高中數(shù)學(xué)必修5 第一章 解三角形(A卷)

高中數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形（A卷）試卷

一、選擇題（共17題；共51分）

1.在銳角△一矮。中，角48所對的邊長分別為a、b.若2asinB=V?b,則角A等于（）

71

A.一

12

71

B.—

6

71

c.一

4

71

D.—

3

【答案】D

【考點】正弦定理

【解析】由正弦定理得,

sinAsinB'

sin4=—.又△as。是銳角三角形，?.?H=2.

23

江

2?在中，/48。=二，AB=yj2,BC=3,則sinNBAC等于（）

【答案】C

【考點】正弦定理，余弦定理

第1頁共18頁

【解析】在△as。中，由余弦定理得

AC2=BA2+BC2~IBABCcosZ.ABC

=（V2）2+32-2X72x3cos—=5.

Be4C

AC=0r，由正弦定理-------------=--------------

sinZ-BACsin/一曲C

3.在△a3C中，已知一4=J5.C，z8=30°,則NA等于（）

A.45°

B.15°

C.45°或135°

D.15?；?05°

【答案】D

【考點】正弦定理

【解析】?-=y/2AC，Z8=30。，

ABAC

由正弦定理------=-------,

sinCsinB

JC

-sinC,.lg-sin^_^2

CACACT-

.,.由CW（0,150°）,可得C=45?；?35。，

A=180--B-C=105°或15。.故選D.

4.在中，A,8,C的對邊分別為a,b,c,a:b:c=3:3:5,則4sm一1-5111々等于（）

sinC

1

A.一一

5

7

B.——

3

3

c.

第2頁共18頁

D.不是常數(shù)

【答案】C

【考點】正弦定理

33

2sin.4-sinB2a-blab2X-故選c

【解析】根據(jù)正弦定理，------------------=--------=--------55-

sinCcc

5.已知鈍角三角形的三邊長分別為2,3,x,則x的取值范圍是（）

A.l<x<5

B.亞VX<

c1<x<括或<A<5

D.l<x<亞

【答案】C

【考點】余弦定理

3<X<2+35

【解析】當(dāng)為最大邊時,

x.、r、''<X<

廣>2,+3二

3-2<x<3.

當(dāng)3為最大邊時，」，，

3*>廣+2\

--3

l<x<.

；.x的取值范圍是i<工<Jg或<V<5

6.如圖所示，為測一建筑物的高度，在地面上選取A,B兩點，從A,B兩點分別測得建筑物頂端的仰角為

30°,45°,且48兩點間的距離為60m,則該建筑物的高度為（）

A.(30+30V3)m

B.(3O+150)m

c.(15+30』)m

D(15+15J3)m

【答案】A

第3頁共18頁

【考點】正弦定理,解斜三角形應(yīng)用舉例

【解析】在△上15中，NPAB=30°,ZAPB=15°,AB=60,

sin15°=sin(45°—30°)=sin45°cos30°—cos45°sin30°

24

PB.IB

由正弦定理，得--------

sin30ssin15°

1x60

所以尸3=-i——產(chǎn)=30(>/6+72).

-4-

s

所以建筑物的高度為pgsin45=30(76+J5)x坐=(30+30-)

7.在△aS。中，角A，B,C所對的邊分別是a,b,c,并且。=1,b=出,4=30。，則c的值為（）

A.2

B.1

C.1或2

D.或2

【答案】C

【考點】余弦定理

【解析】由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,

即l=3+c2—3c,解得c=l或2.

8.已知△aBC的周長為、/區(qū)+1，且sinA+sin8=J^sinC.若△<3。的面積為sinC,則角C的

6

大小為（）

A.3O°

B.6O°

C.90°

D.120°

【答案】B

【考點】正弦定理，余弦定理

|a+b+c=0+1.

【解析】由己知條件可得

|4+6="Jlc,

第4頁共18頁

c+c=+1>c=1,

>/2V2?,-a+仁魚，

~311

由二角形的面積得一absinC——sinC,

26

1

??ab---.

3

a2+b2-c2(n+Z)):-lab-c:

cosC=------------------------=--------------------------------------

lablab

：.C=60°.

9.設(shè)△_T3。的內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則八ARC"的形狀

為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【答案】B

【考點】正弦定理，判斷三角形形狀

【解析】因為bcosC+ccos8=asinA,所以sin8cosc+sinCcosB=sinAsinA,又sin8cosc+sinCcosB=sin(8+C)

,~.

=sinA.聯(lián)立兩式得sinA=sinAsinA.由于AW(0,n),sinAwO,所以sinA=l,H=—.選B.

7

1°?在△一LSC中，已知AB=7,BC=5,AC=6,則萬?比等于()

A.19

B.-14

C.-18

D.-19

【答案】D

【考點】余弦定理，解三角形綜合應(yīng)用

【解析】AABC三邊分別為a,b,c,則。=5,b=6,c=7,

n25+49-3619

cosB--------------------------=—>

2x5x735

第5頁共18頁

設(shè)向量方與前的夾角為a,則cosa=一^：

.二萬.麗W麗南cosa=7x5x(T)=-19一

11?在△H3C中，〃十”一「二”，sinJ-sin5=-，則△.必。一定是()

(i+b—c4

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】A

【考點】正弦定理，余弦定理，判斷三角形形狀

,i3_3

【解析】由-_____-____--=c，^a3+b3—c3=(a+b—c)c2^a3+b3—c2(a+b)=0=^a+b)(a2+b2—ab-c2)

a+b-c

=0.

o+b>0,

o2+b2—c2—Qb=0.(l),由余弦定理⑴式可化為

a2+b2^(a2+b2-2abcosC)—ab=0,

得COSC=一，C—60°.

abc

由正弦定理------=-------=---------

sinAsinBsin60-

.“sin6CT.bsin6CT

得sinA=------------sinz?=-------------

cc

222

sinT-sinB="b(sin、60);三,.../_=】,ab=c,將ab=c2代入⑴式得，a+t—

14

20b=0,

222

即(a—b)2=0,a=b.又：ab=c,/.a=cfc=a=b,

??.△ABC是等邊三角形.

12.在△aSC中，已知A：8=1:2,NACB的平分線CD把三角形分成面積為3:2的兩部分，則cosA

等于()

1

A.一

3

1

B.一

第6頁共18頁

c.—

4

D.O

【答案】C

【考點】正弦定理,解斜三角形應(yīng)用舉例

【解析】如圖，=-=—,

S：,Rrn2DB

設(shè)AD=3k,BD=2k(k>0),Z1=Z2,B=2A,

ACD3k三

在△HBC中，由正弦定理得-----——①

CD2k

在△ABCD中，由正弦定理得-----

sin3sinZ2sinZl

即CD②，

2sinJcossin/I

由①②得，2cosJ=—>即cos.4=—

4

13.在△<3C中，a=15,fa=10,4=60。，則cosB等于（）

A一些

B2/

c._k

D.1

【答案】D

第7頁共18頁

【考點】正弦定理

ab1510

【解析】由正弦定理得----------------即----------=-------

sinAsin5sin60'sin5

b<o,B<A,故角B為銳角，；.cosB=—sin~B=----'故選D.

14.已知三角形的三邊長分別為a,b,+，則三角形的最大內(nèi)角是（）

A.1350

B.12O。

C.60°

D.90°

【答案】B

【考點】余弦定理

【解析］《a,+a/+6"2+a/+b'

則長為八］+的邊所對的角最大?

“4十—工田+b*—(a，+6,+ab)

由余弦定理，得cosa=--------------------

lab

所以三角形的最大內(nèi)角是120°.

15.若△a3C’的三邊分別為a，b,c,且滿足b2=ac，2b=a+c,則此三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【考點】判斷三角形形狀

【解析】:2b=a+c,442=（o+c）2,

又「b2=ac,（a—c）2=0..*.a=c.

2b=a+c=2a..\b=a,BPa=b=c.

故此三角形為等邊三角形.

16.如圖所示，當(dāng)甲船位于Z處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船

立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30。相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東（9+30。）

角的方向沿直線前往B處營救，則sim5的值為（）

第8頁共18頁

4『去

“

叵

7

A立

2

立

BC.

2

》

"

14

【答案】A

【考點】正弦定理，余弦定理,解斜三角形應(yīng)用舉例

【解析】在△一耳C中，AC=10海里，

AB=20海里，NCAB=120。.根據(jù)余弦定理得

BC2=AC2+AB2-2ACAB-COS^CAB=100+400+200=700,

5C=loV7海里?

BCAB

根據(jù)正弦定理得

sinZC15sinAACB

17.已知a,b,c分別為三個內(nèi)角A，B,C的對邊，若a=2,c=asinC—ccosA且△_T3C'

的面積為貝Ua,b,c的值分別為（）

A.b=c=2

第9頁共18頁

B.b=G=20

c.b=3：c=4

【答案】A

【考點】解三角形綜合應(yīng)用

【解析】的面積S=WbcsinU=J5

故bc=4,

而a2=b2+c2—2bccosA,

故按+C2=8,解得b=c=2.

二、解答題(共5題；共49分)

18.在△-45c中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA—，^sinA)cos8=0.

⑴.則角8的大小()

A.—

6

7T

B.—

4

7T

c.—

3

71

D.—

■>

【答案】C

【考點】余弦定理

【解析】由題意得

—cos(/A4-B)+(cos/A—^3sinXl)cosB=0,

sinAsinB-J^siMcos8=0,

sirb4(sin8—^/^cos8)=0.

5=0,

?「sin/UO,/.sinB—^3COS

第10頁共18頁

l7T

即tan8=弋3，，>8=—.

(2).若a+c=l,則b的取值范圍為()

A.5>1

7

c.b>1

D.3<1

【答案】B

【考點】余弦定理

【解析】由余弦定理得b2=02+c2-2GCCOS8.

1

?「

a+c=l9cosB=—,

b2=3(a~—)2+—.

24

1

又0<a<l,—<b2<l,

4

1

—<b<l.

19.在△4RC中，已知------=----------------,且cos(4—8)+cosC=l—cos2c.

asin5—sinA

⑴廁AABC的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】B

【考點】正弦定理，判斷三角形形狀

a+b_sin3

【解析】；

asin5-sinA

a+bb

----------,b2-a2=ab.

b-a

■/cos(4—B)+cosC=l—cos2C,

第11頁共18頁

cos(4—8)—cos(A+B)=2sin2C.

/.cosAcosB+s\nAs\nB-cosAcosB+s\nAs\nB=2s\n2C.

2sin/4sinB=2sin2C.

sin4sinB=sin2c.

ab=c2-'.b2—a2=c2,

即a2+c2=b2.

??.△ABC為直角三角形.

a+c

⑵.則------的取值范圍為()

b

A(0：在)

B(0/]

c(L0]

DC

【答案】c

【考點】正弦定理，判斷三角形形狀

【解析】由⑴知△asc中，B=4,

7T

A+C=—，sinC=cos4.

a+csinJ+sinC

bsin3

sinH+sinC

=.JT=sinA+cos4

sin—7

a+C-Wsin(J+—)?

b4

TVR.R3H

?'0<A<―,???-*.T+-?二---.

2444

?■<sin(J+—)1-

24

?.1<V2sin(J+-)-:；V2，

第12頁共18頁

QIC

即的取值范圍為（L冉

b

7T

20.如圖，△ABC中，B=—,BC=2,點。在邊AB上，AD=DCDE_LAC,E為垂足.

o

⑴.若△BCD的面積為貴則CD的長為（）

c2J10；回

D2710-273

【答案】B

【考點】余弦定理,解斜三角形應(yīng)用舉例

【解析】由題意得S_BCD=

ZT

又BC=2,sinB=7」.得BD=二

由余弦定理得CD=ylBC:~BD:-IBCBDcosB

")尸

+(―)*-2x2x—cosB=-——

、3’33

后

所以邊CD的長為.

第13頁共18頁

(2).若DE=,則角A的大小為(

7F

A.—

6

7T

B.—

4

7T

c.—

7T

D.—

【答案】B

【考點】正弦定理,解斜三角形應(yīng)用舉例

【解析】方法一因為CD=AD="DE

sinA2sinA

BCCD

由正弦定理-------------=-------BDC=2A,

sinZ.BDCsinB

得V6

sin2J2sinJsin60'

解得cosA=____,A=—.

24

，丁

所以角A的大小為一.

4

2AE

方法二由正弦定理得------=-------

sinAsinB

得AE-s'mA=s\nB=

DE

又----=tanA=

AE

貝ljAE-s\nA=DEcosA=

第14頁共18頁

得cosA=_Z.,A=一.

24

，丁

所以角A的大小為一.

4

21.如圖所示，為了測量對岸地面上48兩點間的距離,某人在河岸邊上選取了c,。兩點，使得CDLA8,

JI3

且C0=500m,現(xiàn)測得NBCD=a,ZBDC=6,ZACD=—,其中cosa=——,tan6=2.參考數(shù)據(jù)：

35

-73^1.732.

____立

CD

(l).sinzCBD的值為()

B正

【答案】A

【考點】解斜三角形應(yīng)用舉例

【解析】:cosa=三，a為銳角,4

sina=-.

/tan0=2,6為銳角,

1

sinZCBD=sin(a+6)=sinacos6+cosasin6=

第15頁共18頁

（2）.48兩點間的距離約為（)

A.IOOm

B.120m

C.200m

D.220m

【答案】B

【考點】解斜三角形應(yīng)用舉例

BC_CD

【解析】在△BCD中，由

sin(3sinNCBD

CD2^00

BC=sin0————=1x=500(m)

sinZC8D在獨

?

口"、道31436-4

sin/ACB=Sin(_一夕)=—x——一X一

J—110

由AB1.CD,NACD=—,得4=—.

36

BC

在△_必。中，由------------

sin/HCBsinA

"BC_3遣-4、500

得AB=sm10-丁=3004一400.

故A,B兩點間的距離約為120m.

h]

22.已知函數(shù)/（x）=7-sin2x-cos2x--,xER.

⑴.當(dāng)：vw[0：用時，則函數(shù)/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（）

A[0：＜]

3

5/T、

Br[―=

o

“0,令U件㈤