新高考高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)全透視專題17.3離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征(精講精析篇)(原卷版+解析)

專題17.3離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，凸顯數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).2.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．二、考試要求1．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，理解兩點(diǎn)分布，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.2．理解隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會(huì)計(jì)算取有限個(gè)值的簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.三、主干知識(shí)梳理（一）離散型隨機(jī)變量的分布列1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量.2.分布列的兩個(gè)性質(zhì)①，；②.3．分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．(2)隨機(jī)變量ξ所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．3．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為，，…，，…，取每一個(gè)值()的概率為，則稱表…………為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱X的分布列．有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式，表示的分布列．（二）離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征1．均值若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且.若服從兩點(diǎn)分布，則；2.方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………則描述了()相對(duì)于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機(jī)變量的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．若服從兩點(diǎn)分布，則．3.六條性質(zhì)(1)(為常數(shù))(2)(為常數(shù))(3)(4)如果相互獨(dú)立，則(5)(6)一、命題規(guī)律離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn)題型，以解答題為主，以實(shí)際問(wèn)題為背景考查離散型隨機(jī)變量的分布列求法、均值與方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.考查分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望、方差的計(jì)算，及二者之間的關(guān)系.往往與函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)性質(zhì)、不等式的應(yīng)用、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合.二、真題展示1．（2023·浙江·高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.考點(diǎn)01離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【典例1】（2023·浙江·金華市曙光學(xué)校高二月考）設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X01P則常數(shù)a的值為（）A． B． C．或 D．或【典例2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是（）A． B．C．[－3，3] D．[0，1]【規(guī)律方法】1．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．2．對(duì)于分布列易忽視其性質(zhì)及，其作用可用于檢驗(yàn)所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確．3．確定離散型隨機(jī)變量的取值時(shí)，易忽視各個(gè)可能取值表示的事件是彼此互斥的．4.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．考點(diǎn)02離散型隨機(jī)變量分布列的求法【典例5】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X．（1）說(shuō)明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．【典例6】（2023年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．【總結(jié)提升】1.解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值．(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值．(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解．【注意】解題中要善于透過(guò)問(wèn)題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．2.求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；(1)可設(shè)出隨機(jī)變量Y，并確定隨機(jī)變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義．(2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率．而超幾何分布就是此類問(wèn)題中的一種．(3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列．3.離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義．(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率．(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列．(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確考點(diǎn)03離散型隨機(jī)變量的均值與方差【典例7】（2023·浙江高考真題）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【典例8】（2023·浙江省高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．【總結(jié)提升】均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量，則一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算．考點(diǎn)04離散型隨機(jī)變量的均值、方差的綜合問(wèn)題【典例9】(2023年浙江省高考模擬）已知隨機(jī)變量的分布列如表所示：若，則（）A．B．C．D．【典例10】（2023·浙江寧波·高三月考）已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：-202Pab若隨機(jī)變量的期望值，則_______，_______．考點(diǎn)05實(shí)際問(wèn)題中的科學(xué)決策【典例11】（2023·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【典例12】（2023·江蘇高郵·高三月考）某商家以6元一件的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某商品，然后以每件10元的價(jià)格出售.如果該商品當(dāng)天賣不完，剩下的只能作垃圾處理.商家記錄了100天該商品的日需求量（單位：件），整理得下表：日需求量141516171819頻數(shù)102025201510以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（1）若商家一天購(gòu)進(jìn)該商品16件，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望；（2）若商家計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)該商品16件或17件，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16件還是17件？請(qǐng)說(shuō)明理由.【總結(jié)提升】1.解決與生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的概率問(wèn)題時(shí)首先把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)的均值．2.均值與方差在決策中的應(yīng)用注意點(diǎn)（1）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是實(shí)際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定．（2）兩種應(yīng)用策略=1\*GB3①當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分歧，可對(duì)問(wèn)題作出判斷．=2\*GB3②若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.3.幾種常用的解題方法(1)轉(zhuǎn)化法．將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以求得解決途徑．(2)正難則反的解題策略．當(dāng)所求問(wèn)題正面求解過(guò)于煩瑣時(shí)，往往可以使用其對(duì)立事件簡(jiǎn)化過(guò)程，一般當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)使用較多．鞏固提升1.(2023·浙江·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表：已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（）789100.10.3A． B． C． D．2.(2023·浙江高考真題）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小3.（2023·廣東高二期末）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數(shù)，則（）A．a(chǎn)= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=4.(2023·浙江高考真題）已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則（）A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>5．【多選題】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差數(shù)列，則（）X－101PabcA．a(chǎn)＝ B．b＝C．c＝ D．P(|X|＝1)＝6.【多選題】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）(多選題)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，則（）A．a(chǎn)＝10 B．a(chǎn)＝C． D．b＝17.（2023·山東高二期末）已知X的分布列如圖所示，則X-101P0.20.3a（1），（2），（3），其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.8.（2023·防城港市防城中學(xué)高二期中（理））袋中裝有一些大小相同的球，其中標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)，標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)，標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)，，標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)．現(xiàn)從袋中任取一球，所得號(hào)數(shù)為隨機(jī)變量，若，則______．10.（2023·山西大同一中高三期中（理））某烘焙店每天制作生日蛋糕若干個(gè)，每個(gè)生日蛋糕成本為60元，售價(jià)為100元.如果賣不完，則剩余的蛋糕在當(dāng)日晚間集中銷毀，現(xiàn)收集并整理了該店100天生日蛋糕的日需求量(單位：個(gè))如下表：需求量151617181920頻數(shù)10203020128將100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發(fā)生的概率.（1）若該烘焙店某一天制作生日蛋糕17個(gè)，設(shè)當(dāng)天生日蛋糕的需求量為(單位：個(gè))，當(dāng)天出售生日蛋糕獲得的利潤(rùn)為(單位：元).①試寫出關(guān)于的表達(dá)式；②求的概率分布列，并計(jì)算.（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕獲得利潤(rùn)的平均值作為決策依據(jù)，你認(rèn)為烘焙店每天應(yīng)該制作17個(gè)生日蛋糕還是18個(gè)？專題17.3離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，凸顯數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).2.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．二、考試要求1．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，理解兩點(diǎn)分布，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.2．理解隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會(huì)計(jì)算取有限個(gè)值的簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.三、主干知識(shí)梳理（一）離散型隨機(jī)變量的分布列1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量.2.分布列的兩個(gè)性質(zhì)①，；②.3．分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．(2)隨機(jī)變量ξ所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．3．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為，，…，，…，取每一個(gè)值()的概率為，則稱表…………為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱X的分布列．有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式，表示的分布列．（二）離散型隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征1．均值若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且.若服從兩點(diǎn)分布，則；2.方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………則描述了()相對(duì)于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機(jī)變量的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．若服從兩點(diǎn)分布，則．3.六條性質(zhì)(1)(為常數(shù))(2)(為常數(shù))(3)(4)如果相互獨(dú)立，則(5)(6)一、命題規(guī)律離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn)題型，以解答題為主，以實(shí)際問(wèn)題為背景考查離散型隨機(jī)變量的分布列求法、均值與方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.考查分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望、方差的計(jì)算，及二者之間的關(guān)系.往往與函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)性質(zhì)、不等式的應(yīng)用、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合.二、真題展示1．（2023·浙江·高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則___________，___________.答案：1分析：根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可求出．【詳解】，所以，,所以,則．由于．故答案為：1；．2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.答案：（1）見(jiàn)解析；（2）類．分析：（1）通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)椋孕∶鲬?yīng)選擇先回答類問(wèn)題．考點(diǎn)01離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【典例1】（2023·浙江·金華市曙光學(xué)校高二月考）設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X01P則常數(shù)a的值為（）A． B． C．或 D．或答案：A分析：根據(jù)分布列的性質(zhì)，列式求.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，解得：.故選：A【典例2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是（）A． B．C．[－3，3] D．[0，1]答案：B分析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和分布列的性質(zhì)可求解.【詳解】解：由題意得：設(shè)隨機(jī)變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，由，解得.所以公差的取值范圍是.故選：B【規(guī)律方法】1．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．2．對(duì)于分布列易忽視其性質(zhì)及，其作用可用于檢驗(yàn)所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確．3．確定離散型隨機(jī)變量的取值時(shí)，易忽視各個(gè)可能取值表示的事件是彼此互斥的．4.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．考點(diǎn)02離散型隨機(jī)變量分布列的求法【典例5】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X．（1）說(shuō)明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．答案：（1）事件見(jiàn)解析，；（2）分布列見(jiàn)解析．分析：（1）根據(jù)表示的意義確定事件，并計(jì)算概率．（2）的可能值為0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）表示正面向上的次數(shù)為1的事件，．（2）的可能值為0，1，2，則，，的分布列如下：012【典例6】（2023年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．答案：（1）0.4；（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=1；（3）見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為．（2）X的所有可能值為0，1，2．記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”．由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，且．所以，，．所以X的分布列為X012P0.240.520.24（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得．答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化．理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化．【總結(jié)提升】1.解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值．(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值．(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解．【注意】解題中要善于透過(guò)問(wèn)題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．2.求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；(1)可設(shè)出隨機(jī)變量Y，并確定隨機(jī)變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義．(2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率．而超幾何分布就是此類問(wèn)題中的一種．(3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列．3.離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟(1)明取值：明確隨機(jī)變量的可能取值有哪些，且每一個(gè)取值所表示的意義．(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出變量所對(duì)應(yīng)的概率．(3)畫表格：按規(guī)范要求形式寫出分布列．(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確考點(diǎn)03離散型隨機(jī)變量的均值與方差【典例7】（2023·浙江高考真題）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大答案：D【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大.方法2：則故選D.【典例8】（2023·浙江省高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______；______．答案：【解析】因?yàn)閷?duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.【總結(jié)提升】均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量，則一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算．考點(diǎn)04離散型隨機(jī)變量的均值、方差的綜合問(wèn)題【典例9】(2023年浙江省高考模擬）已知隨機(jī)變量的分布列如表所示：若，則（）A．B．C．D．答案：D【解析】由題意得.∵∴∵∴設(shè)，則在上單調(diào)遞減.∵∴故選D.【典例10】（2023·浙江寧波·高三月考）已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：-202Pab若隨機(jī)變量的期望值，則_______，_______．答案：11分析：根據(jù)，結(jié)合表中數(shù)據(jù)求得a，b，然后利用方差公式及方差性質(zhì)求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)得：，解得，則，所以，所以，故答案為：；11考點(diǎn)05實(shí)際問(wèn)題中的科學(xué)決策【典例11】（2023·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)答案：（1）①次；②分布列見(jiàn)解析；期望為；（2）．分析：（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】（1）①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.【典例12】（2023·江蘇高郵·高三月考）某商家以6元一件的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某商品，然后以每件10元的價(jià)格出售.如果該商品當(dāng)天賣不完，剩下的只能作垃圾處理.商家記錄了100天該商品的日需求量（單位：件），整理得下表：日需求量141516171819頻數(shù)102025201510以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（1）若商家一天購(gòu)進(jìn)該商品16件，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望；（2）若商家計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)該商品16件或17件，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16件還是17件？請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（1）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）購(gòu)進(jìn)16件更合理，理由見(jiàn)解析.分析：（1）根據(jù)題意可知的可能取值為44?54?64，并由表格分別計(jì)算出各自對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（2）計(jì)算出購(gòu)進(jìn)17件時(shí)利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，與比較即可得出．【詳解】（1）的可能取值為44?54?64，，，，的分布列為：4454640.10.20.7.（2）若當(dāng)天購(gòu)進(jìn)17件，則利潤(rùn)為：，因?yàn)?，所以?gòu)進(jìn)16件更合理.【總結(jié)提升】1.解決與生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的概率問(wèn)題時(shí)首先把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)的均值．2.均值與方差在決策中的應(yīng)用注意點(diǎn)（1）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是實(shí)際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定．（2）兩種應(yīng)用策略=1\*GB3①當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見(jiàn)分歧，可對(duì)問(wèn)題作出判斷．=2\*GB3②若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.3.幾種常用的解題方法(1)轉(zhuǎn)化法．將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，將不熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以求得解決途徑．(2)正難則反的解題策略．當(dāng)所求問(wèn)題正面求解過(guò)于煩瑣時(shí)，往往可以使用其對(duì)立事件簡(jiǎn)化過(guò)程，一般當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)使用較多．鞏固提升1.(2023·浙江·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表：已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（）789100.10.3A． B． C． D．答案：C分析：利用離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望列出方程組，能求出的值．【詳解】解：的數(shù)學(xué)期望，由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列，得，解得，．故選：．2.(2023·浙江高考真題）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小答案：D【解析】，，，∴先增后減，因此選D.3.（2023·廣東高二期末）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數(shù)，則（）A．a(chǎn)= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=答案：B【解析】因?yàn)閍(1+2+3+4)=1，所以a=，所以P(X>)=+，P(X<4a)=P(X<)=，E(X)=×+×+×+×.故選：B.4.(2023·浙江高考真題）已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0