高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)與冪函數(shù)

二次函數(shù)與冪函數(shù)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1.二次函數(shù)2.冪函數(shù)教材研讀考點一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點二求二次函數(shù)的解析式考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點突破考點四三個“二次”間的轉(zhuǎn)化1.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)的定義形如①

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)的三種表示形式(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(ii)頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);教材研讀(iii)兩根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)?提醒

注意二次項系數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響,經(jīng)常對二次項系數(shù)分大于

零與小于零兩種情況討論.2.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義形如⑦

y=xα

的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是⑧

自變量

,α為⑨

常數(shù)

.(2)五種常見冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)(i)當(dāng)α>0時,冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì):a.圖象都經(jīng)過點⑩

(0,0)

、(1,1).b.在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而增大.(ii)當(dāng)α<0時,冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì):a.圖象都經(jīng)過點

(1,1)

.b.在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而減小.(4)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)知識拓展一元二次不等式恒成立的條件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要條件是“a<0且Δ<0”.1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1)函數(shù)y=2

是冪函數(shù).

(?)(2)若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點一定是原點.

(√)(3)當(dāng)n<0時,冪函數(shù)y=xn是定義域上的減函數(shù).

(?)(4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是

.

(?)(5)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R不可能是偶函數(shù).

(?)答案(1)?(2)√(3)?(4)?(5)?

2.(教材習(xí)題改編)已知冪函數(shù)f(x)=k·xα的圖象過點

,則k+α=(

C)A.

B.1

C.

D.2答案

C因為f(x)=k·xα是冪函數(shù),所以k=1.又f(x)的圖象過點

,所以

=

,所以α=

,所以k+α=1+

=

.

3.冪函數(shù)f(x)=xα(α是有理數(shù))的圖象過點

,則f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是

(B)A.[0,+∞)

B.(0,+∞)C.(-∞,0]

D.(-∞,0)答案

B由題意得

=2α,解得α=-2,所以f(x)=x-2,單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).

4.(教材習(xí)題改編)下圖是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的圖象,則a,b,c

的大小關(guān)系為

(D)A.c<b<a

B.a<b<cC.b<c<a

D.a<c<b答案

D

5.函數(shù)y=x2+ax+6在

上是增函數(shù),則a的取值范圍為

.答案[-5,+∞)解析

y=x2+ax+6在

上是增函數(shù),由題意得-

≤

,∴a≥-5.6.函數(shù)g(x)=x2-2x(x∈[0,3])的值域為

.答案[-1,3]解析由g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],得g(x)在[0,1]上是減函數(shù),在[1,3]上

是增函數(shù).所以g(x)min=g(1)=-1,因為g(0)=0,g(3)=3.所以g(x)在x∈[0,3]上的值域為[-1,3].典例1(1)冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖象是

(

C)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)考點突破

(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時,冪函數(shù)y=(m2+m-1)x-5m-3為減函數(shù),則實數(shù)m的值為

(B)A.-2

B.1C.1或-2

D.m≠

(3)若a=

,b=

,c=

,則a,b,c的大小關(guān)系是

(D)A.a<b<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.b<a<c

答案(1)C(2)B(3)D解析(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=f(x)=xα,∵冪函數(shù)f(x)的圖象過點(4,2),∴2=4α,解得α=

.∴f(x)=

,其定義域為[0,+∞),且是增函數(shù),當(dāng)0<x<1時,其圖象在直線y=x的上方,對照選項,知選C.(2)因為函數(shù)y=(m2+m-1)x-5m-3既是冪函數(shù)又是(0,+∞)上的減函數(shù),所以

解得m=1.(3)因為y=

的圖象在第一象限內(nèi)是上升的,所以a=

>b=

,因為y=

是減函數(shù),所以a=

<c=

,所以b<a<c.規(guī)律總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是y=xα(α∈R),其中只有一個參數(shù)α,因此只需一個條件

即可確定其解析式.(2)若冪函數(shù)y=xα(α∈R)是偶函數(shù),則α必為偶數(shù).當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時,一般先將

其化為根式,再判斷.(3)若冪函數(shù)y=xα(α∈R)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則α>0;若在(0,+∞)上單調(diào)

遞減,則α<0.1-1冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(3,

),則f(x)是

(C)A.偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)B.偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)C.奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù)D.非奇非偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù)答案

C設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα,把點(3,

)代入,得

=3α,解得α=

,所以f(x)=

,可知函數(shù)為奇函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

1-2若(a+1

<(3-2a

,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

解析易知函數(shù)y=

的定義域為[0,+∞),在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以

解得-1≤a<

.典例2(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)分別為(0,

0)和(-2,0),且函數(shù)有最小值-1,則f(x)=

.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3),且圖象被x軸截得的線段長為2,

并且對任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.求二次函數(shù)的解析式答案(1)x2+2x解析(1)設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由題意得

=-1,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)∵f(2+x)=f(2-x)對任意x∈R恒成立,∴f(x)圖象的對稱軸為直線x=2.又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2,∴f(x)=0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),∵f(x)的圖象過點(4,3),∴3a=3,∴a=1,∴所求函數(shù)的解析式為f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.方法技巧求二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)

選擇二次函數(shù)解析式的形式,選擇規(guī)律如下:

2-1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,則f(x)=

.答案

x2+2x+1解析設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,b=2,故f(x)=x2+2x+1.2-2若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函數(shù),且它的值域為(-∞,4],

則f(x)=

.答案-2x2+4解析由f(x)是偶函數(shù)知,f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,∴-a=-

,即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域為(-∞,4],∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4.命題方向一二次函數(shù)的圖象二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典例3如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(-3,0),對

稱軸為x=-1,給出下面四個結(jié)論:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.

其中正確的結(jié)論是

(B)A.②④

B.①④

C.②③

D.①③

答案

B解析因為二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①

正確;對稱軸為x=-1,即-

=-1,所以2a-b=0,②錯誤;結(jié)合圖象,當(dāng)x=-1時,y>0,即a-b+c>0,③錯誤;由對稱軸為直線x=-1知b=2a,又函數(shù)圖象開口向下,

所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正確,故選B.命題方向二二次函數(shù)的單調(diào)性典例4已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在區(qū)間[-4,6]上是單調(diào)函數(shù)的實數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)a=-1時,求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)a=-1時,f(|x|)=x2-2|x|+3=

畫出f(|x|)的圖象(圖略).∴f(|x|)的減區(qū)間是[-4,-1)和[0,1),增區(qū)間為[-1,0)和[1,6].解析(1)函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的圖象的對稱軸為直線x=-

=-a,要使f(x)在[-4,6]上為單調(diào)函數(shù),只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范圍是(-∞,-6]∪[4,+∞).◆探究1

(變條件)若函數(shù)f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上為增函數(shù),求a的取

值范圍.解析∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上為增函數(shù),∴-a≤-4,即a≥4.◆探究2若函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的單調(diào)增區(qū)間為[-4,+∞),則a為何值?解析∵f(x)=x2+2ax+3的單調(diào)增區(qū)間為[-4,+∞),∴-a=-4,即a=4.命題方向三二次函數(shù)的最值問題典例5設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函數(shù)f(x)的最小值.解析

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函數(shù)圖象的對稱軸為x=1.當(dāng)t+1<1,即t<0時,函數(shù)圖象如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為減函

數(shù),所以最小值為f(t+1)=t2+1;當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時,函數(shù)圖象如圖(2)所示,在x=1處取得最小值,最

小值為f(1)=1;當(dāng)t>1時,函數(shù)圖象如圖(3)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為增函數(shù),所以最

小值為f(t)=t2-2t+2.綜上可知,f(x)min=

規(guī)律總結(jié)1.確定二次函數(shù)圖象應(yīng)關(guān)注的三個要點:一是看二次項系數(shù)的符號,它決定二次函數(shù)圖象的開口方向;二是看圖象的對稱軸,它決定二次函數(shù)圖象的具體位置;三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點,如函數(shù)圖象與y軸的交點、與x軸的交

點,函數(shù)圖象的最高點或最低點等.從這三個方向入手,能準(zhǔn)確地判斷出二次函數(shù)的圖象.反之,也可以從圖

象中得到如上信息.2.對于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵看圖象的開口方向與對稱軸的位置,若圖

象的開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解.3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間

定、軸定區(qū)間動.無論哪種類型,解題的關(guān)鍵都是圖象的對稱軸與區(qū)間

的位置關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時,要依據(jù)圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)

行分類討論.3-1已知abc>0,則二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是(D)

答案

D

A項,易知a<0,-

<0,∴b<0.又∵abc>0,∴c>0,而f(0)=c<0,故A錯.B項,易知a<0,-

>0,∴b>0.又∵abc>0,∴c<0,而f(0)=c>0,故B錯.C項,易知a>0,-

<0,∴b>0.又∵abc>0,∴c>0,而f(0)=c<0,故C錯.D項,易知a>0,-

>0,∴b<0,∵abc>0,∴c<0,而f(0)=c<0,故選D.3-2已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1在區(qū)間[-1,2]上有最大值4,求實數(shù)a的值.解析

f(x)=a(x+1)2+1-a.當(dāng)a=0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的值為常數(shù)1,不符合題意,舍去;當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上是增函數(shù),最大值為f(2)=8a+1=4,解得a=

;當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù),最大值為f(-1)=1-a=4,解得a=-3.綜上可知,a的值為

或-3.典例6已知函數(shù)f(x)=x2-x+1,在區(qū)間[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求

實數(shù)m的取值范圍.三個“二次”間的轉(zhuǎn)化解析

f(x)>2x+m等價于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-