2024年高中數(shù)學(xué)專題2-7大題專項(xiàng)訓(xùn)練一元二次不等式恒成立存在性問題30道教師版新人教A版必修第一冊(cè)

專題2.7一元二次不等式恒成立、存在性問題姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．（2024秋?封丘縣期中）已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范圍．【解題思路】通過m是否為0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及判別式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答過程】解：（1）當(dāng)m＝0時(shí)，原不等式化為﹣8≥0，解集為空集，故不滿足題意；（2）當(dāng)m＞0時(shí)，一元二次不等式對(duì)應(yīng)二次函數(shù)開口向上，明顯滿足題意；（3）當(dāng)m＜0時(shí)，由題意，得：△≥0，即（2m）2﹣4m×（﹣8）≥0，又4m2+32m≥0，因?yàn)閙＜0，所以m≤﹣8；綜上，當(dāng)m≤﹣8或m＞0時(shí)，不等式mx2+2mx﹣8≥0有解.2．若關(guān)于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．【解題思路】依據(jù)題意不等式3a﹣ax﹣x2＞0有實(shí)數(shù)解，化為Δ＞0，求出解集即可．【解答過程】解：關(guān)于x的不等式3a﹣ax﹣x2＞0有實(shí)數(shù)解，即不等式x2+ax﹣3a＜0有實(shí)數(shù)解，所以Δ＝a2﹣4×（﹣3a）＞0，解得a＜﹣12或a＞0，所以a的取值范圍是{a|a＜﹣12或a＞0}．3．（2024秋?金山區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解，求關(guān)于x的不等式ax+4＞7﹣2x的解．【解題思路】依題意知，Δ＝a2﹣4≥0，又由ax+4＞7﹣2x?（a+2）x＞3，分a+2＞0或a+2＝0或a+2＜0三種狀況，解出不等式的解即可．【解答過程】解：由于關(guān)于x的不等式x2﹣ax+1≤0有解，則Δ＝a2﹣4≥0，即a≥2或a≤﹣2又由ax+4＞7﹣2x等價(jià)于（a+2）x＞3，則當(dāng)a≥2時(shí)，a+2＞0，所以不等式ax+4＞7﹣2x的解為x當(dāng)a＝﹣2時(shí)，不等式無解當(dāng)a＜﹣2時(shí)，a+2＞0，所以不等式ax+4＞7﹣2x的解為x＜4．（2024秋?東莞市校級(jí)期中）（1）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集為{x|2＜x＜3}，求a+b的值．（2）關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在區(qū)間（1，4）內(nèi)有解，求a的取值范圍．【解題思路】（1）由題意可得2，3為方程x2﹣ax﹣b＝0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得a，b，進(jìn)而得到所求和；（2）由題意可得a＜x2﹣4x﹣2在區(qū)間（1，4）內(nèi)有解，由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4），求得f（x）的值域，即可得到所求范圍．【解答過程】解：（1）不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集為{x|2＜x＜3}，即為2，3為方程x2﹣ax﹣b＝0的兩根，可得a＝2+3，﹣b＝2×3，解得a＝5，b＝﹣6，則a+b＝﹣1；（2）關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a＞0在區(qū)間（1，4）內(nèi)有解，可得a＜x2﹣4x﹣2在區(qū)間（1，4）內(nèi)有解，由f（x）＝x2﹣4x﹣2，x∈（1，4），可得f（2）取得最小值﹣6，f（1）＝﹣5，f（4）＝﹣2，則f（x）的值域?yàn)閇﹣6，﹣2），則a＜﹣2．5．（2024春?金臺(tái)區(qū)期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a，（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；（2）若對(duì)隨意的x∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．【解題思路】（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化為：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．對(duì)a分類探討即可解出．（2）由題意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，由x∈[﹣1，1]，可得x﹣2∈[﹣3，﹣1]，可得a＜﹣x+2恒成立．即可得出．【解答過程】解：（1）x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0，化為：（x﹣2）[x﹣（2﹣a）]＞0．a(chǎn)＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞2或x＜2﹣a}；a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≠2}；a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞2﹣a或x＜2}．（2）由題意得：a（x﹣2）＞﹣（x﹣2）2恒成立，∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2∈[﹣3，﹣1]，∴a＜﹣x+2恒成立．易知（﹣x+2）min＝1，∴a的取值范圍為：a＜1．6．（2024秋?歷城區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的不等式ax2+2ax+1≥0對(duì)于?x∈R恒成立．（1）求a的取值范圍；（2）在（1）的條件下，解關(guān)于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0．【解題思路】（1）探討a是否為0，可解．（2）依據(jù)x2﹣x﹣a2+a＜0，可得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又依據(jù)0≤a≤1，探討a與1﹣a的大小，從而可解，【解答過程】解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，不等式ax2+2ax+1＝1＞0恒成立，當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式ax2+2ax+1≥0對(duì)于?x∈R恒成立．則a＞04a2-4a綜上，a的取值范圍為[0，1]．（2）∵x2﹣x﹣a2+a＜0，且0≤a≤1，∴（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又0≤a≤1，①當(dāng)1﹣a＞a，即0≤a＜12時(shí)，則a＜x＜②當(dāng)1﹣a＝a，即a=12時(shí)，(a③當(dāng)1﹣a＜a，即12＜a≤1時(shí)，則1﹣a綜上所述，當(dāng)0≤a＜12時(shí)，解集為{x|a＜x＜1當(dāng)a=12時(shí)，解集為當(dāng)12＜a≤1時(shí)，解集為{x|1﹣a＜7．（2024秋?張掖期末）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+ax﹣b．（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2﹣ax+1≤0的解集；（2）當(dāng)a+b＝3時(shí)，f（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）利用不等式的解與對(duì)應(yīng)方程之間的關(guān)系，即可解出a，b的關(guān)系，即可求解；（2）由已知可得a≥-x2+3x+1在[0，然后利用函數(shù)的單調(diào)性以及換元法求出函數(shù)的最大值即可求解．【解答過程】解：（1）因?yàn)椴坏仁絰2+ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，所以x＝2，x＝3是方程x2+ax﹣b＝0的解，由韋達(dá)定理得：a＝﹣5，b＝﹣6，故不等式bx2﹣ax+1≤0為﹣6x2+5x+1≤0，即6x2﹣5x﹣1≥0，解得x≤-16或x所以不等式的解集為（-∞，-16]∪[1（2）當(dāng)a+b＝3時(shí)b＝3﹣a，f（x）＝x2+ax+a﹣3≥0在x∈[0，1]上恒成立，即a≥-x2+3x+1在[0，令g（x）=-x2+3x+1，令t＝x+1，則x＝t﹣1，所以y=-(t-因?yàn)楹瘮?shù)y＝﹣t+2t+2在[1，2]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝﹣1+2+2所以a≥3所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，+∞）．8．（2024秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）已知f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，4）．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）+t≤2在[﹣1，2]上有解，求t的取值范圍．【解題思路】（1）由題意可得0和4是方程x2+bx+c＝0的兩根，由韋達(dá)定理可得b，c的值，即可得到f（x）的解析式．（2）由題意可得t≤2﹣f（x）在[﹣1，2]的最大值，利用二次函數(shù)求出f（x）的最大值即可得到所求范圍．【解答過程】解：（1）∵f（x）＜0的解集是（0，4）∴f（x）＝0的二根是0和4，∴0+4=-b0×4=c，∴b=-4c=0，∴f（（2）不等式f（x）+t＝x2﹣4x+t≤2在[﹣1，2]上有解，等價(jià)于t≤﹣x2+4x+2在[﹣1，2]上有解，∴t≤（﹣x2+4x+2）max，x∈[﹣1，2]，∵f（x）在[﹣1，2]上的最大值是6，∴t≤6，∴t的取值范圍（﹣∞，6]．9．（2024春?山西月考）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b的值；（2）當(dāng)x＞0，y＞0，求滿足ay+bx﹣xy＝0時(shí)，有2x+y≥k2﹣1恒成立，求k的取值范圍．【解題思路】（1）由1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理列式計(jì)算即可；（2）由（1）得y+2x﹣xy＝0，利用基本不等式能求出2x+y的最小值，由此能求出結(jié)果．【解答過程】解：（1）因?yàn)椴坏仁絘x2﹣3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＞0，所以1+b=3解得a＝1，b＝2．（2）由（1）知y+2x﹣xy＝0，∵x＞0，y＞0，∴y+2x＝xy=1記2x+y＝t，則t2﹣8t≥0，解得t≥8，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y2x+y=xy，即x=2∴2x+y的最小值為8，∴滿足ay+bx﹣xy＝0時(shí)，有2x+y≥k2﹣1恒成立，則k2﹣1≤8，解得﹣3≤k≤3，∴k的取值范圍是{k|﹣3≤x≤3}．10．（2024秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求f（x）≥0的解集；（2）若不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0對(duì)滿足a∈[﹣2，2]的全部a恒成立，求x的取值范圍．【解題思路】（1）a＝2時(shí)不等式為4x2+4x﹣3≥0，求出解集即可；（2）設(shè)g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1，a∈[﹣2，2]，問題化為g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，探討x的取值范圍，求出g（a）min，推斷g（a）min是否大于或等于0，從而求出x的取值范圍．【解答過程】解：（1）a＝2時(shí)，函數(shù)f（x）＝4x2+4x﹣3，不等式f（x）≥0為4x2+4x﹣3≥0，即（2x+3）（2x﹣1）≤0，解得x≤-32或所以不等式的解集為（﹣∞，-32]∪[12，（2）設(shè)g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1＝（x2﹣1）a2+2xa+1，a∈[﹣2，2]，依據(jù)題意知，g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，①當(dāng)x2﹣1＝0時(shí)，解得x＝±1，若x＝1，則g（a）＝2a+1在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，且g（a）min＝g（﹣2）＝﹣3＜0，不合題意．若x＝﹣1，則g（a）＝﹣2a+1在[﹣2，2]上單調(diào)遞減，且g（a）min＝g（2）＝﹣3＜0，不合題意．②當(dāng)x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1時(shí)，g（a）的圖象為開口向下的拋物線，要使g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，需g(-即4x2-4x-3≥04x2又因?yàn)椹?＜x＜1，所以此時(shí)無解．③當(dāng)x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1時(shí)，g（a）為開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸方程為a=x（i）當(dāng)x1-x2≤-2，即1＜x≤1+174時(shí)，g（a）在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，所以g（a）min＝g（﹣2）＝4x2﹣4x﹣3因?yàn)?2＞1+17（ii）當(dāng)﹣2＜x1-x2＜2，即x＜-1-174或x＞1+174時(shí)，g（所以g（a）min＝g（x1-x2（iii）當(dāng)x1-x2≥2，即-1-174≤x＜﹣1時(shí)，g（a）在[﹣2，2]上單調(diào)遞減，所以g（a）min＝g（2）＝4x2+4x﹣因?yàn)?32＜-綜上，x的取值范圍是?．11．（2024秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．（1）當(dāng)a＞0時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)2≤x≤3時(shí)，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）不等式化為（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，再分類探討兩根的大小，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可．（2）不等式化為a（x2﹣1）≤x﹣1，即a≤1x+1恒成立，求出f（x）=1x+1在x【解答過程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化為（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式化為（x﹣1）（x-1-aa①當(dāng)1-aa＞1，即0＜a＜12②當(dāng)1-aa=1，即a=1③當(dāng)1-aa＜1，即a＞12綜上，當(dāng)0＜a＜12時(shí)，不等式的解集為{x|1≤x≤當(dāng)a=12時(shí)，不等式的解集為{x|x＝當(dāng)a＞12時(shí)，不等式的解集為{x|1-a（2）由題意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化為a（x2﹣1）≤x﹣1，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，所以原不等式可化為a≤1設(shè)f（x）=1x+1，x∈[2，3]，則f（x）的最小值為f（3）所以a的取值范圍是（﹣∞，14]12．（2024秋?上蔡縣校級(jí)月考）已知不等式mx2+2x﹣m+2＜0．（1）當(dāng)m＝3時(shí)，求不等式解集；（2）是否存在實(shí)數(shù)m對(duì)全部的實(shí)數(shù)x使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）當(dāng)m＝3時(shí)，不等式為3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，從而即可求出該不等式的解集；（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，等價(jià)于函數(shù)y＝mx2+2x﹣m+2的圖象恒在x軸下方，從而分類探討m＝0和m≠0兩種狀況即可推斷是否存在滿足題意的實(shí)數(shù)m．【解答過程】（1）當(dāng)m＝3時(shí)，不等式為3x2+2x﹣1＜0，即（3x﹣1）（x+1）＜0，則解集為（﹣1，13（2）不等式mx2+2x﹣m+2＜0恒成立，即函數(shù)y＝mx2+2x﹣m+2的圖象在x軸下方．當(dāng)m＝0時(shí)，2+2x＜0，則x＜﹣1，不滿足題意；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)y＝mx2+2x﹣m+2為二次函數(shù)，其圖象需滿足開口向下且與x軸沒有公共點(diǎn)，則m＜0Δ=4綜上，不存在這樣的實(shí)數(shù)m使不等式恒成立．13．（2024秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2﹣ax+b．（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集；（2）若f（﹣2）＝8，m2﹣3m﹣8≥ab對(duì)于隨意的正數(shù)a，b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）由題意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的兩根，再由韋達(dá)定理求得a和b的值，再代入解不等式，即可；（2）由f（﹣2）＝8，可得2a+b＝4，再結(jié)合基本不等式推出ab≤2，然后由m2﹣3m﹣8≥（ab）max，解不等式即可．【解答過程】解：（1）由題意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的兩根，所以1+4=a1×4=b，解得a＝5，b所以不等式bx2﹣ax+1＞0為4x2﹣5x+1＞0，即（4x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x＜14或x＞故不等式的解集為{x|x＜14或x＞（2）f（﹣2）＝4+2a+b＝8，即2a+b＝4，所以ab=12?2a?b≤12?(2a+b2)2=12?(42)2所以ab的最大值為2，要使m2﹣3m﹣8≥ab對(duì)于隨意的正數(shù)a，b恒成立，則m2﹣3m﹣8≥（ab）max＝2，所以m2﹣3m﹣10≥0，即（m﹣5）（m+2）≥0，解得m≤﹣2或m≥5，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．14．（2024秋?河南月考）（1）不等式3x2﹣（a+1）x≤0對(duì)隨意的1≤x≤2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解不等式：ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）．【解題思路】（1）設(shè)f（x）＝3x2﹣（a+1）x，x∈[0，2]，由題意可得f(1)≤0f(2)（2）由a＞0，得該不等式等價(jià)于（x﹣1）（x-1a）＜0，從而分類探討a＞1，a＝1，0＜a＜【解答過程】解：（1）設(shè)f（x）＝3x2﹣（a+1）x，x∈[0，2]，由題意可得f(1)≤0f(2)≤0，即3因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[5，+∞）；（2）由a＞0，得該不等式等價(jià)于（x﹣1）（x-1a）＜當(dāng)a＝1時(shí)，1a=1，不等式為（x﹣1）2＜0，此時(shí)解集為當(dāng)a＞1時(shí)，1a＜1，此時(shí)解不等式（x﹣1）（x-1a）＜0得1當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1a＞1，此時(shí)解不等式（x﹣1）（x-1a）＜0得1綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，該不等式的解集為（1，1a當(dāng)a＝1時(shí)，該不等式的解集為?；當(dāng)a＞1時(shí)，該不等式的解集為（1a，115．（2024春?興慶區(qū)校級(jí)期末）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集為{x|-12（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，求m的取值范圍．【解題思路】（1）依據(jù)一元二次不等式x2+px+q＜0的解集得出對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出p、q的值；（2）依據(jù)不等式在實(shí)數(shù)集R上恒成立知Δ＜0，由此列不等式求出m的取值范圍．【解答過程】解：（1）因?yàn)橐辉尾坏仁絰2+px+q＜0的解集為{x所以-12和13是方程x2+px+q由-12+13=-p-12×1（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，所以Δ＝（﹣m）2﹣4（m+7）＜0，即m2﹣4m﹣28＜0，解得2﹣42＜m＜2+42所以m的取值范圍是（2﹣42，2+42）．16．（2024春?昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集為{x|-12＜x＜1（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，求m的范圍．【解題思路】（1）先將不等式問題轉(zhuǎn)化為方程問題求出p，q的值，然后代入解不等式即可；（2）依據(jù)一元二次不等式恒成立，利用判別式求解即可．【解答過程】解：（1）因?yàn)椴坏仁絰2+px+q＜0的解集為{x所以-12與13是方程x2+px+q由根與系數(shù)的關(guān)系得-12+所以不等式qx2+px+1＞0，可化為-1整理得x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3，即不等式qx2+px+1＞0的解集為{x|﹣2＜x＜3}．（2）一元二次不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，則Δ＜0，即m2﹣4×1×（m+7）＜0，整理得m2﹣4m﹣28＜0，解得2-所以m的取值范圍是（2﹣42，2+42）．17．（2024春?邵東市校級(jí)期末）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．（1）當(dāng)a∈R時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范圍．【解題思路】（1）不等式化為（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，探討a＝0和a＜0、a＞0時(shí)，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可．（2）不等式化為a（x2﹣1）≤x﹣1，即a≤1x+1恒成立，求出f（x）=1x+1在x【解答過程】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化為（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式化為x﹣1≥0，解得x≥1，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式化為（x﹣1）（x-1-aa解得x≤1-aa，或當(dāng)a＞0時(shí)，不等式化為（x﹣1）（x-1-aa①0＜a＜12時(shí)，1-aa＞1②a=12時(shí)，1-aa=③a＞12時(shí)，1-aa＜1綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≥1}，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤1-aa或0＜a＜12時(shí)，不等式的解集為{x|1≤x≤a=12時(shí)，不等式的解集為{x|x＝a＞12時(shí)，不等式的解集為{x|1-a（2）由題意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化為a（x2﹣1）≤x﹣1，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，所以原不等式可化為a≤1設(shè)f（x）=1x+1，x∈[2，則f（x）的最小值為f（3）=1所以a的取值范圍是（﹣∞，14]18．（2024秋?婁星區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）＝x2+ax﹣3．（1）若不等式f（x）＞﹣4的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若不等式f（x）≥2ax﹣6對(duì)隨意x∈[1，3]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）依據(jù)不等式f（x）＞﹣4的解集為R，即x2+ax+1＞0恒成立，即Δ＜0，a2﹣4＜0，解出a的取值范圍即可．（2）由不等式f（x）≥2ax﹣6對(duì)隨意x∈[1，3]恒成立，即x2+ax﹣3≥2ax﹣6對(duì)隨意x∈[1，3]恒成立，通過分別參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值問題，求得a的取值范圍即可．【解答過程】解：（1）由不等式f（x）＞﹣4的解集為R，∴x2+ax﹣3＞﹣4解集為R，即x2+ax+1＞0解集為R，可得Δ＜0，即a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，故a的取值范圍是（﹣2，2）．（2）由不等式f（x）≥2ax﹣6對(duì)隨意x∈[1，3]恒成立，∴f（x）≥2ax﹣6，即x2+ax﹣3≥2ax﹣6對(duì)隨意x∈[1，3]恒成立，即x2﹣ax+3≥0對(duì)隨意x∈[1，3]恒成立，∴a≤（x+3x）min，x∈[1，∵x+3x≥2x當(dāng)且僅當(dāng)x=3x，即x∴a≤23故a的取值范圍是（﹣∞，23]．19．（2024秋?南陽期中）已知f（x）＝x2﹣ax﹣2a2，（a∈R）．（1）若f（x）＞﹣9恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．【解題思路】（1）依據(jù)不等式恒成立可得Δ＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，解得即可；（2）原不等式可化為（x﹣2a）（x+a）＞0，分類解得即可．【解答過程】解：（1）f（x）＞﹣9恒成立，即x2﹣ax﹣2a2+9＞0恒成立，要Δ＝a2﹣4（﹣2a2+9）＜0，解得﹣2＜a＜2，故a的取值范圍為（﹣2，2）；（2）原不等式可化為（x﹣2a）（x+a）＞0，當(dāng)a＞0時(shí)，解得x＜﹣a或x＞2a，當(dāng)a＝0時(shí)，解得x≠0，當(dāng)a＜0時(shí)，解得x＜2a或x＞﹣a，綜上所述：當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為（﹣∞，﹣a）∪（2a，+∞），當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為（﹣∞，0）∪（0，+∞），當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為（﹣∞，2a）∪（﹣a，+∞）．20．（2024秋?沭陽縣期中）若關(guān)于x的不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；（2）若對(duì)于隨意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，求b的取值范圍．【解題思路】（1）依據(jù)不等式的解集求出a的值，代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0求出解集；（2）不等式化為b≥﹣3x-3x恒成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可得出【解答過程】解：（1）不等式（a﹣5）x2﹣4x+6＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞1}，所以﹣3和1是方程（a﹣5）x2﹣4x+6＝0的解，所以﹣3+1=4a-5，解得所以不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0化為2x2﹣x﹣3＞0，即（x+1）（2x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞32（2）對(duì)于隨意x∈[2，5]，不等式ax2+bx+3≥0恒成立，即3x2+bx+3≥0，所以b≥﹣3x-3x=-3設(shè)f（x）＝﹣3（x+1x），x∈[2，則f（x）在x∈[2，5]內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，所以f（x）≥f（2）=-所以b的取值范圍是b≥-21．（2024春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）（1）解關(guān)于x不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）．（2）若對(duì)于m∈[﹣2，2]，不等式mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立，求x的取值范圍．【解題思路】（1）不等式化為（x+1）（ax﹣3）＞0，探討a＝0和a＞0、a＜0時(shí)，分別求出對(duì)應(yīng)不等式的解集；（2）利用函數(shù)的恒成立，轉(zhuǎn)化成函數(shù)f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6＜0，m∈[﹣2，2]，計(jì)算f（2）＝（x2﹣x+1）2﹣6＜0即可．【解答過程】解：（1）不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax可化為ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（x+1）（ax﹣3）＞0，①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜﹣1}；②當(dāng)a≠0時(shí)，方程的兩根為﹣1和3a當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞3a當(dāng)a＜0時(shí)，（i）若3a＞-1，即a＜﹣3，原不等式的解集為{x|﹣1＜x（ii）若3a＜-1，即﹣3＜a＜0，原不等式的解集為{x|3a＜（iii）若3a=-1，即a＝﹣3綜上所得：當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜﹣1}；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞3a當(dāng)a＜﹣3時(shí)，原不等式的解集為{x|﹣1＜x＜3a當(dāng)﹣3＜a＜0時(shí)，原不等式的解集為{x|3a＜x＜﹣當(dāng)a＝﹣3時(shí)，原不等式的解集為?．（2）若對(duì)于m∈[﹣2，2]，不等式mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5恒成立，即：mx2﹣mx+m﹣6＜0恒成立，所以（x2﹣x+1）m﹣6＜0恒成立，令函數(shù)f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6，m∈[﹣2，2]，因?yàn)椋▁2﹣x+1）＝（x-12）2+所以函數(shù)f（m）＝（x2﹣x+1）m﹣6，在m∈[﹣2，2]上單調(diào)遞增，所以只須要函數(shù)的最大值小于0即可，所以：f（2）＝（x2﹣x+1）×2﹣6＜0，即：x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，即x的取值范圍是（﹣1，2）．22．（2024春?龍巖期末）（1）若關(guān)于x的不等式2x＞m（x2+6）的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集．（2）若2kx＜x2+4對(duì)于一切的x＞0恒成立，求k的取值范圍．【解題思路】（1）原不等式等價(jià)于mx2﹣2x+6m＜0，依據(jù)不等式的解集由根與系數(shù)的關(guān)系可得關(guān)于m的方程，解出m再求出5mx2+x+3＞0的解集；（2）2kx＜x2+4對(duì)于一切的x＞0恒成立，可得2k＜x+4【解答過程】解：（1）原不等式等價(jià)于mx2﹣2x+6m＜0，∴mx2﹣2x+6m＜0的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}則2m=-∴5mx2+x+3＞0等價(jià)于﹣2x2+x+3＞0，即2x2﹣x﹣3＜0，∴-1∴不等式的解集為{x|﹣1＜x＜32（2）∵x＞0，由2kx＜x2+4，得2k∵x+4x≥2∴2k＜4，∴k＜2，∴k的取值范圍為（﹣∞，2）．23．（2024春?溫江區(qū)期末）（1）若關(guān)于x的不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）解關(guān)于x的不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0，其中a＜1．【解題思路】（1）利用Δ＜0列不等式求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）探討0＜a＜1、a＝0和a＜0，分別求出對(duì)應(yīng)不等式的解集．【解答過程】解：（1）不等式m2x2﹣2mx＞﹣x2﹣x﹣1化為（m2+1）x2﹣（2m﹣1）x+1＞0，由m2+1＞0知，Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＜0，化簡得﹣4m﹣3＜0，解得m＞-所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞-（2）0＜a＜1時(shí)，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為（x﹣1）（x-1a）＞0，且1解得x＜1或x＞1所以不等式的解集為{x|x＜1或x＞1aa＝0時(shí)，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為﹣（x﹣1）＞0，解得x＜1，所以不等式的解集為{x|x＜1}；a＜0時(shí)，不等式（x﹣1）（ax﹣1）＞0化為（x﹣1）（x-1a）＜0，且1解得1a＜x＜所以不等式的解集為{x|1a＜x＜綜上知，0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜1或x＞1aa＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜1}；a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|1a＜x＜24．（2024春?匯川區(qū)校級(jí)月考）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集為{x|x＜1或x＞b}，（1）求a、b的值；（2）若不等式x2﹣b（a+3）x﹣c＞0恒成立，則求出c的取值范圍．【解題思路】（1）由題意知1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的兩根，把x＝1代入方程求得a的值，再由根與系數(shù)的關(guān)系求得b的值；（2）由一元二次不等式恒成立知Δ＜0，列不等式求出c的取值范圍．【解答過程】解：（1）由題意知a＞0且1，b是方程ax2﹣3x+2＝0的根，把x＝1代入方程得a﹣3+2＝0，所以a＝1；由根與系數(shù)的關(guān)系得1×b=2a=2，所以b（2）由（1）知不等式x2﹣2（1+3）x﹣c＞0恒成立，可知Δ＝82+4c＜0，解得c＜﹣16，所以c的取值范圍是（﹣∞，﹣16）．25．（2024春?重慶期末）已知關(guān)于x的不等式：x2﹣mx+1＞0，其中m為參數(shù)．（1）若該不等式的解集為R，求m的取值范圍；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，該不等式恒成立，求m的取值范圍．【解題思路】（1）利用判別式Δ＜0求得m的取值范圍；（2）由題意求出m＜x2+1x，計(jì)算f（x）【解答過程】解：（1）關(guān)于x的不等式x2﹣mx+1＞0的解集為R，則Δ＜0，即m2﹣4＜0；解得﹣2＜m＜2，∴m的取值范圍是﹣2＜m＜2；（2）當(dāng)x＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式x2﹣mx+1＞0恒成立，等價(jià)于m＜x設(shè)f（x）=x2+1x，則f（x）＝x+1x≥2當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”；∴m的取值范圍是m＜2．26．已知不等式x2+px＞4x+p﹣4．（1）若不等式在2≤x≤4時(shí)有解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；（2）若不等式在0≤p≤6時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【解題思路】（1）不等式x2+px＞4x+p﹣4化為x2+（p﹣4）x+4﹣p＞0①，設(shè)f（x）＝x2+（p﹣4）x+4﹣p，不等式①在2≤x≤4時(shí)有解時(shí)，f（2）＞0，或f（4）＞0，由此求出p的取值范圍；（2）不等式x2+px＞（4x+p﹣4）化為p（x﹣1）+（x2﹣4x+4）＞0②，設(shè)g（p）＝p（x﹣1）+（x2﹣4x+4），0≤p≤6時(shí)不等式②恒成立，得g(0)＞0g(6)【解答過程】解：（1）不等式x2+px＞4x+p﹣4可化為x2+（p﹣4）x+4﹣p＞0①，設(shè)f（x）＝x2+（p﹣4）x+4﹣p，當(dāng)不等式①在2≤x≤4時(shí)有解時(shí)，即存在x∈[2，4]，使f（x）＞0，所以f（2）＞0，或f（4）＞0成立，即4+2（p﹣4）+4﹣p＞0，或16+4（p﹣4）+4﹣p＞0，解得p＞-（2）不等式x2+px＞（4x+p﹣4）化為p（x﹣1）+（x2﹣4x+4）＞0②，設(shè)g（p）＝p（x﹣1）+（x2﹣4x+4），因?yàn)?≤p≤6時(shí)不等式②恒成立，即g(0)＞所以x2解得x＜﹣1-3，或x＞﹣1+3，且x≠﹣27．（2024秋?大東區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集為{x|x＜1或x＞2}．（1）求a，b的值；（2）當(dāng)x＞0，y＞0，且滿足ax+by=1時(shí)，不等式k2+k+2≥2x【解題思路】（1）依據(jù)題意可得1+2=3a1×2=（2）由（1）可知a＝1，b＝2，則1x+2y=1，從而2x+y＝（1x+2y）（2x+y）＝4+yx+4xy≥4+2yx?4xy=8，所以依據(jù)不等式k2+k+2【解答過程】解：（1）∵關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集為{x|x＜1或x＞2}，∴1，2是方程ax2﹣3x+b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＞0，∴1+2=3a1×2=ba，解得a=1b=2，故（2）由（1）可知a＝1，b＝2，則1x+所以2x+y＝（1x+2y）（2x+y）＝4+當(dāng)且僅當(dāng)yx=4x由不等式k2+k+2≥2x+y有解，得k2+k+2≥8，即k2+k﹣6≥0，解得k≤﹣3或k≥2，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．28．（2024?徐匯區(qū)一模）已知關(guān)于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）求上述不等式的解；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得上述不等式的解集A中只有有限個(gè)整數(shù)？若存在，求出訪得A中整數(shù)個(gè)數(shù)最少的k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解題思路】（1）設(shè)原不等式的解集為A，然后分k大于0且不等于2，k等于2，小于0和等于0四種狀況考慮，當(dāng)k等于0時(shí)，代入不等式得到關(guān)于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即為原不等式的解集；當(dāng)k大于0且k不等于2時(shí)，不等式兩邊除以k把不等式變形后，依據(jù)基本不等式推斷k+2k與4的大小即可得到原不等式的解集；當(dāng)k等于2時(shí)，代入不等式，依據(jù)完全平方式大于0，得到x不等于4，進(jìn)而得到原不等式的解集；當(dāng)k小于0時(shí)，不等式兩邊都除以k（2）依據(jù)（1）中求出的不等式的解集A，得到當(dāng)k小于0時(shí)，A中的整數(shù)解個(gè)數(shù)有限個(gè)，利用基本不等式求出k+2k【解答過程】解：（1）設(shè)原不等式的解集為A，當(dāng)k＝0時(shí)，A＝（﹣∞，4）；當(dāng)k＞0且k≠2時(shí)，原不等式化為[x﹣（k+4k）]（x+4）＞∵k+4k∴A=(當(dāng)k＝2時(shí)，A＝（﹣∞，4）∪（4，+∞）；當(dāng)k＜0時(shí)，原不等式化為[x﹣（k+4k）]（x﹣4）＜∴A=(（2）由（1）知：當(dāng)k≥0時(shí)，A中整數(shù)的個(gè)數(shù)為無限個(gè)；當(dāng)k＜0時(shí)，A中整數(shù)的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，因?yàn)閗+4k≤-4，當(dāng)且僅當(dāng)k=4k時(shí)，即k所以當(dāng)k＝﹣2時(shí)，A中整數(shù)的個(gè)數(shù)最少．29．（2024秋?包河區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x的不等式x2+ax﹣3＜0的解集為（t，3）．（1）求實(shí)數(shù)a，t的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)c，使得關(guān)于x的不等式x2+cx﹣2a≥0的解集為R，同時(shí)關(guān)于x的不等式4x2+16tx+c2＜0的解集為?，若存在，求出實(shí)數(shù)c的值；若不存在，說明理由．【解題思