高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的單調(diào)性與最值

函數(shù)的單調(diào)性與最值高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)1.函數(shù)的單調(diào)性2.函數(shù)的最值教材研讀考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考點(diǎn)三函數(shù)的最值(值域)問題考點(diǎn)突破1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義教材研讀(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是⑤

單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)

,則稱函數(shù)f(x)

在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.?提醒(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域.(2)一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連

接.(3)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念,顯然N?M.2.函數(shù)的最值知識(shí)拓展1.單調(diào)性定義的等價(jià)形式設(shè)任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或

>0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上是增函數(shù).(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或

<0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上是減函數(shù).2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y=f(u),u=φ(x),在函數(shù)y=f(φ(x))的定義域上,如果y=f(u)與u=φ(x)的單

調(diào)性相同,那么y=f(φ(x))單調(diào)遞增;如果y=f(u)與u=φ(x)的單調(diào)性相反,那么y=f(φ(x))單調(diào)遞減.3.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)若f(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù).(2)若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同,若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=

的單調(diào)性相反.(4)函數(shù)y=f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y=

的單調(diào)性相同.1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”).(1)若定義在R上的函數(shù)f(x),有f(-1)<f(3),則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).(

?)(2)若函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).

(?)(3)函數(shù)y=

的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)∪(0,+∞).

(?)

(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.

(?)(5)若一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù),則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù).

(?)(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),其最值一般在區(qū)間端點(diǎn)處取到.

(√)

答案(1)?(2)?(3)?(4)?(5)?(6)√2.函數(shù)y=f(x),x∈[-4,3]的圖象如圖所示,則下列說法正確的是(C)A.f(x)在[-4,-1]上是減函數(shù),在[-1,3]上是增函數(shù)B.f(x)在(-1,3)上的最大值為3,最小值為-2C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,最大值3D.當(dāng)直線y=t與y=f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),-1<t<2答案

C

3.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù)的是

(A)A.y=

B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)答案

A

4.函數(shù)f(x)=(x-1)2的單調(diào)遞增區(qū)間是

(B)A.[0,+∞)

B.[1,+∞)C.(-∞,0]

D.(-∞,1]答案

B

5.若函數(shù)y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則

(D)A.k>

B.k<

C.k>-

D.k<-

答案

D

6.(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)=

,x∈[2,6],則f(x)的最大值為

,最小值為

.答案2;

解析可判斷函數(shù)f(x)=

在[2,6]上為單調(diào)減函數(shù),所以f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=

.命題方向一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例1函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(D)A.(-∞,-2)

B.(-∞,1)C.(1,+∞)

D.(4,+∞)確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)考點(diǎn)突破

答案

D解析由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.因此,函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的定義域是(-

∞,-2)∪(4,+∞).注意到函數(shù)y=x2-2x-8在(4,+∞)上單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞).命題方向二含參函數(shù)的單調(diào)性典例2判斷并證明函數(shù)f(x)=

(a≠0)在(-1,1)上的單調(diào)性.解析當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減;當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞

增.證明如下:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,f(x)=a·

=a

.f(x1)-f(x2)=a

-a

=

,由于-1<x1<x2<1.所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0.故當(dāng)a>0時(shí),f(x1)-f(x2)>0.即f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減;當(dāng)a<0時(shí),f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增.方法技巧1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求

單調(diào)區(qū)間.(2)定義法,先求定義域,再利用單調(diào)性定義求解.(3)圖象法,如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,那么可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.求復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)的定義域.(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y=f(u),u=g(x).(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增同減,則y=f(g(x))為增函數(shù);若一增一減,則y=f(g(x))為減函數(shù),即“同增異減”.1-1

函數(shù)y=|x|(1-x)在區(qū)間A上是增函數(shù),那么區(qū)間A是(B)A.(-∞,0)

B.

C.[0,+∞)

D.

答案

B

y=|x|(1-x)=

=

函數(shù)的大致圖象如圖所示.

由圖易知原函數(shù)在

上單調(diào)遞增.故選B.1-2判斷并證明函數(shù)f(x)=ax2+

(其中1<a<3)在x∈[1,2]上的單調(diào)性.解析當(dāng)a∈(1,3)時(shí),f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.證明如下:任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=a

+

-

=(x2-x1)

,由1≤x1<x2≤2,得x2-x1>0,2<x1+x2<4,1<x1x2<4,-1<-

<-

.又1<a<3,所以2<a(x1+x2)<12,所以a(x1+x2)-

>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),故當(dāng)a∈(1,3)時(shí),f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增.典例3已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,當(dāng)x2>x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2

-x1)<0恒成立,設(shè)a=f

,b=f(2),c=f(e),則a,b,c的大小關(guān)系為

(D)A.c>a>b

B.c>b>aC.a>c>b

D.b>a>c命題方向一比較大小函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

答案

D解析因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以f

=f

.由當(dāng)x2>x1>1時(shí),[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.∵1<2<

<e,∴f(2)>f

>f(e),即f(2)>f

>f(e),∴b>a>c.命題方向二解不等式典例4已知函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù),若f(a2-a)>f(a+3),則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為

.答案(-∞,-1)∪(3,+∞)解析∵函數(shù)f(x)為R上的增函數(shù),且f(a2-a)>f(a+3),∴a2-a>a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,即a的取值范圍為(-∞,-1)∪(3,+∞).◆探究若將本例中“R上的增函數(shù)”改為“(0,+∞)上的增函數(shù)”,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么?解析由已知可得

解得-3<a<-1或a>3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,-1)∪(3,+∞).命題方向三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)典例5(1)已知函數(shù)f(x)=

滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有

<0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

(C)A.(0,1)

B.

C.

D.

(2)函數(shù)y=

在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是

.

答案(1)C(2)(-∞,-3]解析(1)根據(jù)題意知函數(shù)f(x)在定義域R上為減函數(shù),則

解得

≤a<

.故選C.(2)y=

=1+

,由題意知

解得a≤-3.∴a的取值范圍是(-∞,-3].規(guī)律方法函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的3種常見類型及解題策略(1)比較大小:比較函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),

然后利用函數(shù)的單調(diào)性解題.(2)解不等式:在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí),往往是利用函數(shù)的單

調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉,使其轉(zhuǎn)化為求解具體的不等式.此時(shí)應(yīng)特別注意

函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù):視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).?提醒(1)若函數(shù)在[a,b]上單調(diào),則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間也

是單調(diào)的;(2)分段函數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接

點(diǎn)的取值.2-1若函數(shù)f(x)=-x2+2ax與g(x)=

在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù),則a的取值范圍是

(D)A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)

D.(0,1]答案

D由f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是減函數(shù),可得[1,2]?[a,+∞),∴a≤1.

由g(x)=

在[1,2]上是減函數(shù)可得a>0,故0<a≤1.

2-2已知函數(shù)f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

.答案(-

,-2)∪(2,

)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+2x在定義域上單調(diào)遞增,且f(1)=ln1+2=2,所以

由f(x2-4)<2,得f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-

<x<-2或2<x<

.典例6(1)函數(shù)y=2x-1-

的值域?yàn)?/p>

.(2)函數(shù)y=

的值域?yàn)?/p>

.(3)用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值,則函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是

.函數(shù)的最值(值域)問題答案(1)

(2)(-1,1)(3)6解析(1)解法一:換元法.令

=t,則t≥0,x=

,于是y=g(t)=2×

-1-t=-

t2-t+

=-

(t+1)2+6,顯然函數(shù)g(t)在[0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),所以g(t)≤g(0)=

,因此原函數(shù)的值域是

.解法二:單調(diào)性法.易知函數(shù)的定義域是

,易證函數(shù)y=2x-1-

在其定義域上是一個(gè)單調(diào)增函數(shù),所以當(dāng)x=

時(shí),函數(shù)取得最大值

,故原函數(shù)的值域是

.(2)分離常數(shù)法.y=

=

=-1+

,∵1+2x>1,∴0<

<2,∴-1<-1+

<1,即-1<

<1,∴函數(shù)y=

的值域?yàn)?-1,1).(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的圖象

后,取位于下方的部分得函數(shù)f(x)=min{4x+1,x+4,-x