自動(dòng)控制原理第三章2線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各類品質(zhì)指標(biāo)的分析也必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進(jìn)行。問題：如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?

提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。

7/5/20241第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.5.1基本概念3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3.5.3勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)3.5線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性7/5/20242第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.5.1穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件一、基本概念控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中總會(huì)有干擾(如負(fù)載和能源的波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等)。這些因素總是存在的，如果系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)不考慮這些因素，設(shè)計(jì)出來的系統(tǒng)不穩(wěn)定或性能指標(biāo)達(dá)不到要求，系統(tǒng)需要重新設(shè)計(jì)或調(diào)整某些參數(shù)或結(jié)構(gòu)。設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它瞬間受到某一擾動(dòng)作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)此擾動(dòng)撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。7/5/20243第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法基于穩(wěn)定性研究的問題是擾動(dòng)作用去除后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況，它與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無關(guān)，只取決于系統(tǒng)本身的特征，因而可用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無關(guān)。7/5/20244第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法如果脈沖響應(yīng)函數(shù)是收斂的，即有表示系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可知，系統(tǒng)的穩(wěn)定與其脈沖響應(yīng)函數(shù)的收斂是一致的。系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)由于單位脈沖函數(shù)的拉氏反變換等于1，所以系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。令閉環(huán)傳遞函數(shù)含有q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和r對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn):7/5/20245第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法q+2r=n

7/5/20246第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面系統(tǒng)穩(wěn)定不穩(wěn)定系統(tǒng)充要條件有一個(gè)正實(shí)根或一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)數(shù)根發(fā)散3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件7/5/20247第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法上一頁(yè)下一頁(yè)返回7/5/20248第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法問題：一個(gè)在零輸入下穩(wěn)定的系統(tǒng)，會(huì)不會(huì)因某個(gè)參考輸入信號(hào)的加入而使其穩(wěn)定性受到破壞？系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定參考輸入一個(gè)在零輸入下的穩(wěn)定系統(tǒng)，在參考輸入信號(hào)作用下仍將繼續(xù)保持穩(wěn)定穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量7/5/20249第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.5.3勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)(Routh-Hurwitz’sstabilitycriterion)線性系統(tǒng)穩(wěn)定閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面。

充要條件穩(wěn)定判據(jù)令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且無零系數(shù)。7/5/202410第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法必要條件證明各項(xiàng)系數(shù)不為零,不會(huì)有系數(shù)為零的項(xiàng)線性系統(tǒng)穩(wěn)定線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且無零系數(shù)。7/5/202411第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.5.3.1赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成的主行列式及其順序主子式均為正。即：7/5/202412第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法將特征方程各項(xiàng)系數(shù)，按下面的格式排成勞斯表3.5.3.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)7/5/202413第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法前兩行第一列前兩行下一列7/5/202414第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)所列勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)的變化，判別特征方程式根在S平面上的具體分布，過程如下：

如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

若勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)等于特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。自動(dòng)控制原理7/5/202415第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法例3-5已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表 由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。7/5/202416第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法例3-6已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表7/5/202417第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.5.4勞斯判據(jù)特殊情況

1:勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒有余項(xiàng)。 解決的辦法是以一個(gè)很小的正數(shù)ε

來代替為零的這項(xiàng)，據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。7/5/202418第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法例3-7已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。S2S51211S42410S3060

100S160S010

0+首列元素符號(hào)變化兩次系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)根位于S平面的右半平面上7/5/202419第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法2:勞斯表中出現(xiàn)全零行表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行,完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。某行所有的元素為零或某行僅有一個(gè)元素且為零7/5/202420第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法例3-8已知系統(tǒng)的特征方程式為解：列勞斯表由于表中第三行只有一個(gè)元素，且為零。試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。輔助多項(xiàng)式：F（S）=2S2+2

F’(s)=4S

利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。輔助方程：F（S）=2S2+2=0系統(tǒng)有兩虛根S311S222S10S0247/5/202421第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法勞斯表顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

例如，一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為輔助多項(xiàng)式：F（S）=2S4+12S2+16F’（S）=8S3+24S8247/5/202422第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.5.5勞斯判據(jù)的應(yīng)用穩(wěn)定判據(jù)只回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。也即也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動(dòng)態(tài)性能。換句話說，勞斯判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在S平面上相對(duì)于虛軸的距離。7/5/202423第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法由此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。并代入原方程式中，得到以S1

為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線S=-a右側(cè)。線性系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。設(shè)-a0j

S=S1-a7/5/202424第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法例3-9用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂線的右方。

解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。令代入特征方程：7/5/202425第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在S=-1的右方。列勞斯表第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次，表示原方程有一個(gè)根在垂直直線S=-1的右方?？纱_定系統(tǒng)一個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

S132-1S124-1S11-1/2S10-17/5/202426第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法例3-10已知PI控制系統(tǒng)如圖所示，K1為與積分時(shí)間常數(shù)有關(guān)的待定參數(shù)。已知ξ=0.2,ωn=86.6。用勞斯判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K1的取值范圍。如果使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于S=-1垂線之左，K1的取值范圍？K1S7/5/202427第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法K1S

7/5/202428第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法S317500S234.67500K1閉