高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)及其表示

函數(shù)及其表示高考數(shù)學一輪復習1.函數(shù)與映射的概念2.函數(shù)的有關(guān)概念3.分段函數(shù)教材研讀考點一函數(shù)的定義域考點二求函數(shù)的解析式考點三分段函數(shù)考點突破1.函數(shù)與映射的概念教材研讀2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的⑦

定義域

;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的⑧

值域

.(2)函數(shù)的三要素:⑨

定義域

、值域和對應關(guān)系.(3)相等函數(shù):如果兩個函數(shù)的⑩

定義域

相同,且

對應關(guān)系

完全一致,則這兩個函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法:

解析法

、圖象法、列表法.?提醒判斷兩個函數(shù)是否相同,抓住兩點:①定義域是否相同;②對應

關(guān)系是否相同,其中解析式可以化簡,但要注意化簡過程的等價性.3.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的

對應關(guān)系

,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個函數(shù).?提醒一個分段函數(shù)的解析式要把每一段寫在一個大括號內(nèi),各段函

數(shù)的定義域不可以相交.知識拓展1.常見的函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定義域均為R.(5)y=tanx的定義域為

.(6)函數(shù)f(x)=x0的定義域為{x|x∈R,且x≠0}.2.基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當a>0時,值域為

,當a<0時,值域為

.(3)y=

(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a最多有2個交點.

(?)(2)函數(shù)f(x)=x2-2x與g(t)=t2-2t是同一函數(shù).

(√)(3)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同,則這兩個函數(shù)是相等函數(shù).(?)(4)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的.

(?)(5)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集,值域等于各段值域的并

集.

(√)

答案(1)?(2)√(3)?(4)?(5)√2.下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是

(B)答案

B

3.下面各組函數(shù)中為相等函數(shù)的是

(B)A.f(x)=

,g(x)=x-1B.f(x)=x-1,g(t)=t-1C.f(x)=

,g(x)=

·

D.f(x)=x,g(x)=

答案

B若兩個函數(shù)為相等函數(shù),需它們的定義域、對應關(guān)系都相

同.對于選項A:因為f(x)=

,g(x)=x-1的定義域都為R,但函數(shù)f(x)=|x-1|,所以它們的對應關(guān)系不同,排除A;對于選項C:因為f(x)=

,g(x)=

·

的定義域分別為(-∞,-1]∪[1,+∞),[1,+∞),定義域不同,排除C;對于選項D:因為f(x)=x,g(x)=

的定義域分別為R,{x|x≠0},定義域不同,排除D;對于選項B:因為f(x)=x-1,g(t)=t-1的定義域都為R,對應關(guān)系也

相同,所以它們是相等函數(shù),選B.4.函數(shù)f(x)=

+

的定義域為

(C)A.[0,2)

B.(2,+∞)C.[0,2)∪(2,+∞)

D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案

C由題意得

解得x≥0且x≠2.所以函數(shù)的定義域為[0,2)∪(2,+∞).

5.已知函數(shù)f(x)=x|x|,若f(x0)=4,則x0的值為

.答案2解析當x≥0時,f(x)=x2,則f(x0)=4,即

=4,解得x0=2,當x<0時,f(x)=-x2,則f(x0)=4,即-

=4,無解,所以x0=2.6.設(shè)函數(shù)f(x)=

則f(f(3))=

.答案

解析由題意知f(3)=

,f

=

+1=

,所以f(f(3))=f

=

.命題方向一求函數(shù)的定義域典例1(1)函數(shù)f(x)=

+lg(6-3x)的定義域為

(C)A.(-∞,2)

B.(2,+∞)C.[-1,2)

D.[-1,2]平均速度和瞬時速度

考點突破

C.

D.[-5,5](2)已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[-2,3],則y=f(2x-1)的定義域是

(C)A.

B.[-1,4]

答案(1)C(2)C解析(1)要使函數(shù)f(x)=

+lg(6-3x)有意義,則

即-1≤x<2.故函數(shù)y=f(x)的定義域為[-1,2).(2)∵函數(shù)y=f(x)的定義域為[-2,3],∴-2≤2x-1≤3,即-

≤x≤2,即函數(shù)y=f(2x-1)的定義域為

.◆探究1

(變條件)本例(2)中,若y=f(2x-1)的定義域為[-2,3],如何求y=f(x)

的定義域?解析∵y=f(2x-1)的定義域為[-2,3],∴-5≤2x-1≤5,∴函數(shù)y=f(x)的定義域為[-5,5].◆探究2

(變條件)本例(2)中,若y=f(2x-1)的定義域為[-2,3],則y=f(3x+1)

的定義域是什么?解析∵y=f(2x-1)的定義域為[-2,3],∴-5≤2x-1≤5,∴-5≤3x+1≤5,即-2≤x≤

.∴函數(shù)y=f(3x+1)的定義域為

.命題方向二已知函數(shù)的定義域求參數(shù)典例2(1)若函數(shù)y=

的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是

(D)A.

B.

C.

D.

(2)若函數(shù)f(x)=

的定義域為{x|1≤x≤2},則a+b的值為

.

答案(1)D(2)-

解析(1)要使函數(shù)的定義域為R,則mx2+4mx+3≠0恒成立,①當m=0時,顯然滿足條件;②當m≠0時,由Δ=(4m)2-4m×3<0,得0<m<

,由①②得0≤m<

.(2)函數(shù)f(x)=

的定義域是不等式ax2+abx+b≥0的解集.由題意知不等式ax2+abx+b≥0的解集為{x|1≤x≤2},所以

解得

所以a+b=-

-3=-

.規(guī)律總結(jié)函數(shù)定義域的求解策略(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題,在解不等式

(組)取交集時可借助數(shù)軸,要特別注意端點值的取舍.(2)求函數(shù)y=f(g(x))的定義域:若y=f(x)的定義域為(a,b),則解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定義域;若y=f(g(x))的定義域為(a,b),則求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定義域.

(3)已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍,可將問題化成含參的不等式(組)問題,然后求解.?提醒(1)求函數(shù)定義域時,先不要化簡函數(shù)解析式;(2)求出定義域后,一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式.1-1函數(shù)f(x)=

+lg

的定義域為

(C)A.(2,3)

B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]

D.(-1,3)∪(3,6]答案

C要使函數(shù)有意義,需滿足

即

解得2<x<3或3<x≤4,故選C.

1-2已知函數(shù)y=f(x)的定義域為(-1,1),則函數(shù)g(x)=f

+f(x-1)的定義域為

(C)A.(-2,0)

B.(-2,2)C.(0,2)

D.

答案

C由題意得

∴

∴0<x<2,∴函數(shù)g(x)=f

+f(x-1)的定義域為(0,2),故選C.

1-3若函數(shù)y=

的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

解析由題意得ax2-4ax+2>0恒成立,則a=0或

解得0≤a<

.典例3(1)已知f

=x2+

,求f(x)的解析式.(2)已知f

=lgx,求f(x)的解析式.(3)已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1.求f(x)的解析式.(4)已知函數(shù)f(x)滿足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.求函數(shù)的解析式解析(1)(配湊法)由于f

=x2+

=

-2,所以f(x)=x2-2,x≥2或x≤-2,故f(x)的解析式是f(x)=x2-2,x≥2或x≤-2.(2)(換元法)令

+1=t得x=

,代入得f(t)=lg

.又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)=lg

,x>1.(3)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=0,知c=0,則f(x)=ax2+bx,又由f(x+1)=f(x)+x+1.得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1.所以

解得a=b=

.所以f(x)=

x2+

x.(4)(解方程組法)由f(-x)+2f(x)=2x,①得f(x)+2f(-x)=2-x,②①×2-②,得3f(x)=2x+1-2-x,即f(x)=

.所以f(x)的解析式是f(x)=

.方法技巧求函數(shù)解析式的常用方法(1)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的式子,然后以x替代g(x),即得f(x)的解析式.(2)換元法:已知函數(shù)f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式時可用換元法,即令g(x)=t,從中解出x,代入已知解析式進行換元,此時要注意新元的取值范圍.(3)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),則可用待定系數(shù)法.(4)解方程組法:已知關(guān)于f(x)與f

或f(-x)的等式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出等式組成方程組,通過解方程組求出f(x)的解析式.2-1已知y=f(x)是二次函數(shù),若方程f(x)=0有兩個相等實根,且f'(x)=2x+

2,求f(x)的解析式.解析設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f'(x)=2ax+b=2x+2,所以a=1,b=2,則f(x)=x2+2x+c.因為方程f(x)=0有兩個相等實根,所以Δ=4-4c=0,解得c=1,故f(x)=x2+2x+1.命題方向一求分段函數(shù)的函數(shù)值典例4(1)若函數(shù)f(x)=

則f(-2)+f(log212)=

(C)A.3

B.6

C.9

D.12(2)已知f(x)=

則f(7)=

.分段函數(shù)

答案(1)C(2)6解析(1)∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;∵log212>1,∴f(log212)=

=

=6,∴f(-2)+f(log212)=9.(2)∵7<9,∴f(7)=f(f(7+4))=f(f(11))=f(11-3)=f(8).又∵8<9,∴f(8)=f(f(12))=f(9)=9-3=6,即f(7)=6.命題方向二與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題典例5

設(shè)函數(shù)f(x)=

則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是(D)A.(-∞,-1]

B.(0,+∞)C.(-1,0)

D.(-∞,0)

答案

D解析本題主要考查分段函數(shù)及不等式的解法.函數(shù)f(x)=

的圖象如圖所示:

由f(x+1)<f(2x)得

得

∴x<0,故選D.命題方向三求參數(shù)的值或取值范圍問題典例6(1)已知函數(shù)f(x)=

若f(a)+f(1)=0,則實數(shù)a的值為

.(2)設(shè)f(x)=

若f(a)=f(a+1),則f

=

.

答案(1)-3(2)6解析(1)當a>0時,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,無實數(shù)解;當a≤0時,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,滿足條件,故a=-3.(2)解法一:當0<a<1時,a+1>1,所以f(a)=

,f(a+1)=2(a+1-1)=2a.由f(a)=f(a+1)得

=2a,所以a=

.此時f

=f(4)=2×(4-1)=6.當a≥1時,a+1>1,所以f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,無解.綜上,f

=6.解法二:因為當0<x<1時,f(