2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)正弦定理和余弦定理

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)正弦定理和余弦定理課程標(biāo)準(zhǔn)通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．CONTECT內(nèi)容索引01教材梳理強基固本02考點探究精準(zhǔn)突破教材梳理強基固本理清主干知識1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑．2RsinB2RsinCsinA:sinB:sinC

b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式記牢常用結(jié)論1．三角形中的邊角關(guān)系在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.練透教材典題1．[多選題]下列結(jié)論錯誤的是A．三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比B．在△ABC中，若sinA>sinB，則A>BC．在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素D．當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時，△ABC為鈍角三角形√√√√3．在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝，則C＝________.30°4．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，則cosA＝________，△ABC的面積為________．返回√考點探究精準(zhǔn)突破考點一利用正、余弦定理解三角形綜合練例1(10分)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)設(shè)AB＝5，求AB邊上的高．思路分析(1)

(2)

規(guī)律方法應(yīng)用正弦、余弦定理解題的技巧3．利用式子的特點轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理．√對點練1.(1)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解，但解的個數(shù)不確定2(1)求角A；考點二判斷三角形的形狀綜合練例2(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．不確定√因為bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，又0<A<π，故sinA＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．故選A.(2)在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為_________________________．由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，故cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinA＝sinB，即A＝或A＝B，故△ABC為直角三角形或等腰三角形．直角三角形或等腰三角形變式探究1．(變條件)若將本例(1)中的條件改為“2sinAcosB＝sinC”，試判斷△ABC的形狀．解：法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因為－π<A－B<π，所以A＝B，故△ABC為等腰三角形．故△ABC為等腰三角形．所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．規(guī)律方法判斷三角形形狀的兩種常用途徑提醒：“角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系；“邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系．√對點練3.在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，則該三角形的形狀是A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形考點三與三角形面積有關(guān)的問題綜合練例3

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且有sin2C＋cos(A＋B)＝0.(1)求角C；規(guī)律方法三角形面積問題的常見類型1．求三角形面積，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)公式等，求出角與邊，再求面積．2．已知三角形面積解三角形，常選用已知鄰邊求出其夾角，或利用已知角求出角的兩邊間的關(guān)系．3．已知與三角形面積有關(guān)的關(guān)系式，常選用關(guān)系式中的角作為面積公式中的角，化為三角