利用相似三角形求高度、比例和面積

利用相似三角形求高度、比例和面積利用相似三角形求高度、比例和面積一、相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角度相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)三角形稱為相似三角形。2.相似三角形的性質(zhì)：a.對(duì)應(yīng)角度相等b.對(duì)應(yīng)邊成比例c.對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線成比例二、利用相似三角形求高度1.直角三角形的高度a.在直角三角形中，斜邊上的高即為斜邊的中線b.如果直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，則斜邊上的高h(yuǎn)可以用勾股定理求得：h=(ab)/c2.非直角三角形的高度a.在非直角三角形中，設(shè)要求高的邊為底邊，與其對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，另外兩邊為鄰邊b.如果已知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則可以通過比例關(guān)系求得未知三角形的高度三、利用相似三角形求比例1.在相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊的比例相等2.如果已知兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比例，則這兩個(gè)三角形的所有對(duì)應(yīng)邊比例都相等四、利用相似三角形求面積1.相似三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比的平方2.如果已知兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比，則可以通過乘以對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比的平方求得它們的面積比3.通過已知相似三角形的面積比，可以求得未知三角形的面積，只要知道未知三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比五、應(yīng)用實(shí)例1.如果在實(shí)際問題中，我們已知一個(gè)三角形的某些邊長(zhǎng)和角度，可以通過構(gòu)造相似三角形來求解其他未知量2.例如，在一個(gè)矩形中，已知一條邊長(zhǎng)和與之相鄰的一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，可以通過構(gòu)造相似三角形來求解矩形的面積1.利用相似三角形求高度、比例和面積是初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)2.熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，可以幫助我們解決實(shí)際問題3.在解題過程中，要注意觀察圖形，尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，合理運(yùn)用比例和面積公式習(xí)題及方法：1.習(xí)題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=6cm，BC=4cm，求AC的長(zhǎng)度。答案：AC的長(zhǎng)度為5cm。解題思路：根據(jù)勾股定理，AC2=AB2-BC2，代入已知數(shù)值得到AC2=62-42，AC2=20，AC=√20，AC=2√5。2.習(xí)題：兩個(gè)相似三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比為2:1，如果一個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為8cm，高為6cm，求另一個(gè)三角形的高。答案：另一個(gè)三角形的高為12cm。解題思路：由于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比相等，所以對(duì)應(yīng)高的比也相等，即6:x=2:1，解得x=12。3.習(xí)題：在非直角三角形DEF中，DE=8cm，DF=12cm，求EF的長(zhǎng)度。答案：EF的長(zhǎng)度為16cm。解題思路：設(shè)EF的長(zhǎng)度為x，由于三角形DEF與三角形ABC相似（對(duì)應(yīng)邊成比例），所以有8/12=x/EF，解得x=16。4.習(xí)題：矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，求矩形的面積。答案：矩形的面積為48cm2。解題思路：由于矩形ABCD與三角形AEF相似（對(duì)邊成比例），所以有AB/AE=BC/EF，代入已知數(shù)值得到6/AE=8/EF，又因?yàn)锳E+EF=BC，所以AE=BC-EF=8-EF，代入前式得到6/(8-EF)=8/EF，解得EF=4，所以矩形的面積為AB×EF=6×4=24cm2。5.習(xí)題：在三角形ABC中，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，求三角形ABC的面積。答案：三角形ABC的面積為6cm2。解題思路：利用海倫公式，設(shè)半周長(zhǎng)為s=(AB+BC+AC)/2=6，面積S=√[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]=√[6×3×2×1]=6。6.習(xí)題：兩個(gè)相似三角形，它們的面積比為4:1，如果一個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為10cm，高為8cm，求另一個(gè)三角形的高。答案：另一個(gè)三角形的高為16cm。解題思路：由于相似三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比的平方，所以有82/h2=4/1，解得h=16。7.習(xí)題：在三角形DEF中，DE=10cm，DF=15cm，求EF的長(zhǎng)度。答案：EF的長(zhǎng)度為20cm。解題思路：設(shè)EF的長(zhǎng)度為x，由于三角形DEF與三角形ABC相似（對(duì)應(yīng)邊成比例），所以有10/15=x/EF，解得x=20。8.習(xí)題：在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=5cm，求矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度。答案：矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度為12.87cm。解題思路：由于矩形ABCD與三角形AEF相似（對(duì)邊成比例），所以有AB/AE=BC/EF，代入已知數(shù)值得到10/AE=5/EF，又因?yàn)锳E+EF=BC，所以AE=BC-EF=5-EF，代入前式得到10/(5-EF)=5/EF，解得EF=2.5，所以矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度為√(AB2+EF2)=√(100+6.25)=12.87cm。其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：1.習(xí)題：已知直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=6cm，BC=8cm，求AC的長(zhǎng)度。答案：AC的長(zhǎng)度為10cm。解題思路：根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2，代入已知數(shù)值得到AC2=62+82，AC2=100，AC=√100，AC=10。2.習(xí)題：兩個(gè)相似三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比為3:2，如果一個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為12cm，高為9cm，求另一個(gè)三角形的高。答案：另一個(gè)三角形的高為6cm。解題思路：由于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比相等，所以對(duì)應(yīng)高的比也相等，即9:x=3:2，解得x=6。3.習(xí)題：在非直角三角形DEF中，DE=12cm，DF=18cm，求EF的長(zhǎng)度。答案：EF的長(zhǎng)度為24cm。解題思路：設(shè)EF的長(zhǎng)度為x，由于三角形DEF與三角形ABC相似（對(duì)應(yīng)邊成比例），所以有12/18=x/EF，解得x=24。4.習(xí)題：矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，求矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度。答案：矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度為14cm。解題思路：由于矩形ABCD與三角形AEF相似（對(duì)邊成比例），所以有AB/AE=BC/EF，代入已知數(shù)值得到10/AE=8/EF，又因?yàn)锳E+EF=BC，所以AE=BC-EF=8-EF，代入前式得到10/(8-EF)=8/EF，解得EF=2，所以矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度為√(AB2+EF2)=√(100+4)=14。5.習(xí)題：在三角形ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，求三角形ABC的面積。答案：三角形ABC的面積為30cm2。解題思路：利用海倫公式，設(shè)半周長(zhǎng)為s=(AB+BC+AC)/2=15，面積S=√[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]=√[15×10×3×2]=30。6.習(xí)題：兩個(gè)相似三角形，它們的面積比為9:1，如果一個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為6cm，高為3cm，求另一個(gè)三角形的高。答案：另一個(gè)三角形的高為1cm。解題思路：由于相似三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比的平方，所以有32/h2=9/1，解得h=1。7.習(xí)題：在三角形DEF中，DE=15cm，DF=20cm，求EF的長(zhǎng)度。答案：EF的長(zhǎng)度為25cm。解題思路：設(shè)EF的長(zhǎng)度為x，由于三角形DEF與三角形ABC相似（對(duì)應(yīng)邊成比例），所以有15/20=x/EF，解得x=25。8.習(xí)題：在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，求矩形的面積。答案：矩形的面積為96cm2。解題思路：矩形的面積為長(zhǎng)乘以寬，即AB×BC=8×12=96。總結(jié)：以上知識(shí)點(diǎn)涵蓋了相似三角形的性質(zhì)、直角三