰

1.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

2.能應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)解決實(shí)際中的問(wèn)題.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1:對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/(a>0,且加1)圖象和性質(zhì).

a>\0<a<l

圖

象

(1)定義域：

性

質(zhì)⑵值域:

(3)過(guò)定點(diǎn)：

(4)單調(diào)性:

復(fù)習(xí)2:根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)填空.

①已知函數(shù)八噫工，則當(dāng)x>0時(shí)，ye;當(dāng)x>l時(shí)，>-e

當(dāng)0cx<1時(shí)，ye;

當(dāng)x>4時(shí)，ye.

②已知函數(shù)y=k?g|X,則當(dāng)0<x<l時(shí)，ye;當(dāng)x>l時(shí)，ye

3

當(dāng)x>5時(shí)，ye;當(dāng)0cx<2時(shí)，ye;當(dāng)y>2時(shí)，

小結(jié)：數(shù)形結(jié)合法求值域、解不等式.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派典型例題

例1判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)/(x)=log^—;

(2)/(x)=ln(Jl+?-x).

例2證明函數(shù)/(X)=噫(x2+1)在(0,+00)上遞增.

變式：函數(shù)/(X)=噫(/+1)在(-8,0)上是減函數(shù)還是增函數(shù)?

例3求函數(shù)/")=log02(-4x+5)的單調(diào)區(qū)間.

變式：函數(shù)〃》)=1。氏(-奴+5)的單調(diào)性是,

小結(jié)：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法及規(guī)律：“同增異減”.

X動(dòng)手試試

練1.比較大?。?/p>

(1)loga乃和logoe(a>0且a*1);

(2)log,y^niog,(a2+a+1)(aeR).

練2.已知loga(3a-1)恒為正數(shù),求a的取值范圍.

練3.函數(shù)y=log,x在［2,4］上的最大值比最小值大1,求a的值.

練4.求函數(shù)y=k)g3(x2+6x+10)的值域.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用；

2.對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用；

3.對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)研究；

4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

X知識(shí)拓展

復(fù)合函數(shù)＞=/（0（功的單調(diào)性研究，遵循一般步驟和結(jié)論，即：分別

求出y=〃"）與“=e（x）兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,再按口訣“同增異減”得出

復(fù)合后的單調(diào)性，即兩個(gè)函數(shù)同為增函數(shù)或者同為減函數(shù)，則復(fù)合后

結(jié)果為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)一增一減，則復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).為何

有“同增異減”？我們可以抓住“X的變化一“?⑴的變化一y=

的變化”這樣一條思路進(jìn)行分析

J學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

X當(dāng)堂檢測(cè)

1.下列函數(shù)與y=x有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是（）

A.y—B.y=-—

x

x

C.y=〃唾"'（。＞0且〃wl）D.y=logna

2.函數(shù)y=Jlog43x-2）的定義域是（）.

c.[|,i]D,(|,1]

3.若/(lnx)=3x+4,則『(x)的表達(dá)式為()

A.31nxB.31nx+4

C.3e*D.3/+4

4.函數(shù)f(x)=lg(/+8)的定義域?yàn)?值域?yàn)?

5.將0.才，log20.5,log051.5由小到大排列的順序

是

§2.3鬲函數(shù)

編寫人：馬銀珠審核人：李利峰

心學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過(guò)具麻實(shí)例了解塞函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

2.體會(huì)基函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的對(duì)稱性并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

0學(xué)習(xí)過(guò)程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：求證y=/在R上為奇函數(shù)且為增函數(shù).

復(fù)習(xí)2：1992年底世界人口達(dá)到54.8億，若人口年平均增長(zhǎng)率為1%,

2008年底世界人口數(shù)為y(億)，寫出：

(1)1993年底、1994年底、2000年底世界人口數(shù)；

(2)2008年底的世界人口數(shù)y與x的函數(shù)解析式.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)一：幕函數(shù)的概念

問(wèn)題：分析以下五個(gè)函數(shù)，它們有什么共同特征？

(1)邊長(zhǎng)為〃的正方形面積S=/,S是。的函數(shù)；

(2)面積為S的正方形邊長(zhǎng)a=。是s的函數(shù)；

(3)邊長(zhǎng)為〃的立方體體積丫是Q的函數(shù)；

(4)某人，S內(nèi)騎車行進(jìn)了1加1,則他騎車的平均速度v="hn/s,

這里v是［的函數(shù)；

(5)購(gòu)買每本1元的練習(xí)本w本，則需支付P=w元，這里〃是w的

函數(shù).

新知：一般地，形如y=J的函數(shù)稱為鬲函數(shù)，其中X是自變量，a

為常數(shù).

試試：判斷下列函數(shù)哪些是辱函數(shù).

?>'=-;②>=2》2；③y=dr；④y=l.

X

探究任務(wù)二：黑函數(shù)的圖象與性質(zhì)

問(wèn)題：作出下列函數(shù)的圖象：⑴y=x；(2)y=%；(3)y=f；(4)

y=x-；(5)y=x-從圖象分析出哥函數(shù)所具有的性質(zhì).

觀察圖象，總結(jié)填寫下表:

y=xy=x2y=x3y=x-1

定義域

值域

奇偶性

單調(diào)性

定點(diǎn)

小結(jié):

募函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律：

(1)所有的事函數(shù)在(0,+00)都有定義，

并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；

(2)a>0時(shí)一，毒函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，

并且在區(qū)間［0,+功上是增函數(shù).特別地,

當(dāng)a>l時(shí)一，幕函數(shù)的圖象下凸；

當(dāng)0<a<l時(shí)，塞函數(shù)的圖象上凸；

(3)a<0時(shí)，塞函數(shù)的圖象在區(qū)間

(0,+8)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)X從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)一，圖象在

y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)X趨于+00時(shí)-，圖象在X軸上方無(wú)

限地逼近X軸正半軸.

X典型例題

例1討論/(x)=4在［0,+8)的單調(diào)性.

例2比較大小：

_2_2

(1)(。+1嚴(yán)與(。＞0)；(2)(2+/尸與2「3；

(3)1.15與0.9\

小結(jié)：利用單調(diào)性比大小.

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.幕函數(shù)的的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律；

2.利用事函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小.

X知識(shí)拓展

幕函數(shù)y=/的圖象，在第一象限內(nèi)，直線1=1的右側(cè)，圖象由下

至上，指數(shù)a由小到大.y軸和直線X=1之間，圖象由上至下，指數(shù)

a由小到大.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派當(dāng)堂檢測(cè)

1.若幕函數(shù)/（X）=X"在（0,+8）上是增函數(shù)，則（）.

A.a>0B.a<0

C.a=0D.不能確定

4

2.函數(shù)y=/的圖象是（）.

3.若那么下列不等式成立的是（）.

A.a<\<bB