2024年高考數(shù)學第一輪復習講義第九章9.6　雙曲線(學生版+解析)

§9.6雙曲線考試要求1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用．知識梳理1．雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的________________等于常數(shù)(______|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的________，兩焦點間的距離叫做雙曲線的________．2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點焦距范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：______；對稱中心：______頂點軸實軸：線段______，長：______；虛軸：線段B1B2，長：________，實半軸長：____，虛半軸長：______漸近線離心率e＝eq\f(c,a)∈________a，b，c的關(guān)系c2＝________(c>a>0，c>b>0)常用結(jié)論1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a).4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.5．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．()(3)雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).()教材改編題1．已知曲線C的方程為eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或52．雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x3．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.題型一雙曲線的定義及應(yīng)用例1(1)(2022·洛陽模擬)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為______．聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．跟蹤訓練1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)(2)(2022·荊州模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是C的右支上的一點(不是頂點)，過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則|MO|＝________.題型二雙曲線的標準方程例2(1)(2021·北京)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過點(eq\r(2)，eq\r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標準方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq\f(\r(3)x2,3)－y2＝1聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·連云港模擬)在平面直角坐標系中，已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1聽課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求雙曲線的標準方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．跟蹤訓練2(1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左焦點到漸近線的距離為2eq\r(3)，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1(2)(2023·廊坊模擬)江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永．現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1題型三雙曲線的幾何性質(zhì)命題點1漸近線例3(1)(2022·北京)已知雙曲線y2＋eq\f(x2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則m＝________.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·連云港模擬)若雙曲線經(jīng)過點(1，eq\r(3))，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是________．聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)，滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.命題點2離心率例4(1)(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·全國甲卷)記雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值______．聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．跟蹤訓練3(1)(2023·聊城模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1(0<k<1)，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①雙曲線C的焦點在x軸上；②雙曲線C的焦距等于4eq\r(2)；③雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于eq\r(1－k)；④雙曲線C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),3))).(2)(2022·懷化模擬)已知F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，且直線l與雙曲線C的左支交于點B，若3|FA|＝|AB|，則雙曲線C的漸近線方程為________．§9.6雙曲線考試要求1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率).3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用．知識梳理1．雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．2．雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實半軸長：a，虛半軸長：b漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用結(jié)論1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.2．若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于實軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a).4．若P是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.5．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(×)(3)雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的漸近線方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).(√)教材改編題1．已知曲線C的方程為eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或5答案C解析若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1<0，,5－k>0，))解得k<－1.2．雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x答案C解析依題意知，雙曲線eq\f(y2,\f(1,2))－x2＝1的焦點在y軸上，實半軸長a＝eq\f(\r(2),2)，虛半軸長b＝1，所以雙曲線2y2－x2＝1的漸近線方程是y＝±eq\f(\r(2),2)x.3．設(shè)P是雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|＝________.答案17解析根據(jù)雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝8，因為|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.題型一雙曲線的定義及應(yīng)用例1(1)(2022·洛陽模擬)在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)答案A解析如圖，設(shè)△ABC與圓的切點分別為D，E，F(xiàn)，則有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支(右頂點除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以頂點C的軌跡方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)．(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為______．答案2eq\r(3)解析不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).思維升華在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．跟蹤訓練1(1)已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)答案C解析設(shè)動圓M的半徑為r，由動圓M同時與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以動圓圓心M的軌跡是以點C1(－3,0)和C2(3,0)為焦點的雙曲線的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，則b2＝c2－a2＝8，所以動圓圓心M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)(2022·荊州模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是C的右支上的一點(不是頂點)，過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點，則|MO|＝________.答案4解析如圖所示，延長F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分線，F(xiàn)2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中點．根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中點，所以MO是△QF1F2的中位線，所以|MO|＝eq\f(1,2)|QF1|＝4.題型二雙曲線的標準方程例2(1)(2021·北京)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過點(eq\r(2)，eq\r(3))，且離心率為2，則該雙曲線的標準方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq\f(\r(3)x2,3)－y2＝1答案A解析由e＝eq\f(c,a)＝2，得c＝2a，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)a，則雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，將點(eq\r(2)，eq\r(3))的坐標代入雙曲線的方程可得eq\f(2,a2)－eq\f(3,3a2)＝eq\f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq\r(3)，因此雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)(2023·連云港模擬)在平面直角坐標系中，已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1答案D解析由方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，不妨設(shè)A在直線y＝eq\f(b,a)x上，由△OAF是邊長為2的等邊三角形，可得c＝2，直線y＝eq\f(b,a)x的傾斜角為60°，即eq\f(b,a)＝eq\r(3)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)a，,a2＋b2＝c2＝4，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,a＝1，))故雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.思維升華求雙曲線的標準方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．跟蹤訓練2(1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左焦點到漸近線的距離為2eq\r(3)，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1答案A解析易知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為ay＝±bx，由C的左焦點(－c,0)到其漸近線的距離是2eq\r(3)，可得eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝2eq\r(3)，則b2＝12，由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，得e＝eq\f(c,a)＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝2，c＝4，則雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.(2)(2023·廊坊模擬)江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代，到明清兩代達到了頂峰，它藍白相映怡然成趣，晶瑩明快，美觀雋永．現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示，若該花瓶的瓶身最小的直徑是4，瓶口和底面的直徑都是8，瓶高是6，則該雙曲線的標準方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1答案D解析由題意可知該雙曲線的焦點在x軸上，實軸長為4，點(4,3)在該雙曲線上．設(shè)該雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,\f(42,a2)－\f(32,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))故該雙曲線的標準方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.題型三雙曲線的幾何性質(zhì)命題點1漸近線例3(1)(2022·北京)已知雙曲線y2＋eq\f(x2,m)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則m＝________.答案－3解析方法一依題意得m<0，雙曲線的方程化為標準方程為y2－eq\f(x2,－m)＝1，此時雙曲線的漸近線的斜率為±eq\f(1,\r(－m))＝±eq\f(\r(3),3)，解得m＝－3.方法二依題意得m<0，令y2－eq\f(x2,－m)＝0，得y＝±eq\f(1,\r(－m))x，則±eq\f(1,\r(－m))＝±eq\f(\r(3),3)，解得m＝－3.(2)(2022·連云港模擬)若雙曲線經(jīng)過點(1，eq\r(3))，其漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由題意可知，①若雙曲線的焦點在x軸上，則可設(shè)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\f(1,a2)－eq\f(3,b2)＝1且eq\f(b,a)＝2，聯(lián)立解得a＝eq\f(1,2)，b＝1，則雙曲線的方程為4x2－y2＝1；②若雙曲線的焦點在y軸上，則可設(shè)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\f(3,a2)－eq\f(1,b2)＝1，且eq\f(a,b)＝2，此時無解，綜上，雙曲線的方程為4x2－y2＝1.方法二由題可設(shè)雙曲線方程為4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵雙曲線經(jīng)過點(1，eq\r(3))，∴λ＝4×12－(eq\r(3))2＝1，∴雙曲線方程為4x2－y2＝1.思維升華(1)漸近線的求法：求雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得兩漸近線方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在雙曲線的幾何性質(zhì)中，重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)，滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.命題點2離心率例4(1)(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)答案A解析設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).(2)(2022·全國甲卷)記雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值________．答案2((1，eq\r(5)]內(nèi)的任意值均可)解析雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，若直線y＝2x與雙曲線C無公共點，則2≥eq\f(b,a)，∴eq\f(b2,a2)≤4，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)≤5，又e＞1，∴e∈(1，eq\r(5)]，∴填寫(1，eq\r(5)]內(nèi)的任意值均可．思維升華求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．跟蹤訓練3(1)(2023·聊城模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1(0<k<1)，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①雙曲線C的焦點在x軸上；②雙曲線C的焦距等于4eq\r(2)；③雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于eq\r(1－k)；④雙曲線C的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),3))).答案①③④解析對于①，因為0<k<1，所以9－k>0，k－1<0，所以雙曲線C：eq\f(x2,9－k)－eq\f(y2,1－k)＝1(0<k<1)表示焦點在x軸上的雙曲線，故①正確；對于②，由①知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝eq\r(10－2k)，所以雙曲線C的焦距等于2c＝2eq\r(10－2k)(0<k<1)，故②錯誤；對于③，設(shè)焦點在x軸上的雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其焦點坐標為(±c,0)，漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，所以焦點到漸近線的距離d＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，所以雙曲線C：eq\f(x2,9－k)－eq\f(y2,1－k)＝1(0<k<1)的焦點到其漸近線的距離等于eq\r(1－k)，故③正確；對于④，雙曲線C的離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(1－k,9－k))＝eq\r(2－\f(8,9－k))，因為0<k<1，所以1<2－eq\f(8,9－k)<eq\f(10,9)，所以e＝eq\r(2－\f(8,9－k))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),3)))，故④正確．(2)(2022·懷化模擬)已知F是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，過點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，且直線l與雙曲線C的左支交于點B，若3|FA|＝|AB|，則雙曲線C的漸近線方程為________．答案y＝±eq\f(4,3)x解析設(shè)C的左焦點為F1，連接F1B，過F1作F1D⊥FB于點D，如圖所示，易知F1D∥OA，在雙曲線C中，易知|FA|＝b，又3|FA|＝|AB|，則|DB|＝2b，則D為線段FB的中點，所以△F1BF為等腰三角形，又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c，即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，將b＝eq\f(c＋a,2)代入得eq\f(c＋a2,4)＝(c＋a)(c－a)，得c＋a＝4(c－a)，則c＝eq\f(5,3)a，又c2＝a2＋b2，所以b＝eq\f(4,3)a，則漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x.課時精練1．(2022·宜昌模擬)雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝λ(λ>0)的離心率為()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\r(3)C.eq\r(3)或eq\f(\r(6),2)D.eq\r(2)答案B解析因為λ>0，所以eq\f(x2,2λ)－eq\f(y2,4λ)＝1，所以雙曲線焦點在x軸上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以離心率為eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(6λ,2λ))＝eq\r(3).2.“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析因為方程mx2＋ny2＝1表示雙曲線，所以mn<0，又當mn<0時，方程mx2＋ny2＝1表示雙曲線，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示雙曲線”的充要條件．3．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，實軸長為4，則該雙曲線的標準方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1答案D解析設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m)＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，當m>0時，2m＝4，m＝2；當m<0時，－m＝4，m＝－4.故所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.4．(2022·南通模擬)方程x2＋(cosθ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲線不可能為()A．兩條直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線答案B解析因為θ∈(0，π)，所以cosθ∈(－1,1)，所以當cosθ∈(－1,0)時，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示雙曲線；當cosθ＝0時，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示兩條直線x＝±1；當cosθ∈(0,1)時，方程x2＋(cosθ)y2＝1可化為x2＋eq\f(y2,\f(1,cosθ))＝1，因為eq\f(1,cosθ)>1，所以方程表示焦點在y軸上的橢圓．5．(2023·唐山模擬)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(y2,3)－x2＝1的兩個焦點，P為雙曲線C上任意一點，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()①|(zhì)PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)；②雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x；③雙曲線C的離心率為eq\f(2\r(3),3)；④|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≥2eq\r(3).A．1B．2C．3D．4答案B解析雙曲線C：eq\f(y2,3)－x2＝1的焦點在y軸上，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝eq\r(a2＋b2)＝2.對于①，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq\r(3)，但P點在雙曲線C的哪支上并不確定，故①錯誤；對于②，焦點在y軸上的雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\r(3)x，故②錯誤；對于③，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，故③正確；對于④，設(shè)P(x，y)(x∈R)，O為坐標原點，則|PO|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x2＋3x2＋3)＝eq\r(3＋4x2)≥eq\r(3)(當且僅當x＝0時取等號)，因為O為F1F2的中點，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|2eq\o(PO,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PO,\s\up6(→))|≥2eq\r(3)，故④正確．6．(2023·湖南長郡中學模擬)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是C右支上的一點，PF1與C的左支交于點Q.已知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF1,\s\up6(→))，且|PQ|＝|PF2|，則正確的結(jié)論是()①△PQF2為直角三角形；②△PQF2為等邊三角形；③C的漸近線方程為y＝±eq\r(6)x；④C的漸近線方程為y＝±eq\r(7)x.A．①② B．①③C．②③ D．③④答案C解析因為|PQ|＝|PF2|，所以由雙曲線的定義知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，所以|QF2|＝4a，又eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF1,\s\up6(→))，所以|PQ|＝|PF2|＝4a，故△PQF2是等邊三角形，故①錯誤，②正確；在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(36a2＋16a2－4c2,48a2)＝eq\f(1,2)，則eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝7，即eq\f(b,a)＝eq\r(6)，故C的漸近線方程為y＝±eq\r(6)x，故③正確，④錯誤．7．(2021·新高考全國Ⅱ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，則該雙曲線C的漸近線方程為________．答案y＝±eq\r(3)x解析因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，所以eq\f(b2,a2)＝3，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.8．(2022·晉中模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在雙曲線的右支上，|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))解析設(shè)∠F1PF2＝θ，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4|PF2|，,|PF1|－|PF2|＝2a，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\f(8,3)a，,|PF2|＝\f(2,3)a，))∵|PF2|≥c－a，∴eq\f(2,3)a≥c－a，即eq\f(5,3)a≥c，即eq\f(c,a)≤eq\f(5,3)，∴雙曲線離心率的取值范圍是1<e≤eq\f(5,3).9．已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)．(1)若雙曲線C的一條漸近線方程為y＝2x，求雙曲線C的標準方程；(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為9，求b的值．解(1)因為雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±bx，而它的一條漸近線方程為y＝2x，所以b＝2，所以雙曲線C的標準方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)因為PF1⊥PF2，所以＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|，因為△PF1F2的面積為9，所以|PF1|·|PF2|＝18，又因為||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，又因為|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.10.如圖，已知雙曲線的中心在原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，焦距是實軸長的eq\r(2)倍，雙曲線過點(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；(3)在(2)的條件下，若點M在第一象限，且直線MF2交雙曲線于另一點N，求△F1MN的面積．(1)解設(shè)雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，雙曲線焦距為2c，實軸長為2a，則2c＝2eq\r(2)a，即c＝eq\r(2)a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴雙曲線方程為x2－y2＝a2，將(4，－eq\r(10))代入得，a2＝16－10＝6，∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明由(1)知，F(xiàn)1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∵M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝12，將M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2為直徑的圓上．(3)解由(2)知，點M坐標為(3，eq\r(3))或(3，－eq\r(3))，∵點M在第一象限，∴M的坐標為(3，eq\r(3))，直線MF2的方程為y－eq\r(3)＝eq\f(－\r(3),2\r(3)－3)(x－3)＝－(2＋eq\r(3))(x－3)，即y＝(－2－eq\r(3))x＋(6＋4eq\r(3))，代入雙曲線方程整理可得(6－4eq\r(3))y2－4eq\r(3)(2－eq\r(3))y＋6＝0，∵M的縱坐標為eq\r(3)，∴N的縱坐標為eq\f(6,6－4\r(3)×\r(3))＝eq\f(1,\r(3)－2)＝－(eq\r(3)＋2)，∴△F1MN的面積為S＝eq\f(1,2)|F1F2|·(eq\r(3)＋eq\r(3)＋2)＝2eq\r(3)×(2＋2eq\r(3))＝12＋4eq\r(3).11．中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線C與橢圓eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1有相同的焦距，一條漸近線方程為x－eq\r(3)y＝0，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)－y2＝1或y2－eq\f(x2,3)＝1B．x2－eq\f(y2,3)＝1或y2－eq\f(x2,3)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1或eq\f(y2,3)－x2＝1D．x2－eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,3)－x2＝1答案A解析在橢圓eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1中，c＝eq\r(10－6)＝2，∴焦距2c＝4.∵C的一條漸近線方程為x－eq\r(3)y＝0，∴設(shè)C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，化為標準方程為eq\f(x2,3λ)－eq\f(y2,λ)＝1.當λ>0時，c＝eq\r(λ＋3λ)＝2，解得λ＝1，則C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1；當λ<0時，c＝eq\r(－λ－3λ)＝2，解得λ＝－1，則C的方程為y2－eq\f(x2,3)＝1.綜上，C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1或y2－eq\f(x2,3)＝1.12．(2022·徐州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0，e>\f(\r(6),2)))的左、右焦點，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于A，B兩點，若A，B兩點的橫坐標之比是eq\r(3)∶eq\r(2)，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(5)B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(5),2)答案C解析過點A作AF⊥x軸，垂足為F，過點B作BE⊥x軸，垂足為E，如圖所示．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|OB|＝|OF2|＝c，由漸近線的方程y＝eq\f(b,a)x可知y2＝eq\f(b,a)x2，在Rt△OBE中，xeq\o\al(2,2)＋eq\f(b2,a2)xeq\o\al(2,2)＝c2，解得x2＝a(舍負)，由已知得x1∶x2＝eq\r(3)∶eq\r(2)，即x1＝eq\f(\r(6),2)a，即|AF|2＝c2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))2＝c2－eq\f(3,2)a2，因為離心率e>eq\f(\r(6),2)，所以c2－eq\f(3,2)a2>0，則點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a，\r(c2－\f(3,2)a2)))，代入雙曲線方程可得eq\f(\f(3,2)a2,a2)－eq\f(c2－\f(3,2)a2,b2)＝1，化簡得2a2＝c