新教材2024版高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3空間向量基本定理及空間向量運算的坐標(biāo)表示3.1空間向量基本定理學(xué)生用書北師大版選擇性必修第一冊

3．1空間向量基本定理[教材要點]要點空間向量基本定理1．定理：假如向量a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間隨意一個向量，那么存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝__________．2．基與基向量：假如三個向量a，b，c不共面，那么全部空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把______________叫作空間的一組基，a，b，c都叫作基向量．空間隨意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一組基．狀元隨筆(1)若p＝xa＋yb＋zc，則xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的線性表達式或線性組合，或者說p可以由a，b，c線性表示．(2)對于基{a，b，c}，除了應(yīng)知道a，b，c不共面外，還應(yīng)明確以下三點：①基選定后，空間的全部向量均可由基唯一表示.選用不同的基，同一向量的表達式也可能不同；②由于0與隨意一個非零向量共線，與隨意兩個非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是0；③空間的一個基是指一個向量組，是由三個不共面的空間向量構(gòu)成的；一個基向量是指基中的某個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．[基礎(chǔ)自測]1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間向量的一組基．()(2)對于三個不共面對量a1，a2，a3，不存在實數(shù)組{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.()(3)基選定后，空間的全部向量均可由基唯一表示．()(4)空間的一個基是指一個向量組，是由三個不共面的空間向量構(gòu)成的．()2．已知{a，b，c}是空間的一個基，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基的向量是()A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn)＋2bD．a(chǎn)＋2c3．O、A、B、C為空間四個點，又{OA，OB，OCA．O、A、B、C四點不共線B．O、A、B、C四點共面，但不共線C．O、A、B、C四點中隨意三點不共線D．O、A、B、C四點不共面4．在四面體O-ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則OE＝________________(用a，b，題型一基的推斷例1已知{e1，e2，e3}是空間的一個基，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，試推斷{OA，OB，O方法歸納1．假如向量中存在零向量，則不能作為基；假如存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基．2．假設(shè)a＝λb＋μc，運用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基；若無解，則不共面，能作為基．跟蹤訓(xùn)練1[多選題]設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基，給出下列向量組，其中可以作為空間一個基的向量組是()A．{a，b，x}B．{x，y，z}C．{b，c，z}D．{x，y，a＋b＋c}題型二空間向量的表示例2(1)如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，且MG＝2GN，現(xiàn)用基向量OA，OB，OC表示向量OG，設(shè)OG＝xOA＋yOB＋zOC，則x，yA．x＝13，y＝13，z＝13B．z＝13，y＝1C．x＝13，y＝16，z＝13D．x＝16，y＝1(2)在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA'＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q是CA′上的點，且CQ∶QA′＝4∶1，用基{a，b，c①AP；②AM；③AN；④AQ.方法歸納用基中的基向量表示向量(即向量的分解)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形，運用三角形法則、平行四邊形法則及多邊形法則，逐步把待求向量轉(zhuǎn)化為基向量的“代數(shù)和”．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD交于點M，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則B1M＝()A．－12a－12b－cB.12a＋1C.12a－12b－cD．－12a＋1(2)已知四面體ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，則EF＝________．易錯辨析對基理解不清致誤例3在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，試用基{解析：如圖，連接A1M，A1C1，則C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋AM－(A1B1＋A1D1)＝A1A＋12(A1B1＋A1D【易錯警示】易錯緣由糾錯心得本題易錯的地方是向量分解的不徹底，可能會得到如下錯解：C1M＝A1M－A1C1＝A1A＋AM－(A1事實上，AM仍需用基表示．基可以表示空間內(nèi)任一向量，用基表示向量時，最終結(jié)果應(yīng)含基向量．[課堂特殊鐘]1．以下四個命題中正確的是()A．基{a，b，c}中可以有零向量B．空間任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基C．△ABC為直角三角形的充要條件是AB·AC＝0D．空間向量的基只能有一組2．已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－OC，則與a，b不能構(gòu)成空間基的向量是()A．OAB．OBC．OCD．OA或OB3．下列能使向量MA，MB，MC成為空間的一個基的關(guān)系式是()A．OM＝13OA＋13OB＋13OCC．OM＝OA＋OB＋OCD．MA＝2MB－MC4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，則α，β，λ的值分別為________．5.如圖，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，G為△PDC的重心，AB＝i，AD＝j(luò)，AP＝k，試用基{i，j，k}表示向量PG，BG.3．1空間向量基本定理新知初探·課前預(yù)習(xí)要點1．xa＋yb＋zc2．{a，b，c}[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：A、B、C都與向量p、q共面，只有D與p、q不共面，故選D.答案：D3．答案：D4．解析：OE＝OA＝OA+＝OA+＝1＝12a＋14b＋答案：12a＋14b＋題型探究·課堂解透例1解析：假設(shè)OA，OB，OC使OA＝xOB＋yOC成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∴y-即不存在實數(shù)x，y使得OA＝xOB＋yOC，所以O(shè)A，所以{OA，跟蹤訓(xùn)練1解析：如圖所示，令a＝AB，b＝AA1，c＝AD則x＝AB1，y＝AD1，z＝a＋b＋c＝AC1．由于A，B1，C，D1四點不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c答案：BCD例2解析：(1)連接ON.∵M，N分別是對邊OA，BC的中點，∴OM＝12OA，ON＝12(OB+OC)，∴OG＝OM+MG＝OM+23MN＝OM+23(2)連接AC、AC′、AD′①AP＝12(AC+AA')＝12(AB②AM＝12(AC+AD')＝12(AB＋2AD③AN＝12(AC'+AD'＝12(AB＋2AD＋2AA')＝12a④AQ＝AC+CQ＝＝15AB+15AD+45AA答案：(1)D(2)見解析跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)B1M＝BB1＋BM＝－c＋12BD＝－c＋12(b－a)＝－12故選D.(2)如圖所示，取BC的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EF＝GF-GE＝12CD-12BA＝12CD+12AB＝12(5a＋6b答案：(1)D(2)3a＋3b－5c[課堂特殊鐘]1．解析：運用解除法．因為零向量與隨意兩個非零向量都共面，故A不正確；△ABC為直角三角形并不愿定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正確；空間基可以有多數(shù)多組，故D不正確．故選B.答案：B2．解析：∵OC＝12a－12b且a，b不共線，∴a，b，OC共面，∴OC與a，答案：C3．解析：對于選項A，由OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點共面知，M