《微積分（第4版）》 示范課課件 導數(shù)概念

微積分WEIJIFEN第三章導數(shù)與微分第一節(jié)導數(shù)的概念第二節(jié)求導法則第三節(jié)微分及其應(yīng)用

返回yOxy=f(x)

返回第三章導數(shù)與微分(Derivatives)第一節(jié)導數(shù)概念一、微積分產(chǎn)生的歷史背景二、速度與切線三、導數(shù)的概念四、左導數(shù)與右導數(shù)五、導數(shù)的幾何意義六、可導性與連續(xù)性的關(guān)系七、函數(shù)變化率第一節(jié)導數(shù)的概念

在此期間,在自然科學領(lǐng)域發(fā)生了幾件重大事件：★1608年望遠鏡的發(fā)明,引起了天文學研究的高潮,推動了光學研究的發(fā)展.★1619年開普勒經(jīng)過觀測研究,提出了行星運動三大定律,引起了全世界的關(guān)注.★1638年伽利略建立了自由落體定律與動量守恒定律的數(shù)學表達式,激起人們用數(shù)學求解問題的熱情.微積分WEIJIFEN

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返回一.微分學產(chǎn)生的歷史背景

十七世紀人類創(chuàng)建了微積分.微積分的創(chuàng)建是人類精神的最高勝利.它對自然科學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響.

在此階段,人們提出了一系列與物體運動速度、加速度,曲線的切線相關(guān)聯(lián)的問題.

這些問題將其概括為兩類：(1)變速直線運動物體的瞬時速度問題.(2)平面曲線的切線問題.光線在曲面上的反射行星運動軌跡與速度

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這兩類問題盡管內(nèi)容和提法不同,但從思想方法上看都有一個共同的特征就是研究變量的變化程度及其相互關(guān)系.研究的代表人物是科學大師牛頓與萊布尼茨.牛頓（Newton,1643-1727）萊布尼茨（Leibniz,1597-1652）

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返回微積分WEIJIFEN二、速度與切線

例設(shè)物體作自由落體運動,其運動方程為.其中s表示位移,t表示時間.求時刻的瞬時速度

分析對瞬時速度的理解

速度:用來描述物體運動快慢的物理量稱為速度.這里的速度是與時間間隔相關(guān)聯(lián)的,它是距離與時間之比,它反映的是該段時間間隔內(nèi)的平均速度.即

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瞬時速度:

物體運動中某一時刻的速度.在此無時間間隔、無法運動、無法體現(xiàn)速度,構(gòu)成矛盾體.為了確定瞬時速度就要給出數(shù)學上瞬時速度的定義.問題解決的思想方法：欲求瞬時速度平均速度（當很小時）

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返回微積分WEIJIFEN其平均速度為問題的求解過程：當時間很小時,在此越小,

越接近v,當小得不能再小時

當時間在取得增量時,位移有增量

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返回微積分WEIJIFEN數(shù)據(jù)觀察：時隨的變化情況9.319.7519.79519.799519.799951[0.9,1][0.99,1][0.999,1][0.9999,1][0.99999,1]-

0.1-

0.01-

0.001-

0.0001-

0.0000110.299.8499.80499.800499.800049[1,1.1][1,1.01][1,1.001][1,1.0001][1,1.00001]0.10.010.0010.00010.00001時間區(qū)間時間區(qū)間由極限概念知,瞬時速度為平均速度的極限

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設(shè)物體作變速直線運動,其運動方程為s=s(t).其中s表示位移,t表示時間.求時刻的瞬時速度

當時間在取得增量時,則在到的時間段內(nèi),位移有增量則在t0到這段時間內(nèi)的平均速度為1.變速直線運動的瞬時速度

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返回微積分WEIJIFEN當越小時,平均速度將越接近瞬時速度,當無限趨近于零時,平均速度也將無限趨近瞬時速度.為此,瞬時速度為平均速度當時的極限,即

在此,平均速度稱為位移s在t0到時間段內(nèi)的平均變化率,而瞬時速度則稱為位移s在時間t=t0的(瞬時)變化率.

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返回微積分WEIJIFEN變速直線運動的速度概括以勻代變，運用極限實現(xiàn)勻與變的轉(zhuǎn)化.思想方法變速直線運動自由落體運動

瞬時速度

平均速度

方程

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返回微積分WEIJIFEN2.平面曲線的切線斜率

圓的切線:與圓只有一個接觸點的直線稱為圓的切線.

對于一般曲線而言與曲線只有一個接觸點的直線未必為曲線的切線.

萊布尼茨曾把曲線的切線定義為連接曲線上無限接近的兩點的直線.

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返回微積分WEIJIFENＭ附近另取C上一點N,作割線ＭN.

割線的極限位置ＭT是指:當點N沿曲線C趨于Ｍ時,弦長,且夾角∠MCTN切線的定義：設(shè)有平面曲線C及C上一點Ｍ,當點N沿曲線C趨于Ｍ時,如果割線ＭN直線ＭT就稱為曲繞點Ｍ旋轉(zhuǎn)而趨于極限位在點置ＭT.線C在點Ｍ處的切線.

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返回微積分WEIJIFEN平面曲線的切線斜率M

為曲線上一點,N為M附近當時,割線斜率的極限值就是切線的斜率.TMNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

割線斜率為設(shè)平面曲線y=f(x),一點,作割線M

N.

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返回微積分WEIJIFEN平面曲線的切線斜率切線斜率為割線斜率極限切線為割線的極限位置平面曲線的切線斜率平面曲線的切線MNTxyxyMTxN

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返回微積分WEIJIFEN瞬時速度與曲線的切線斜率對比概括運用極限實現(xiàn)勻與變、直與曲的轉(zhuǎn)化.瞬時速度切線斜率平均變化率與變化率結(jié)構(gòu)特征

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返回微積分WEIJIFEN三、導數(shù)的概念

定義設(shè)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，屬于該鄰域,記若極限即存在,則稱其極限值為y=f(x)在點x0

處導數(shù),記為或記為即

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返回微積分WEIJIFEN即函數(shù)在x0的導數(shù)值等于其導函數(shù)在x0的函數(shù)值.

定義設(shè)y=f(x)在(a,b)內(nèi)每個點都可導,則稱為y=f(x)在(a,b)內(nèi)的導函數(shù),簡稱導數(shù).或記為給定點的導數(shù)與導函數(shù)之間關(guān)系說明：導數(shù)也可表示為y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導.若,則稱

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返回微積分WEIJIFEN例解由導數(shù)定義有

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返回微積分WEIJIFEN四、左導數(shù)與右導數(shù)左導數(shù)右導數(shù)或

定理函數(shù)y=f(x)在x=x0可導的充分必要條件是y=f(x)在x=x0

的左、右導數(shù)存在且相等.

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例討論函數(shù)

在x=0和x=1處的可導性.解所以y=f(x)在x=0可導,且

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若在點M處函數(shù)可導則其切線方程為五、導數(shù)的幾何意義

導數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處的切線斜率.TMNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

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返回微積分WEIJIFEN六、可導性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)f(x)在x=x0可導,即此時即有則由極限定理知所以,若f(x)在x=x0處可導，則f(x)在x=x0

處連續(xù).反之,若f(x)在x=x0處連續(xù)，則f(x)在x=x0處不一定可導.

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返回微積分WEIJIFEN例討論f(x)=|x|在點x=0處的連續(xù)性與可導性.因此f(x)=|x|在x=0連續(xù).因此f(x)=|x|在點x=0處不可導.解所以

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返回微積分WEIJIFEN解因此在點x=0處連續(xù)，但因此在點x=0處不可導.(極限不存在).綜上所述,若y=f(x)在點x0處可導,則y=f(x)在點x0

處連續(xù),反之不然.例討論f(x)=在點x=0處的連續(xù)性與可導性.

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返回微積分WEIJIFEN連續(xù)關(guān)系概念導數(shù)可導一定連續(xù)；連續(xù)未必可導連續(xù)但不可導函數(shù)圖形特征xyoxyoxyo

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返回微積分WEIJIFEN七、函數(shù)變化率

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導,則比值稱為函數(shù)y=f(x)在點x處的變化率.它反映函數(shù)y=f(x)在點x處的變化快慢程度.

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返回表示區(qū)間長度為的區(qū)間上y對x的平均變化率.而平均變化率的極限.微積分WEIJIFEN

例設(shè)細桿自一端起,長度為x的一段質(zhì)量為m=m(x),求細桿在x=x0處的線密度.

解當x在x0取得增量時,則在x0到的小段上,則細桿在x=x0處的線密度為小段x0到間的細桿的平均線密度的極限.即xo細桿的質(zhì)量增量為

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返回微積分WEIJIFEN常見實際問題的函數(shù)變化率人口增長速度人口總量邊際成本總成本化學反應(yīng)速度濃度細桿線密度質(zhì)量電流強度電量瞬時速度路程變化率意義函數(shù)變化率函數(shù)

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已知某一曲線在任意點處的切線斜率為,則其曲線所滿足的數(shù)學模型為已知物體的冷卻速度與物體周圍溫差成正比，則其數(shù)學模型為變化率數(shù)學模型舉例

（1）幾何問題（k為常數(shù)）（2）冷卻問題

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返回微積分WEIJIFEN導數(shù)計算舉例

利用定義求函數(shù)導數(shù)步驟：（1）求增量（2）算比值（3）求極限（4）得導數(shù)

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返回微積分WEIJIFEN例求的導數(shù)解(1)求增量(2)算比值(3)求極限所以

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返回微積分WEIJIFEN所以解由導數(shù)概念得例求的導數(shù)

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