重慶市九龍坡區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023—2024學(xué)年教育質(zhì)量全面監(jiān)測(cè)（中學(xué)）八年級(jí)（下）數(shù)學(xué)試題（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑．1.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，利用最簡(jiǎn)二次根式定義：分母中不含根號(hào)，根號(hào)中不含分母，被開方數(shù)不含能開的盡方的因數(shù)，判斷即可．解：A、為最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、，不符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意．故選：A．2.下列圖象中，不能表示是的函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查的是函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的定義：對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，即可判斷出哪個(gè)選項(xiàng)不能表示y是x的函數(shù)．掌握自變量確定時(shí)，函數(shù)值的唯一性是解題的關(guān)鍵．解：A、滿足對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，故A不符合題意；B、滿足對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，故B不符合題意；C、滿足對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，故C不符合題意；D、不滿足對(duì)于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，故D符合題意；故選：D．3.城市運(yùn)動(dòng)會(huì)舉辦在即，某校為了選拔一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加城市運(yùn)動(dòng)會(huì)跳高比賽，教練記錄了甲、乙、丙、丁四名同學(xué)幾次跳高成績(jī)的平均數(shù)與方差．甲乙丙丁平均數(shù)175170175170方差4.72.22.36.1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，最合適的人選是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】本題考查了由平均數(shù)，方差作決策，先由平均數(shù)可得從甲和丙中選擇一人參加比賽，再由丙方差小于甲的方差，從而選擇丙去參賽．解：∵甲和丙的平均數(shù)大于乙和丁的平均數(shù)，∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，∵丙的方差小于甲的方差，∴選擇丙參賽，故選：C．4.下列命題中，是假命題的是（）A.平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.矩形的對(duì)角線互相垂直C.菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角D.正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)一一判斷即可．解：A、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，是真命題，本選項(xiàng)不符合題意．B、矩形的對(duì)角線互相垂直，是假命題，本選項(xiàng)符合題意．C、菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，是真命題，本選項(xiàng)不符合題意．D、正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，是真命題，本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的性質(zhì)解決問(wèn)題．5.如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)間的直線距離，在地面上確定可直線到達(dá)點(diǎn)、點(diǎn)的點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)，量得，則之間的直線距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了三角形中位線的知識(shí)，理解并掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，據(jù)此即可獲得答案．解：∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∵，∴．故選：D．6.估計(jì)的值在（）A.7到8之間 B.8到9之間 C.9到10之間 D.10到11之間【答案】A【解析】【分析】本題主要考查二次根式的運(yùn)算、無(wú)理數(shù)的估算等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先將原式進(jìn)行計(jì)算，然后估算其結(jié)果在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可．解：∵，∴，∴．故選：A．7.如圖，點(diǎn)為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，若，則度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意求得，再結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，，由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，進(jìn)而可得，即可獲得答案．解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，，又∵，∴在中，，∴，∴．故選：A．8.隨著人工智能的發(fā)展，智能機(jī)器人送餐成為時(shí)尚．如圖是某餐廳的機(jī)器人聰聰和慧慧，他們從廚房門口出發(fā)，準(zhǔn)備給相距的同一桌客人送餐，聰聰比慧慧先出發(fā)，且速度保持不變，慧慧出發(fā)一段時(shí)間后將速度提高到原來(lái)的2倍．設(shè)聰聰行走的時(shí)間為，聰聰和慧慧行走的路程分別為，，，與之間的函數(shù)圖像如圖所示，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A.慧慧比聰聰晚出發(fā)15秒B.慧慧提速后的速度為30厘米/秒C.D.從聰聰出發(fā)直至送餐結(jié)束，聰聰和慧慧之間距離的最大值為【答案】D【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從函數(shù)圖像獲取信息是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖像信息求出運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)而判斷選項(xiàng)A，B，C；分別求得以及各段的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖像即可判斷D選項(xiàng)．解：根據(jù)題意，聰聰比慧慧先出發(fā)，且速度保持不變，慧慧出發(fā)一段時(shí)間后將速度提高到原來(lái)的2倍，結(jié)合圖像可知，慧慧比聰聰晚出發(fā)15秒，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵當(dāng)秒時(shí)，，當(dāng)秒時(shí)，厘米，故慧慧提速前的速度是厘米/秒，∵慧慧發(fā)一段時(shí)間后速度提高為原來(lái)的2倍，∴慧慧提速后速度為30厘米/秒，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；故提速后慧慧行走所用時(shí)間為：秒，∴秒，∴，則聰聰?shù)乃俣葹槔迕?秒∴秒，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；設(shè)段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，可得可得，∴可有，當(dāng)時(shí)，聰聰和慧慧之間距離最大值為厘米；當(dāng)時(shí)，設(shè)，將，代入，可得，解得，∴此階段有，∴聰聰和慧慧之間距離，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為厘米；設(shè)段對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入，可得，解得，∴此階段有，當(dāng)時(shí)，聰聰和慧慧之間距離，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為厘米；當(dāng)時(shí)，聰聰和慧慧之間距離最大值為厘米．綜上所述，從聰聰出發(fā)直至送餐結(jié)束，聰聰和慧慧之間距離的最大值為150厘米，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．9.如圖，正方形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角以及三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，取中點(diǎn)G，連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，證明，得，證明，求出，根據(jù)可得，整理后可得結(jié)論解：取中點(diǎn)G，連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，又，∴∴∴∵，∴，∵∴在和中，∴，∵，且，∴∴而又∴∴．故選：C．10.若為正有理數(shù)，則有，得到有理數(shù)結(jié)果，我們把稱為“的有理化因式”；與互稱為“有理化因式”．令，利用有理化因式，可以得到如下結(jié)論：（）①；②若（其中為有理數(shù)）則；③若，則；④；以上結(jié)論正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．利用有理化因式進(jìn)行變形計(jì)算后即可判斷．解：①，故該結(jié)論正確；②根據(jù)題意，可得，則有，解得，所以，可有，故該結(jié)論正確；③若，因?yàn)椋?，故該結(jié)論正確；④因?yàn)椋试摻Y(jié)論正確．綜上所述，結(jié)論正確的有4個(gè)．故選：D．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）．請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．11.若關(guān)系式是關(guān)于的正比例函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義、解一元一次方程等知識(shí)，熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．一般地，兩個(gè)變量、之間的關(guān)系式可以表示成形如（為常數(shù)，且）的函數(shù)，那么就叫做的正比例函數(shù)，據(jù)此可得關(guān)于的一元一次方程，求解即可獲得答案．解：根據(jù)題意，關(guān)系式是關(guān)于的正比例函數(shù)，則有，解得．故答案為：．12.如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，若再添加一個(gè)條件，可判定四邊形為平行四邊形．請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中選取一個(gè)作為添加條件．你選擇的條件是______．（填序號(hào)）【答案】③【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論．解：選擇③，∵，，∴四邊形為平行四邊形；而選擇①或②都只有一組對(duì)邊相等，也無(wú)法證明三角形全等得其他邊、角的關(guān)系，故選擇③能判定四邊形為平行四邊形．故答案為：③．13.如圖，點(diǎn)為一次函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖像獲得答案．利用函數(shù)圖像，寫出一次函數(shù)的圖像在一次函數(shù)的圖像上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．解：由圖像可知，關(guān)于的不等式的解集是．故答案：．14.已知一組數(shù)據(jù)136，138，139，137，140，則該組數(shù)據(jù)的方差為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了方差：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．根據(jù)題意得出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計(jì)算即可．解：∵這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，

∴這組數(shù)據(jù)的方差為：．

故答案為：2．15.如圖，面積分別為的四個(gè)正方形圍成的四邊形中，，若，．則______．【答案】10【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意可知：，，，，根據(jù)勾股定理可以表示出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，掌握勾股定理是關(guān)鍵．解：根據(jù)題意可知：，，，，在與中，∵，，∴，∵，，∴，故答案為：10．16.若關(guān)于的不等式組有且僅有5個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的一次函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)隨增大而增大，則滿足條件的所有整數(shù)的和為______．【答案】18【解析】【分析】本題主要是考查了不等式組的解法，一次函數(shù)的性質(zhì)，先解不等式組，根據(jù)不等式組有且僅有5個(gè)整數(shù)解可得a的范圍，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)可得a的范圍，兩個(gè)范圍結(jié)合在一塊可得出a的最終范圍，則可得結(jié)果．解：解不等式組得，∵不等式組有且僅有5個(gè)整數(shù)解，∴，∴，∵關(guān)于的一次函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)隨增大而增大，∴，∴，∴，∴滿足條件的所有整數(shù)a為3，4，5，6，∵，∴滿足條件的所有整數(shù)a的和為18．故答案為：18．17.如圖，點(diǎn)點(diǎn)分別為的邊上的點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接．若，，，，，則的長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于G，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，由勾股定理求出，，再證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可得出．解：如圖，延長(zhǎng)交于G，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)M，∵將沿折疊，得到，∴，，，；∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．18.對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù)，若的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且的十位數(shù)字等于百位和個(gè)位數(shù)字的差的絕對(duì)值，則稱是“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”，例如：三位數(shù)523，，523是“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”．則最大的“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”是______；把一個(gè)“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉，得到三個(gè)兩位數(shù)，這三個(gè)兩位數(shù)之和記為，把的百位數(shù)字的3倍，十位數(shù)字的2倍和個(gè)位數(shù)字之和記為．例如：．已知三位數(shù)是“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”，且是整數(shù)，則這個(gè)“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”的最大值為______．【答案】①.981②.314【解析】【分析】本題主要考查了新定義運(yùn)算、算術(shù)平方根、二元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，理解新定義“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”是解題關(guān)鍵．根據(jù)“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”的定義，確定最大的“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”即可；設(shè)，，，，則有，根據(jù)題意可得，，易得，結(jié)合為整數(shù)，可得，則有，然后分情況討論，即可獲得答案．解：根據(jù)“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”的定義，可得最大的“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”是981；設(shè)，，，，則有，可知，，∴，∵為整數(shù)，即為整數(shù)，∴，則有，當(dāng)時(shí)，，則，可得（舍去）或，則；當(dāng)時(shí)，，則，可得（舍去）或，則；當(dāng)時(shí)，，則，可得或，則或．綜上所述，這個(gè)“百個(gè)絕對(duì)數(shù)”的最大值為314．故答案為：981；314．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分．解答每小題應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）4（2）【解析】【分析】本題主要考查了二次根式運(yùn)算、完全平方公式、平方差公式、零指數(shù)冪等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，然后相加減即可；（2）首先根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，然后相加減即可．【小問(wèn)1】解：原式；【小問(wèn)2】解：原式．20.如圖，已知．（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)完成作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作圖形中；連接，求證：四邊形是菱形．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程，不寫證明理由）．證明：∵平分，∴，①又∵，∴，∴，∴，②∵，∴，③又∵，∴，∴，∴，∴___，④又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形．【答案】（1）見(jiàn)（2）①；②；③；④【解析】【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、菱形的判定等知識(shí)，結(jié)合題意正確作圖是解題關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑作弧，交于點(diǎn)，然后分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)度為半徑作弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于；以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)度為半徑作弧，交于點(diǎn)，然后分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)度為半徑作弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，，交于，交于，即可獲得答案；（2）首先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明，易得，然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，結(jié)合，易得，進(jìn)而可得，可知，即可證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”，即可證明結(jié)論．【小問(wèn)1】解：根據(jù)題意，完成作圖，如下圖所示；【小問(wèn)2】證明：∵平分，∴，①又∵，∴，∴，∴，②∵，∴，③又∵，∴，∴，∴，∴，④又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形．故答案為：①；②；③；④．21.某校在6月5日，組織七、八年級(jí)學(xué)生開展了一次重慶大轟炸知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)分別為四個(gè)等級(jí)，且四個(gè)等級(jí)分別賦分為10分，9分，8分，7分．學(xué)校分別從七、八年級(jí)各抽取25名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)整理并繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)提供的信息解答下列問(wèn)題：七年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖八年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖年級(jí)平均分中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)8.76a91.06八年級(jí)8.768b1.38（1）根據(jù)以上信息可以求出：______．______，并把七年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）依據(jù)數(shù)據(jù)分析表，你認(rèn)為七年級(jí)和八年級(jí)哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更好，并說(shuō)明理由；（3）該校七年級(jí)有1550人，八年級(jí)有1350人參加本次知識(shí)競(jìng)賽，且規(guī)定9分及以上的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)該校七、八年級(jí)參加本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有多少人？【答案】（1）9，10，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)解析（2）七年級(jí)更好，理由見(jiàn)解析（3）1764人【解析】【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)，中位數(shù)眾數(shù)，方差，用樣本估計(jì)總體，能從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取有用信息是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)的定義可確定的值；根據(jù)眾數(shù)的定義可確定的值；先求出七年級(jí)等級(jí)的人數(shù)，再將七年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整即可；（2）根據(jù)平均分，中位數(shù)，眾數(shù)，方差的意義回答即可；（3）分別將樣本中七、八年級(jí)優(yōu)秀所占比例乘以對(duì)應(yīng)人數(shù)即可作出估計(jì)．【小問(wèn)1】解：七年級(jí)成績(jī)由高到低排在第13位的是等級(jí)9分，，八年級(jí)等級(jí)人數(shù)最多，，七年級(jí)成績(jī)等級(jí)人數(shù)為：（人，七年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整如下：故答案為：9，10；【小問(wèn)2】解：七年級(jí)更好，理由：七，八年級(jí)的平均分相同，七年級(jí)中位數(shù)大于八年級(jí)中位數(shù)，七年級(jí)方差小于八年級(jí)方差，說(shuō)明七年級(jí)一半以上人不低于9分，且波動(dòng)較小，所以七年級(jí)成績(jī)更好．【小問(wèn)3】人，答：該校七、八年級(jí)參加本次知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有1764人．22.為提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，某校開設(shè)綜合與實(shí)踐的“私人定制”課程，計(jì)劃購(gòu)買、兩種型號(hào)的測(cè)量?jī)x器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知：購(gòu)買1臺(tái)型儀器和1臺(tái)型儀器共需160元，儀器的單價(jià)是儀器單價(jià)的2倍少20元．（1）求型，型儀器的單價(jià)分別是多少元？（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買型和型測(cè)量?jī)x器共100臺(tái)，型儀器不超過(guò)型儀器的2倍，問(wèn)購(gòu)買型和型儀器各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少？【答案】（1）A型、B型儀器的單價(jià)分別為100元，60元（2）購(gòu)買A型儀器34臺(tái)，B型儀器66臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，花費(fèi)最少為7360元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意、找準(zhǔn)相等與不等關(guān)系、得出二元一次方程組與不等式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A型儀器x元，B型儀器y元，根據(jù)“買1臺(tái)A型儀器和1臺(tái)B型儀器共需160元，A儀器的單價(jià)是B儀器單價(jià)的2倍少20元”建立二元一次方程組求解，即可解題；（2）設(shè)購(gòu)買A型儀器m臺(tái)，則B型儀器件，購(gòu)買兩種儀器共花費(fèi)W元，根據(jù)“B型儀器不超過(guò)A型儀器的2倍”建立不等式求解，再根據(jù)題意可列出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出購(gòu)買方案和最小值．小問(wèn)1】解：設(shè)A型儀器x元，B型儀器y元，根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程組得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，答：A型、B型儀器的單價(jià)分別為100元，60元．【小問(wèn)2】解：設(shè)購(gòu)買A型儀器m臺(tái)，則B型儀器件，購(gòu)買兩種儀器共花費(fèi)W元，根據(jù)題意得：，．，，，∴W隨m增大而增大．當(dāng)時(shí)，W取最小值7360元．（臺(tái)），購(gòu)買A型儀器34臺(tái)，B型儀器66臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，花費(fèi)最少為7360元．23.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“初二幾何現(xiàn)場(chǎng)實(shí)踐活動(dòng)”，他們?cè)诓賵?chǎng)上設(shè)立四個(gè)點(diǎn)，并給出以下信息：點(diǎn)在點(diǎn)西北方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向上，，米，米．（1）求的長(zhǎng)；（2）若小明和小亮從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別沿和到達(dá)點(diǎn)，若兩人的速度相同，請(qǐng)判斷小明和小亮誰(shuí)先到達(dá)？并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）40米（2）小明先到達(dá)，理由見(jiàn)【解析】【分析】本題主要考查了方位角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確理解題意，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)題意可得，，，進(jìn)而可得，由“直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可得米，然后理由勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)即可；（2）首先利用勾股定理解得的長(zhǎng)度，設(shè)兩人的速度均為米/分鐘（），分別求得兩人到達(dá)點(diǎn)所用時(shí)間，比較即可獲得答案．【小問(wèn)1】解：如下圖，根據(jù)題意，點(diǎn)在點(diǎn)的西北方向上，點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向上，∴，，∵點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西方向上，即，∴，又∵米，∴米，∵，米，∴米；【小問(wèn)2】由（1）可知，，米，米，∴米，設(shè)兩人的速度均為米/分鐘（），則到達(dá)點(diǎn)，小明用時(shí)，小亮用時(shí)，∵，∴小明先到達(dá)點(diǎn)．24.如圖，在矩形中，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在邊上，且，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著折線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．連接，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的面積為，（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出的取值范圍；（2）在所給的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像，并寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖像，請(qǐng)直接寫出面積不小于3時(shí)的取值范圍．【答案】（1）（2）見(jiàn)，在段，隨的增大而增大（3）【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，正確確定關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是解題關(guān)鍵．（1）分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段上兩種情況，分別求解即可；（2）結(jié)合（1），畫出函數(shù)圖像，并寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)即可；（3）結(jié)合圖像，即可獲得答案．【小問(wèn)1】解：∵四邊形為矩形，，∴，，，∵，∴，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如下圖，此時(shí)，則，，∴的面積為；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如下圖，此時(shí)，則，，∴的面積為．∴關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2】解：結(jié)合（1），可畫出該函數(shù)圖像如下圖所示，在段，隨的增大而增大；【小問(wèn)3】解：結(jié)合函數(shù)圖像，可知面積不小于3時(shí)的取值范圍為．25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，滿足，直線經(jīng)過(guò)軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且．（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）平移直線，平移后的直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．①已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的值；②若平移后的直線與軸交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）①8；②或【解析】【分析】（1）首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，即可確定點(diǎn)坐標(biāo)，再證明為等腰直角三角形，易得，即，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①根據(jù)題意，可設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為；利用待定系數(shù)法解得直線的函數(shù)表達(dá)式；連接，易知當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，取最小值，求得此時(shí)直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式與直線的表達(dá)式，求解即可確定點(diǎn)坐標(biāo)，即可獲得答案；②分點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)兩種情況，分別求解即可．【小問(wèn)1】解：∵，又∵，，∴，，解得，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，可得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；【小問(wèn)2】①根據(jù)題意，平移直線，平移后的直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則可設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為；設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，可得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；如下圖，連接，∵，∴當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，取最小值，此時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，可得，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式與直線的表達(dá)式，可得，解得，∴，∴將點(diǎn)代入直線表達(dá)式，可得，解得；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，將代入直線的表達(dá)式，可得，解得，∴，∴將點(diǎn)代入直線表達(dá)式，可得，解得，即；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如下圖，